ЗАВИСИМОСТЬ УСЛОВНОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ

ЗАВИСИМОСТЬ УСЛОВНОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ
УСТОЙЧИВОСТИ ОТ ПАРАМЕТРА
Миллионщиков В.М. (Москва)

Пусть система x = f ( x, t ) такова, что f и f x непрерывны в области G пространства
R n1 ( x – n- мерный вектор, t – число). Пусть M – открытое или замкнутое множество в
x – гладкое отображение M в R n и пусть ( x , t0 )  G при всяком
R m . Пусть 
  M , здесь t0 – некоторое число. Пусть при всяком   M решение x () системы

x  f ( x, t ) , принимающее в точке t0 значение x , определено при всех t
t0 .
Для всякой точки  расширенной числовой прямой R обозначим через E ()
множество значений в точке t0 тех решений линеаризованной вдоль x () системы, т.е.

системы z  f x ( x (t ), t ) z , которые имеют показатель Ляпунова [1] меньше  . Множество
E () при    пусто, а при других  является векторным подпространством в R n .
Теорема. В пространстве M имеется всюду плотное множество типа G , в каждой
точке которого при всяком   R отображение  E () пространства M
полунепрерывно снизу.
Всюду плотное множество, о котором идет речь в теореме, может не совпадать с M ,
как показывает пример О.Перрона [2].
Литература.
1. Ляпунов A.M. Собрание сочинений. Т. 2. – М.–Л.: Изд-во АН СССР, 1956. – 472
с.
2. Perron О. Über Stabilität und asymptotisches Verhalten der Integrale von
Differentialgleichungssystemen // Math. Zeitschrift. – 1928. – Bd. 29. – S.129–160.