Document 2721495

СОВРЕМЕННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИНТЕРПРЕТАЦИИ
НАБЛЮДЕНИЙ МЕТЕОРНЫХ ТЕЛ
М. И. Грицевич
механико-математический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова
Настоящая работа посвящена развитию методов обработки наблюдательных данных о
движении метеорных тел в атмосфере Земли. Автором включены физическая постановка
задачи, а также краткий обзор ранее применяемых методик.
Введение
Для наблюдений метеоров организовывается работа фотографических патрульных
служб, состоящих из нескольких станций. Станции располагают на достаточно большом
расстоянии
(порядка
100
км)
и
снабжают
специальными
камерами,
непрерывно
фотографирующими значительную часть неба. Такого рода наблюдения ведутся в
географически различных регионах уже более полувека, при этом интенсивно развиваются
как сами болидные сети, так и инструментальные методы наземных наблюдений. К
сожалению, гораздо более скромными темпами совершенствуются методы обработки
зарегистрированных наблюдателями данных.
Существующие методы интерпретации фотографических данных можно условно
разделить на две группы. К первой относятся фотометрические методы, использующие
светимость болида. Считается, что в свечение переходит определенная доля потерь
кинетической энергии метеорного тела, а именно:
I = −τ% ⋅
⎛ V 2 dM
d ( MV 2 / 2)
dV ⎞
%
= −τ ⋅ ⎜
+ MV
⎟,
dt
dt ⎠
⎝ 2 dt
(0.1)
где I – светимость метеора, M – масса, V – скорость, τ – коэффициент эффективности
излучения. Отсюда, в пренебрежении торможением тела, несложно получить известную
фотометрическую формулу для вычисления внеатмосферной массы Mph болидообразующих
тел:
t0
I
dt
2
τ
V
t1
M ph = − ∫
1
(0.2)
где интеграл берется по всему видимому участку атмосферной траектории: от времени
погасания t1 до времени появления метеора t0. Одним из аргументов в пользу применимости
формулы (0.2) считается качественное свойство метеорных спектров, состоящее в
преобладании линий элементов, входящих в состав большинства метеоритов. Отсюда
делается вывод, что преобладающий вклад в свечение метеора при его движении в
атмосфере с большой скоростью дает излучение паров материала тела, возникающих
вследствие испарения его поверхности. При этом игнорируются другие возможные
источники излучения, в частности, излучение атмосферного газа ударного слоя около
обтекаемого тела.
В работах (Грицевич, Стулов, 2006; Грицевич, 2008б) при помощи различных
динамических подходов показано, что основная часть светящегося сектора траекторий
крупных болидов лежит в условиях обтекания в режиме сплошной среды, а условие
свободномолекулярного обтекания, необходимое для корректной интерпретации светимости,
находится вне его пределов. Поэтому физико-механические параметры крупных болидов,
полученные на основе вычисленной фотометрическим методом массы, крайне не надежны.
«Динамическую» группу образуют методы, в которых масса тела определяется на
основе анализа наблюдаемого торможения в атмосфере. Основным недостатком этих
методов служит необходимость априорного задания плотности тела и коэффициента его
формы, которые прямо из наблюдений не определяются. Динамические методы часто
применяются в случаях, когда ожидается выпадение метеоритов, например, в работах
(Цеплеха, 1978; Wetherill, ReVelle, 1981; Halliday и др., 1989; Halliday и др., 1996), где масса
оценивается непосредственно из проекции уравнения движения (в пренебрежении силой
притяжения) на касательную к траектории:
M
dV
1
= − cd ρ aV 2 S
2
dt
(0.3)
Здесь M, V, S – масса, скорость и площадь миделева сечения тела, cd – коэффициент
сопротивления, ρa – плотность атмосферы, соответствующая рассматриваемой высоте.
Опишем несколько алгоритмов определения динамических масс, встречающихся в
литературе и не использующих величину коэффициента эффективности излучения τ. Первый
приведен в (Halliday и др., 1996). В таблице 6 работы (Halliday и др., 1996) содержатся
динамические и фотометрические данные, полученные в результате обработки снимков
Канадской наблюдательной фотографической сети для 62 болидов «со значительной
конечной массой». Форма тела во время движения считалась постоянной, что позволяет,
2
вводя коэффициент формы тела – A=Sּρm2/3/M2/3, переписать уравнение торможения (0.3)
следующим образом:
( А ⋅ cd )3 ⎛ ρ aV 2 ⎞
−
Мd =
ρ т2 ⎜⎝ 2V& ⎟⎠
3
(0.4)
Кроме того, для каждого из рассмотренных авторами болидов полагалось, что cd = 1,
3
плотность тела ρm = 3,5 г/см , а его форма – прямоугольный параллелепипед, со сторонами
2L, 3L и 5L и фронтальной плоскостью 3L х 5L (вообще говоря, при обтекании тела такой
формы коэффициент сопротивления cd больше единицы (Ждан и др., 2007)). Подстановка
этих значений в (0.4) дает (Halliday и др., 1996):
⎛ ρ aV 2 ⎞
М d = 0,306 ⎜ −
& ⎟
⎝ 2V ⎠
3
(0.5)
Значения ускорения V̇ в работе (Halliday и др., 1996) были получены численным
дифференцированием. Относительно самой возможности получения динамических оценок
массы авторы высказываются весьма скептически: “оценки динамической массы имеют
значение только когда ускорение достаточно велико и может быть вычислено с некоторой
точностью. Поэтому метод применим только для нижней части наблюдений, но не вплоть до
последней точки, где значение ускорения хорошо не известно”.
Похожий алгоритм описан в работе (Wetherill, ReVelle, 1981). Исследование данных
Прерийной сети США основано на предположении, что среди сфотографированных болидов
3
присутствует достаточное число хондритов, с плотностью около 3,7 г/см . При расчетах
авторами использовалась модель сферической формы метеороида с А=1,209, сd = 0,92. Как и
прежде, использовалось предположение о неизменности формы тела. Подстановка этих
значений в (0.4) позволяет однозначно вычислить значения динамической массы болида в
заданной точке по известным значениям скорости, ускорения и плотности атмосферы:
⎛ ρ aV 2 ⎞
М d = 0,101⎜ −
& ⎟
⎝ 2V ⎠
3
(0.6)
В (Wetherill, ReVelle, 1981) далее определялась внеатмосферная масса следующим
образом: коэффициент абляции σ для всех рассматриваемых болидов полагался одинаковым
и равным 0,02 с2/км2, далее независимо вычислялись оценки начальной массы тела по
формуле:
3
M d ∞ = M d exp (σ / 2(Ve2 − V 2 ) )
(0.7)
После чего внеатмосферная масса тела приравнивалась среднему значению
полученных оценок.
Специалисты Европейской болидной сети долгое время предлагали вычислять наряду
с фотометрическими массами динамические массы зарегистрированных болидов по формуле
(Цеплеха, 1978; Ceplecha и др., 1987 и др.):
1 ⎛ 1,2 ⋅ ρ aV 2 ⎞
⎟
Мd = 2 ⎜
⎟
ρ т ⎜⎝
V&
⎠
3
(0.8)
где значение ρm, в зависимости от введенного и определяемого ими по атмосферной
траектории типа метеорного тела, принималось равным 3,7 г/см3; 2,2 г/см3; 0,6 г/см3 и 0,2
г/см для типов I, II, IIIA и IIIB соответственно. Из структуры выражения (0.8) и, в частности,
из сопоставления (0.8) и (0.4), видим, что значение произведения Aּcd, предлагаемое
авторами (Цеплеха, 1978; Ceplecha и др., 1987), постоянно вдоль траектории и составляет 2,4.
Наконец, отметим целесообразность динамических подходов, введенных в работах
(Кулаков, Стулов, 1992; Стулов и др., 1995 и др.). В цитируемых работах сначала, путем
сравнения расчетной траектории в переменных v, y (безразмерные скорость и высота) с
наблюдаемой, определяются динамические параметры, позволяющие потом оценить массу
тела. С этой целью было описано несколько различных схем метода наименьших квадратов,
построенных, в качестве теоретической траектории, на основе приближенного решения
уравнений метеорной физики (аппроксимирующем зависимость самого решения от
параметра β линейной функцией):
y = ln α − ln ( − ln v ) + 0,83 β (1 − v )
(0.9)
Так, при обработке данных наблюдений болидов Прерийной сети США, в том числе и
Лост Сити, в (Стулов и др., 1995) составлялась сумма квадратов разностей между νHi,
вычисленными из наблюдений и νHi(yHi,α,β), рассчитанных с помощью функции, обратной
(0.9):
Q 2 (α , β ) =
n
∑ [v
i =1
Hi
− v H i ( y H i , α , β )] 2
Бесспорным преимуществом подхода (Кулаков, Стулов, 1992; Стулов и др., 1995)
является необходимость априорного задания лишь начального коэффициента формы тела. К
4
недостаткам можно отнести ограниченность области допустимых значений параметра β, при
которых выражение (8) имеет физический смысл (Грицевич, 2006).
1.1. Аналитическое решение основных дифференциальных уравнений движения
В монографии (Стулов и др., 1995) рассмотрена задача о прямолинейном торможении
затупленного
тела
в
верхних
слоях
атмосферы
при
большой
скорости
входа.
Сконструирована динамическая система третьего порядка, фазовыми переменными которой
являются масса болида M(t), его высота над поверхностью планеты h(t) и скорость V(t).
Уравнения движения в проекции на касательную и нормаль к траектории имеют вид:
M
где D =
dV
= − D + P sin γ ,
dt
(0.10)
dγ
MV 2
MV
= P cos γ −
cos γ − L,
dt
R
(0.11)
dh
= −V sin γ ,
dt
(0.12)
1
1
cd ρ aV 2 S – лобовое сопротивление, L = cL ρ aV 2 S – подъемная сила, P=Mg –
2
2
сила притяжения. Здесь
M, V – масса и скорость тела, t – время, h – высота над
поверхностью планеты, γ – местный угол траектории с горизонтом, S – площадь миделева
сечения тела, ρa – плотность атмосферы,
g –ускорение свободного падения, R – радиус
планеты, cd, cL – коэффициенты сопротивления и подъемной силы.
В уравнениях (0.10)-(0.11) радиус планеты много больше рассматриваемой высоты
тела над поверхностью планеты, гравитационное поле считается однородным. Кроме того,
пренебрегается реактивной силой в силу малой относительной скорости отделяющейся от
метеороида массы.
Уравнения (0.10)-(0.12) дополняются уравнением для переменной массы тела:
H*
где
Н*
–
эффективная
dM
1
= − ch ρ aV 3 S ,
dt
2
энтальпия
разрушения,
ch
(0.13)
–
коэффициент
теплообмена.
Предполагается, что весь тепловой поток от окружающего газа расходуется на испарение
материала поверхности тела.
5
Во введении было отмечено, что масса метеорного тела часто оценивается
наблюдателями в дискретных точках непосредственно из проекции уравнения движения на
касательную к траектории (0.10). С другой стороны, при ряде предположений, система
уравнений (0.10)-(0.13) имеет известное аналитическое решение.
Уравнение (0.12) позволяет перейти от t к новой независимой переменной h. Далее
переходим к безразмерным величинам следующим образом: M=Mem, V=Veν, h=h0y, ρa=ρ0ρ,
S=Ses (h0 – высота однородной атмосферы, ρ0 – плотность атмосферы у поверхности
планеты).
Поскольку значения скорости в рассматриваемой задаче достаточно велики (от 11 до
72 км/с) силой притяжения в (0.10) обычно пренебрегают. Из-за неопределенности формы
метеорного тела коэффициент подъемной силы cL считается неизвестным, так что уравнение
(0.11) изменения угла γ не рассматривается. С учетом изложенного, уравнения движения
тела принимают простой вид:
m
dv 1
ρ h S ρ vs dm 1 ρ 0 h0 S e V e2 ρ v 2 s
= cd 0 0 e
= ch
,
dy 2
M e sin γ
dy
2
M e H * sin γ
(0.14)
Для получения аналитического решения уравнений (0.14) принимается также
предположение изотермической атмосферы. Следуя Б. Ю. Левину, вводится параметр
изменения формы метеороида μ, позволяющий записать закон изменения формы тела в
следующем виде: μ = logms (Левин, 1956). Величина параметра μ характеризует возможную
роль вращения в полете: μ = 0 – вращение отсутствует, μ = 2/3 – абляция тела за счет
вращения происходит равномерно по всей поверхности, так что коэффициент формы тела A
сохраняется.
Тогда решение уравнений (0.14) с начальным условием y = ∞, v = 1,
m = 1 имеет вид:
⎛
⎞
β
m = exp ⎜ −
(1 − v 2 ) ⎟
⎝ 1− μ
⎠
Δ
y = ln α + β − ln , Δ = Ei ( β ) - Ei(β v 2 ) ,
2
(0.15)
x
e z dz
Ei( x ) = ∫
,
z
−∞
(0.16)
Решение (0.15)-(0.16) имеет смысл при естественных ограничениях: m>0, v>0, y>0 и
отражает зависимость формы светлой части траектории от двух безразмерных параметров α
и β, характеризующих торможение и абляцию метеорного тела в атмосфере:
6
α=
1
ρ h S
cd 0 0 e ,
2 M e sin γ
β = (1 − μ )
c h V e2
.
2cd H ∗
(0.17)
При построении метода интерпретации наблюдений в данной работе далее в качестве
теоретической зависимости высоты от скорости будет использоваться аналитическое
решение (0.16).
Отметим, что при ограниченных значениях параметра уноса массы β аналитическое
решение (0.16) ранее заменялось более простым выражением (0.9). В частности, при
реализации
метода
наименьших
квадратов,
в
качестве
пробной
функции
ранее
использовалось это приближенное решение. Существует естественное ограничение
указанной аппроксимации (Грицевич, 2006). Функция (0.9) имеет точку перегиба при v = e-1.
Производная функции (0.9) в точке перегиба равна Y′(e-1, β) = e – 0.83β. Так что при, что при
любом β > e/0.83 = 3.275, функция (0.9) имеет на интервале 0<v<1
два локальных
экстремума и корректно использовать ее, в качестве приближения монотонной функции
(0.16), возможно лишь на отрезке νmin ≤ ν ≤ 1, где νmin – точка локального минимума функции
(0.9) (локальный максимум в данном случае всегда оказывается левее). На рис. 2 приведено
графическое сопоставление функций (0.9) и (0.16) для β = 1, 3, 5 (построены графики
функций Y(ν, β)=y(ν, α, β) – ln α).
1.2. Новый метод определения динамических параметров метеорных тел по данным
наблюдений
Как уже отмечалось, для фотографической регистрации полетов метеорных тел в
атмосфере Земли организовывается работа специальных болидных сетей. С этой целью
формируются различные станции, на которых устанавливается достаточное число
широкоугольных фотографических камер так, чтобы они перекрывали значительную часть
неба. Значения высот точек атмосферной траектории над уровнем моря определяются по
нескольким фотографиям, произведенным одновременно камерами различных станций.
Объектив камеры открывается и закрывается специальными затворами с известной
периодичностью, например, при помощи вращающегося обтюратора (диск с лопастями),
вследствие чего след метеора выглядит как ряд черточек,
по длине которых
можно
рассчитать скорость в отдельные моменты времени.
Итак, пусть известны значения высоты и скорости полета в отдельных точках – hi и
Vi, (i=1,…,n), n ≥ 3, где Ve=V1 – начальная скорость входа. Тогда задача о приближении
7
наблюдаемого движения болида сводится к поиску значений параметров, при которых
теоретическая зависимость высоты от скорости наилучшим образом аппроксимирует данные
наблюдений. Баллистический коэффициент α характеризует интенсивность торможения, так
как он пропорционален отношению массы столба атмосферы с поперечным сечением Sе
вдоль траектории к массе тела. Параметр уноса массы β пропорционален отношению доли
кинетической энергии единицы массы тела, поступающей к телу в виде тепла, к
эффективной энтальпии испарения. Поэтому при подборе этих параметров основной акцент
следует делать на наилучшую аппроксимацию именно того участка траектории, где
торможение и абляция достаточно четко выражены. Другими словами, особую ценность
представляют собой наблюдения на заключительном этапе, предшествующем полному
погасанию болида. Универсальным алгоритмом решения такой задачи является применение
взвешенного метода наименьших квадратов, позволяющего регулировать вклад тех или иных
данных в результат. С другой стороны, расстановка весов вручную затруднила бы
исследование, сделала бы его недостаточно объективным. Заметим, что по мере
приближения метеорного тела к поверхности Земли значения высоты и скорости полета
уменьшаются, поэтому к корректному результату удается придти, переходя от рассмотрения
самих y к e-y, т.е. путем использования зависимости (0.16) в следующей форме:
x
et dt
2α exp ( − y ) − Δ exp(− β ) = 0, Δ = Ei ( β ) - Ei(βv ), Ei( x) = ∫
t
−∞
2
(0.18)
Если бы существовали такие значения параметров α и β, при которых все пары
yi=hi/h0, νi=Vi/Ve в точности удовлетворяли (0.18), то, очевидно, теоретическая кривая (0.16) с
этими параметрами проходила бы через все точки наблюдений. Будем искать оценки для α и
β, основываясь на минимизации суммы квадратов значений левой части соотношения (0.18):
n
Q4 (α , β ) = ∑ ( Fi ( yi , vi ,α , β )) 2 ,
(0.19)
i =1
где Fi ( yi , vi ,α , β ) = 2α exp ( − yi ) − Δ i exp(− β ), Δ i = Ei ( β ) - Ei(βvi 2 ).
Поскольку параметр уноса массы – положительное действительное число, далее
используется представление интегральной экспоненты в виде ряда:
∞
xn
Ei( x) = с + ln x + ∑
,
n =1 n ⋅ n !
8
где с = lim(
n →∞
n
1
∑ k − ln n) ≈ 0.5772 – постоянная Эйлера.
k =1
Тогда Δ i = Ei ( β ) - Ei(β vi 2 ) = − 2 ln vi +
∞
βk
∑ k ⋅ k !(1 − v
2k
i
k =1
).
Параметр α, соответствует нулю частной производной
n
∂Q4 (α , β )
= 4∑ (2α exp ( − yi ) − Δ i exp(− β )) ⋅ exp(− yi ) = 0
∂α
i =1
и определяется следующим выражением:
n
α=
∑e β
− − yi
i =1
n
2∑ e
⋅ Δi
−2 yi
∞
, Δ i = −2ln vi + ∑
βk
(1 − vi2 k ).
k =1 k ⋅ k !
(0.20)
i =1
Далее,
n
∂ Q 4 (α , β )
= 2 ∑ Fi ( y i , vi , α , β ) ⋅( Δ i − ( Δ i )′β ) exp( − β ) = 0 ,
∂β
i =1
что, после подстановки (0.20), приводит к необходимому условию экстремума в следующем
виде:
⎡⎛ ⎛ n
⎤
⎞
⎞ ⎛ n
⎞
f ( β ) = ∑ ⎢⎜ Δ i ⎜ ∑ exp( −2 yi ) ⎟ − ⎜ ∑ Δ i exp ( − yi ) ⎟ exp ( − yi ) ⎟ ⋅ ⎛⎜ Δ i − ( Δ i )′β ⎞⎟ ⎥ = 0
⎠⎦
i =1 ⎣ ⎝
⎝ i =1
⎠ ⎝ i =1
⎠
⎠ ⎝
n
(0.21)
∞
β k −1
k =1
k!
где ( Δ i )′β = ∑
(1 − vi2 k ) .
Решение (0.21) найдено численно, методом Ньютона. Для реализации этого метода в
качестве начального приближения β0 можно взять β, вычисленное методом Q3(α, β)
(Грицевич, Стулов, 2006).
Проанализируем полученное решение. Известно, что в точке минимума функции Q4,
квадратичная форма d2Q4(α, β) положительно определена. Ясно, что
n
∂ 2 Q 4 (α , β )
8
е − 2 уi > 0
=
∑
2
∂α
i =1
9
Следовательно, при найденных оценках для α и β, для положительной определенности
остается проверить выполнение следующего условия:
2
∂ 2 Q 4 (α , β ) ∂ 2 Q 4 (α , β ) ⎛ ∂ 2 Q 4 (α , β ) ⎞
−⎜
⎟ >0
∂α 2
∂β 2
⎝ ∂α ∂β
⎠
(0.22)
Подстановка в (0.22) выражений для вторых частных производных дает достаточное
условие локального минимума функции Q4 в виде:
n
n
i =1
i =1
∑ е −2 уi ∑ ((( Δ i )′β −Δ i ) 2 + ( Δ i − 2α exp( β − yi )))(( Δ i )′′β − 2( Δ i )′β + Δ i )
⎛
⎞
⎜ ∑ exp( − y i )( Δ i − ( Δ i )′ ) ⎟
⎝ i =1
⎠
n
∞
где ( Δ i )′β = ∑ β
k =1
k −1
k!
(1 − v i2 k ) ,
(Δ i )′′β = ∑
∞
k =2
β
k −2
( k − 2 ) !⋅ k
2
> 1 (0.23)
(1 − v i2 k ) .
Если левая часть этого неравенства оказывается меньше правой, то квадратичная
форма знакопеременная, т. е. исследуемое решение уравнений (0.20)-(0.21) не является
точкой экстремума Q4. В этом случае процедуру поиска решения следует повторить, начиная
с другого начального приближения β0.
Как показывает практика, существует два различных решения уравнения (0.21), при
этом искомой точке минимума соответствует меньшее значение β. Второе значение, вместе с
вычисленным по нему параметром α (0.20), определяет для функции Q4 седловую точку.
Численный результат практически не меняется при включении в Q4 наблюдаемых
точек траектории с близкими к единице значениями νi, эти точки вносят близкие к нулю
слагаемые в саму сумму (0.19) и, как следствие, в соотношение (0.21). Это обстоятельство
дополнительно свидетельствует о целесообразности применения пробной функции в форме
(0.18), позволяющей включать в (0.19) весь имеющийся наблюдательный базис (yi, vi), не
отбрасывая заранее точки с малым торможением и абляцией.
Описанный метод нахождения параметров, табличные результаты расчета по
реальным данным и графическое сопоставление рассчитанных траекторий с фактическими
представлены в опубликованной работе автора (Грицевич, 2008а).
10
1.3. Сопоставление оценок, полученных при помощи различных методов по одним и тем
же наблюдательным данным
В монографии (Стулов и др., 1995) на основе приближенного решения (0.9) описаны
две схемы метода наименьших квадратов.
В первом случае для безразмерных переменных составляется сумма
n
Q1 (α , β ) = ∑ ( yi (vHi ,α , β ) − yHi ) 2 ,
(0.24)
i =1
где yHi=hi/h0, νHi=Vi/Ve, в качестве функции y(ν, α, β) предлагается использовать решение
(0.9). При этом точки неопределенности функции сразу отбрасываются, т. е. в (0.24) могут
входить наблюдения, для которых 0<ν<1. Значения α и β, при которых Q1 достигает
минимума, определяются в явном виде:
⎡1 n
⎤
α = exp ⎢ ∑ (−0,83β (1 − vHi ) + ln(− ln vHi ) + yHi ) ⎥ ,
⎣ n i =1
⎦
(0.25)
⎡
⎤
1 n
−
−
v
−
y
+
−
v
+
y
ln(
ln
)
(ln(
ln
)
)
∑
∑
⎢
Hi
Hi
Hj
Hj ⎥ ⋅ vHi
n j =1
i =1 ⎣
⎦
β=
.
n ⎡
n
⎤
1
0,83∑ ⎢ ∑ (1 − vHj ) − (1 − vHi ) ⎥ ⋅ vHi
i =1 ⎣ n j =1
⎦
(0.26)
n
Во втором случае ищется минимум суммы
n
Q2 (α , β ) = ∑[vHi ( yHi ,α , β ) − vHi ]2 ,
(0.27)
i =1
где значения ν(y, α, β) вычисляются с помощью функции, обратной (0.9).
Здесь условия равенства нулю частных производных приводят к системе из n+2
уравнений относительно n+2 неизвестных – α, β, νi (i=1,…,n):
yНi = ln α − ln(− ln vi ) + 0.83(1 − vi ) β
(0.28)
(vHi − vi )vi2 ln vi
=0
∑
0,83
v
ln
v
1
β
⋅
+
i =1
i
i
(0.29)
n
n
(vHi − vi )vi ln vi
∑ 0,83β ⋅ v ln v + 1 = 0
i =1
i
11
i
(0.30)
Для решения системы берется начальное приближение α, β вычисленное по первой
схеме. При этом в (0.27) включаются только точки наблюдения, для которых ν <0.9. Из
уравнения (0.28) методом Ньютона определяются значения νi(0). После этого (0.29) и (0.30)
решаются также методом Ньютона с использованием полученного начального приближения
и обратной функции νi=νi(yHi, α, β), получаемой на каждой итерации численно из уравнения
(0.28).
Недостатком второй схемы является ее громоздкость.
Непосредственное применение формул (0.25)–(0.26) показывает, что найденные с их
помощью параметры α и β существенно зависят от количества точек наблюдения –
расчетного базиса, учитываемого в формуле (0.24). Это хорошо видно при исключении из
Q1(α,β) начальных точек траектории, где еще нет заметного уменьшения скорости
метеороида. Так, например, для болида CN 018, параметры уноса массы, посчитанные по
формуле (0.26) для семи и десяти последних наблюдаемых точек соответственно равны
0,9391 и 0,3119. Геометрически это означает, что «восстановленная» методом Q1 траектория
движения проходит в непосредственной окрестности начальных точек базиса, то есть эти
точки для Q1 являются определяющими. Отметим, что наилучшее приближение данных
именно на участке выраженного торможения тела есть достаточно важный критерий при
получении оценок для α и β. В связи с этим при расчете методом Q1 на расчетный базис
накладываются некоторые ограничения, например, учитываются лишь те наблюдения, для
которых ν < 0.9.
В работе (Грицевич, Стулов, 2006) оценки основных параметров находились путем
использования приближенного решения (0.9) в следующей форме:
α ex p ( − y ) + ln v exp ⎡⎣ − 0, 83 β (1 − v ) ⎤⎦ = 0
(0.31)
Тогда искомые параметры α и β определяются значениями, на которых достигается
минимальное значение следующего выражения
n
Q3 (α , β ) = ∑ F 2 ( yi , vi ,α , β ) ,
(0.32)
i =1
где F(yi, νi, α, β)– левая часть (0.31), а yi, vi – данные наблюдений.
Минимум функции Q3(α, β) определяется соотношениями
∂Q3
∂α
= 0,
β
∂Q3
=0
∂β α
12
(0.33)
Первое соотношение (0.33) дает явное выражение для параметра α:
n
α=
− ∑ exp ⎡⎣ −0.83β (1 − vi ) − yi ⎤⎦ ln vi
i =1
(0.34)
n
∑ exp ( −2 y )
i
i =1
n
∂Q3 (α , β )
= 2 ∑ Fi ( yi , vi , α , β ) ⋅ ln vi ⋅ e −0,83 β (1− vi ) ( − 0,83(1 − vi )) ,
∂β
i =1
Далее,
для
простоты дальнейшего изложения введем новую переменную b:
b = e −0,83 β
(0.35)
n
n
∂Q3 (α , β )
1− vi
− yi
= 0 ⇒ α ⋅ ∑ b ⋅ e (1 − vi )ln vi + ∑ b 2−2 vi (1 − vi )ln 2 vi = 0 ,
∂β
i =1
i =1
Из
подставляя сюда вместо α выражение (0.34) получим трансцендентное уравнение:
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
∑ b1−vi ⋅ e− yi ln vi ∑ b1−vi ⋅ e− yi (1 − vi )ln vi = ∑ e−2 yi ∑ b2−2vi (1 − vi )ln 2 vi
(0.36)
Поскольку β ≥ 0, b ∈ ( 0,1] . Пусть x=b – 1=e–0,83β – 1, x ∈ ( −1,0] . Разложим в ряд
Тейлора
в
окрестности
b1−vi = (1 + х)1−vi = 1 + (1 − vi ) x +
точки
х
все
множители
следующего
вида:
(1 − vi )(−vi ) 2
x + o( x 2 ) (Грицевич, 2007).
2
2
Тогда (0.36) с точностью до o( x ) есть квадратное уравнение
Ax 2 + Bx + C = 0 ,
где
коэффициенты
n
А,
С
определяются
соотношениями
(0.38):
n
5
3 2
1 n − yi
А = ∑ e (1 − vi )ln vi ∑ e (1 − vi + vi )ln vi − ∑ e ln vi ∑ e− yi (vi − vi2 + vi3 )ln vi −
2
2
2 i =1
i =1
i =1
i =1
n
−∑ e
−2 yi
i =1
n
В,
(0.37)
− yi
n
− yi
∑ (1 − 4v + 5v
i
i =1
2
i
− 2vi3 )ln 2 vi
2
n
n
n
n
⎛ n − yi
⎞
− yi
− yi
−2 yi
2
В = ⎜ ∑ e (1 − vi )ln vi ⎟ + ∑ e ln vi ∑ e (1 − vi ) ln vi − 2∑ e ∑ (1 − vi ) 2 ln 2 vi
i =1
i =1
i =1
i =1
⎝ i =1
⎠
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
C = ∑ e − yi ln vi ∑ e− yi (1 − vi )ln vi −∑ e−2 yi ∑ (1 − vi ) ln 2 vi
(0.38)
13
Выбираем корень (0.37), попадающий на полуинтервал (–1, 0], искомый параметр
уноса массы: β = − (ln( x + 1)) / 0, 83 .
Преимущество описанного алгоритма нахождения приближенного значения β
состоит, во-первых, в отсутствии необходимости варьировать расчетным базисом (по
сравнению с Q1 – здесь можем брать все точки), во-вторых, в возможности аналитической
записи результата.
Точное решение уравнения (0.36) находится численно методом Ньютона. В качестве
начального приближения выбирался либо корень описанного выше квадратичного
приближения, либо значение b0 = 1; в среднем это не приводит к значительному увеличению
количества итераций.
Из (0.35) находим β = – (ln b) / 0.83, что позволяет рассчитать α согласно (0.34).
Результат расчета описанными методами частично приведен в таб. 1, где метод Q1
подразумевает расчет α, β по формулам (0.25)–(0.26) для двух различных базисов; в методе
Q3 α вычислялось согласно (0.34), β - решение квадратного уравнения (0.37) и решение
(0.36) методом Ньютона соответственно. При расчете Q3 учитывались все наблюдения.
Результат расчета методом Q2 для некоторых болидов Прерийной сети США, в том числе и
Лост Сити, представлен в (Стулов и др., 1995).
Таблица 1. Значения параметров α и β при расчете различными методами.
№
болида
10 точек,
Q1(α, β )
7 посл. точек,
Q1(α, β )
Тейл. приближение
Q3(α, β )
численный
раcчет Q3(α, β )
α
β
α
β
α
β
α
β
018
39,55
0,31
30,6
0,94
28,42
1,13
25,50
1,36
223
11,67
2,95
19,78
1,65
23,28
1,24
19,98
1,60
567
98,66
1,64
111,62
1,34
120,57
1,16
107,15
1,43
925
48,27
1,27
44,49
1,39
48,68
1,26
45,11
1,39
В разделе 1.1 уже отмечалось, что при β >3.275 у функции (0.9) появляется интервал,
на котором она монотонно убывает. Это неверно физически, поскольку по мере спуска
метеорного тела в атмосфере и высота, и скорость уменьшаются. Поэтому приближать
реальное движение этой функцией возможно лишь вне этого интервала, что накладывает
некоторые ограничения на возможность применения метода Q3. Метод нельзя использовать,
в частности, в случаях, когда точка минимума приближенного решения (0.9) принадлежит
14
заданному интервалу наблюдаемых скоростей. Для точек экстремума
функции (0.9)
справедливо соотношение:
β = − ( 0. 83 v ln v ) − 1
Это выражение позволяет построить область допустимых значений β в зависимости
от заданного интервала скоростей.
1.4. Оценка внеатмосферной массы метеорного тела
Используя формулу для вычисления коэффициента формы тела при входе в
атмосферу: Ae=Se / We2/3, перепишем выражение (0.17) для баллистического коэффициента α
следующим образом
1
2
α = cd
ρ0 h0
Ae
2/3
sin γ ρ m M e1/3
(0.39)
Другими словами, внеатмосферную массу Me можно оценить по найденному
значению параметра α:
⎛1
ρh
Ae ⎞
M e = ⎜ cd 0 0
2/3 ⎟
⎝ 2 α sin γ ρ m ⎠
В формуле (0.40) используются
3
(0.40)
известные параметры: плотность атмосферы на
3
уровне моря ρ0 = 1.29ּ10–3 г/см , высота однородной атмосферы h0 = 7.16ּ10 5 см, угол
траектории с горизонтом – γ, а также параметры, определяемые на основе физических теорий
или специальных гипотез: коэффициент сопротивления cd, плотность болида ρm,
коэффициент формы Ae.
При нахождении массы на основе торможения основным недостатком является
отсутствие сведений о форме метеороида и его физико-механических свойствах. Обычно
рассматривают случай начальной сферической формы тела с Ae = 1,21, cd = 1. Значение
плотности тела принято полагать равным реальной плотности каменных метеоритов
3
ρm = 3,5 г/см .
15
1.5. Вычисление ускорения метеорного тела
Как было замечено во введении, в некоторых случаях, с целью получения оценок
масс возможных метеоритов, наблюдатели вычисляют динамическую массу метеороида в
нижней части траектории. Эти вычисления проводятся с использованием локальных
значений ускорения тела
dV
, получаемого численным дифференцированием наблюдаемой
dt
зависимости V(t).
Отметим, тем не менее, что существует возможность аналитически определить
величину торможения (отрицательного ускорения)
траектории. Величина
вдоль всего светящегося участка
dу
может быть определена непосредственно из самого решения
dv
(0.16). Используя соотношение (0.12), а также представление для интегральной экспоненты
Ēi(x) при действительных значениях аргумента в виде ряда, для расчета ускорения как
функции скорости метеорного тела получим следующее выражение:
dV
V 2 ⋅ v 2 sin γ
= e
⋅
dt
h0
ln v −
∞
∑
β k (1 − v 2 k )
k =1
∞
1+
∑
k =1
2k ⋅ k !
β k v 2k
k!
(0.41)
В общем случае, когда значение угла γ не приведено в данных наблюдений, чтобы
оценить sin γ достаточно вычислить разностную производную функции h( t ) по формуле
(0.12), например, с использованием центральных разностей для внутренних точек, после чего
взять
среднее
арифметическое
значение.
(Рассматриваемая
задача
сводиться
к
прямолинейному торможению болида в атмосфере, так что изменение угла γ, в отличие от
величины ускорения, во время движения не значительно.)
Список литературы
Ceplecha Z. Geometric, dynamic, orbital and photometric data on meteoroids from photographic
fireball networks // Bulletin of the Astronomical Institute of Czechoslovakia, 1987, V. 38, p.
222-234.
Halliday I., Griffin A. A., Blackwell A. T. The flux of meteorites on the Earth’s surface. //
Meteoritics, 1989, 24, p. 173-178.
16
Halliday I., Griffin A. A., Blackwell A .T. Detailed data for 259 fireballs from the Canada camera
network and inferences concerning the influx of large meteoroids // Meteoritics & Planetary
Science, 1996, V. 31, p. 185-217.
Wetherill G. W., ReVelle D. O. Which fireballs are meteorites— A study of the Prairie Network
photographic meteor data // Icarus, 1981, 48, p. 308-328.
Грицевич М. И. Анализ траекторий болидов и условия образования кратеров // Труды
конференции-конкурса молодых ученых 12-17 октября 2005 г. Изд-во МГУ, 2006, с. 158165.
Грицевич М. И. Определение внеатмосферных масс болидов Канадской сети. Изд-во
механико-математического факультета МГУ, 2007, 40 с.
Грицевич М. И. Идентификация динамических параметров болидов // Вестник Московского
университета. Серия 1. Математика. Механика, 2008а, № 1, с. 38-42.
Грицевич М. И. К вопросу о применимости фотометрической формулы при оценке массы
болидообразующих тел // ДАН, 2008б, т. 418, № 5, с. 624–630.
Грицевич М. И., Стулов В. П. Внеатмосферная масса болидов Канадской сети // Астрон.
вестник, 2006, т.40, № 6, с. 522-529.
Ждан А. И., Стулов В. П., Стулов П. В., Турчак Л. И. Коэффициенты сопротивления тел
метеоритных форм // Астрон. вестник, 2007, т. 41, № 6, с. 544-547.
Кулаков А. Л., Стулов В. П. Определение параметров метеорных тел по данным наблюдений
// Астрон. вестник, 1992. Т. 26. № 5. С. 67-75.
Левин Б. Ю. Физическая теория метеоров и метеорное вещество в солнечной системе. М.:
АН СССР, Москва ,1956, 296 с.
Стулов В. П., Мирский В. Н., Вислый А. И. Аэродинамика болидов. М.: Наука, 1995, 236 с.
Цеплеха З. Болиды Европейской сети // Метеоритика, 1978, Вып. 37, с. 60-68.
Янке Е., Эмде Ф., Лэш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1964, 344 с.
17