Задача № 2.45

1-я контрольная работа
Задача № 1.33
Вычислить центральный момент третьего порядка (3) по данным
таблицы:
Производительность труда,
м/час
Число рабочих
80.5 – 81.5
81.5 – 82.5
82.5 – 83.5
83.5 – 84.5
84.5 – 85.5
7
13
15
11
4
Производительность труда, м/час
80.5 – 81.5
81.5 – 82.5
82.5 – 83.5
83.5 – 84.5
84.5 – 85.5
Итого:
XI
81
82
83
84
85
Число
рабочих,
mi
7
13
15
11
4
50
mixi
567
1066
1245
924
340
4142
(xi-xср)3
(xi-xср)3mi
-6,2295
-0,5927
0,004096
1,560896
10,0777
-43,6065
-7,70515
0,06144
17,16986
40,31078
6,2304
 x m  4142  82,84
50
m
 x  x  * m  6,2304  0,1246

50
m
x ср 
i
i
i
3

*
3
i
1
i
Ответ: 3=0,1246
Задача № 2.45
Во время контрольного взвешивания пачек чая установлено,
средний вес у n=200 пачек чая равен x =26 гр. А S=1гр. В предложение
о нормальном распределение определить у какого количества пачек
чая ве будет находится в пределах от ( x  1) до ( x  1) .
Р(25<x<27)=P (1 
m=n*p=200*0,3634  73
x  26
 1) =2Ф(1)-1=0,3634
1
Ответ: n=73
Задача № 3.17
На контрольных испытаниях n=17 было определено x =3000 ч .
Считая, что срок службы ламп распределен нормально с  =21 ч..,
определить ширину доверительного интервала для генеральной
средней с надежностью  =0,98
P( X  t

   X t

n
1
t  Ф (0,98)  2,33
x t

n
)   (t )   ,
 2988
n
x t

 3011
n
Ответ: [2988<  <3012]
Задача № 3.69
По данным контрольных испытания n=9 ламп были получены
оценки x =360 и S=26 ч. Считая, что сроки служб ламп распределены
нормально определить нижнюю границу доверительного интервала
для генеральной средней с надежностью   0,95
S
S
   X t
)  (t )   ,
n 1
n 1
t  St (0,95;9)  0,129
S
x t
 358
n 1
P( X  t
Ответ: 358
Задача № 3.71
По результатам n=7 измерений средняя высота сальниковой камеры
равна x =40 мм, а S=1,8 мм. В предложение о нормальном распределение
определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри
интервала (0,98 x ;1,02 x ) .
P( x  t
S
S
1,02 x  x
0,98 x  x
   x t
)  Ф(
)  Ф(
)
S
S
n
n
S
 0,98 x
n
t2  1,17
x  t2
S
 1,02 x
n
t1  1,17
x  t1
P  Ф(t2 )  Ф(t1 )  0,516
Ответ: P=0,516
Задача № 3.120
По результатам измерений длины n=76 плунжеров было
получено x =50 мм и S=7 мм. Определить с надежностью 0,85 верхнюю
границу для генеральной средней.
S
S
   x  t
)
n 1
n 1
t  St ( ; v  n  1)  St 1 (0,85;75)  0,126
P( x  t
x  t
S
7
 50  0.126
 50,2
n 1
75
Ответ: 50,2
Задача № 3.144
На основание выборочных наблюдений за производительностью
труда n=37 рабочих было вычислено x =400 метров ткани в час S=12
м/ч. в предложение о нормальном распределение найти вероятность
того, что средне квадратическое отклонение будет находится в
интервале от 11 до 13.
P  (11    13)  P(
2n
S  
2v  1  t
2n
S)  
2v  1  t
  Ф 1 (t )
2n
S  11
2v  1  t
t  1,57
  Ф 1 (1,57)  0,8836
Ответ: P(11<<13)=0,8836
Задача № 4.6
С помощью критерия Пирсона на уровне значимости =0,02
проверить гипотезу о биноминальном законе распределения на
основание следующих данных.
Mi
Mt i
85
117
120
85
miT
mi
85
120
25
37
(mi-miT)2
117
85
10
9
(mi-miT)2/ miT
1024
1225
8,752137
14,41176
25
10
37
9
144
1
3,891892
0,111111
27,1669
2факт.=(mi- miT)/ miT=27,17
2табл.= (=2, =0,02)=7,824
2факт>2табл
Ответ: Выдвинутая гипотеза о нормальном
отвергается с вероятностью ошибки альфа.
законе
распределения
2-я контрольная работа
Задача 4.29
По результатам n =4 измерений в печи найдено X X = 254 C.
Предполагается, что ошибка измерения есть нормальная случайная
величина с  = 6 C. На уровне значимости  = 0.05 проверить
гипотезу H0:  = 250 C против гипотезы H1:  = 260 C. В ответе
записать разность между абсолютными величинами табличного и
фактического значений выборочной характеристики.
1 > 0  выберем правостороннюю критическую область.
t набл 
t кр
X  0

 N (0;1)
t
2
  (1  2 ), (t ) 
e
2 0
1
z2
2
dz
t набл  0,66, t кр  1,64
Ответ: Т.к. используем правостороннюю критическую область, и tкр > tнабл, то на
данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается (|tкр| - |tнабл |=0,98).
Задача 4.55
На основание n=5 измерений найдено, что средняя высота
сальниковой камеры равна X  51 мм, а S=1,2 мм. В предположение о
нормальном распределение вычислить на уровне значимости =0,01
мощность критерия при гипотезе H0 :   50 и H1 :   53
X  1
1
1    P(t  t кр )  [Ф()  Ф(
n )] 
2

  1
1
 [1  Ф( 0
n  t кр )]  3,2
2

t кр  Ф 1 (1  2 )  2,33
Ответ: 23
Задача 4.70
На основании n = 15 измерений найдено, что средняя высота
сальниковой камеры равна X = 70 мм и S = 3. Допустив, что ошибка
изготовления есть нормальная случайная величина на уровне
значимости  = 0.1 проверить гипотезу H0:  2  S 2  1 мм2 при
конкурирующей гипотезе  2  S 2  1 . В ответе записать разность между
абсолютными величинами табличного и фактического значений
выборочной характеристики.
 02   12  построим левостороннюю критическую область.
2
 набл

nS 2
 02
 13,5
P(  2   кр2 (1   ; n  1))  1  
 кр2  5,368
Вывод:
2
 набл
  кр2  на данном уровне значимости нулевая гипотеза не
2
отвергается ( |  кр2 |  |  набл
| 8,132 ).
Задача 4.84
По результатам n = 16 независимых измерений диаметра поршня
одним прибором получено X = 82.48 мм и S = 0.08 мм. Предположив,
что ошибки измерения имеют нормальное распределение, на уровне
значимости  = 0.1 вычислить мощность критерия гипотезы H0:
 2  0.01 при конкурирующей гипотезе H1:  2  0.005 .
 02   12  построим левостороннюю критическую область.
 02 2
1    1  P(   2  кр (1   ; n  1))  0.23
1
2
Ответ: 23;
Задача 4.87
Из продукции двух автоматических линий взяты соответственно
выборки n1 = 16 и n2 = 12 деталей. По результатам выборочных
наблюдений найдены X 1 = 180 мм и X 2 = 186 мм. Предварительным
анализом установлено, что погрешности изготовления есть
нормальные случайные величины с дисперсиями  12  6 мм2 и
 22  11 мм2.
На уровне значимости  = 0.025 проверить гипотезу
H0: 1 = 2 против H1: 1 < 2.
Т.к. H1: 1 < 2, будем использовать левостороннюю критическую область.
t набл 
X1  X 2
 12
n1

 4,96
 22
n2
2
t кр   (1  2 ), (t ) 
1
2
t
e

z2
2
dz
0
t кр  1,96
Вывод: | t набл | t кр  гипотеза отвергается при данном уровне значимости.
Задача 4.96
Из двух партий деталей взяты выборки объемом n1 = 16 и n2 = 18
деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены X 1 = 260
мм, S1 = 6 мм, X 2 = 266 мм и S2 =7 мм. Предполагая, что погрешности
изготовления есть нормальные случайные величины и  1   2 , на
уровне значимости  = 0.01 проверить гипотезу H0: 1 = 2 против
H1: 1  2.
t набл 
X1  X 2
n1 n2
 2,587
n1  n2
n1 S12  n2 S 22
n1  n2  2
t кр  St 1 ( ;  n1  n2  2)  2,750
Вывод: | t набл | t кр  при данном уровне значимости гипотеза не отвергается.
Задача 4.118
Из n1 = 200 задач первого типа, предложенных для решения, студенты решили
m1 = 152, а из n2 = 250 задач второго типа студенты решили m2 = 170 задач.
Проверить на уровне значимости  = 0.05 гипотезу о том, что вероятность
решения задачи не зависит от того, к какому типу она относится, т.е. H0: P1 = P2. В
ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и
фактического значений выборочной характеристики.

m
pi  i , p1  0.76, p 2  0.68
ni
l

p
m
i 1
l
n
i 1
2
 набл

i
 0.716
i
l
1


p (1  p )

i 1
P (  2   кр2 ( , l  1))  
 кр2  3,841

 ( p i  p) 2 ni  3,55
2
Вывод:  набл
  кр2  нулевая гипотеза при данном уровне значимости принимается
2
( |  кр2 |  |  набл
| 0,29 ).
Задача 1.39:
Вычислить центральный момент третьего порядка (3*) по данным
таблицы:
Урожайность
(ц/га), Х
34,5-35,5
34,5-36,5
36,5-37,5
37,5-38,5
38,5-39,5
Число
колхозов, mi
4
11
20
11
4
Решение:
Урожайность
(ц/га), Х
x
Xi
mixi
(xi-xср)3
(xi-xср)3mi
34,5-35,5
Число
колхозов, mi
4
35
140
-8
-32
34,5-36,5
11
36
396
-1
-11
36,5-37,5
20
37
740
0
0
37,5-38,5
11
38
418
1
11
38,5-39,5
4
39
156
8
32
Итого:
50
-
1850
-
0
 x m  1850  37
50
m
 x  x   0  0

50
m
i
i
i
3

*
3
i
i
Ответ: 3*=0
Задача 2.34:
В результате
вариационный ряд:
анализа
технологического
процесса
получен
Число
дефектных
изделий
0
1
2
3
4
Число партий
79
55
22
11
3
Предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по
закону Пуассона, определить вероятность появления 3 дефектных изделий.
Решение:
0
0.4647
m
p
m x
1
0.3235
2
0.1294
3
0.0647
4
0.0176
0.3235  0.2528  0.1941  0.0704 0.8408

 0.016816
n
50
50
 j   0.016816 3 0.016816 4.755 10 6
P  P( x  j ) 
e 
e

 0.9833  7.79 10  7
j!
3!
6

i
i

Ответ: P=7.79*10-7
Зпадача 3.28:
В предложении о нормальной генеральной совокупности с =5 сек.,
определить минимальный объем испытаний, которые нужно провести,
чтобы с надежностью =0.96 точность оценки генеральной средней 
времени обработки зубчатого колеса будет равна =2 сек.
Решение:


 
  Ф(t )  
P x  t
   x t
n
n

(t )  0.48
t   1 (0.48)  2.05

t

n
5
2.055
2
n
n=(5.1375)3=26.3927
Ответ: n=27
Задача 3.48:
На основании измерения n=7 деталей вычислена выборочная средняя
и S=8 мк. В предположении, что ошибка изготовления распределена
нормально, определить с надежностью =0.98 точность оценки
генеральной средней.
Решение:

St(t,=n-1)==St(t,6)=0.98
S
S 
 x  t 


n 1
   x t
t  St 1 (0.98)  1.131
S
8
t
 0.131
 0.4278
n 1
6
 

n 1 
Ответ: =0.4278
Задача 3.82:
На основании n=4 измерений температуры одним прибором
определена S=9 С. Предположив, что погрешность измерения есть
нормальная случайная величина определить с надежностью =0.9 нижнюю
границу доверительного интервала для дисперсии.
Решение:
 nS 2
nS 2 
 2   2  2   
1 
 2
2
2
   2   1 1     1 1  0.9  0.05
2
2
 22  7.815
nS 2
 22

492
324

 41.4587
7.815 7.815
Ответ: 41.4587
Задача 3.103:
Из 400 клубней картофеля, поступившего на контроль вес 100
клубней превысили 50 г. Определить с надежностью =0.98 верхнюю
границу доверительного интервала для вероятности того, что вес клубня
превысит 50 г.
Решение:
m
pq
pq 
m
   (t )
  t
 p  t

n
n
n
n


0
.
98
(t ) 
 0.49
2
t=2.33
pq 1
m
0.25  0.75
t
  2.33
 0.3
n
n
4
400
Ответ: 0.3
Задача 3.142:
По результатам 100 опытов установлено, что в среднем для сборки
вентиля требуется Xср=30 сек., а S=7 сек. В предположении о нормальном
распределении определить с надежностью =0.98 верхнюю границу для
оценки  генеральной совокупности.
Решение:
 t=2.33

2n
2n

S  
2


1

t

(t )  0.98  0.49
2
2  1  t
 S    (t )  

2n
2 100
S 
2  1  t
2  99  1  2.33
 7  8.457
Ответ: 8.457
Задача 4.18:
Гипотезу о нормальном законе распределения проверить с помощью
критерия Пирсона на уровне значимости =0.05 по следующим данным:
6
8
mi
miT
13
17
22
29
28
20
15
10
Решение:
 

2
кр
2
набл
mi
miT
(mi-miT)2
(mi-miT)2/ miT
6
8
4
0.5
13
17
16
0.941
22
29
49
1.6897
28
20
64
3.2
15
10
3
3
25
1.9231
Итого:
-
-
8.2537
 8.2537
 5.991
(  2,   0.05)
2
 набл
  кр2  5.991  8.2537  2.2627
2
 набл
  кр2
значит отвергаем
Ответ: -2.2627
1.36.
Вычислить дисперсию.
Производител
ьность труда
Число
рабочих
81,5-82,5
82,5-83,5
83,5-84,5
9
15
16
Средняя
производитель
ность труда
82
83
84
3
3
84,5-85,5
85,5-86,5
Итого
11
4
55

S 2   xi  x
x
x m
m
i
i

i
85
86
 m /m
2
i
i
82 * 9  83 * 15  84 * 16  85 * 11  86 * 4
 83,75
55
(82  83,75) 2 * 9  (83  83,75) 2 * 15  (84  83,75) 2 * 16  (85  83,75) 2 * 11  (86  83,75) 2 * 4
S 

55
27,56  8,44  1  17,19  20,25 74,44


 1,35.
55
55
2
2.19.
Используя результаты анализа и предполагая, что число дефектных
изделий в партии распределено по закону Пуассона, определить
теоретическое число партий с тремя дефектными изделиями.
m
fi
Pm
Pm*fi
fi теор.
0
164
288,75
288
1
76
0,34
25,84
26
2
40
0,116
4,64
5
3
27
0,026
0,702
1
4
10
0,004
0,04
0
5
3
0,001
0,003
0
Итого
320
320
320
m – число дефектных изделий в партии,
fi – число партий,
fi теор. = теоретическое число партий
e   m
Pm 
m!
76  80  81  40  15
x
 0,68
320
e 0, 68  0,5
Теоретическое значение числа партий получается округлением Pm*fi.
Соответственно, теоретическое количество партий с тремя дефектными
изделиями равно 1.
3.20.
По выборке объемом 25 вычислена выборочная средняя диаметров поршневых колец.
В предложении о нормальном распределении найти с надежностью γ=0,975 точность δ,
с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание, зная, что среднее
квадратическое отклонение поршневых колец равно 4 мм..

P( x  t
n
   xt

n
) 

 t
n
t  Ф ( )  Ф 1 (0,975)  2,24
1
4
5
  2,24  1,792
3.40.
По результатам семи измерений средняя высота сальниковой камеры равна 40 мм., а
S=1,8 мм.. В предположении о нормальном распределении определить вероятность
того, что генеральная средняя будет внутри интервала (0,98х;1,02х).
P(0,98 x    1,02 x)    ?
S
S
P( x  t
   x  t
) 
n 1
n 1
S
0,98 x  x  t
n 1
0,02 x n  1
 1,0887
S
t  St 1 ( ;6)  1,0887
t 
  0,4;   1    0,6
3.74.
По данным контрольных 8 испытаний определены х=1600 ч. и S=17ч..Считая, что
срок службы ламп распределен нормально, определить вероятность того, что
абсолютная величина ошибки определения среднего квадратического отклонения
меньше 10% от S.
P(
nS 2
 22
 2 
nS 2
12
) 
P(0,9 S    1,1S )    ?
nS
2
 15,3  2  3,14
P(  2   22 )  P(  2  9,86) 
 7
0,20 
3.123.
P (  2  9,86)  0,20
1 
2
  0,6
1 
2
По результатам 70 измерений диаметра валиков было получено х=150 мм., S=6,1 мм..
Найти вероятность того, что генеральная средняя будет находиться внутри интервала
(149;151).
 ?
P( x  t
150  t
S
   x  t
n 1
S
 149
n 1
S
) 
n 1
69
 1,36
6,1
t 
t  St 1 ( ;   69)    0,2    0,8
3.126
По результатам 50 опытов установлено, что в среднем для сборки трансформатора
требуется х=100 сек., S=12 сек.. В предположении о нормальном распределении
определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для оценки неизвестного среднего
квадратического отклонения.
P(
2n
2n
S  
S )  0,85
2  1  t
2  1  t
2n
S ?
2  1  t
t  Ф 1 (0,85)  1,44
  49
2n
100
120
S
12 
 14,27
8,41
2  1  t
2 * 49  1  1,44
4.10
С помощью критерия Пирсона на уровне значимости α=0,02 проверить гипотезу о
законе распределения Пуассона (в ответе записать разность между табличными и
фактическими значениями χ2).
miT
mi
80
125
39
12
∑=256
100
52
38
100
200
(mi-miT)2
400
5329
1
4
5734
(mi-miT)2/miT
4
102,5
0,03
0,4
122,63
2
 набл
 122,63
  5  1  1  3   0,02
 кр2 (3;0,02)  9,837
9,837  122,63  112,793
Гипотеза противоречит закону распределения Пуассона.