АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЧАСТЬ 2
АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Лекция 2
ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТРАКТОВКА
ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И ИХ СЛЕДСТВИЯ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: познакомить с элементарными сведениями из теории
множеств; сформулировать аксиомы теории вероятностей, их следствия и правило сложения вероятностей.
Элементарные сведения из теории множеств
Множеством называется любая совокупность объектов произвольной
природы, каждый из которых называется элементом множества.
Примеры множеств: множество студентов на лекции; множество точек на плоскости, лежащих внутри круга радиуса r; множество точек на
числовой оси, расстояние от которых до точки b с абсциссой а не превышает d; множество натуральных чисел.
Множества обозначаются по-разному. Множество M натуральных
чисел от 1 до 100 может быть записано как
M
{1, 2, , 100} {i целое; 1 i
100}
{i 1, 2, , 100} .
Множество точек на числовой оси, расстояние от которых до точки b
с абсциссой а не превышает d, можно записать в виде
S
{x a
d } или S
{x : x a
d} ,
где x – абсцисса точки.
Множество точек плоскости, лежащих внутри или на границе круга
радиуса r с центром в начале координат,
11
C
{x 2
y2
r 2 } или C
{( x, y ) : x 2
y2
r 2} ,
где x, y – декартовы координаты точки.
Еще одна запись этого множества
C {
r} ,
где
– одна из полярных координат точки.
По числу элементов множества делятся на конечные и бесконечные.
Множество M {1, 2, , 100} конечно и состоит из 100 элементов. Но
множество может состоять и из одного элемента и даже вообще не содержать элементов.
Множество всех натуральных чисел N1 {1, 2, , n, } бесконечно,
также как бесконечно множество четных чисел N2 {2, 4, , 2n, } .
Бесконечное множество называется счетным, если все его элементы
можно расположить в какой-то последовательности и пронумеровать (оба
множества, N1 и N 2 , являются счетными).
Множества S и C бесконечны и несчетны (их элементы нельзя пронумеровать).
Два множества A и B совпадают, если они состоят из одних и тех же
элементов: {1, 4} и {4, 1} . Совпадение множеств обозначается знаком равенства: А=В. Запись a A обозначает, что объект а является элементом
множества А или "а принадлежит А". Другая запись a A означает , что
"а не принадлежит А".
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и
обозначается символом
.
Множество В называется подмножеством (частью) множества А, если все элементы В содержатся и в А, и обозначается как B A или
A B . Например, {1, 2, 3} {1, 2, , 100} .
Подмножество может быть равно самому множеству. Графически
можно изобразить соотношение множества и подмножества, как показано
на рис. 2.1, где каждая точка фигуры В принадлежит и фигуре А, т. е.
B A.
Объединением (суммой) множеств А и В называется множество
C A  B A B , состоящее из всех элементов А и всех элементов В.
Таким образом, объединение – это совокупность элементов, принадлежащих хотя бы одному из объединяемых множеств.
Например: {1, 2, , 100} {50, 51, , 200} {1, 2, , 200} .
12
Геометрическая интерпретация объединения двух множеств А и В
показана на рис. 2.2.
A
A
B
B
А+B
Рис. 2.1. Множество А и подмножество В
Рис. 2.2. Объединение двух
множеств
Аналогично определяется объединение (сумма) нескольких множеств
n
A1
A2  An
Ai ,
i 1
где результирующее множество есть множество всех элементов, входящих
хотя бы в одно из множеств: A1 , A2 ,, An .
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество D, состоящее из элементов, входящих одновременно и в А, и в B :
D
A B
A B
AB .
A
Геометрическая интерпретация пересечения представлена на рис. 2.3.
Аналогично определяется пересечение нескольких множеств
n
A1 A2  An
B
АB
Рис. 2.3. Пересечение двух
множеств
Ai
i 1
как множество, состоящее из элементов, входящих одновременно во все
множества.
Операции объединения (сложения) и пересечения (умножения) множеств обладают рядом свойств, которые аналогичны свойствам сложения
и умножения чисел:
1. Переместительное свойство:
A B
B
A,
AB
BA .
2. Сочетательное свойство:
( A B) C
A ( B C ) , ( AB )C
13
A( BC ) .
3. Распределительное свойство:
A( B C )
AB
AC .
Прибавление пустого множества и умножение на пустое множество
аналогичны соответствующим операциям над числами, если считать нуль
за пустое множество:
A
A,
A
.
Некоторые операции над множествами не имеют аналогов в обычных
операциях над числами, в частности
A
A
A,
A A
A.
Аксиомы теории вероятностей и их следствия.
Правила сложения вероятностей
Пользуясь элементарными сведениями по теории множеств, можно
дать теоретико-множественную схему построения теории вероятностей и
ее аксиоматику.
При опыте со случайным исходом имеется множество
всех возможных исходов опыта. Каждый элемент этого множества
называют элементарным событием, само множество
– пространством элементарных событий. Любое событие А в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества
: A
. Если же в
свою очередь множество А распадается на несколько непересекающихся
подмножеств A A1 A2  An ( Ai A j
при i j ), то события
A1, A2 ,, An называют "вариантами" события А. На рис. 2.4 событие А
распадается на три варианта: A1, A2 , A3 .
Например, при бросании игральной кости пространство элемен{1, 2, 3, 4, 5, 6} . Если событие A {выпадение
тарных событий
четного числа очков} {2, 4, 6} , то варианты события А :
A2
{4}; A3 {6} ,
т. е. A
A1
A2
A3 .
14
A1 {2};
Подмножеством множества
можА
но рассматривать и само
– оно будет в
этом случае достоверным событием. Ко
А 1 А 2 А3
всему пространству
элементарных событий добавляется еще и пустое множество
; это множество рассматривается тоже
Рис. 2.4. Три варианта события А
как событие, но невозможное.
Теоретико-множественное толкование ранее рассмотренных свойств
событий сводится к следующему:
1. Несколько событий A1, A2 ,, An образуют полную группу, если
n
Ai
, т. е. их сумма (объединение) есть достоверное событие.
i 1
2. Два события А и В называются несовместными, если соответствующие
им множества не пересекаются, т. е. AB
. Несколько событий
A1, A2 ,, An называются попарно несовместными, если появление любого из них исключает появление каждого из остальных: Ai A j
при i
j.
3. Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих событий вместе. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы
одного из них.
4. Произведением двух событий А и В называется событие D, состоящее в
совместном выполнении события А и события В. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном выполнении
всех этих событий.
5. Противоположным по отношению к событию А называется событие A ,
состоящее в непоявлении А и соответственно дополняющее событие А до
(см. рис. 2.5).
На основе изложенного толкования
событий как множеств формулируются
A
аксиомы теории вероятностей.
Каждому событию А ставится в соответствие некоторое число, называемое веА
роятностью события P ( A) . Поскольку
любое событие есть множество, то вероятРис. 2.5. Событие А и противоность события есть функция множества.
положное событие A
15
Эти вероятности событий должны удовлетворять следующим
аксиомам:
1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:
0
P(A) 1 .
2. Если А и В – несовместные события, т. е. AB
P( A B)
, то
P( A) P( B) .
Эта аксиома легко обобщается с помощью сочетательного свойства сложения на любое число событий. Если Ai A j
при i j , то
n
P(
n
Ai )
P( Ai ) ,
i 1
(2.1)
i 1
т. е. вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей
этих событий.
Эту аксиому называют "теоремой" сложения (для схемы случаев она
может быть доказана), или правилом сложения вероятностей.
3 . Е сл и и м еется сч етн о е м н о жество н есо вм естн ых со бы ти й
при i j ), то
A1, A2 ,, An , ( Ai A j
P(
Ai )
P( Ai ) .
i 1
i 1
Эта аксиома не выводится из предыдущей аксиомы и поэтому формулируется как отдельная.
Для схемы случаев (схемы урн), т. е. для событий, обладающих свойствами полноты, несовместности и равновозможности, можно вывести
классическую формулу (1.1) для непосредственного подсчета вероятностей из правила сложения (2.1).
Пусть результаты опыта представляются в виде n несовместных случаев A1, A2 ,, An . Случай Ai благоприятен событию А, если он представляет подмножество А ( Ai
A ), или, иначе говоря, это вариант собы-
тия А. Так как A1, A2 ,, An образуют полную группу, то
n
Ai
.
i 1
16
Но все случаи A1, A2 ,, An несовместны, и к ним применимо правило сложения вероятностей
n
P(
n
Ai )
P( Ai )
i 1
P( ) 1 .
i 1
Кроме этого, так как все события A1, A2 ,, An равновозможны, то
P( A1 )
P( A2 )  P( An )
1 .
n
Благоприятные событию случаи образуют m A его вариантов, и так как
вероятность каждого из них равна 1 n , то по правилу сложения получаем
P( A)
1
1
1

n 

n 
n
mA
.
n
mA
Но это и есть классическая формула (1.1).
Следствия правила сложения вероятностей
1. Сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, т. е. если
n
Ai
;
Ai A j
при i
j,
i 1
то
n
P( Ai ) 1 .
i 1
Доказательство. Так как события A1, A2 ,, An несовместны, то к
ним применимо правило сложения
n
n
P( Ai )
i 1
P(
Ai )
P( ) 1 .
i 1
2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
P( A) P( A ) 1 ,
так как события А и A образуют полную группу.
Правило широко используется в задачах, когда проще вычислить вероятность противоположного события.
17
3. Если события А и В совместны, т. е. AB
P( A B)
P( A) P( B) P( AB ) .
В
AB
АВ
, то
AB
(2.2)
Доказательство. Представим A B как
сумму несовместных (непересекающихся) вариантов (см. рис. 2.6)
A B { A, но не B} {B, но не A}
А
Рис. 2.6. Сумма двух совместных
событий
{ AB}
AB
BA
AB .
По правилу сложения
P( A B)
P( AB ) P( BA ) P( AB) .
(2.3)
Но
A
B
AB
BA
AB, P( A) P( AB ) P( AB) ,
AB, P( B) P( BA ) P( AB) ,
откуда получаем
P( AB )
P( A) P( AB), P( BA )
P( B) P( AB).
После подстановки полученных выражений в (2.3) имеем
P( A B)
P( A) P( AB )
P( A)
P( B) P( AB )
P( AB )
P( B) P( AB ),
что и требовалось доказать.
Формулу (2.3) можно вывести и для более чем двух совместных событий.