проверка гипотезы о нормальном распределении по

Задача скачана с сайта www.MatBuro.ru
©МатБюро - Решение задач по высшей математике
Тема: Проверка гипотезы о нормальном распределении
ЗАДАНИЕ. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить,
согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X по
результатам выборки:
X 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3
N 7 9 28 27 30 26 21 25 22 9 5
РЕШЕНИЕ.
Вычислим параметры выборки. Составим расчетную таблицу:
xi
ni
xi ni
( x − xi ) 2 ni
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
2,3
Сумма
7
9
28
27
30
26
21
25
22
9
5
209
2,1
4,5
19,6
24,3
33
33,8
31,5
42,5
41,8
18,9
11,5
263,5
6,461
5,209
8,805
3,514
0,775
0,040
1,202
4,823
8,990
6,339
5,400
51,558
Выборочное среднее:
1
1
x = ∑ xi ni =
263, 5 ≈ 1, 261 .
n
209
Выборочная исправленная дисперсия:
1
1
S2 =
( x − xi ) 2 ni =
51,558 ≈ 0, 248 .
∑
n −1
208
Выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение:
S = 0, 248 ≈ 0, 498 .
Выдвинем гипотезу H 0 : распределение генеральной совокупности X подчинено
нормальному закону с параметрами a = 1, 261 и σ = 0, 498 . Проверим эту гипотезу по
критерию Пирсона при уровне значимости α = 0, 05 .
Рассчитываем теоретические частоты ni0 по формуле
x −x
nh
ϕ (u i ) , где ui = i
, h = 0, 2 – шаг между вариантами, ϕ (u ) =
S
S
Вычисления представим в виде таблицы:
ni0 =
1
2π
e −u
2
/2
.
Задача скачана с сайта www.MatBuro.ru
©МатБюро - Решение задач по высшей математике
xi
ui
ϕ (u i )
ni0
ni
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
2,3
Сумма
-1,930
-1,528
-1,126
-0,725
-0,323
0,079
0,481
0,882
1,284
1,686
2,087
0,062
0,124
0,212
0,307
0,379
0,398
0,355
0,270
0,175
0,096
0,045
5,204
10,422
17,762
25,760
31,793
33,390
29,842
22,697
14,689
8,090
3,792
7
9
28
27
30
26
21
25
22
9
5
(ni − ni0 ) 2
ni0
0,620
0,194
5,901
0,060
0,101
1,636
2,620
0,234
3,638
0,102
0,385
15,491
11
2
=∑
Наблюдаемое значение критерия вычислим по формуле χ набл
i =1
По таблице критических значений χ
2
кр
(ni − ni0 ) 2
= 15, 491 .
ni0
при уровне значимости α = 0, 05 и числе степеней
2
свободы k = l − 3 = 11 − 3 = 8 найдем χ кр2 ≈ 15,507 . Так как χ набл
= 15, 491 < χ кр2 = 15,507 ,
нулевую гипотезу о нормальном распределении можно принять при данном уровне
значимости.