лекции по вычислительной математике

ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÂÛ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ
Å. Ñ. Òâåðñêàÿ
ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà
Ìîñêâà
ËÅÊÖÈß 3
Óñòîé÷èâîñòü âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è ïî âõîäíûì äàííûì
X { ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ âõîäíûõ äàííûõ
Y { ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ ðåøåíèé
Êîððåêòíîñòü âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è ïî Àäàìàðó. Âû÷èñëèòåëüíàÿ
çàäà÷à íàçûâàåòñÿ êîððåêòíîé (ïî Àäàìàðó), åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå
3-è óñëîâèÿ.
• Ðåøåíèå âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è y ∈ Y ñóùåñòâóåò ïðè ëþáûõ âõîäíûõ
äàííûõ x ∈ X .
• Ðåøåíèå âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è åäèíñòâåííî.
• Ðåøåíèå óñòîé÷èâî ïî îòíîøåíèþ ê ìàëûì âîçìóùåíèÿì âõîäíûõ
äàííûõ (íåïðåðûâíî çàâèñèò îò âõîäíûõ äàííûõ).
Åñëè õîòÿ áû îäíî èç óñëîâèé íå âûïîëíåíî, òî âû÷èñëèòåëüíàÿ çàäà÷à
íàçûâàåòñÿ íåêîððåêòíîé.
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
2
Îïðåäåëåíèå. Ðåøåíèå y âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì ïî âõîäíûì äàííûì (àáñîëþòíî óñòîé÷èâûì) x, åñëè
∀ε > 0,
∀x∗ (∆(x∗ ) < δ(ε)
∃δ(ε) > 0 :
=⇒
∆(y ∗ ) < ε).
Îïðåäåëåíèå. Ðåøåíèå y âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è íàçûâàåòñÿ íåóñòîé÷èâûì x, åñëè
∃ε > 0,
∀δ > 0 :
∃x∗ (∆(x∗ ) < δ(ε)
=⇒
∆(y ∗ ) > ε).
Îïðåäåëåíèå. Ðåøåíèå íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíî óñòîé÷èâûì, åñëè
∀ε > 0,
∃δ(ε) > 0 :
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
∀x∗ (δ(x∗ ) < δ(ε)
=⇒
δ(y ∗ ) < ε).
3
Óñòîé÷èâîñòü çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ
Rb
îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà I = f (x) dx
a
∗
f (x) { ïðèáëèæåííî çàäàííàÿ èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ.
I∗ =
Zb
f ∗ (x) dx
a
∆ (f ∗ ) = sup |f (x) − f ∗ (x)| - àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ôóíêöèè f ∗ (x).
x∈[a,b]
b
Z
∗
∗
∗
∆ (I ) = |I − I | = (f (x) − f (x)) dx 6 (b − a)∆ (f ∗ ) .
a
ε
Åñëè ïîòðåáîâàòü: δ(ε) =
, òîãäà
b−a
∗
∗
∗
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 : ∀f (x) ∆ (f ) < δ(ε) =⇒ ∆ (I ) < ε .
Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ÿâëÿåòñÿ
óñòîé÷èâîé.
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
4
Óñòîé÷èâîñòü çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé
f ∗ (x) { ïðèáëèæåííî çàäàííàÿ íà îòðåçêå [a, b] íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ.
0
u∗ (x) = f ∗ (x)
Çàäàäèì àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè:
∆ (f ∗ ) = max |f (x) − f ∗ (x)| ,
x∈[a,b]
∆ (u∗ ) = max |u(x) − u∗ (x)|
x∈[a,b]
x
Âîçüìåì, íàïðèìåð, ôóíêöèþ f (x) = f (x) + α cos 5 , ãäå 0 < α 1.
α
x
Тогда u∗ (x) = u(x) − α−3 sin 5
и ∆(f ∗ ) = α2 , ∆(u∗ ) = α−3 .
α
Òàêèì îáðàçîì, ñêîëü óãîäíî ìàëîé ïîãðåøíîñòè ôóíêöèè f îòâå÷àåò ñêîëü
óãîäíî áîëüøàÿ ïîãðåøíîñòü ïðîèçâîäíîé f 0 .
Çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ïðèáëèæåííî çàäàííîé ôóíêöèè íå ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâîé.
∗
2
Çàìå÷àíèå.
Îäíà è òàæå çàäà÷à ìîæåò îêàçàòüñÿ êàê óñòîé÷èâîé, òàê è
íåóñòîé÷èâîé â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà ñïîñîáà âû÷èñëåíèÿ àáñîëþòíûõ
ïîãðåøíîñòåé ∆(x∗ ) è ∆(y ∗ ).
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
5
Îáóñëîâëåííîñòü âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è.
Àáñîëþòíîå è îòíîñèòåëüíîå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè.
Íà ïðàêòèêå: òî÷íîñòü âõîäíûõ äàííûõ îãðàíè÷åíà.
Âîïðîñ: êàê ïîâëèÿþò ìàëûå, íî êîíå÷íûå ïîãðåøíîñòè
âõîäíûõ äàííûõ íà ðåøåíèå?
Îïðåäåëåíèå. ×óâñòâèòåëüíîñòü ðåøåíèÿ âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è ê
ìàëûì ïîãðåøíîñòÿì âõîäíûõ äàííûõ { îáóñëîâëåííîñòü âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è.
Îïðåäåëåíèå. Çàäà÷à íàçûâàåòñÿ õîðîøî îáóñëîâëåííîé, åñëè ìàëûì
ïîãðåøíîñòÿì âõîäíûõ äàííûõ îòâå÷àþò ìàëûå ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ
è ïëîõî îáóñëîâëåííîé, åñëè ïðîèñõîäÿò ñèëüíûå èçìåíåíèÿ ðåøåíèÿ. Îïðåäåëåíèå. ×èñëî îáóñëîâëåííîñòè (êîëè÷åñòâåííàÿ ìåðà ñòåïåíè
îáóñëîâëåííîñòè âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è) { êîýôôèöèåíò âîçìîæíîãî
âîçðàñòàíèÿ ïîãðåøíîñòåé â ðåøåíèè ïî îòíîøåíèþ ê âûçâàâøèì èõ
ïîãðåøíîñòÿì âõîäíûõ äàííûõ.
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
6
Ïóñòü:
∆(y ∗ ) 6 ν∆ ∆(x∗ ),
δ(y ∗ ) 6 νδ δ(x∗ ).
Îïðåäåëåíèå. âåëè÷èíà ν∆ { àáñîëþòíîå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè, à
ν { îòíîñèòåëüíîå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè.
δ
Çàìå÷àíèå.  íåðàâåíñòâà âìåñòî ∆ è δ ìîãóò áûòü è èõ ãðàíèöû ∆ è δ .
Äëÿ ïëîõî îáóñëîâëåíííîé çàäà÷è ν 1.
Îáóñëîâëåííîñòü çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîãðåøíîñòè ôóíêöèè îäíîé
ïåðåìåííîé ïîëó÷àåì:
0
ν∆ ≈ |f (x)|,
|f 0 (x)| |x|
νδ ≈
.
|f (x)|
Îáóñëîâëåííîñòü çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà. Èç âûøå ïðèâåäåííîãî ïðèìåðà ñëåäóåò, ÷òî ν∆ = b − a.
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
7
Ïîëîæèì
sup |f ∗ (x) − f (x)|
δ(f ∗ ) =
x∈[a,b]
|f (x)|
где f (x) 6= 0.
,
Ñëåäîâàòåëüíî,
∆(I ∗ ) 6
Zb
|f ∗ (x) − f (x)|dx 6
a
Zb
|f (x)|dx δ(f ∗ ).
a
Ïîëó÷èëè îöåíêó
Rb
δ(I ∗ ) 6 νδ δ(f ∗ ),
где νδ =
|f (x)|dx
a
Rb
.
| f (x)dx|
a
Âûâîä. Åñëè ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ çíàêîïîñòîÿííà, òî νδ = 1 è çàäà÷à
õîðîøî îáóñëîâëåíà, åñëè æå ôóíêöèÿ f (x) íà [a, b] ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ
ðàçíûõ çíàêîâ, òî νδ > 1.
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
8
ËÅÊÖÈß 4
×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ ëèíåéíîé àëãåáðû
 ëèíåéíîé àëãåáðå âûäåëÿþò 4-ðå îñíîâíûå çàäà÷è:
• ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé;
• âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëåé;
• íàõîæäåíèå îáðàòíûõ ìàòðèö;
• íàõîæäåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.
Ðàññìîòðèì ÑËÀÓ
Ax = f,
ãäå A { ìàòðèöà m × m,
x = (x1 , x2 , x3 , . . . xm )T { èñêîìûé âåêòîð,
f = (f1 , f2 , f3 , . . . fm )T { çàäàííûé âåêòîð.
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
9
Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç ëèíåéíîé àëãåáðû.
Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèþ, çàäàííóþ â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå H ,
êîòîðàÿ äëÿ ∀x ∈ H ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî ||x||, íàçûâàþò íîðìîé,
åñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì àêñèîìàì íîðìû:
• ||x|| > 0, ∀x ∈ H è ||x|| = 0 =⇒ x = 0;
• ||αx|| = |α|||x||, ãäå α ∈ R
• ||x + y|| 6 ||x|| + ||y||.
Íàèáîëåå ÷àñòî ïðèìåíÿåìûå íîðìû:
!1/p
m
X
, ||x||∞ = max |xi |,
|xi |p
||x||p =
i=1
16i6m
ãäå ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè íîðìû ||x||p ÿâëÿþòñÿ íîðìû:
||x||1 =
m
X
|xi | − октаэдрическая норма;
i=1
||x||2 =
m
X
!1/2
|xi |2
− евклидова (или сферическая) норма.
i=1
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
10
Àáñîëþòíàÿ è îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòè âåêòîðîâ
 êà÷åñòâå ìåðû ñòåïåíè áëèçîñòè âåêòîðîâ ||x|| è ||x∗ || ââåäåì
àáñîëþòíóþ è îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòè âåêòîðà ||x∗ ||
∗
∗
∆ (x ) = ||x − x || ,
||x − x∗ ||
δ (x ) =
.
||x||
∗
∞
(n) (n)
(n)
Ïóñòü x(n) n=1 - ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ x(n) = x1 , x2 , . . . , xm .
Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ x(n) ñõîäèòñÿ â âåêòîðó x ïðè
n → ∞, åñëè
(n)
(n)
∆ x
= x − x → 0, при n → ∞
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
11
Ìåòîäû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ ëèíåéíîé àëãåáðû
• Ïðÿìûå ìåòîäû. Ðåøåíèå ñèñòåìû x íàõîäèòñÿ çà êîíå÷íîå ÷èñëî
àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé.
 ñëåäñòâèè ïîãðåøíîñòåé îêðóãëåíèÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà ÝÂÌ, ïðÿìûå
ìåòîäû íå ïðèâîäÿò ê òî÷íîìó ðåøåíèþ. Ñîïîñòàâëåíèå ðàçëè÷íûõ ïðÿìûõ
ìåòîäîâ ïðîèçâîäèòñÿ ïî ÷èñëó àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ
ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ.
• Èòåðàöèîííûå ìåòîäû (ìåòîäû ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé).
Ðåøåíèå x ÑËÀÓ íàõîäèòñÿ êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé x(n)
ïðè n → ∞.
Êàê ïðàâèëî, çà êîíå÷íîå ÷èñëî èòåðàöèé ýòîò ïðåäåë íå äîñòèãàåòñÿ è
âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäÿòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íå áóäåò âûïîëíåíà îöåíêà
(n)
x − x < ε,
ãäå ε > 0 { òî÷íîñòü. Êà÷åñòâî ðàçëè÷íûõ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ
ñðàâíèâàþò ïî íåîáõîäèìîìó ÷èñëó èòåðàöèé n(ε), êîòîðîå íåîáõîäèìî
ïðîâåñòè äëÿ ïîëó÷åíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòè.
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
12
Íîðìà ìàòðèöû
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü â ëèíåéíîì àðèôìåòè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå R çàäàíà
íîðìà || · ||∗ . Íîðìó || · ||k â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå Mm (R) íàçûâàþò
ñîãëàñîâàííîé ñ íîðìîé || · ||∗ , åñëè äëÿ ∀A ∈ Mm (R) è ∀x ∈ Rm âûïîëíÿåòñÿ
ñîîòíîøåíèå:
||Ax||∗ 6 ||A||k ||x||∗ .
m
||Ax||
íàçûâàåòñÿ íîðìîé
x6=0 ||x||
Îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëåíèå. ×èñëî ||A|| = sup
ìàòðèöû A ïîä÷èíåííîé äàííîé íîðìå ||x||.
Äëÿ ïîä÷èíåííîé íîðìû ìàòðèöû A âûïîëíÿþòñÿ âñå àêñèîìû íîðìû:
• ||A|| > 0 è ||A|| = 0 =⇒ A = 0;
• ||αA|| = |α|||x||;
• ||A + B|| 6 ||A|| + ||B|| äëÿ ∀A, B ;
Äîïîëíèòåëüíî
• ||AB|| 6 ||A||||B|| äëÿ ∀A, B ;
• ||Ax|| 6 ||A||||x||.
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
13
Ïðèìåðû ïîä÷èíåííûõ íîðì ìàòðèö
Íîðìà ||A||1 = max
m
P
16j6m i=1
|aij | { ìàêñèìàëüíàÿ ñòîëáöåâàÿ èëè îêòàýäðè÷å-
ñêàÿ íîðìà, ïîä÷èíåíà íîðìå ||x||1 .
Íîðìà ||A||s =
1/2
max µj
16j6m
{ ñïåêòðàëüíàÿ íîðìà ìàòðèöû A, ïîä÷èíåííàÿ
íîðìå ||x||2 , ãäå µj { ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà AT A.
Íîðìà ||A||∞ = max
m
P
16i6m j=1
|aij | { ìàêñèìàëüíàÿ ñòðî÷íàÿ èëè êóáè÷åñêàÿ
íîðìà ïîä÷èíåíà íîðìå ||x||∞ .
Èñêëþ÷åíèå. Åâêëèäîâà íîðìà ||A||2 =
m P
m
P
!1/2
a2ij
.
i=1 j=1
Îíà ÿâëÿåòñÿ ñîãëàñîâàííîé ñ ||x||2 , íî íå ÿâëÿåòñÿ ïîä÷èíåííîé.
Ïðè÷åì: ||A||s 6 ||A||2 .
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
14
Îáóñëîâëåííîñòü ÑËÀÓ.
Ðàññìîòðèì ÑËÀÓ
Ax = f,
A ∈ Mm (R).
Ðàññìîòðèì äâà òèïà óñòîé÷èâîñòè:
• óñòîé÷èâîñòü ïî ïðàâîé ÷àñòè, êîãäà âîçìóùàåòñÿ òîëüêî ïðàâàÿ ÷àñòü
f , à ìàòðèöà A îñòàåòñÿ íåèçìåííîé,
• êîýôôèöèåíòíàÿ óñòîé÷èâîñòü, êîãäà âîçìóùàåòñÿ òîëüêî ìàòðèöà A,
à ïðàâàÿ ÷àñòü f îñòàåòñÿ íåèçìåííîé.
Âìåñòî âåêòîðà f çàäàåòñÿ áëèçêèé åìó âåêòîð f˜ (íàïðèìåð, èç-çà
ïîãðåøíîñòåé îêðóãëåíèÿ). Ðàññìîòðèì <âîçìóùåííóþ ñèñòåìó>
Ax̃ = f˜,
где ∆x = x̃ − x,
∆f = f˜ − f.
Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ñèñòåìà Ax = f óñòîé÷èâà ïî ïðàâîé ÷àñòè,
åñëè ïðè ∀f, f˜ ñïðàâåäëèâà îöåíêà
||∆x|| 6 M1 ||∆f ||,
ãäå M > 0 { ïîñòîÿííàÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò ïðàâûõ ÷àñòåé f, f˜.
1
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
15
Ïóñòü detA 6= 0. Ïîêàæåì, ÷òî ñèñòåìà óñòîé÷èâà ïî ïðàâîé ÷àñòè.
A(∆x) = ∆f
⇒
∆x = A−1 (∆f ).
Èñïîëüçóÿ àêñèîìû íîðìû, ïîëó÷àåì
||∆x|| 6 ||A−1 || ||∆f ||.
Ñëåäîâàòåëüíî M1 = ||A−1 ||.
Èñêëþ÷åíèå. ×åì áëèæå ê íóëþ îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû A, òåì áîëüøå
ïîñòîÿííàÿ M1 , òåì ñèëüíåå ïîãðåøíîñòü ïðàâîé ÷àñòè ìîæåò èñêàçèòü
èñêîìîå ðåøåíèå.
Ðàññìîòðèì îòíîñèòåëüíûå ïîãðåùíîñòè δ x è δ f .
Èñïîëüçóþ àêñèîìû íîðìû ïîëó÷àåì ||f || 6 ||A|| ||x||.Òîãäà
||∆x||
||∆f ||
6 cond(A)
,
||x||
||f ||
ãäå cond(A) = ||A−1 || ||A||.
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
16
Îïðåäåëåíèå. ×èñëî cond(A), âõîäÿùåå â îöåíêó, íàçûâàåòñÿ ÷èñëîì
îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû A è õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü çàâèñèìîñòè îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ îò îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ïðàâîé ÷àñòè.
Ìàòðèöû ñ áîëüøèì ÷èñëîì îáóñëîâëåííîñòè íàçûâàþò ïëîõî îáóñëîâëåííûìè ìàòðèöàìè.
Çàìå÷àíèå. ×èñëî îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû âñåãäà ïîëîæèòåëüíî è çàâèñèò
îò çàäàííîé íîðìû ìàòðèöû.
Ñâîéñòâà ÷èñëà îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû.
• cond(A) = cond(A−1 ).
• cond(AB) 6 cond(A)cond(B).
• cond(A) > 1.
|λmax |
• cond(A) >
,
|λmin |
ãäå λmax , λmin { íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ.
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
17
Ìåòîä Ãàóññà.
Ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà.
Çàïèøåì ñèñòåìó Ax = f â ðàçâåðíóòîì âèäå
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1m xm = f1 ,
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2m xm = f2 ,
.................................
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amm xm = fm .
Èäåÿ ìåòîäà: Ïîñëåäîâàòåëüíîå èñêëþ÷åíèè íåèçâåñòíûõ x1 , x2 , ...,
xm èç ñèñòåìû.
Ïóñòü a11 6= 0.
Òîãäà a11 íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì èëè âåäóùèì ýëåìåíòîì ïåðâîãî øàãà.
Ïîäåëèì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà a11 , ïîëó÷èì
x1 + c12 x2 + . . . + c1m xm = y1 ,
ãäå c1j =
a1j
f1
, j = 2, . . . , m, y1 =
.
a11
a11
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
18
Òîãäà
x1 + c12 x2 + . . . + c1m xm = y1 ,
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2m xm = f2 ,
.................................
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amm xm = fm .
Âû÷òåì ïåðâîå óðàâíåíèå ïîëó÷åííîé ñèñòåìû óìíîæåííîå íà ai1 èç i-ãî
óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, i = 2, 3, . . . , m:
x1 + c12 x2 + . . . + c1j xj + . . . + c1m xm = y1 ,
(1)
(1)
(1)
(1)
a22 x2 + . . . + a2j xj + . . . + a2m xm = f2 ,
.................................
(1)
(1)
(1)
am2 x2 + . . . + amj xj + . . . + a(1)
mm xm = fm ,
(1)
(1)
ãäå aij = aij − c1j ai1 , fi
= fi − y1 ai1 , ãäå i, j = 2, 3, . . . , m
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
19
Ñòðóêòóðà ìàòðèöû ïîëó÷åííîé ñèñòåìû:


1 × ... ×
 0 × ... × 


 .. .. . . .. 
. . 
 . .
0 × ... ×
(1)
Åñëè a22 6= 0 (ãëàâíûé ýëåìåíò âòîðîãî øàãà), òî èç ñèñòåìû àíàëîãè÷íî
ìîæíî èñêëþ÷èòü íåèçâåñòíîå x2 è ïåðåéòè ê ñèñòåìå, ìàòðèöà êîòîðîé
èìååò ñëåäóþùóþ ñòðóêòóðó:


1 × × ... ×
 0 1 × ... × 


 0 0 × ... × 


 .. .. .. . . .. 
. . 
 . . .
0 0 × ... ×
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
20
Èñêëþ÷àÿ àíàëîãè÷íî íåèçâåñòíûå x3 , x4 , ..., xm ïðèäåì ê îêîí÷àòåëüíîé
ñèñòåìå óðàâíåíèé âèäà:
x1 + c12 x2 + . . . + c1m xm = y1 ,
x2 + . . . + с2m xm = y2 ,
........................
xm−1 + cm−1,m xm = ym−1 ,
xm = ym ,
Îáðàòíûé õîä ìåòîäà Ãàóññà çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè íåèçâåñòíûõ x1 ,
x2 , ..., xm .
xm = ym ,
xm−1 = ym−1 − cm−1,m xm .
 îáùåì âèäå ôîðìóëû îáðàòíîãî õîäà èìåþò âèä:
xi = yi −
m
X
cij xj ,
i = (m − 1), . . . 1,
x m = ym .
(1)
j=i+1
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
21
Ïîäñ÷åò ÷èñëà äåéñòâèé.
Îãðàíè÷èìñÿ âû÷èñëåíèåì êîëè÷åñòâà îïåðàöèé óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ.
• Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ cij òðåáóåòñÿ äåëåíèé:
(m − 1) + (m − 2) + . . . + 2 + 1 =
m(m − 1)
.
2
(k)
• Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ aij , òðåáóåòñÿ óìíîæåíèé:
(m − 1)2 + (m − 2)2 + . . . + 22 + 12 =
(m − 1)m(2m − 1)
.
6
• Âû÷èñëåíèå ïðàâûõ ÷àñòåé yk òðåáóåò m äåëåíèé, à âû÷èñëåíèå
(k)
êîýôôèöèåíòîâ fi òðåáóåò óìíîæåíèé:
(m − 1) + (m − 2) + . . . + 2 + 1 =
m(m − 1)
.
2
Îñóùåñòâëåíèå ïðÿìîãî õîäà òðåáóåò äåéñòâèé:
m(m − 1) (m − 1)m(2m − 1)
m(m − 1) 2m3 + 3m2 + 2
+
+m+
=
;
2
6
2
6
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
22
Äëÿ ðåàëèçàöèè îáðàòíîãî õîäà òðåáóåòñÿ óìíîæåíèé:
1 + 2 + 3 + . . . + (m − 1) =
m(m − 1)
2
Èòîãî, äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà Ãàóññà òðåáóåòñÿ äåéñòâèé:
2m3 + 3m2 + 2 m(m − 1) m3 + 3m2 − m
+
=
.
6
2
3
Ìåòîä Ãàóññà ñ âûáîðîì ãëàâíîãî ýëåìåíòà.
Ìîæåò îêàçàòüñÿ òàê, ÷òî ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, äàæå
åñëè êàêîé-ëèáî èç óãëîâûõ ìèíîðîâ ìàòðèöû A ðàâåí íóëþ.  ýòîì ñëó÷àå
îáû÷íûé ìåòîä Ãàóññà ìîæåò îêàçàòüñÿ íåïðèãîäíûì è ïðèìåíÿþò ìåòîä
Ãàóññà ñ âûáîðîì ãëàâíîãî ýëåìåíòà.
Îñíîâíàÿ èäåÿ: íà î÷åðåäíîì øàãå èñêëþ÷àþò íå ñëåäóþùåå ïî
íîìåðó íåèçâåñòíîå, à íåèçâåñòíîå, êîýôôèöèåíò ïðè êîòîðîì ïî
ìîäóëþ íàèáîëüøèé. Ò.å. â êà÷åñòâå âåäóùåãî ýëåìåíòà âûáèðàåòñÿ
íàèáîëüøèé ïî ìîäóëþ ýëåìåíò.
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
23
Ïðîèëëþñòðèðóåì íà ïðèìåðå ÑËÀÓ èç 2-õ óðàâíåíèé.
a11 x1 + a12 x2 = f1 ;
a21 x1 + a22 x2 = f2 .
Ìåòîä Ãàóññà ñ âûáîðîì ãëàâíîãî ýëåìåíòà ïî ñòðîêå. Ïóñòü |a12 | > |a11 |.
Òîãäà íà ïåðâîì øàãå èñêëþ÷àåòñÿ ïåðåìåííîå x2
a12 x2 + a11 x1 = f1 ;
a22 x2 + a21 x1 = f2 ,
è ê äàííîé ñèñòåìå ïðèìåíÿåòñÿ ïåðâûé øàã îáû÷íîãî ìåòîäà Ãàóññà.
Ìåòîä Ãàóññà ñ âûáîðîì ãëàâíîãî ýëåìåíòà ïî ñòîëáöó. Ïóñòü |a21 | > |a11 |.
Тогда
a21 x1 + a22 x2 = f2 ;
a11 x1 + a12 x2 = f1 ,
è ê íîâîé ñèñòåìå ïðèìåíÿþò ïåðâûé øàã îáû÷íîãî ìåòîäà Ãàóññà.
Èíîãäà ïðèìåíÿþò ìåòîä Ãàóññà ñ âûáîðîì ãëàâíîãî ýëåìåíòà ïî âñåé
ìàòðèöå, êîãäà â êà÷åñòâå âåäóùåãî ýëåìåíòà âûáèðàþò íàèáîëüøèé ïî
ìîäóëþ ýëåìåíò ìàòðèöû ñèñòåìû.
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
24
LU -ðàçëîæåíèå ìàòðèöû.
Ìåòîä Ãàóññà ïðåîáðàçóåò ñèñòåìó â ýêâèâàëåíòíóþ ñèñòåìó
Cx = y,
ãäå C { âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ åäèíèöàìè íà ãëàâíîé äèàãîíàëè.
Âåêòîðû ïðàâûõ ÷àñòåé f è y ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè.
f1 = y1 a11 ,
(1)
f2 = y1 a21 + y2 a22 ,
(1)
(2)
f3 = y1 a31 + y2 a32 + y3 a33 ,
...........................
(1)
или f = By,
(2)
fm = y1 am1 + y2 am2 + y3 am3 + . . . + ym a(m−1)
mm .
ãäå B - íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè bii 6= 0.
Òàê êàê y = B −1 f =⇒ Cx = B −1 f =⇒ BCx = f .
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷åíî ðàçëîæåíèå A = BC , ãäå B - íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ íåíóëåâûìè ýëåìåíòàìè íà ãëàâíîé äèàãîíàëè, à C - âåðõíÿÿ
òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ åäèíèöàìè íà ãëàâíîé äèàãîíàëè.
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
25
 ýòîì ñëó÷àå, ìåòîä Ãàóññà ìîæíî òðàêòîâàòü òàê:
• ïðîèçâîäèòüñÿ ðàçëîæåíèå ìàòðèöû A = BC ,
• ïîñëåäîâàòåëüíî ðåøàþòñÿ äâå ñèñòåìû óðàâíåíèé:
By = f,
Cx = y.
Òåîðåìà îá LU -ðàçëîæåíèè. Ïóñòü
a11 a12
, . . . , ∆m = det A.
∆1 = a11 , ∆2 = det
a21 a22
Òåîðåìà. Ïóñòü âñå óãëîâûå ìèíîðû ìàòðèöû A îòëè÷íû îò íóëÿ, ∆i 6= 0,
i = 1, 2, . . . , m. Òîãäà ìàòðèöó A ìîæíî ïðåäñòàâèòü, ïðè÷åì åäèíñòâåííûì
îáðàçîì, â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ
A = LU,
(2)
ãäå L - íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ íåíóëåâûìè äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè è U - âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ åäèíè÷íîé äèàãîíàëüþ.
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
26
J Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèì ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
Ïóñòü m = 2
a11 a12
A=
.
a21 a22
Áóäåì èñêàòü ðàçëîæåíèå ìàòðèöû A â âèäå:
l11 0
1 u12
A=
,
l21 l22
0 1
ãäå l11 , l21 , l22 , u12 -íåèçâåñòíûå ÷èñëà.Äëÿ èõ íàõîæäåíèÿ ïðèõîäèì ê ñèñòåìå
óðàâíåíèé
l11 = a11 , l11 u12 = a12 ,
l21 u12 + l22 = a22 .
l21 = a21 ,
Äàííàÿ ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå:
l11 = a11 6= 0, u12 = a12 /a11 ,
a11 a22 − a21 a12
l22 =
6= 0.
a11
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
l21 = a21 ,
27
Ïóñòü óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñïðàâåäëèâî äëÿ ìàòðèö ïîðÿäêà (k − 1).
Äîêàæåì, ÷òî îíî ñïðàâåäëèâî äëÿ ìàòðèö ïîðÿäêà k .
Ïðåäñòàâèì ìàòðèöó A ïîðÿäêà k â âèäå


a11
...
a1,k−1 |
a1k
 ...
...
...
|
... 



a
.
.
.
a
|
a
A=
k−1,1
k−1,k−1
k−1,k


− − −− − − −− − − −− | − − −−
ak1
...
ak,k−1 |
akk
(3)
è îáîçíà÷èì


a11 . . . a1,k−1
Ak−1 =  . . . . . .
... ,
ak−1,1 . . . ak−1,k−1


a1k
ak−1 =  . . .  ,
ak−1,k
bk−1 = (ak1 , . . . , ak,k−1 )
Ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèå ìàòðèöû
Ak−1 = Lk−1 Uk−1 .
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
28
Áóäåì èñêàòü ðàçëîæåíèå ìàòðèöû (3) â âèäå
Lk−1 0
Uk−1 uk−1
A=
,
lk−1 lkk
0
1
(4)
ãäå lk−1 = (lk1 , lk2 . . . , lk,k−1 ) è uk−1 = (u1k , u2k . . . , uk−1,k )T - íåèçâåñòíûå
âåêòîðû.
Ïåðåìíîæàÿ ìàòðèöû â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (4) è ó÷èòûâàÿ (3),
ïðèõîäèì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé
Lk−1 uk−1 = ak−1 ,
lk−1 Uk−1 = bk−1 ,
lk−1 uk−1 + lkk = akk .
(5)
(6)
(7)
−1
Èç ïðåäïîëîæåíèÿ èíäóêöèè ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ìàòðèö L−1
k−1 è Uk−1 .
Ñëåäîâàòåëüíî èç (5)-(7) ïîëó÷àåì
uk−1 = L−1
k−1 ak−1 ,
−1
lk−1 = bk−1 Uk−1
,
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
lkk = akk − lk−1 uk−1 .
29
Äîêàæåì, ÷òî lkk 6= 0. Çàïèøåì
det A = (det Lk−1 )lkk (det Uk−1 ) = (det Lk−1 )lkk .
Ïî óñëîâèþ òåîðåìû det A 6= 0, ñëåäîâàòåëüíî lkk 6= 0.
Òàêèì îáðàçîì, LU -ðàçëîæåíèå ìàòðèöû A ïîðÿäêà k ñóùåñòâóåò.
Äîêàæåì åäèíñòâåííîñòü òàêîãî ðàçëîæåíèÿ.
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ïóñòü ìàòðèöó A ìîæíî ðàçëîæèòü äâóìÿ ñïîñîáàìè:
A = L1 U1 = L2 U2 .
Òîãäà U1 U2−1 = L−1
1 L2 . Ìàòðèöà â ëåâîé ÷àñòè óêàçàííîãî ðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ
âåðõíåé òðåóãîëüíîé, à â ïðàâîé - íèæíåé òðåóãîëüíîé. Òàêîå ðàâåíñòâî
âîçìîæíî, êîãäà îáå ìàòðèöû U1 U2−1 è L−1
1 L2 ÿâëÿþòñÿ äèàãîíàëüíûìè.
Íî íà äèàãîíàëè ìàòðèöû U1 U2−1 ñòîÿò åäèíèöû, ñëåäîâàòåëüíî è íà
Òàêèì îáðàçîì ýòè ìàòðèöû
äèàãîíàëè L−1
1 L2 òàêæå ñòîÿò åäèíèöû.
ÿâëÿþòñÿ åäèíè÷íûìè:
U1 U2−1 = L−1
1 L2 = E.
Ñëåäîâàòåëüíî, U1 = U2 è L1 = L2 , ò.å. ðàçëîæåíèå åäèíñòâåííî. I
ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014.
30