ЛЕКЦИЯ 12. СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И

ЛЕКЦИЯ 12. СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ.
ПОВТОРЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ.
§1. Формула полной вероятности.
Следствием обеих основных теорем - теоремы сложения вероятностей и теоремы
умножения вероятностей - является так называемая формула полной вероятности.
Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может
произойти вместе с одним из событий
B1, B2, B3, …, Bn-1, Bn,
образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть
гипотезами.
Докажем что, в этом случае
,
(1.4)
Эту формулу называет формулой полной вероятности.
Доказательство. Появление события A означает осуществление одного из несовместных
событий В1A, или B2A или, ... , или BnA , то есть
А=B1A+B2A+…+BnA
Так как В1,B2,…,Bn несовместные, то и комбинации В1A, B2A,…, BnA также несовместны;
применяя к ним теорему сложения, имеем
P(A)=P(В1A+B2A+BnA)=P(В1A)+P(B2A)+P(BnA).
Для каждого слагаемого применяя теорему умножения
P(В1A)=P(B1)PB1(A), … P(ВnA)=P(Bn)PBn(A)
получим доказываемую формулу.
Пример. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне - 2 белых и 1 черный; во
второй - 3 белых и 1 черный; в третьей - 2 белых и 2 черных. Наугад выбираем одну из урн и
вынимается из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Рассмотрим гипотезы: В1 - выбор 1-ой урны;
В2 - выбор 2-ой.урны;
В3 - выбор 3-ой урны,
и A - появление белого шара. По условию задачи, гипотезы (события) равновозможны, то
Условные вероятности события А при этих гипотезах
По формуле полной вероятности
§2. Формула Бейеса
Следствием теорема умножения и формулы полной вероятности является так
называемая формула Бейеса (теорема гипотез).
Если событие A может произойти только вместе с одним из событий В1, В2, Вn ,
образующих полную группу несовместных событий, а вероятности этих событий P(Вi) и
известны ( i=1,2,…,n), то условная вероятность каждой гипотезы Вk при условии, что
событие A наступило, равна
По теореме умножения вероятностей:
Пример. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая
каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания 1-го стрелка 0,8 для второго 0,4. После
стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина
принадлежит первому стрелку.
Решение. До опыта возможны следующие гипотезы :
В1 - ни первый, ни второй стрелок не попадает
В2 - оба стрелка попадут
В3 - 1-ый попадает, а 2-ой не попадает
В4 - 1-ый не попадает, а 2-ой попадает
P(В1)=0,2*0,6=0,12, P(В2)=0,8*0,4=0,32,
P(В3)=0,8*0,6=0,48, P(В4)=0,2*0,4=0,08.
A - обнаружена одна пробоина.
После опыта гипотезы В1 н В2 становятся невозможными, а вероятности В3 и В4 будут равны
:
§3. Повторение испытаний. Формула Бернулли.
Если производится несколько испытаний, причем вероятность события A в каждом
испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют
независимыми относительно события A.
Если вероятность p наступления события A в каждом из n независимых испытаний
постоянна, то вероятность того, что в n испытаниях событие A наступит К раз, равна
Pn ( k )  C nk p k q n  k
где
(1.6)
n!
- число сочетаний из n элементов по k.
( n  k )! k !
Производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться или не
С nk 
появиться некоторое событие А, вероятность появления события в каждом испытании Р(A)
= р , а вероятность непоявления этого события
. Требуется найти
вероятность Рn(k) того, что событие А появиться в n опытах равно к раз. Это событие
можно осуществить различными способами. Будем обозначать Ai появление события A в i-ом
опыте;
- непоявлення события A в i-ом опыте. Разложим событие Bk на сумму
произведений событий, состоящих в появлении или непоявлении события A в отдельном i-ом
опыте (i=1,2,…,n).
Очевидно, каждый вариант появления события Вk (каждый член суммы) должен состоять из
k появлений события А и n-k непоявлений, то есть из k событий A и n-k событий
различными индексами. Таким образом
с
причем в каждое произведение событие A должно входить k раз , а должно входить n-k раз.
Вероятность каждой комбинации (каждого слагаемого), по теореме умножения для
независимых событий, равна рkqn-k . Так как комбинации (слагаемые) между собой
несовместны то, по теореме сложения, вероятность события Bk.
Пример. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того,
что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех;
n=4, k=3, p=0,9, q=0,1
а)
б) P4(или 3, или 4)=P4(3)+P4(4)=0,2916+0,94=0,9477
§4. Наивероятнейшее число наступлений события при повторении испытаний
Число k0 наступлений события A в n независимых испытаниях называют
наивероятнейшим, если вероятность того, что событие А наступит в этих испытаниях k0 раз,
превышает или по крайней мере, не меньше вероятности остальных возможных исходов
испытаний.
Пример. Найти наивероятнейшее число наступлений события A в десяти испытаниях, если
вероятность появления A в каждом испытании р= 2/3 ;
Решение. Пользуясь формулой Бернулли
,
,
,
,
,
,
,
,
Вероятность того, что событие A в десяти испытаниях наступит ровно 7 раз больше, чем
вероятности других исходов испытаний; наивероятнейшее число
k0 = 7.
Отыскание наивероятнейшего числа k0 путем многократного применения формулы Бернулли
требует довольно утомительных выкладок. Поэтому мы будем пользоваться неравенством,
из которого определяется k0 :
(1.7)
Это двойное неравенство и служит для определения наивероятнейшего числа
Пример. Определить наиболее вероятное число пораженных самолетов в группе из
13 бомбардировщиков, если самолеты поражаются независимо друг от друга и вероятность
поражения одного самолета равна 4/7.
,
,
,
Это означает, что имеются два значения, каждое из которых является наиболее вероятным
числом пораженных самолетов.
Замечание. Если np - q целое число, то двойное неравенство определяет два значения
наивероятнейшего числа.
Так как (np+p)-(np-q)=p+q=1, правая часть на 1 больше.
§5. Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших n весьма
затруднительно. Например, если n=50, k=30, p=0,1
Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет
приблизительно найти Рn(к), если число испытаний достаточно велико.
Функцию  ( х ) называет асимптотическим приближением функции f(x),
f(x)
lim
1
если
x   ( x )
1
Для p 
асимптотическая формула была найдена в 1730 году Муавром; в 1783 г.
2
Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного p , отличного от 0 и 1 . Поэтому
следующую теорему иногда называют теоремой Муавра-Лапласа.
Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р наступления события A в каждом из n
независимых испытаний постоянна, причем, p  0 и p  1 , а число испытаний достаточно
велико, то
,
, (1.8)
Таблица значений  ( х ) приведена в приложении, причем, лишь для x > 0, так как
 ( х ) =  ( х ) . Для x>5 следует считать  ( х ) =0.
Пример. Вероятность рождения мальчика 0,515. Найти вероятность того, что из 200
родившихся детей мальчиков и девочек будут поровну.
n=200, p = 0,515, k=100, q = 0,485
Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность наступления некоторого события в
каждом испытаний постоянна, причем
, а число испытаний n достаточно велико, то
вероятность того, что это событие появится в n испытаниях от a до b раз включительно,
приближенно равна
,
(1.9)
где
,
,
а функция Ф(x)определяется равенством
Функцию Ф(x) называют функцией Лапласа или интегралом вероятностей. Таблица значений
Ф(x) дается в конце учебника. В таблице даны значения функции для положительных
значений х и для x=0 , для х<О пользуются той же таблицей, так как
1. Ф(-x)= -Ф(x), то есть функция нечетная
2. Ф(0)=0
3. Ф(x) монотонно возрастающая. Уже при х=5,  ( 5 )  0 ,5 . Поэтому для всех x>5
принимается, что  ( 5 )  0 ,5
4.  (  )  0 ,5 .
Пример. Найти вероятность того, что среди 1000 новорожденных мальчиков от 465
до555 включительно. Для упрощения расчетов принять, что вероятность рождения мальчика
равна 0,5.
a=465, b=555, n=1000, p=q=0,5.
,
,
§6. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в
независимых испытаниях.
Вычислим вероятность
того, что при n независимых испытаниях
относительная частота наступления события отклонится от его вероятности р наступления
события в каждом испытании менее, чем на ε.
Неравенство
запишем в виде
или, умножая на n>0 и прибавляя nр ко всем частям, получим
Применяя интегральную теорему Лапласа, находим
Таким образом,
(1.10)
При
то есть
,
,
Как видим, для любого сколько угодно малого ε>0, но при достаточно большом n событие,
состоящее в том, что относительная частота отклонится от вероятности появления события
меньше, чем на ε, является практически достоверным событием. Здесь еще раз
прослеживается связь классического и статистического определений вероятности.