Задача распределения корней характеристического полинома

УДК 62-50
З А Д А Ч А РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО
ПОЛИНОМА АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ
ХАРИТОНОВ В. Л.
{Ленинград)
Выделяется класс областей плоскости комплексного переменного,
доя которых утверждение «собственные числа матрицы А лежат в обла­
сти» эквивалентно выполнению системы неравенств, содержащих только
рациональные функции от мнимых и вещественных частей коэффици­
ентов характеристического полинома матрицы А.
4
*
1. Постановка задачи
При решении ряда задач автоматического регулирования необходимо
иметь эффективные критерии того, что собственные значения матрицы ле­
ж а т в заданной области плоскости комплексного переменного. В работе
[1] изучен класс областей, включающий классические (полуплоскость,
круг). Отпишем его. Пусть г (К, \х) — полином с комплексными коэффи­
циентами
1
от
<1)
1
г(А,ц)= J ^ c ^ - y - .
Каждый полином (1) определяет на плоскости комплексного перемен­
ного (z) область
(2)
R±{z\r(z,z)>0}.
Пусть матрица С=={Сгз}, составленная из коэффициентов полинома (1),
эрмитова. Будем говорить, что эрмитова матрица Н положительна, и пи­
сать # > 0 (неотрицательна, Я ^ О ) , если отвечающая ей эрмитова форма —
зположительно определенная (неотрицательная).
Будем говорить, что область R обладает свойством (L), если утвержде­
ние «корни полинома f(z)
принадлежат области R» эквивалентно
выполнению системы неравенств, включающих только рациональные
'функции от вещественных и мнимых частей коэффициентов полинома
J(z) (эти неравенства зависят от полинома г (Я, |х)). Класс, выделенный
в [ 1 ] , состоит из областей (2), для которых матрица С имеет ранг 2 и сиг­
натуру 0 (под сигнатурой эрмитовой матрицы понимаем сигнатуру отве­
чающей ей эрмитовой формы). Все области этого класса обладают свойст­
вом (L). Более того, Р. Калман высказал в [1] предположение, что это
^наибольший класс алгебраических областей, обладающих свойством ( L ) .
Но это не так. Например, полином
42
определяет область R= |
г
2
р
) ( £j.
1
j( ^
Р^'
^~*)
>
°}
=
z
{ '
1=
ф
р -2 - ^0 L Матрица С имеет ранг 1 и сигнатуру 1. Корни
г
г=1
^
f(z)
*
лежат в области R тогда и только тогда, когда полиномы f(z) и (p(z) не
имеют общих корней, т. е. отличен от нуля их результант [2], являю­
щийся полиномом от коэффициентов f(z) и q>(z). Следовательно, и эти об­
ласти обладают свойством (L).
Еще один класс областей, обладающих свойством (L), выделен в ра­
боте [ 3 ] . Этот класс определяется полиномамж
\i)
2
2
^c +c 2ix+C2iX+c 2h\i+c 3\i '+c X
ii
i
2
I
3i
1
у которых с < 0 . У таких полиномов матрица С имеет ранг 3 и сигнатуру
(-1).
В работе указан новый класс, содержащий все предыдущие. Оказы­
вается, свойством (L) обладают все области, у которых инварианты матри­
цы С удовлетворяют условию
(3)
rang (C)+signat (С) =2.
22
При доказательстве этого утверждения будем пользоваться теорией
линейных матричных уравнений. Основная теорема будет сформулирована
для задачи распределения собственных значений матрицы. Решение зада­
чи распределения корней полинома получается из нее при соответствую­
щем выборе матричного уравнения.
2. Основные результаты
Пусть задана матрица А порядка п с комплексными коэффициентами.
Составим линейное матричное уравнение
т
(4)
J^c^XA'^^Y.
Здесь Y — заданная, а X — искомая эрмитовы матрицы (* означает
комплексное сопряжение). Полагаем, что матрица С=\сц} порядка т эр­
митова.
Теорема 1. Пусть ранг и сигнатура матрицы С удовлетворяют усло­
вию (3). Тогда следующие два утверждения эквивалентны: а) собствен­
ные числа матрицы А лежат в области (2); б) для любой матрицы У > р
решение уравнения (4) X X ) .
В примере 1 приведена область (2), не удовлетворяющая условию (3),
Для нее утверждения а) и б.) теоремы неэквивалентны.
п
Получим условия того, что все корни п о л и н о м а / ( z ) = \
k
a z с компk
лексными коэффициентами лежат в области (2). Для этого в уравне­
нии (4) вместо матрицы А возьмем сопровождающую матрицу F полино~
ма f(z):
/О
0
0. . . О (—Ooa;i)
\
/ 1
0
0. . . 0
\
0
\0
1
0
(
_
a
i
a
;
i)
°« ' - °
(-а<)"
0. . . 1
(-а^а;!)/
43
а положим Y=E
(Е — единичная матрица). Получим уравнение
га
!
J ^ C t F - W - ^ E .
(5)
Теорема 2. Пусть матрица С удовлетворяет условию ( 3 ) . Для того что­
бы все корни f(z) лежали в области ( 2 ) , необходимо и достаточно, чтобы
матрица X была положительно определенной.
Решение X уравнения (5) является эрмитовой матрицей, элементы ко­
торой — рациональные функции от вещественных и мнимых частей коэф­
фициентов полинома / ( z ) . Условия положительной определенности X со­
стоят в положительности ее главных миноров.
Замечание 1. Для построения решения уравнения (4) достаточно ре­
шить уравнение
т
(6)
^
Ctf'-'XP'-^eieS
• (еГ=(1,0,...,0)).
i,3=l
Действительно, пусть Х={чц} удовлетворяет (6). Тогда решение X
уравнения (4) представимо в виде [4]
п
г,3=1
.
Это замечание позволяет представить решение уравнения (5) в виде
п
11 1
X^^F^XF* - .
Замечание 2. Если в правую часть уравнения (5) вместо Е подставить
п
любую положительно определенную матрицу
-*v
Y = \
vv*
k
k
(z>i,.
и , . •.
2
— линейно независимые векторы), то
n
n
%=
]^РЛР)ХрАР)%
Jk-l
п
1
где p (X) = (l, X,... ,Х " )и
(fc=l, 2 , . . . , n). Выписав условия положи­
тельной определенности X, получим еще один критерий того, что все кор­
ни полинома f(z) лежат в области ( 2 ) .
k
к
3. Примеры
1. Для уравнения
2
2
9X-4AX-4XA*+A XA* =Y
матрица
С =
2
2 2
имеет ранг 3 и сигнатуру 1. Область R=={x+iy\9-8x+(x +y ) >0}.
матрица А = I
\ 0
Пусть
] . Собственные числа матрицы A ( X i — 1 , Я = 2 ) при2
2 /.
/2
надлежат области R. С другой стороны, при
Х=
^
9-1)
н
е
я
в
л
я
е
т
с
я
1\
Y= у ^
> 0 решение
положительно определенным. Если положим
1
/1 0 \
/ 2'- 0 \
Y = у
j > 0, то решение X = | ^
j > 0. Этот пример показы­
вает, что для областей, не удовлетворяющих условию (3), утверждения
а) и б) теоремы 1 могут быть неравносильными.
2. Полином г (Я, \х) =X\x(X+\i) —2 определяет область
R={x+iy\x(x +y )-l>0}.
2
2
Для этой области выполнено условие (3) (ранг матрицы С равен 3,
а ее сигнатура равна (—1)). Найдем условия того, что все корни полинома
f(z) =z +a z+a
принадлежат области R. Уравнение (5) примет вид
2
{
0
2
2
-2X+F XF*+FXF* =E
1
здесь F=
а
° \ .
—aj
\ 1
Расписав последнее уравнение
покомпонентно,
получим линейную алгебраическую систему для определения элементов
~
(х,
х\
.
матрицы Х= I
) *
2
\
Х$1
Х
2
2
—2x +2a x —2а<Дгз=1,
i
0
2
2
2
~а Х1+(За а —2)х2+(ао —2а а )х =0
0
0
1
0
2
3
1
3
—2a x +(ia —2a )x +(2a ai~2a —2)x3=l
i
l
1
Q
2
0
i
(считаем, что
и а вещественные). Решение этой системы находится по
формулам Крамера. Элементы вектора решения являются рациональными
функциями от а и а . Ввиду громоздкости не будем выписывать явное вы­
ражение решения. Условия того, что все корни f(z) ^=z +a z+a
лежат
в области i?, имеют вид
0
4
0
2
i
^!>0,
Q
2
XiXz—х >0.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Прежде чем перейти к доказательству теоремы 1, приведем несколько вспомо­
гательных утверждений.
Лемма 1. Пусть заданы: 1) набор полиномов pi(z), £ ( z ) , . . . , P«00 -с комплекс­
ными коэффициентами и 2) набор комплексных чисел zu z2,...,
zn. Тогда из нера­
венств
S
2
y
Pi(zi)pi{zi)-
^p (zi)pk(zi)>0
k
(г=1, 2 , . . . ,тг)
fe=2
следуют неравенства
S
(7)
Pi(Zj)pi(zj)-
у* Рк&)р (г])Ф0
к
(t,/=l,2,...,ii).
Доказательство. Используя неравенство Буняковского, покажем, что модуль
первого слагаемого в неравенстве (7) превосходит модуль оставшейся суммы
\pi(zi)MzJ\
= (Pi(zi)p^Y47^
h
[J^Ph(*t)pi&)^
х
45
,y
S
2
h=2
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Если для некоторой матрицы 7 > 0 решение уравнения (4) Z > 0
то собственные числа матрицы А лежат в области (2).
Доказательство. Пусть х* - левый собственный вектор матрицы А, отвечающий
собственному значению X (х*А=Хх*).
Умножив уравнение (4) слева на x* а спра­
ва на х, получим
0
0
?
t
г( Я,
X)x*X x=x*Y x.
0
0
Так как Х > 0 и 7 о > 0 , то г ( Я Д ) > 0 , а значит, X^R.
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Пусть собственные числа матрицы А лежат в области (2), тогда су­
ществует такая матрица Г > 0 , что уравнение (4) имеет решение Х > 0 .
Доказательство этой леммы приведено в работе [ 5 ] .
Перейдем к доказательству теоремы 1. То, что б)->а), есть очевидное следствие
леммы 2. Доказательство а)-> б) разобьем на два этапа.
1. Покажем сначала, что если собственные числа матрицы А л е я т т в области
(2), то уравнение (4) имеет решение при любом выборе матрицы Y. Матрица С
удовлетворяет условию (3), а значит, представима в виде
0
0
0
s
(8)
Y^v v \
C = v v *i
k
i
k
где Vi, i 7 2 , . . . , v — линейно независимые вектор-столбцы. Левая часть уравнения (4)
определяет линейный оператор в пространстве матриц порядка п. Собственными
числами этого оператора являются числа г (Я*, ~Х ), где Я- и Xj - произвольные собст­
венные числа матрицы А [Б]. Из представления (8) имеем
s
3
г
ft«2
где Рк(Х) = №,- Я , . . . , Xn-^Vk
(&=1, 2 , » .
По предположению г(Х
Яг)>0
(г=1, 2 , . . . , тг), тогда по лемме 1 ни одно из чисел г(Яг,Х,) не равно нулю. Следо­
вательно, оператор, порожденный левой частью уравнения (4), не вырожден, а зна­
чит, (4) имеет решение при любом выборе матрицы Y.
2. Покажем, что при любом выборе матрицы Г > 0 решение уравнения (4)
Х > 0 . По лемме 3 существует Г о = 0 , при которой решение уравнения (4) Х > 0 .
Возьмем произвольную матрицу 7 > 0 и построим
(1—t) Y + tYi. Для t^[0, 1]
матрица F > 0 . Пусть X - решение уравнения (4), отвечающее Y . Матрица X
при t—О — положительно определенная и непрерывно зависит от t. Покажем, что
пои возрастании t от 0 до 1 ни одно из собственных чисел матрицы X не обратится
в ноль. Предположим противное, и пусть U — первый момент, когда d e t ( X ) = 0 .
Матрица Xt >O
и существует ненулевой вектор х, такой, что x*X x=0.
В силу
представления (8) уравнение (4) можно записать в виде
и
0
4
f
0
t
t
t
t
io
0
t
to
8
(9)
- y^p (A)X (Ay
(A)X (A)*
Pl
Pl
k
= 7.
Pk
fc=2
Позднее покажем, что матрица pi(A) не вырождена. Воспользуемся этим и
найдем вектор у, удовлетворяющий уравнению y*pi(A)=x*.
Подставим в уравне­
ние (9) Y=*Y и X=X ,
домножим получившееся равенство слева на у*, а спра­
ва на у:
to
to
y*p (A)X p (A)*y
k
to
k
=
y*Y y.
u
Здесь справа стоит положительное число, а слева - сумма неположительных
чисел. Это противоречие доказывает, что матрица X не может быть вырожденной,
а значит, X >0
при всех * [ 0 , 1 ] . При t=l получаем матрицу Х являющуюся ре­
шением уравнения (4) с правой частью У . Итак, решение уравнения (4) является
положительно определенной матрицей, если матрица, стоящая в правой части, по­
ложительно определенная. Для завершения доказательства осталось показать, что
матрица Рх(А) не вырождена. Пусть это неверно, и существует ненулевой вектор x
to
s
t
и
4
f
такой, что x*pi(A)=0.
Подставим в уравнение (9) Y=Y
и Х=Х .
равенство домножим слева на х*, а справа на х. Будем иметь
0
0
Получившееся
»
В этом равенстве справа стоит положительное число, а слева - сумма неположи­
тельных. Это противоречие показывает, что р±(А) — невырожденная матрица. Теоре­
ма 1 доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kalman R. Е. Algebraic characterization of polynomials whose zeros lie in certain
algebraic d o m a i n s . - Proc. Nat. Acad. Sci., 1969, v. 64, № 3, p. 818-823.
2. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. M.: Наука, 1966.
3. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1979.
4. Харитонов В. Л., Хитрое Г. М, Матричные уравнения и задача распределения
собственных ч и с е л . - В кн.: Всесоюзная конференция по устойчивости движе­
ния, колебаниям механических систем и аэродинамике (тезисы докладов). М.:
МАИ, 1978, с. 15.
5. Howland J. L. Matrix equations and the separation of matrix e i g e n v a l u e s . - J. Math.
Anal, and Appl., 1971, v. 33, № 3, p. 683-691.
Ленинградский государственный
Поступила в редакцию
университет
3. VI.1980
THE PROBLEM OF DISTRIBUTION OF ROOTS
FOR THE CHARACTERISTIC POLYNOMIAL OF A CONTROL SYSTEM
KHARITONOV V. L.
A class of regions of the complex variable plane is identified for which the state­
ment «eigen values of the matrix a stay in a region» is equivalent to truth of a set of
inequalities which contain only rational expressions of real and imaginary parts of
coefficients in the characteristic polynomial of the matrix A.