Определение момента инерции из крутильных колебаний и

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
Проректор-директор ФТИ
_____________________ В.П.Кривобоков
« »
2012 г.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ИЗ КРУТИЛЬНЫХ
КОЛЕБАНИЙ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА
Методические указания к выполнению лабораторных работ М–08а
по курсу общей физики для студентов всех специальностей
Составитель Н.С. Кравченко, Н.И.Гаврилина
Издательство
Томского политехнического университета
2012
УДК 53.076
Определение момента инерции из крутильных колебаний и проверка
теоремы Штейнера: Методические указания к выполнению лабораторной
работы М–08а по курсу общей физики для студентов всех специальностей/
сост. Н.С. Кравченко, Н.И. Гаврилина; Национальный исследовательский
Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского
политехнического университета, 2012. – 8 с.
Методические указания рассмотрены и рекомендованы
к изданию методическим семинаром кафедры
теоретической и экспериментальной физики ФТИ.
«___»___________2012 г.
Зав. кафедрой ТиЭФ
доктор физ.-мат. наук,
профессор
___________
В.Ф. Пичугин
Председатель
учебно-методической комиссии
___________
С.И. Борисенко
Рецензент
доц. доктор, физ.-мат. наук С.И. Борисенко
© Составление. ГОУ ВПО «Национальный
исследовательский Томский политехнический
университет», 2012
© Н.С. Кравченко, Н.И. Гаврилина составление,
2012
© Оформление. Издательство Томского
политехнического университета, 2012
2
а
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-08
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ИЗ КРУТИЛЬНЫХ
КОЛЕБАНИЙ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА
Цель работы: определение момента инерции
твердого тела из
крутильных колебаний и проверка теоремы Штейнера.
Приборы и принадлежности: лабораторная установка (крутильный
маятник), дополнительные грузы (2 шара), секундомер, технические весы,
штангенциркуль.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
В механике твердое тело можно рассматривать как совокупность
материальных точек с наложенными на них жесткими связями.
Произвольное движение твердого тела можно представить как сложное,
состоящее из поступательного и вращательного движений. При изучении
движения твердого тела разделим его мысленно на отдельные элементарные
массы Δmi, к которым приложены как внутренние, так и внешние силы.
Внутренние силы представляют собой силы взаимодействия отдельных
элементарных масс Δmi твердого тела друг с другом. Таким образом,
движение твердого тела можно рассматривать как движение механической
системы с наложенными жесткими связями.
При поступательном движении твердого тела все точки тела движутся
по одинаковым траекториям и имеют одинаковые скорости и ускорения.
Поэтому уравнение поступательного движения твердого тела массы m (где
m   mi ) определяется вторым законом Ньютона, записанным для центра
i
масс тела:

dP 
F
dt
O

r



, P  mc  m

M
m i
O
Рис. 1

i

, где  c
центра масс, равная
 
скорости поступательного движения тела  , P 
импульс тела, F - результирующая внешняя сила,
действующая на тело (сумма всех внутренних сил,
действующих между элементарными массами Δmi
тела равна нулю).
 Если масса тела постоянна (m =
d
 F . Масса m – мера инертности
const), то m
dt
твердого тела, она проявляется при попытке
изменить
скорость
тела
и
характеризует
3
-скорость
способность тела изменять скорость при поступательном движении под
действием силы F .
При вращательном движении тела относительно какой-либо оси,
каждая элементарная масса Δmi тела описывает окружность. Радиус ri
окружности, описываемый элементарной массой Δmi, это кратчайшее
расстояние до оси вращения (рис. 1). Запишем второй закон Ньютона для
материальной точки Δmi и всего твердого тела (суммы материальных точек
Δmi ):



d ri  mii   
d (mii ) 
 Fi , или
 ri Fi ,
dt 
dt


где ri Fi  M i – момент внешних сил, действующий на элементарную



массу Δmi, а ri  mii   Li - момент импульса этой элементарной массы Δmi
относительно оси вращения.


d  Li




d
L
i
Тогда
L   Li - момент
  M i , или
 M , где
dt
dt
i
i

импульса твердого тела относительно оси вращения, M – результирующий
момент внешних сил,
на тело относительно оси вращения.
 действующих






Так как
L   Li   ri  mii    ri  mi ri    mi ri2 , или
 
 


L  I
i
, где
i
i
I   mi ri2 - момент инерции твердого тела относительно
i
оси вращения (осевой момент инерции).
Тогда основной закон вращательного  движения твердого тела
d ( I ) 
относительно оси вращения можно записать
M.
dt

d 
При I  const
I
M.
dt
Момент инерции I является мерой инертности твердого тела при
вращательном движении и определяет способность тела изменять
угловую

скорость под действием вращающего момента внешних сил M .
Моментом инерции материальной точки массой m, находящейся на
расстоянии r от оси вращения, называется величина, численно равная
произведению массы этой точки на квадрат расстояния от оси вращения, т.е.
I m  mr 2 .
Момент инерции твердого тела зависит не только от массы тела, но и
от расположения частиц тела относительно оси вращения. Чтобы найти
момент инерции тела надо просуммировать моменты инерции всех
материальных точек, составляющих данное тело, т.е.
4
I   mi ri2 ,
(1)
i
где ri – радиус i-той точки до оси вращения.
В общем случае, если плотность тела ρ, а объем тела V, то момент
инерции тела определяется интегралом
m
I   r 2 d m   r 2 dV .
0
(2)
V
Пределы интегрирования зависят от формы и размеров тела. Величина
r в этом случае есть функция положения точки относительно оси вращения с
координатами x, y, z.
Интегрирование уравнения (2) легко осуществить для тех случаев,
когда ось вращения проходит через центр тяжести осесимметричного тела.
Для тел правильной геометрической формы,
масса которых
равномерно распределена по объему моменты инерции относительно оси,
проходящей через центр инерции определены.
Момент инерции обруча или тонкостенного цилиндра (относительно
оси, проходящей вдоль цилиндра) массой m и радиуса R равен: I об  m R 2 .
Момент инерции диска или сплошного цилиндра (относительно оси,
1
проходящей вдоль цилиндра) массой m и радиуса R равен: I ц  m R 2 .
2
Момент инерции шара массой m и
2
радиуса
R
равен:
I

mR 2 .
Ш
О
5
Момент инерции стержня длиной l и
а
массой m (относительно оси, проходящей
перпендикулярно стержню через центр
1
тяжести) равен: I СТ  ml 2 .
12
Момент инерции относительно любой
О
оси вращения, не проходящей через центр
инерции (рис. 2), определяется теоремой
Рис. 2
Штейнера: момент инерции относительно
произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси,
параллельной данной и проходящей через центр инерции (тяжести) тела Ic, и
произведения массы тела на квадрат расстояния между осями ma2, т.е.
(3)
I  I c  ma 2 ,
где а – расстояние между осями.
Определение момента инерции тела может быть произведено разными
способами:
5
1.
Знание распределения массы и геометрических размеров тела
дают возможность использовать соотношение (2) для вычисления момента
инерции тела;
2.
Определение момента инерции тела относительно какой-либо
оси опытным путем в случае, когда аналитическое определение затруднено
из-за сложности формы тела или неоднородности распределения массы.
Экспериментальное определение моментов инерции тел основывается
на наблюдении того или иного вида вращения твердого тела вокруг
неподвижной оси, так как момент инерции – это характеристика инертности
тела при вращательном движении.
Можно назвать три способа определения момента инерции тел,
применяемых в технике: способ качаний, способ крутильных колебаний и
способ вращения при помощи падающего груза.
Рассмотрим способ крутильных колебаний. Существует две
разновидности технической реализации данного способа.
а) На упругой нити закрепляется сначала эталонное тело, момент
инерции которого известен. Тело, прикрепленное к нити, поворачивают на
некоторый угол и отпускают. За счет сил упругости в нити возникают
крутильные колебания, период которых зависит от момента инерции тела и
I
модуля кручения проволоки T  2
, где f – модуль кручения нити.
f
Затем на эту же нить закрепляется тело, момент инерции которого
неизвестен и определяется период крутильных колебаний. Сравнивая
периоды колебаний эталонного и испытуемого тела, определяют момент
инерции испытуемого тела.
б) Другая разновидность этого метода состоит в том, что к
испытуемому телу добавляется одно или несколько тел, моменты инерции
которых относительно центра тяжести известны. Тела укрепляются на
испытуемое тело на некотором расстоянии от оси вращения. Аналогично
сравниваются периоды колебаний испытуемого тела и тела вместе с
дополнительными телами. В данной лабораторной работе реализуется
именно этот вариант определения момента инерции испытуемого тела.
Пусть тело, момент инерции которого I0 нужно определить, закреплено
на упругой нити, являющейся осью вращения. Испытуемое тело имеет
приспособление (например, стержни), при помощи которого на нем можно
закрепить дополнительные грузы (например, шары).
Тело, совершающее крутильные колебания, колеблется с периодом
I
(5)
T0  2 0 .
f
При малых углах (порядка 8– 10) период колебания не зависит от
амплитуды.
6
Если изменить момент инерции тела, т.е. прикрепить на стержнях
шары на расстояниях а от оси вращения, то период колебаний изменится и
станет
I
(6)
T1  2 1 ,
f
где момент инерции тела с дополнительными грузами I1 будет равен сумме
моментов инерции тела I0 и дополнительных грузов I‫׳‬′ , т.е. I1  I 0  I  , а
модуль кручения нити останется неизменным
I  I
(7)
T1  2 0
.
f
Уравнения (5) и (7) возведем в квадрат и, разделив одно на другое,
получим:
T12 I   I 0
(8)

.
I0
T02
Отсюда находим момент инерции тела
T02
(9)
I0  I  2
.
T1  T02
Если в качестве дополнительного груза использовать два одинаковых
шара массой m и радиусом r, расположенных на расстоянии a симметрично
относительно оси маятника, то момент инерции I′ найдем по теореме
Штейнера.
2
(10)
I   m R2  m a2 .
5
Таким образом, момент инерции тела с закрепленной осью может быть
найден по формуле
T2 2

(11)
I0  2 0 2  m R2  m a2 
T1  T0  5

Эта формула позволяет определить момент инерции тела из
крутильных колебаний при условии справедливости теоремы Штейнера.
Чтобы убедиться в правильности теоремы Штейнера, проведем
следующие рассуждения.
Если менять расстояние шаров от оси вращения, то и период
колебаний тоже будет меняться согласно уравнению (7), т.е.
2
mR 2
I0 5
ma 2
(12)
T ( a )  2


f
f
f
I
2mR 2
Слагаемые
и 0 для данной установки и шаров – постоянные
5f
f
величины. Возведем в квадрат уравнение (12), получим
7
4 2 I 0 82 mR 2 42 ma 2
T (a)


f
5f
f
или
T2
4 2 
2
2
2 m 2
2
T ( a )  4
a 
 I 0  mR .
f
f 
5

y
Видим, что
T 2 ( a )  a 2  const ,
T 2
а2
(13)
O
x
где
Рис. 3
4 2 
2
2 m
2
  4
,
const 
 I 0  mR .
f
f 
5

Полученное уравнение есть уравнение прямой.
Если теорема Штейнера справедлива, то график зависимости Т2=f(a2)
y
должен быть прямой. Тангенс угла наклона (рис. 3) tgφ= , с другой
x
стороны, из уравнения (13)
4 2
(14)
tg  
m,
f
что дает возможность определить значение модуля кручения f.
Если полученную прямую продолжить, то прямая пересекает ось ординат в
точке a2=0, тогда из формулы (13)
2
O
2
1
4
2
3
3
T 2  ( T 2 )a0 
4 2  2

2
 mR  I 0 ,
f 5

Что позволяет рассчитать момент
инерции I0 крутильного маятника.
O
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ
УСТАНОВКА.
Рис. 4
В лабораторной работе используется крутильный маятник, схематично
изображенный на рисунке 4. Тело, момент инерции которого необходимо
определить имеет форму двух цилиндров разного диаметра (1) с двумя,
симметрично расположенными стержнями (2). Для изменения момента
инерции используются дополнительные грузы (шары) (3), которые могут
быть закреплены на стержнях на различных расстояниях от оси вращения.
Ось вращения маятника жестко связана с испытуемым телом и закреплена в
кронштейнах. Если тело повернуть относительно оси вращения на
некоторый угол и отпустить, возникнут крутильные колебания. Для
удерживания тела, повернутого на некоторый угол относительно оси
8
вращения, служит электромагнит (4). При выключении электромагнита
автоматически включается секундомер, необходимый
для определения
периода колебаний. Установка снабжена электронным секундомером (на
рисунке не показан).
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.
Вывести маятник из состояния равновесия поворотом
относительно оси вращения на небольшой угол и отпустить. Маятник будет
совершать крутильные колебания. Определить период Т0 маятника без
дополнительных грузов.
Для более точного определения периода
необходимо 3-5 раз измерить время t не менее 10 полных колебаний, а затем
определить период колебаний T = t / N.
2.
Измерить диаметр шаров штангенциркулем и найти их радиус r.
3.
Определить взвешиванием общую массу шаров m.
4.
Измерить диаметр D цилиндра, к которому прикреплены два
стержня. Это необходимо для того, чтобы определить расстояние центров
шаров от закрепленной оси крутильного маятника a.
5.
Установить дополнительные грузы (шары) на концах стержней и
определить период колебаний Т1.
6.
Последовательно передвигать шары на 2см к центру и
определить периоды Т2, Т3, Т4, Т5.
7.
Построить на миллиметровой бумаге график зависимости
2
2
Т =f(a ). Точка пересечения осей должна быть нулем на обеих осях.
Убедиться в справедливости теоремы Штейнера.
8.
Определить из графика модуль кручения подвеса. Для этого
нужно определить тангенс угла наклона и из формулы (14) определить f.
9.
Определить из графика момент инерции I0. Для этого
продолжить прямую, изображающую зависимость Т2=f(a2), до пересечения с
осью ординат и определить T 2 . Затем из формулы (15) найти I0.
10. Рассчитать I0 по формуле (11) и сравнить полученные значения.
11. Сделать вывод, сравнив значения момента инерции I0 крутильного
маятника, рассчитанного по формуле (11) и определенного с помощью
графика. В каком случае точность определения I0 больше и почему? Сделать
вывод о справедливости теоремы Штейнера.
ТАБЛИЦА НАБЛЮДЕНИЙ
а1
N=
t0
а1 2
t1(c)
а2
а22
t2 (c)
а3
а32
t3(с)
а4
а42
t4(с)
н/п
1
2
3
…
средн
9
а5
а52
t5(с)
Примечания
N=
m=
d=
r=
r2 =
D=
T0
T02
T1
T12
T2
T22
T3
T32
T4
T42
10
T5
T52
T 2 =
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Каков физический смысл момента инерции?
Что определяет теорема Штейнера?
Докажите теорему Штейнера.
Почему, если график зависимости Т2=f(a2) представляется отрезком
прямой линии, это означает, что теорема Штейнера справедлива?
5. Можно ли при помощи предложенного метода определить момент
инерции тела неправильной формы?
1.
2.
3.
4.
11
Учебное издание
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ИЗ КРУТИЛЬНЫХ
КОЛЕБАНИЙ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА
Методические указания к выполнению лабораторной работы М-08а
Составители: Надежда Степановна Кравченко
Нина Ивановна Гаврилина
Отпечатано в Издательстве ТПУ в полном соответствии
с качеством предоставленного оригинал-макета
Подписано к печати _____ ___ 2012. Формат 60х84/16. Бумага «Снегурочка».
Печать XEROX. Усл.печ.л. 9,01. Уч.-изд.л. 8,16.
Заказ . Тираж ____ экз.
Национальный исследовательский Томский
политехнический университет
Система менеджмента качества
Томского политехнического университета
сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту
ISO 9001:2008
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30
Тел./факс: 8(3822)56-35-35, www.tpu.ru
12