Распределения ущерба

Ãëàâà 2
Îñíîâû òåîðèèÐàñïðåäåëåíèÿ
óùåðáà
Ÿ1
Ââåäåíèå
1.1
Ñòðàõîâîå ìíîæåñòâî
Ñóììàðíîå êîëè÷åñòâî èñêîâ â îòäåëüíûé ïåðèîä âðåìåíè ïðåäñòàâëÿåò ôóíäàìåíòàëüíóþ âàæíîñòü äëÿ ïðàâèëüíîãî óïðàâëåíèÿ
ñòðàõîâîé êîìïàíèåé. Êëþ÷åâûì äîïóùåíèåì âî âñåõ ìîäåëÿõ, èçó÷àåìûõ çäåñü, ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïðåäúÿâëåíèÿ èñêà è âåëè÷èíó(ñóììó) èñêà ìîæíî èçó÷àòü îòäåëüíî. Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòü
ïðåäúÿâëåíèÿ èñêà âû÷èñëÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ íåêîòîðîé ïðîñòîé
ìîäåëüþ ñîáûòèé, ïîïàâøèõ â îïðåäåëåííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, è
çàòåì âåëè÷èíà èñêà âûáèðàåòñÿ èç ðàñïðåäåëåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ýòó
âåëè÷èíó.
1.2
Ñòàòèñòè÷åñêèé ôîí
Äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí ðÿä ñòàòèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ. Êîíå÷íàÿ öåëü ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû
îïèñàòü êîëåáàíèÿ âåëè÷èí èñêîâ ñ ïîìîùüþ íàõîæäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà, êîòîðîå â äîñòàòî÷íîé ìåðå îïèñûâàåò èñêè, èìåþùèåñÿ â
äåéñòâèòåëüíîñòè. Êàê ïðàâèëî, ýòî îñóùåñòâëÿåòñÿ â äâà ýòàïà.
Íà ïåðâîì ýòàïå, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî èñêè ïðîèñõîäÿò, êàê ðåàëèçàöèè èçâåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàïðèìåð, ìîæíî äîïóñòèòü, ÷òî
ëîãàðèôì âåëè÷èíû èñêà ñëåäóåò, â óìåðåííîì ïðèáëèæåíèè, íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñ èçâåñòíûì çíà÷åíèåì è èçâåñòíûì ñòàíäàðòíûì
îòêëîíåíèåì. Çàâåðøèâ ïðîöåññ íàõîæäåíèÿ âåëè÷èíû èñêà, ìû ìîãëè
34
áû ïåðåêëþ÷èòü ñâîå âíèìàíèå íà åãî ðåçóëüòàòû, íóæíûå â ñòðàõîâàíèè. Íàïðèìåð, èñêè âûøå îïðåäåëåííîãî óðîâíÿ ìîãóò èíèöèèðîâàòü
íåêîòîðûå ìåðû äëÿ ïåðåñòðàõîâàíèÿ, â òî âðåìÿ êàê èñêè íèæå îïðåäåëåííîãî óðîâíÿ ìîãóò áûòü íèêîãäà íå ïðåäúÿâëåíû, åñëè ôðàíøèçà
áóäåò â ñèëå.
Íà ïðàêòèêå æå, òî÷íîå ðàñïðåäåëåíèå, îïèñûâàþùåå èñêè, âðÿä ëè
êîãäà-íèáóäü ñòàíåò èçâåñòíî. Íà âòîðîì ýòàïå, òèïè÷íûì ìåòîäîì äåéñòâèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî èñêîâîå ðàñïðåäåëåíèå - ýòî ÷ëåí
íåêîòîðîãî ñåìåéñòâà. Ïàðàìåòðû ýòîãî ñåìåéñòâà äîëæíû áûòü îöåíåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì âåëè÷èíû èñêà, çàïèñàííîé ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùåãî ìåòîäà, òàêîãî êàê ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïðàâäà,
åñëè êðóïíûå èñêè áóäóò îãðàíè÷åíû (ïåðåñòðàõîâàíèå) èëè íåêîòîðûå
íåçíà÷èòåëüíûå èñêè íå áóäóò ïðåäúÿâëåíû (ôðàíøèçà), ïðè âû÷èñëåíèÿõ ìîãóò âîçíèêíóòü òðóäíîñòè. Ìîæíî ïðîâåñòè ìíîæåñòâî èññëåäîâàíèé õàðàêòåðà ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðîå èñïîëüçóåòñÿ, ÷òîáû îïèñàòü
ïåðåìåííóþ âåëè÷èíû èñêà. È îñíîâíûì çàêëþ÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî
ó èñêîâûõ ðàñïðåäåëåíèé èìååòñÿ òåíäåíöèÿ áûòü ñîâåðøåííî àñèììåòðè÷íûìè è ñ "òÿæåëûìè õâîñòàìè".
1.3
Ïðèáëèçèòåëüíàÿ îöåíêà è êðèòåðèé ñîãëàñèÿ
Ìåòîäû ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, ìîìåíòîâ è ïðîöåíòèëåé ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ â ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàñïðåäåëåíèÿõ äëÿ ìíîæåñòâà
ðàçíûõ âèäîâ èíôîðìàöèè. Ïðèåìëåìîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî ïðîâåðèòü ôîðìàëüíî, èñïîëüçóÿ êðèòåðèé χ2 . Ìåòîä ïðîöåíòèëåé îïèñûâàåòñÿ â ñåêöèè 2.3; äðóãèå ìåòîäû è êðèòåðèé χ2 ñîäåðæàòñÿ â òåìå C1.
Ôîðìóëÿð äëÿ ïëîòíîñòåé, ìîìåíòîâ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé (åñëè îíè
ñóùåñòâóþò) äëÿ ðàñïðåäåëåíèé, îáñóæäàåìûõ â ýòîé ÷àñòè, ïðèâîäèòñÿ
â Ôîðìóëÿðå è òàáëèöàõ äëÿ àêòóàðíûõ èññëåäîâàíèé.
Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ, åñëè
F (x) = 1 − e−λx
è, ìîæíî çàïèñàòü, X ∼ exp(λ).
Äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðà ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ (ÌÌÏ) èëè ìåòîä ìîìåíòîâ.
35
Ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè
α è λ, åñëè
α
λ
F (x) = 1 −
λ+x
è, ìîæíî çàïèñàòü, X ∼ P a(α, λ).
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè
αλα
f (x) =
, x > 0, α > 0, λ > 0.
(λ + x)α+1
Ìåòîä ìîìåíòîâ î÷åíü ëåãêî ïðèìåíèòü â ñëó÷àå Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèé,
íî îöåíêè, ïîëó÷åííûå òàêèì ñïîñîáîì, áóäóò ñîäåðæàòü äîâîëüíî ìíîãî
ñòàíäàðòíûõ îøèáîê, ãëàâíûì îáðàçîì èç-çà S 2 , âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè,
èìåþùåé î÷åíü áîëüøîå îòêëîíåíèå. Îäíàêî, ýòîò ìåòîä îáåñïå÷èâàåò
íà÷àëüíûå îöåíêè äëÿ äàëüíåéøåãî èñïîëüçîâàíèÿ áîëåå ýôôåêòèâíûõ
ìåòîäîâ, êîòîðûå íå òàê ïðîñòû â ïðèìåíåíèè. Íàïðèìåð, ÌÌÏ, ãäå äëÿ
ðåøåíèÿ ìîãóò ïîíàäîáèòüñÿ ÷èñëåííûå ìåòîäû.
Ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà
Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèå ýòî ðàñïðåäåëåíèå ñ âåðõíåé õâîñòîâîé ÷àñòüþ, êîòîðàÿ ñòðåìèòñÿ ê 0, êàê ñòåïåíü x. Ýòî äàåò ðàñïðåäåëåíèå ñ
áîëåå òÿæåëîé õâîñòîâîé ÷àñòüþ, ÷åì ýêñïîíåíöèàëüíîå. Âûðàæåíèÿ äëÿ
âåðõíèõ õâîñòîâ ýêñïîíåíöèàëüíîãî è Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèé òàêîâû
ýêñïîíåíöèàëüíîå
P (X > x) = exp(−λx)
Ïàðåòî
P (X > x) = (λ/(λ + x))α .
Âîñïîëüçóåìñÿ äîïîëíèòåëüíîé âîçìîæíîñòüþ. Ïîëîæèì
P (X > x) = exp(−λxγ ), γ > 0.
Çäåñü ó íàñ åñòü äâà ñëó÷àÿ. Åñëè γ < 1, òî ïîëó÷àåì ðàñïðåäåëåíèå
ñ õâîñòîâîé ÷àñòüþ, èìåþùåé ïðîìåæóòî÷íûé âåñ ìåæäó ýêñïîíåíöèàëüíûì è Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèÿìè, åñëè γ > 1, âåðõíÿÿ õâîñòîâàÿ ÷àñòü
áóäåò ëåã÷å, ÷åì ó ýêñïîíåíöèàëüíîãî (äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ γ = 1). Ðàñïðåäåëåíèå õâîñòîâîé ÷àñòè îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå
Âåéáóëëà, î÷åíü ãèáêîå ðàñïðåäåëåíèå, êîòîðîå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî êàê ìîäåëü äëÿ óùåðáà â ñòðàõîâàíèè, îáû÷íî ñ γ < 1. Ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà X èìååò ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà ñ ïàðàìåòðàìè ñ è γ , åñëè
F (x) = 1 − exp(−cxγ )
36
è ìîæíî çàïèñàòü, ÷òî X ∼ W (c, γ). (Çàìåòèì, ÷òî èçìåíåíèÿ îò γ ê c
îïèñàíû â Òàáëèöàõ äëÿ àêòóàðíûõ èññëåäîâàíèé ). Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè
äëÿ W (c, γ)
f (x) = cγxγ−1 exp(−cxγ ), x > 0, c > 0, γ > 0.
Íè ìåòîä ìîìåíòîâ, íè ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ íå ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ, åñëè c è γ íå èçâåñòíû (õîòÿ íà ïðàêòèêå, åñëè åñòü
êîìïüþòåð, ýòè óðàâíåíèÿ äîâîëüíî ëåãêî ðåøàåìû).  ñëó÷àå, êîãäà γ
ýòî èçâåñòíàÿ âåëè÷èíà γ ∗ , òî äîñòàòî÷íî ïðîñòûì îêàæåòñÿ ìåòîä
ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ W (c, γ) ýòî ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ, è íà
ýòîì ôàêòå ìîæåò áàçèðîâàòüñÿ ïðîñòîé ìåòîä îöåíêè äëÿ c è γ . Ìåòîä îñíîâàí íà ïðèðàâíèâàíèè ïîäîáðàííûõ âûáîðî÷íûõ ïðîöåíòèëåé
ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàïðèìåð, ïðèðàâíèâàíèå êâàðòèëåé, 25-îãî
è 75-îãî ïðîöåíòèëåé, ê ïîïóëÿöèîííûì êâàðòèëÿì. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò
ñïîñîáó, â êîòîðîì âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ïðèðàâíèâàþòñÿ ê ïîïóëÿöèîííûì ìîìåíòàì â ìåòîäå ïðîöåíòèëåé.
Ïåðâûå äâà ìîìåíòà (â ìåòîäå ìîìåíòîâ) èñïîëüçóþòñÿ, åñëè åñòü
äâà íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðà, ýòî èíòóèòèâíî êàæåòñÿ î÷åâèäíûì (õîòÿ
òåîðåòè÷åñêèé áàçèñ äëÿ ýòîãî íå òàê ïðîñò). Àíàëîãè÷íî ìîãëà áû áûòü
èñïîëüçîâàíà ìåäèàíà, åñëè áû áûë òîëüêî îäèí ïàðàìåòð äëÿ îöåíêè.
Ñ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè, îïòèìàëüíàÿ ïðîöåäóðà ìåíåå ïðîñòà, íî ïîíèæåííûå è ïîâûøåííûå êâàðòèëè êàæóòñÿ âïîëíå ðàçóìíûì âûáîðîì.
Ï ð è ì å ð 2.1
Îöåíèòü ñ è
γ
â ðàñïðåäåëåíèè Âåéáóëëà, èñïîëüçóÿ ìåòîä
ïðîöåíòèëåé, ãäå ïåðâûé âûáîðî÷íûé êâàðòèëü ðàâåí 401 è òðåòèé êâàðòèëü
ðàâåí 2836.75.
Ðåøåíèå
Óðàâíåíèÿ äëÿ ñ è
γ
F (401) = 1 − exp(−c ∗ 401γ ) = 0.25
F (2836.75) = 1 − exp(−c ∗ 2836.75γ ) = 0.75,
êîòîðûå ìîãóò áûòü ïåðåïèñàíû â âèäå
−c ∗ 401γ = log(3/4)
è
−c ∗ 2836.75γ = log(1/4)
Äåëèì îäíî óðàâíåíèå íà äðóãîå è ïîëó÷àåì, ÷òî
e
c = 0.002326,
ãäå
∼
γ
e = 0.8038,
ñëåäîâàòåëüíî
îçíà÷àåò ïðîöåíòèëüíóþ îöåíêó. Çàìåòèì, ÷òî
γ
e<1
äàåò
áîëåå òÿæåëóþ õâîñòîâóþ ÷àñòü, ÷åì ó ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
37
Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå
Ñëó÷àéíàÿ ïåðåìåííàÿ X èìååò ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè
α è λ, åñëè
λα Γ(α) α−1
exp(−λx), x > 0
x
è ìîæíî çàïèñàòü, ÷òî X ∼ G(α, λ). Ñðåäíåå çíà÷åíèå è âàðèàöèÿ X
f (x) =
α
α
; V ar(X) = 2
λ
λ
Ìîìåíòû èìåþò ïðîñòóþ ôîðìó, ïîýòîìó ìåòîä ìîìåíòîâ ëåãêî ïðèìåíèì. Îöåíêè ÌÌÏ äëÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ íå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû
â êîíå÷íîé ôîðìå (â òåðìèíàõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé), íî ýòè îöåíêè
ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ, êàê èñõîäíûå â ïîèñêå ÌÌÏ-îöåíîê.
Áîëåå óäîáíî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÌÌÏ-îöåíîê ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷íóþ ïàðàìåòðèçàöèþ. Ïîëîæèì µ = α/λ è îöåíèì
e=α
ïàðàìåòðû α è µ. Çàòåì âîññòàíîâèì ÌÌÏ-îöåíêó λ, ïîëîæèâ λ
e/e
µ.
Çäåñü ìû èñïîëüçóåì ñâîéñòâî ïîñòîÿíñòâà ÌÌÏ-îöåíîê.
E(X) =
Ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
Îïðåäåëåíèå ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ î÷åíü ïðîñòîå: X èìååò
ëîãíîðîìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, åñëè log X èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Êîãäà log X ∼ N (µ, σ 2 ), X ∼ LogN (µ, σ 2 ).
Îöåíêà ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé äî òåõ ïîð,
ïîêà µ è σ 2 ìîãóò áûòü îöåíåíû ñ ïîìîùüþ ëîãîðèôìà ïðåîáðàçîâàííîé
èíôîðìàöèè. Ïóñòü x1 , x2 , . . . , xn áóäóò íàáëþäàåìûìè ïåðåìåííûìè è
ïóñòü yi = log xi . Îöåíêè µ è σ 2 â ÌÌÏ ýòî y è s2y , ãäå íèæíèé èíäåêñ
y îáîçíà÷àåò âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ, âû÷èñëåííóþ íà çíà÷åíèÿõ y .
Ñìåøàííûå ðàñïðåäåëåíèÿ
Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ýòî îäíà èç ïðîñòåéøèõ ìîäåëåé
äëÿ ñòðàõîâûõ ïîòåðü. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäûé èíäèâèäóàëüíûé èñê
â áîëüøîì ñòðàõîâîì ïîðòôåëå òåðïèò óáûòêè â ñîîòâåòñòâèè ñ ýêñïîíåíöèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Ïðàêòè÷åñêîå èçó÷åíèå ôàêòè÷åñêè ëþáîãî ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî çíà÷åíèÿ ýòèõ ðàçëè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé áóäóò îòëè÷àòüñÿ ñðåäè äåðæàòåëåé ïîëèñîâ. Òàêèì îáðàçîì, îïèñàíèå óùåðáîâ äëÿ âñåãî ïîðòôåëÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî êàæäûé
îòäåëüíûé óùåðá ñëåäóåò ñîáñòâåííîìó ýêñïîíåíöèàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ, òàê êàê çíà÷åíèÿ ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé ðàçëè÷íû.
38
Ñåé÷àñ áóäåì èñêàòü îïèñàíèå îòêëîíåíèÿ îòäåëüíûõ ñðåäíèõ çíà÷åíèé. Îäèí èç ñïîñîáîâ ýòî ñäåëàòü ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ýêñïîíåíöèàëû ýòèõ çíà÷åíèé ñëåäóþò ðàñïðåäåëåíèþ.  ýêñïîíåíöèàëüíîì ñëó÷àå,
óäîáíî ñäåëàòü ñëåäóþùåå ïðåäïîëîæåíèå. Ïóñòü λi = 1/θi îïèñûâàåò
âçàèìîäåéñòâèå ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì óùåðáà äëÿ i-îãî äåðæàòåëÿ ïîëèñà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âàðèàöèÿ äëÿ λi ìîæåò áûòü îïèñàíà èçâåñòíûì
ãàììà-ðàñïðåäåëåíèåì G(α, δ), òî åñòü ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ ∼ G(α, δ),
ãäå
δ α α−1
λ
exp(−δλ), λ > 0.
f (λ) =
Γ(α)
Îñîáî çàìåòèì, ÷òî ýòî ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè λ ñ èçâåñòíûìè çíà÷åíèÿìè α è δ .
Òàêàÿ ôîðìóëèðîâêà èìååò ìíîãî îáùåãî ñ òåì, ÷òî èñïîëüçóåòñÿ â
îöåíêå Áàéåca. Äåéñòâèòåëüíî, ôóíäàìåíòàëüíàÿ èäåÿ ýòîé îöåíêè ñîñòîèò â òîì, ÷òî èíòåðåñóþùèé ïàðàìåòð (çäåñü, λ)ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ èçâåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Çàìåòèì,
îäíàêî, ÷òî öåëüþ çäåñü ÿâëÿåòñÿ íå îöåíèòü îòäåëüíîå λi , à îïèñàòü ñîâîêóïíîñòü óùåðáà äëÿ âñåãî ïîðòôåëÿ. Îòäåëüíîå λi ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî ñ ïîìîùüþ áàéåñîâñêîé îöåíêè, êîãäà ê G(α, δ) ðàñïðåäåëåíèþ
ìîæíî áûëî áû îòíîñèòüñÿ, êàê ê îñíîâíîìó ðàñïðåäåëåíèþ.  çàäà÷å
îïèñàíèÿ óùåðáà äëÿ âñåãî ïîðòôåëÿ, G(α, δ) ðàñïðåäåëåíèå èñïîëüçóåòñÿ, ÷òîáû óñðåäíèòü ýêñïîíåíöèàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ; ê íåìó îòíîñÿòñÿ,
êàê ê ñìåøèâàþùåìó ðàñïðåäåëåíèþ, è , ñëåäîâàòåëüíî, â òàêèõ ñëó÷àÿõ
ðàñïðåäåëåíèå óùåðáà íàçûâàþò ñìåøàííûì.
Ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå X
Z
fX (x) = fX,λ (x, λ)dλ
Z
=
=
∞
δ α α−1
λ
exp(−δλ) × λ exp(−λx))dλ
Γ(α)
0
Z ∞
δα
=
λα exp{−(x + δ)λ}dλ
Γ(α) 0
Z
=
fλ (λ)fX|λ (x | λ)dλ
δα
Γ(α + 1)
×
(G(α + 1, x + δ) − èíòåãðàë)
Γ(α) (x + δ)α+1
=
αδ α
,
(x + δ)α+1
39
x>0
÷òî ÿâëÿåòñÿ Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèåì P a(α, δ). Òàêîé ðåçóëüòàò äàåò
î÷åíü õîðîøóþ èíòåðïðåòàöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî: P a(α, δ) âîçíèêàåò, êîãäà ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííûå óùåðáû óñðåäíÿþòñÿ G(α, δ)ñìåøèâàþùèì ðàñïðåäåëåíèåì.
Îáîáùåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî
Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî P a(α, λ)
F (x) = 1 −
λα
(λ + x)α
Äîïîëíèòåëüíûé ïàðàìåòð γ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí òàêèì îáðàçîì:
F (x) = 1 −
λα
(λ + xγ )α
Òàêàÿ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ïðåîáðàçóåò ðàñïðåäåëåíèÿ Áóððà è Ïàðåòî. Äîïîëíèòåëüíûé ïàðàìåòð äàåò îñîáóþ ãèáêîñòü, êîãäà òðåáóåòñÿ
ïîäñòðîèòñÿ ê èìåþùåéñÿ èíôîðìàöèè. Ñ òîãî ìîìåíòà, êàê ìû ïîëó÷èì
ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ â êîíå÷íîì âèäå, ñòàíåò âîçìîæíûì ïðèáëèçèòü ðàñïðåäåëåíèå Áóððà ê èìåþùåéñÿ èíôîðìàöèè, èñïîëüçóÿ ìåòîäû
ïðîöåíòèëåé. ÌÌÏ îáû÷íî òðåáóåò èñïîëüçîâàíèÿ êîìïüþòåðíûõ ïðîãðàìì, êîòîðûå ïîçâîëÿþò íåëèíåéíóþ îïòèìèçàöèþ.
Âòîðîå îáîáùåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî çàäåéñòâóþò èäåþ ñìåøàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, îáñóæäåííîãî ðàíåå. Åñëè óùåðáû ýòî ýêñïîíåíöèàëû ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì 1/λ, è λ ∼ G(α, δ), òîãäà ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå óùåðáîâ ýòî P a(α, δ). Ìîæíî ñäåëàòü îáîáùåíèå, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïîòåðè ýòî G(k, λ) è λ ∼ G(α, δ).  ÷àñòíîì ñëó÷àå,
åñëè k = 1, òî P a(α, δ) ðàñïðåäåëåíèå ïîëó÷åíî òàêæå, êàê è ðàíåå
Z
fX (x) = fλ (λ)fX|λ (x | λ)dλ
=
∞
λk
δ α α−1
λ
exp(−δλ) × ( xk−1 exp(−λx))dλ
Γ(α)
Γ k)
0
α k−1 Z ∞
δ x
λα+k−1 exp{−(x + δ)λ}dλ
=
Γ(α)Γ(k) 0
Z
=
Γ(α + k)δ α
xk−1
,
Γ(α)Γ(k) (x + δ)α+k
x > 0,
ãäå êîíå÷íûé èíòåãðàë âû÷èñëÿåòñÿ îò G(α + k, δ + x) èíòåãðèðóåìîé
ôóíêöèè. À, çíà÷èò, ìû íàøëè ôóíêöèþ ïëîòíîñòè îáîáùåííîãî Ïàðåòîðàñïðåäåëåíèÿ.
40
Ìîìåíòû îáîáùåííîãî Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèÿ
ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû
R
ëèáî íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì xf (x)dx, ëèáî èñïîëüçîâàíèåì
óñëîâíîãî àðãóìåíòà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. ×òî êàñàåòñÿ îöåíêè,
òàê êàê ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ íå îïðåäåëåíà, òî ìåòîä ïðîöåíòèëåé èñïîëüçîâàòü íåëüçÿ. ÌÌÏ ìîæåò áûòü ïðèìåíåí, íî, îïÿòü
æå, íåîáõîäèìî ïîäõîäÿùåå ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå; ìåòîä ìîìåíòîâ
ìîæåò îáåñïå÷èòü íà÷àëüíûå îöåíêè äëÿ ëþáîé èòåðàöèîííîé ñõåìû.
41
Ÿ2
Ôîðìóëû
Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå
fX (x) =
λα α−1 −λx
x e ,
Γ(α)
x>0
Ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
fX (x) =
1 log x − µ 2
) ],
exp[− (
2
σ
xσ 2π
1
√
x>0
Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèå
fX (x) =
αλα
,
(λ + x)α+1
fX (x) =
x>0
Γ(α + k)λα xk−1
,
Γ(α)Γ(k)(λ + x)α+k
äëÿ äâóõ ïàðàìåòðîâ
x>0
îáùèé âèä
Ðàñïðåäåëåíèå Áóððà
fX (x) =
αγλα xγ−1
,
(λ + xγ )α+1
x>0
Èñêîâàÿ ÷àñòîòà
Èñêîâàÿ ÷àñòîòà =
êîëè÷åñòâî èñêîâ
ñðåäíåå êîëè÷åñòâî ïîëèñîâ
Ðèñêîâàÿ ïðåìèÿ
Ðèñêîâàÿ ïðåìèÿ=Îæèäàåìàÿ ÷àñòîòà èñêà×Ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà èñêà
42
Ÿ3
Âîïðîñû ñòóäåíòàì
Â1 Ïî÷åìó ðàññìàòðèâàåìûå ðàñïðåäåëåíèÿ íàçûâàþòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿìè "óùåðáîâ à íå "èñêîâ"?
O1
Óùåðá ýòî ïîëíàÿ ñòîèìîñòü âîññòàíîâëåíèÿ óùåðáà, òîãäà êàê
èñêîâàÿ âåëè÷èíà ýòî òîëüêî äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà îïëà÷èâàåìîé ñóììû.  ñëåäóþùåé ÷àñòè ìû óâèäèì, ÷òî ñòðàõîâùèê íå
âñåãäà îáÿçàí âîçìåùàòü âñå ïîòåðè, íàïðèìåð, åñëè ïðèìåíÿåòñÿ ôðàíøèçà, åñëè óùåðá ïðåâûøàåò ñóììó, óêàçàííóþ â ïîëèñå
èëè åñëè èñïîëüçîâàëîñü åùå êàêîå-ëèáî ñòðàõîâàíèå è ñòîèìîñòü
ðàçäåëåíà. Ïîýòîìó âåëè÷èíà óùåðáà è âåëè÷èíà èñêà íå âñåãäà
îäèíàêîâû.
Â2 Âñå ëè îñíîâíûå ñòðàõîâûå èñêè îïëà÷èâàþòñÿ íà îñíîâå
êîìïåíñàöèè óùåðáà?
Î2
Ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî äà. Îäíàêî, åñòü íåñêîëüêî ñèòóàöèé,
êîãäà äåëî îáñòîèò èíà÷å. Íàïðèìåð:
•  ñòðàõîâàíèè èìóùåñòâà, ïîêðûòèå ìîæåò îáåñïå÷èâàòüñÿ íà îñíîâå ñèñòåìû íîâîå-çà-ñòàðîå, êîòîðàÿ îçíà÷àåò,
÷òî âñå ïðåäìåòû áóäóò çàìåíåíû íîâûìè ýêâèâàëåíòàìè(ïðåâûøàþùèìè ñòîèìîñòü ñòàðûõ ïðåäìåòîâ, êîòîðûå
áûëè óòåðÿíû, óêðàäåíû èëè ïîâðåæäåíû).
•  ñòðàõîâàíèè îò íåñ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ âûïëà÷èâàþòñÿ çàðàíåå
çàäàííûå ñóììû, åñëè çàñòðàõîâàííûé ÷åëîâåê ïîëó÷èë îïðåäåëåííûå òðàâìû, íàïðèìåð, ïîòåðþ êîíå÷íîñòè èëè ãëàçà.
• Òðàâìèðîâàííûå ëþäè ìîãóò ïîëó÷èòü êîìïåíñàöèîííûå âûïëàòû, ïðåâûøàþùèå èõ äåéñòâèòåëüíûþ ìàòåðèàëüíóþ ñòîèìîñòü.
Â3 Âåðíî ëè, ÷òî, åñëè äèñïåðñèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè, òî àñèììåòðèÿ òàêæå áóäåò áåñêîíå÷íîé?
O3
Äà. Äëÿ òèïîâ ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáîâ, êîòîðûå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü, îáíàðóæèòñÿ, ÷òî, êîãäà ìû ìåíÿåì ïàðàìåòðû, âûñøèå ìîìåíòû áóäóò "èäòè" âïåðåäè, òî åñòü ñíà÷àëà àñèììåòðèÿ ñòàíåò
áåñêîíå÷íîé, çàòåì äèñïåðñèÿ, çàòåì ñðåäíåå çíà÷åíèå.
Â4 Åñòü ëè ñìûñë â òîì, ÷òîáû ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå áûëî
áîëüøå, ÷åì ñðåäíåå çíà÷åíèå?
43
O4
Äà. Ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå ìû ðàññìàòðèâàåì çäåñü, î÷åíü íåñèììåòðè÷íûå, è íåò ïðè÷èí, ïî êîòîðûì ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå íå
ìîãëî áû áûòü áîëüøå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ.
Â5 Äîëæíû ëè ìû ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå ðåàëüíûå ïåðèîäû
âîçäåéñòâèÿ íà ïðèìåðå ÷àñòîòû èñêà?
O5
Äà. ×òîáû íå óñëîæíÿòü ñèòóàöèþ, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðîôèëü äåðæàòåëÿ ïîëèñà îñòàíåòñÿ ïîñòîÿííûì íà ïðîòÿæåíèè âñåãî ïåðèîäà.
Â6 Êàê ñèëüíî îòëè÷àþòñÿ ïðåìèè, ðåàëüíî ïðèñóòñòâóþùèå â
îáùåì ñòðàõîâàíèè, ñ òåîðåòè÷åñêîé çíà÷åíèåì ïðåìèè?
O6
3.1
Íà ïðàêòèêå, îáùèå ñòðàõîâûå ïðåìèè íàõîäÿòñÿ ïîä ñèëüíûì âëèÿíèåì êîíêóðåíòíîãî äàâëåíèÿ äðóãèõ êîìïàíèé. È äåéñòâèòåëüíûå ïðåìèè ìîãóò çíà÷èòåëüíî îòëè÷àòüñÿ îò òåîðåòè÷åñêèõ ïðåìèé. Òåì íå ìåíåå, âàæíî, ÷òî ñòðàõîâàòåëè îñîçíàþò, êàê ðåàëüíûå ïðåìèè ñîïîñòàâëÿþòñÿ ñ òåîðåòè÷åñêèìè, ïîýòîìó îíè ìîãóò
ðàçäåëÿòü óùåðáû ïî îáëàñòÿì.
Ïîäñêàçêè äëÿ îòâåòîâ íà âîïðîñû
1. Âîïðîñû ê ýòîé òåìå îáû÷íî î÷åíü ïðîñòûå. Îäíàêî, âàì íóæíî ñ
ëåãêîñòüþ óìåòü èíòåãðèðîâàòü ñòàíäàðòíûå ôóíêöèè, èíòåãðèðîâàòü ïî ÷àñòÿì èëè ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííûõ.
2. Ïàðàìåòðû, èñïîëüçóåìûå â Ïàðåòî, Áóððà è Âåéáóëëà ðàñïðåäåëåíèÿõ, íå ÿâëÿþòñÿ ñòàíäàðòíûìè. Ïîýòîìó âîçüìèòå íà çàìåòêó êîíêðåòíûå ôóíêöèè ïëîòíîñòè, êîòîðûå çàäàíû â çàäà÷àõ, èñïîëüçóþùèõ ýòè ðàñïðåäåëåíèÿ.
44
Ÿ4
Îòâåòû íà âîïðîñû äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè
Ðåøåíèå 1.1
Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè äëÿ N (0, 1)-ðàñïðåäåëåíèÿ f (x) =
ãäà ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ:
M (t) = E(etX ) =
Z∞
−∞
1
2
etX √ e−1/2x =
2π
1/2t2
Z∞
=e
−∞
Z∞
−∞
2
√1 e−1/2x .
2π
Òî-
1
2
√ e−1/2(x −2tx) dx
2π
1
2
√ e−1/2(x−t) dx
2π
Íî ïîñëåäíèé èíòåãðàë ýòî èíòåãðàë ïî âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ N (t, 1), è ïîòîìó îí ðàâåí 1. Òîãäà ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà
2
e1/2t .
Ðåøåíèå 1.2
Åñëè X èìååò LogGamma(α, λ) ðàñïðåäåëåíèå, òî Y = log X èìååò Gamma(α, λ) ðàñïðåäåëåíèå. Òîãäà, èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ ïëîòíîñòè
Gamma(α, λ) ðàñïðåäåëåíèÿ, íàéäåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âåëè÷èíû èñêà:
Z∞
λα α−1 −λy
Y
y e dy
E(X) = E(e ) = ey
Γ(α)
0
Ïðîñòåéøèé ñïîñîá âû÷èñëèòü ýòîò èíòåãðàë ýòî ïîäîáðàòü êîíñòàíòû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñäåëàòü åãî ïîõîæèì íà äðóãîå ãàììàðàñïðåäåëåíèå (â äàííîì ñëó÷àå, Gamma(α, λ − 1)-ðàñïðåäåëåíèå). ×òî
äàåò (îáåñïå÷èâàÿ λ > 1):
λα
E(X) =
(λ − 1)α
Z∞
(λ − 1)α α−1 −(λ−1)y
y e
dy
Γ(α)
0
λ
=
λ−1
α
λ
P [0 < Gamma(α, λ − 1) < ∞] =
λ−1
α
(Çàìåòèì, ÷òî âû ìîæåòå ïðèìåíÿòü ýòó ôîðìóëó äëÿ íàõîæäåíèÿ
ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ëîãíîðìàëüíîãî è ëîããàììà-ðàñïðåäåëåíèé, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùèé ìåòîä:
45
Åñëè X èìååò LogN (µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèå, òî, ïî îïðåäåëåíèþ, Y =
log X èìååò N (µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèå. Òîãäà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó
äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:
1
E(X) = E(eY ) = MY (1) = eµ+ 2 σ
2
Àíàëîãè÷íî, åñëè X èìååò LogGamma(α, λ) ðàñïðåäåëåíèå, òî, ïî îïðåäåëåíèþ, Y = log X èìååò Gamma(α, λ) ðàñïðåäåëåíèå:
E(X) = E(eY ) = MY (1) = (1 − 1/λ)−α
Õîòÿ ýòîò ìåòîä êàæåòñÿ äîâîëüíî êðàòêèì, îí íå ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ â êà÷åñòâå äîêàçàòåëüñòâà îñíîâíûõ ïðèíöèïîâ, òàê êàê ïðåäïîëàãàåò èçâåñòíîé ôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ.)
Ðåøåíèå 1.3
R∞
Ñðåäíåå çíà÷åíèå Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèÿ:
xαλα (λ + x)−α−1 dx
0
Ñóùåñòâóþò äâà âîçìîæíûõ ñïîñîáà âû÷èñëåíèÿ ýòîãî èíòåãðàëà:
(à)
Âîñïîëüçóåìñÿ çàìåíîé t = λ + x:
Z∞
−α−1
α
xαλ (λ + x)
Z∞
dx = (t − λ)αλα t−α−1 dx
0
λ
= αλ
α
Z∞
−α
t
dt − αλ
α+1
λ
= αλ
α
Z∞
t−α−1 dt
λ
−α+1
t
−α + 1
∞
− αλ
λ
α+1
t−α
−α
∞
λ
αλ
−λ
α−1
λ
=
α−1
Ýòè âû÷èñëåíèÿ âîçìîæíû òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà èíòåãðàë
ñõîäèòñÿ íà áåñêîíå÷íîñòè. Òàêîå óñëîâèå òðåáóåò, ÷òîáû âûðàæåíèÿ, íàõîäÿùèåñÿ â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ áûëè îòðèöàòåëüíû, ÷òî
áóäåò âûïîëíÿòñÿ ïðè α > 1.
=
46
(á)
Çàïèøåì íà÷àëüíîå x â èíòåãðàëå, êàê (λ + x) − λ è ðàçîáüåì åãî íà
äâà èíòåãðàëà, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàñïðåäåëåíèþ Ïàðåòî:
Z∞
Z∞
xαλα (λ + x)−α−1 dx = [(λ + x) − λ]αλα (λ + x)−α−1 dx
0
0
αλ
α−1
Z∞
Z∞
α−1
−α
(α − 1)λ (λ + x) dx − λ αλα (λ + x)−α−1 dx
0
0
αλ
P [0 < P areto(α − 1, λ) < ∞] − λP [0 < P areto(α, λ) < ∞]
α−1
αλ
=
−λ
α−1
λ
=
α−1
Êàê àëüòåðíàòèâíûé âàðèàíò âû ìîæåòå èñïîëüçîâàòü èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì, èëè çàïèñàòü ýòîò èíòåãðàë, êàê ôóíêöèþ ïëîòíîñòè îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî.
Ðåøåíèå 1.4
Ôîðìóëà, äàííàÿ â Òàáëèöàõ äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
Áóððà:
λ1/γ Γ(α − 1/γ)Γ(1 + 1/γ)
Γ(α)
Êîãäà γ = 1, ïîëó÷àåì:
λΓ(α − 1) × 1
λ
λΓ(α − 1)Γ(2)
=
=
,
Γ(α)
(α − 1)Γ(α − 1)
α−1
÷òî ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëîé äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî.
Ðåøåíèå 1.5
Ñðåäíåå çíà÷åíèå ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà:
Z∞
E(X) =
γ
xcγxγ−1 e−cx dx
0
47
Ïîäñòàâëÿÿ u = cxγ , ïîëó÷àåì, ÷òî
Z∞
E(X) =
xe
−u
= cγxγ−1 , è, â èòîãå:
du
dx
Z∞ h i1/γ
u
e−u du
du =
c
0
0
Ïîïðîáóåì ïðåäñòàâèòü ýòîò èíòåãðàë â âèäå ôóíêöèè ïëîòíîñòè äëÿ
Gamma(1 + 1/γ, 1) ðàñïðåäåëåíèÿ:
E(X) = c−1/γ Γ(1 + 1/γ)
Z∞
1
u1/γ e−u du
Γ(1 + 1/γ)
0
Γ(1 + 1/γ)
Γ(1 + 1/γ)
P [0 < Gamma(1 + 1/γ, 1) < ∞] =
1/γ
c
c1/γ
Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ôîðìóëå, ïðèâåäåííîé â Òàáëèöàõ, äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà.
=
Ðåøåíèå 1.6
Ôîðìóëà äëÿ äèñïåðñèè ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà, äàííàÿ â Òàáëèöàõ :
2
Γ(1 + 1/γ)
Γ(1 + 2/γ)
−
c2/γ
c1/γ
Ïðè γ = 1:
2
2
Γ(3)
Γ(2)
2
1
1
−
= 2−
= 2,
2
c
c
c
c
c
÷òî ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëîé äèñïåðñèè ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ
λ = c.
Ðåøåíèå 1.7
Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà:
Zx
FX (x) =
γ
cγxγ−1 e−cxγ dx = −e−cxγ 0x = 1 − e−cx
0
Òîãäà:
1.5
= 1 − 0.0291 = 0.9709
1.5
= 1 − 0.2865 = 0.7135
FX (5000) = 1 − e−0.00001×5000
FX (2500) = 1 − e−0.00001×2500
Ïîëó÷àåì òðåáóåìóþ âåðîÿòíîñòü: FX (5000) − FX (2500) = 0.9709 −
0.7135 = 0.2574
48
Ðåøåíèå 1.8
Ïðè k = 2 ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî:
fX (x) =
Γ(α + 2) α
λ x(λ + x)−α−2 = (α + 1)αλα x(λ + x)−α−2
Γ(α)Γ(2)
Âîñïîëüçóåìñÿ ïîäñòàíîâêîé t = λ + x è çàïèøåì âåðîÿòíîñòü èñêà, ïðåâûøàþùåãî M :
Z∞
P (X > M ) = (α + 1)αλα x(λ + x)−α−2 dx
M
Z∞
=
(α + 1)αλα (t − λ)t−α−2 dt
λ+M
Z∞
= (α + 1)αλα
t−α−1 dt − (α + 1)αλα+1
λ+M
Z∞
t−α−2 dt
λ+M
−α−1 ∞
−α ∞
t
α+1
α t
− (α + 1)αλ
= (α + 1)αλ
−α λ+M
−α − 1 λ+M
α
α+1
λ
λ
= (α + 1)
−α
λ+M
λ+M
Ïîäñòàâëÿÿ α = 5, λ = 200 è M = 300 ïîëó÷àåì èñêîìóþ âåðîÿòíîñòü:
λ
(α + 1)
λ+M
α
λ
−α
λ+M
α+1
200
=6
200 + 300
5
200
−5
200 + 300
6
= 6 × 0.45 − 5 × 0.46 = 0.041,
òî åñòü 4.1% èñêîâ áóäóò ïðåâûøàòü £300000.
Ðåøåíèå 1.9
2
Äèñïåðñèÿ Gamma(α, λ/1.1) ðàñïðåäåëåíèÿ 1.1λ2 α 1.21× λα2 . Òî åñòü äèñïåðñèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçìåðà èñêà âîçðàñòåò íà 21%. Åñëè ñðàâíèòü ýòî
ñî ñòàíäàðòíûìè îòêëîíåíèÿìè, òî ìû óâèäèì, ÷òî ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå â äàííîì ñëó÷àå âîçðàñòåò íà 10%, â îòëè÷èå îò òîãî, êàê ìû ìîãëè
áû îæèäàòü.
49
Ðåøåíèå 1.10
Ïóñòü Y = (1 + k)X . Ñäåëàåì ïîäñòàíîâêó y = (1 + k)x â èíòåãðàëå
ôóíêöèè ïëîòíîñòè:
Z∞
αλα
dx =
(λ + x)α+1
0
Z∞
0
αλα
dy
=
y α+1
(λ + 1+k )
1+k
Z∞
αλα (1 + k)α
dy
(λ(1 + k) + y)α+1
0
Ýòî ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè P areto(α, λ(1 + k)) ðàñïðåäåëåíèÿ. Çíà÷èò, ýòî
ðàñïðåäåëåíèå èíôëÿöèîííûõ ðàçìåðîâ èñêà.
Ðåøåíèå 1.11
Åñëè N ýòî îáùåå ÷èñëî èñêîâ, òî ìû èìååì:
Z∞
P (N = n) =
pN |θ (n)fθ (θ)dθ
0
Z∞
=
1 α α−1 −δθ
e−θ θn
×
δ θ e dθ
n!
Γ(α)
0
Ïðåîáðàçóåì ýòî âûðàæåíèå ê èíòåãðàëó Gamma(n + α, δ + 1) ðàñïðåäåëåíèÿ:
Γ(n + α) δ α
P (N = n) =
n!(δ + 1)n+α Γ(α)
Z∞
1
(δ + 1)n+α θn+α−1 e−(δ+1)θ dθ
Γ(n + α)
0
δα
Γ(n + α)
,
n!Γ(α) (δ + 1)n+α
n = 0, 1, 2, . . .
Ïðåäñòàâèì åãî â âèäå:
α n
n+α−1
δ
1
P (N = n) =
,
n
δ+1
δ+1
n = 0, 1, 2, . . .
è ïîëó÷èì îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè
δ
è k = α.
p = δ+1
50
Ðåøåíèå 1.12
Âîñïîëüçóåìñÿ òåì æå ñïîñîáîì:
Z∞
P (X = x) =
fX|p (x)fp (p)dp
0
Z∞ Γ(α + β) α−1
n x
p (1 − p)n−x
=
p (1 − p)β−1 dp
x
Γ(α)Γ(β)
0
Ïðèâåäåì ýòî âûðàæåíèå ê âèäó Beta(x + α, n − x + β) ðàñïðåäåëåíèÿ:
P (X = x) =
Z1
Γ(x + α)Γ(n − x + β)Γ(α + β)n!
×
Γ(n + α+)Γ(α)Γ(β)(n − x)!x!
Γ(n + α + β)
px+α−1 (1 − p)n−x+β−1 dp
Γ(x + α)Γ(n − x + β)
×
0
Òîãäà îáùåå ðàñïðåäåëåíèå èñêîâ:
P (X = x) =
Γ(x + α)Γ(n − x + β)Γ(α + β)n!
,
Γ(n + α+)Γ(α)Γ(β)(n − x)!x!
x = 0, 1, 2, . . . , n.
Ðåøåíèå 1.13
Ïðèðàâíèâàåì ôîðìóëû ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ è ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèÿ ê çàäàííûì âåëè÷èíàì:
r
λ
λ
α
= 5000è
= 7500
α−1
α−1 α−2
Äåëèì âòîðîå ðàâåíñòâî íà ïåðâîå:
r
α
7500
=
= 1.5
α−2
5000
Òîãäà
α
α−2
= 1.52 = 2.25
α = 2.25(α − 2)
⇒
α = 4.5/1.25 = 3.6
Ìîæíî íàéòè λ:
λ = 5000(3.6 − 1) = 13000
51
Äàëåå, ïðîöåíò èñêîâ, ïðåâûøàþùèõ £25000:
Z∞
P (X > 25000) =
αλα (λ + x)−α−1 dx
25000
= [−λα (λ + x)−α ]∞
25000
α
λ
=
λ + 25000
3.6
13000
= 0.021,
=
13000 + 25000
òî åñòü 2,1% èñêîâ áóäóò ïðåâûøàòü £25000.
Îáà îòâåòà îäèíàêîâûå. Çíà÷èò, £25000 ýòî êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà, â
êîòîðîé âåðîÿòíîñòè ëþáûõ ðàñïðåäåëåíèé óùåðáà ðàâíû.
Ðåøåíèå 1.14
Ïîäîáíàÿ ôóíêöèÿ:
L(α, λ, γ) = αn γ n λnα Πxγ−1
Π(λ + xγi )−α−1
i
Âîçüìåì ëîãàðèôì:
log L = n log α + n log γ + nα log λ + (γ − 1)
X
log xi − (α + 1)
X
log(λ + xγi )
Äèôôåðåíöèðóåì ïî α:
X
n
∂
log L = + n log λ −
log(λ + xγi )
∂α
α
Óñòðåìëÿåì ðàâåíñòâî ê 0 è ïðåîáðàçóåì:
α
e= P
n
log(λ + xγi ) − n log λ
Ïîäñòàíîâêà èçâåñòíûõ çíà÷åíèé λ = 500 è γ = 2 äàåò èñêîìûé ðåçóëüòàò.
P
Ïîñëå óïðîùåíèé ïîëó÷èì
log(500 + x2i ) = 47.6245. Ïîäñòàâëÿÿ
äàííîå çíà÷åíèå, íàõîäèì α
e = 0.3021
52
Ðåøåíèå 1.15
Îæèäàåìàÿ ÷àñòîòà èñêà:
315
= 0.050806
6200
Ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà èñêà ýòî ñðåäíåå çíà÷åíèå Gamma(50, 0.02) ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðàÿ ðàâíà:
50
= 2500
0.02
Òîãäà ðèñêîâàÿ ïðåìèÿ:
0.050806 × 2500 = £127.02
Òîãäà çíà÷åíèå ïðåìèè P óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó:
P = 127.02 + 50 × 0.050806 + 0.35P
Òî åñòü çíà÷åíèå ïðåìèè ðàâíî £199.32.
Ðåøåíèå 1.16
Âîò ñïèñîê âîçìîæíûõ ïðè÷èí:
1. Òåêóùåå ðàñïðåäåëåíèå ðàçìåðà èñêà ìîæåò íå ïîäõîäèòü äëÿ èñêîâ, êîòîðûå áóäóò èìåòü ìåñòî â áóäóùåì.
2. Íåîáõîäèìîñòü êîíêóðåíöèè íà ðûíêå ìîæåò îçíà÷àòü, ÷òî òåîðåòè÷åñêàÿ ïðåìèÿ íå ñîîòâåòñòâóåò äåéñòâèòåëüíîé.
3. ×àñòîòà èñêà ìîæåò èçìåíÿòñÿ ñâåðõ îæèäàíèÿ. Åñëè çà ïîñëåäíèå
íåñêîëüêî ëåò èìåëî ìåñòî 3150 èñêîâ, òî ìîæíî ïðåäïîëîæèòü,
÷òî ÷àñòîòà èñêà âîçðàñòåò ñâåðõ îæèäàåìîé íîðìû, â ýòîì ñëó÷àå
0.050806
4. Çàêîíîäàòåëüñòâî ìîæåò ââîäèòü îãðàíè÷åíèÿ (âåðõíèå èëè íèæíèå) íà ïðåìèè.
5. Ýòè âû÷èñëåíèÿ èãíîðèðóþò âðåìåííûå äåíåæíûå õàðàêòåðèñòèêè
(òàêèõ êàê äîëÿ (êàïèòàëà) â äåëå è èíôëÿöèÿ)
53
Ðåøåíèå 1.17
Ïðîâåðèì, ÷òî:
H0 :
N (µ, σ 2 ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óäà÷íóþ ìîäåëü äëÿ ýòèõ èñêîâ.
H1 :
N (µ, σ 2 ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåóäà÷íóþ ìîäåëü.
Çíà÷åíèå òåñòîâîé ñòàòèñòèêè:
2
χ =
X (O − E)2
E
(120 − 104)2
(62 − 76)2
=
+ ... +
= 25.94
104
76
Ñðàâíèâàÿ ýòî çíà÷åíèå ñ ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êîé χ22 ðàñïðåäåëåíèÿ (5
ýëåìåíòîâ ìèíóñ 2 îöåíî÷íûõ ïàðàìåòðà ìèíóñ 1), ìû ïîëó÷èì âåðîÿòíîñòíîå çíà÷åíèå, ãîðàçäî ìåíüøåå, ÷åì 0.005. Òîãäà äëÿ íàñ ñòàíîâèòñÿ
î÷åâèäíîé íåîïòèìàëüíîñòü H0 , è ìîæíî ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå, ÷òî íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå â äàííîì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ ïîäõîäÿùèì.
Çàêëþ÷åíèå ÷àñòè I
Ðàçìåðû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ ìîãóò áûòü îïèñàíû ñ ïîìîùüþ ðàññïðåäåëåíèé óùåðáà. Íàïðèìåð, ñòàíäàðòíûõ ðàñïðåäåëåíèé, òàêèõ êàê
ëîãíîðìàëüíîå, Ãàììà, Ïàðåòî, ðàñïðåäåëåíèÿ Áóðà, Âåéáóëëà.
Ðèñêîâàÿ ïðåìèÿ è òåîðåòè÷åñêàÿ îôèñíàÿ ïðåìèÿ ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû, çíàÿ ðàñïðåäåëåíèå óùåðáà è ÷àñòîòó èñêîâ.
54