Лекция 6. § 5. Основные законы распределения дискретных

М.В.Дубатовская. Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 6.
§ 5. Основные законы распределения дискретных случайных величин
1. Биномиальное распределение
Пусть производится n испытаний, в каждом из которых событие A может появиться
или не появиться. Вероятность появления события A в каждом испытании равна
p, q 1 p . Рассмотрим дискретную СВ X - число появлений события A в этих
испытаниях. Найдем закон распределения СВ X . Нужно определить возможные значения
СВ X и вероятности, с которыми они принимаются.
Очевидно, событие A в n испытаниях может не появиться, появиться 1 раз, 2 раза,
…, n раз. Т.о., значения СВ X : 0, 1, 2,...,n . Вероятности ищем по формуле Бернулли:
Pn (k ) C nk p k q n k , k
0, n .
Эта формула является аналитическим выражением для закона распределения, который
называют биномиальным распределением.
Таким образом, имеем
X
P
0
1
qn
npqn 1
…
…
k
Cnk p k q n k
Для биномиального распределения M ( X )
np , D( X )
…
…
n
pn
npq .
2. Распределение Пуассона
Пусть производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления
события A равна p . Если n велико, а p мало, то вместо формулы Бернулли используют
формулу Пуассона:
k e
Pn (k )
.
k!
Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых, но
редких событий ( n велико, а p мало).
Значения Pn (k ) для закона Пуассона собраны в таблицы.
Возможные значения СВ X : 0, 1, 2,...,n . Вероятности ищем по формуле Pn (k )
Для распределения Пуассона M (X )
, D(X )
k
e
.
k!
.
3. Геометрическое распределение
Производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления
события A равна p , 0 p 1, q 1 p .
Испытания заканчиваются, как только событие A появилось. Таким образом, если
событие A появилось в k -том испытании, то в предшествующих k 1 испытаниях оно не
появилось. СВ X - число испытаний, которое нужно провести до первого появления
события A . Возможные значения СВ: 1, 2, …. . P( X k ) q k 1 p .
М.В.Дубатовская. Теория вероятностей и математическая статистика
X
P
1
p
2
qp
…
…
3
2
q p
k
q
k 1
p
…
…
Вероятности p , qp , q 2 p , …, qk 1 p , … образуют геометрическую прогрессию со
знаменателем q . Поэтому распределение называют геометрическим.
4. Гипергеометрическое распределение
Рассмотрим сначала задачу: пусть в партии из N изделий имеется M стандартных
( M N ). Из партии случайно отбирают n изделий, причем отобранные изделия не
возвращаются. Обозначим СВ X - число стандартных изделий среди отобранных.
Возможные ее значения 0, 1, 2, …, min{M , n} .
Найдем вероятность того, что среди n отобранных ровно m стандартных:
P( X
Эта
формула
определяет
гипергеометрическим.
k)
CMm C Nn
C Nn
распределение
m
M
.
вероятностей,
которое
называют