Примеры решения типовых задач

1
№𝟏 Для вариантов заданы два множества А и В (см. таблицу). Определить множества АВ,
̅, 𝑩
̅.
АВ, А\В, В\А, А∆В, 𝑨
Вариант
3
Множество А
{1, 2, 4, 6, 9}
Множество В
{1, 2, 3, 6,7}
Множество U (универсальное)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
№𝟐 Для вариантов 𝟏 − 𝟖 доказать тождество, иллюстрируя на диаграммах Эйлера − Венна:
(𝐴 ∪ 𝐶)\(𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴\(𝐵 ∪ 𝐶)
1)
№𝟑 доказать или опровергнуть тождественную истинность (тавтологию):
10) ((𝐵 → 𝐶) → ((A𝐵) → (A𝐶))) ;
№𝟒 Вычисление вероятностей случайных событий по классической формуле. Теоремы
сложения и умножения вероятностей.
1) В магазин поступило 14 телевизоров, из которых 5 требуют дополнительной регулировки.
Какова вероятность того, что среди двух отобранных случайным образом для продажи телевизоров
потребуют регулировки:
а) хотя бы один телевизор;
б) оба телевизора?
№𝟓 Решить задачи, применяя формулу полной вероятности или формулу Байеса:
1) На сборку попадают детали, изготовленные тремя автоматами. Известно, что первый автомат
дает 0,4%, второй – 0,2% и третий – 0,6% брака. Найдите вероятность попадания на сборку
бракованной детали, если с первого автомата поступило 500, со второго – 1000 и с третьего – 1250
деталей. Если деталь оказалась бракованной, то какой из трех автоматов ее вероятнее всего изготовил?
2)
№𝟔 Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее
математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее
многоугольник распределения и график функции распределения:
Из каждой партии телевизоров для контроля извлекают 4 телевизора и последовательно их проверяют.
При появлении плохо работающего телевизора бракуется вся партия. Пусть Х – количество
проверенных телевизоров до появления бракованного, а вероятность брака равна 0,2.
Примеры решения типовых задач
№𝟏 Даны множества А, В, U. Найти следующие множества 𝐴 ∪ 𝐵; 𝐴 ∩ 𝐵; 𝐴\𝐵; 𝐵\𝐴; А  В; 𝐴̅; 𝐵̅ :
a) 𝐴 = {−1; 0; 1; 2; 3; 5; 7}
𝐵 = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 6; 8}
𝑈 = {−5; −4; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
𝐴 ∩ 𝐵 = {−1; 0; 1; 2}
𝐴 ∪ 𝐵 = {−3; −2; 3; 5; 6; 7; 8}
𝐴 ∖ 𝐵 = {−3; −2; 6; 8}
𝐵 ∖ 𝐴 = {5; 7; 3}
𝐴∆𝐵 = {−3; −2; 3; 5; 7; 8; }
̅̅̅̅
𝐴
𝐸 = {−5; −4; −3; −2; 4; 6; 8; 9}
𝐵𝐸 = {−5; −4; −3; −2; 4; 5; 7; 9}
б)𝐴 = [−1; 5);
𝐵 = (−5; 10];
𝑈 = (−∞; 11);
𝐴 ∩ 𝐵 = [−1; 5)
𝐴 ∪ 𝐵 = (−5; 10]
𝐴∖𝐵 = ∅
𝐵 ∖ 𝐴 = (−5; 1] ∪ (5; 10]
𝐴∆𝐵 = (−5; 1] ∪ (5; 10]
̅̅̅̅
𝐴𝑈 = (−∞; −1] ∪ [5; 11)
̅̅̅̅
𝐵𝑈 =(−∞; −5] ∪ (0; 11)
2
№𝟐. 𝟏 Исходя из определений равенства множеств и операций над множествами,
проверить тождество и проиллюстрировать решение с помощью диаграмм Эйлера–
Венна:
1) 𝐴\𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐶𝑈 𝐵
A  CB
A\ B
U
А
В
А
В
2) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐵̅ ∪ 𝐴) = 𝐴
A B
B  A
( A  B)  (B  A)
U
А
В
А
U
В
А
В
А
№𝟐. 𝟐 Доказать следующие тождества
1) 𝐵 ∩ (A \ B) = Ø
↓ 𝐵 ∩ (A \ B) = 𝐵 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵̅ ) = 𝐵 ∩ 𝐴 ∩ 𝐵̅ = 𝐵 ∩ 𝐵̅ ∩ 𝐴 = (𝐵 ∩ 𝐵̅ ) ∩ 𝐴 = Ø ∩ 𝐴 = Ø ↑
2) (𝐴 ∩ 𝐵)\𝐴 = Ø
↓ (𝐴 ∩ 𝐵)\𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐴̅ = 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐴̅ = 𝐴 ∩ 𝐴̅ ∩ 𝐵 = (𝐴 ∩ 𝐴̅) ∩ 𝐵 = Ø ∩ 𝐵 = Ø ↑
3) 𝐴\(𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴\𝐵) ∪ (𝐴\𝐶);
↓ 𝐴\(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝐴 ∩ ̅̅̅̅̅̅̅
𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵̅ ∪ 𝐶̅ ) = 𝐴 ∩ 𝐵̅ ∪ 𝐴 ∩ 𝐶̅ = (𝐴 ∩ 𝐵̅ ) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶̅ )
= (𝐴\𝐵) ∪ (𝐴\𝐶) ↑
4) (𝐴 ∪ 𝐵)\𝐵 = 𝐴\𝐵
↓ (𝐴 ∪ 𝐵)\𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐵̅ = (𝐴 ∩ 𝐵̅ ) ∪ (𝐵 ∩ 𝐵̅ ) = (𝐴 ∩ 𝐵̅ ) ∪ Ø = 𝐴 ∩ 𝐵̅ = 𝐴\𝐵 ↑
№𝟑 При каких значениях переменных X, Y, Z, U ложна следующая формула:
̅))
((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍) ∨ (𝑌 ∧ 𝑍) ∨ (𝑈 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋̅ ∧ 𝑈
̅ 𝑈
̅ 𝑋
̅∧𝑈
̅
X Y Z U 𝑋∧𝑌 𝑋∧𝑍 𝑌∧𝑍 𝑈∧𝑌 𝑋
1
2
3
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
*
1
0
3
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
№𝟒 Три стрелка делают по одному выстрелу в цель. Вероятность попадания для
первого стрелка 0,8, для второго – 0,7, для третьего – 0,6. Найти вероятность того, что:
а) все стрелки попадут в цель;
б) только один стрелок попадет в цель;
в) только два стрелка попадут в цель;
г) все стрелки промахнутся;
д) цель будет поражена.
Решение:
Обозначим: событие А – первый стрелок попадет в цель
̅) = 0,2
Р(А) = 0,8
Р(А
B – второй стрелок попадет в цель
Р(𝐵) = 0,7
Р(𝐵̅ ) = 0,3
С – третий стрелок попадет в цель
Р(С) = 0,6
Р(𝐶̅ ) = 0,4
События A, B, C – независимые.
1) Р (все попадут) = 𝑃(𝐴 и В и С) = Р(А) ∙ 𝑃(𝐵) ⋅ 𝑃(𝐶) = 0,8 ⋅ 0,7 ∙ 0,6 = 0,336
2) Р (только 1 стрелок попадет) = 𝑃(𝐴 и 𝐵̅ и 𝐶̅ или 𝐵 и 𝐴̅ и 𝐶̅ или 𝐶 и 𝐴̅ и 𝐵̅ ) =
𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵̅ ) ∙ 𝑃(𝐶̅ ) + 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐴̅) ∙ 𝑃(𝐶̅ ) + 𝑃(𝐶) ∙ 𝑃(𝐴̅ ) ∙ 𝑃(𝐵̅ ) = 0,8 ∙ 0,3 ∙ 0,4 + 0,7 ∙
0,2 ∙ 0,4 + 0,6 ∙ 0,2 ∙ 0,3 = 0,188
3) Р (только 2 стрелка попадут) = 𝑃(𝐴 и В и 𝐶̅ или 𝐴 и 𝐶 и 𝐵̅ или В и С и 𝐴̅) =
0,8 ∙ 0,7 ∙ 0,4 + 0,8 ∙ 0,6 ∙ 0,3 + 0,7 ∙ 0,6 ∙ 0,2 = 0,452
4) 𝑃 (все промахнутся) = 𝑃(𝐴̅ и 𝐵̅ и 𝐶̅ ) = 0,24
5) Р (цель поражена) = Р (попадет хотя бы один стрелок) =
1 – Р (все стрелки промахнутся) = 𝑃(1) = 1 − 𝑃(𝐴̅ и 𝐵̅ и 𝐶̅ ) =
1 – 0,2  0,3  0,4 = 1 – 0,024 = 0,976
№𝟓 Два консервных завода поставляют в магазин мясные и овощные консервы, причем
первый завод поставляет продукции в три раза больше второго. Доля овощных консервов
в продукции первого завода составляет 60%, а второго 70%. Для контроля в магазине
взято наугад одно изделие.
а) Какова вероятность того, что это окажутся мясные консервы?
б) Взятое изделие оказалось мясными консервами. Какова вероятность, что оно
изготовлено вторым заводом?
Решение. Обозначим: событие А – взяты мясные консервы;
событие Н1 – изделие изготовлено I заводом;
4
событие Н2 – изделие изготовлено II заводом.
По условию задачи первый завод поставляет продукции в три раза больше, чем
второй, то есть Р(Н1)  Р(Н2) в три раза, или Р(Н1) = 3  Р(Н2).
3
𝑃(𝐻1 ) =
𝑃(𝐻1 ) = 3 ∙ 𝑃(𝐻2 )
𝑃(𝐻1 ) = 3 ∙ 𝑃(𝐻2 )
4
Отсюда имеем: {
→{
→{
1
𝑃(𝐻1 ) + 𝑃(𝐻2 ) = 1
4 𝑃(𝐻2 ) = 1
𝑃(𝐻2 ) =
4
Вероятность того, что консервы мясные, для первого завода составляет 40%, то
есть
𝑃𝐻1 (𝐴) = 0,4, для второго завода 30%, то есть 𝑃𝐻2 (𝐴) = 0,3 .
а) Учитывая, что событие А произойдет обязательно с одним из событий
(гипотез) Нi, образующих полную группу, применим формулу полной вероятности:
3
1
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐻1 ) ∙ 𝑃𝐻1 (𝐴) = 𝑃(𝐻2 ) ∙ 𝑃𝐻2 (𝐴) = ∙ 0,4 + ∙ 0,3 = 0,375
4
4
б) По условию событие А произошло, то есть взяты мясные консервы. Тогда
вероятность гипотезы Н2 – консервы изготовлены вторым заводом – находим по
формуле Байеса
1
𝑃(𝐻2 ) ∙ 𝑃𝐻2 (𝐴)
4 ∙ 0,3
𝑃𝐻2 (𝐴) =
=
= 0,2
𝑃(𝐻1 ) ∙ 𝑃𝐻1 (𝐴) + 𝑃(𝐻2 ) ∙ 𝑃𝐻2 (𝐴) 3 ∙ 0,4 + 1 ∙ 0,3
4
4
№𝟔 Котировки акций могут быть размещены в Интернете на трех сайтах. Материал есть
на первом сайте с вероятностью 0,7, на втором – с вероятностью 0,6, на третьем – 0,8.
Студент переходит к новому сайту только в том случае, если не найдет данных на
предыдущем. Составить закон распределения числа сайтов, которые посетит студент.
Найти:
1) функцию распределения этой случайной величины и построить ее график;
2) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение:
Вероятность того, что студент нашел всю информацию с 1 сайта:
0,7*0,4*0,2+0,3*0,6*0,2+0,3*0,4*0,8=0,188
Вероятность того, что студент нашел всю информацию с 2х сайтов:
0,7*0,6*0,2+0,7*0,4*0,8+0,3*0,6*0,8=0,452
Вероятность того, что студент нашел всю информацию с 3х сайтов:
0,7*0,8*0,6=0,336
Вероятность того, что студент не нашел информацию ни с одного из сайтов:
1-0,336-0,452-0,188=0,024
Х
0
1
2
3
р
0,024
0,188
0,452
0,336
1) F(x<0)=0
1
F(x)
F(0<=x<1)=0.024
F(1<=x<2)=0.212
F(2<=x<3)=0.664
F(3<=x)=1
0
1
2 3
x
2) M(x)=0*0.024+1*0.188+2*0.452+3*0.336=0.188+0.904+1.008=2.1
D(x)=M(x2)–M2(x)=0*0.024+1*0.188+4*0.452+9*0.336-4.41=0.61
5
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, учебной и
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
Вопросы для самоподготовке к контрольным тестам по темам:
Тема «Множества»
1. Объясните понятие «множество».
2. Объясните понятие «элемент множества».
3. Как обозначаются множества, его элементы?
4. Как читается и что обозначает запись « 𝑥𝑋»?
5. Дайте определение конечного и бесконечного множества.
6. Какое множество обозначается с помощью символа «»?
7. Дайте определение подмножества. Свойства операции включения множеств.
8. Какие множества называются равными?
9. Объясните понятие «универсальное множество».
10. Что называется объединением множеств? Свойства операции объединения
множеств.
11. Что называется пересечением множеств? Свойства операции пересечения
множеств.
12. Что называется разностью множеств?
13. Что называется симметрической разностью множеств?
14. Как изображаются алгебраические операции над множествами?
15. Прямое произведение множеств. Свойства прямого произведения.
Тема «Элементы математической логики»
1. Понятие «высказывание». Предикаты.
2. Логические операции. Отрицание. Определение. Таблица истинности.
3. Логические операции. Импликация. Определение. Таблица истинности.
4. Логические операции. Эквивалентность. Определение. Таблица истинности.
5. Логические операции. Отрицание. Определение. Таблица истинности.
6. Логические операции. Дизъюнкция. Определение. Таблица истинности.
7. Тавтология.
8. Приоритетность выполнения логических операций.
Тема «Основы теории вероятностей»
1. Что включает в себя понятие «теория вероятностей»?
2. Что является задачей теории вероятностей?
3. Что включает в себя понятие «испытание»?
4. Что называется событием?
5. Как обозначаются события?
6. Какое событие называется достоверным? невозможным? случайным?
7. Дайте определение событий совместимых (совместных) и несовместимых
(несовместных).
8. Какие события называются противоположными? Как обозначаются
противоположные события?
9. Что называется произведением событий?
10. Поясните следующее понятие «полная группа событий».
11. Дайте понятие «благоприятствующее событие».
12. Что называется вероятностью события?
13. Классическое определение вероятности.
14. Какие значения может принимать вероятность события?
15. Статистическое определение вероятности.
16. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий.
17. Теорема сложения вероятностей совместимых событий.
18. Понятие зависимых и независимых событий.
19. Понятие условной вероятности.
6
20. Теорема умножения вероятностей (вероятность произведения двух зависимых
событий).
21. Теорема умножения вероятностей (вероятность произведения двух независимых
событий).
22. Формула полной вероятности.
23. Формула Байеса.
24. Формула Бернулли.
Тема «Основы математической статистики»
1. Случайная дискретная величина и ее закон распределения.
2. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его основные
свойства.
3. Дисперсия и ее свойства.
4. Закон больших чисел.
5. Непрерывные случайные величины.
6. Интегральная функция распределения.
7. Дифференциальная функция распределения.
8. Числовые характеристики непрерывной случайной величины (математическое
ожидание и дисперсия).