2-ая контрольная работа по курсу математической логики (МФТИ

2-àÿ êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ïî êóðñó ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè
(ÌÔÒÈ, ÔÈÂÒ, âåñíà 2009).
1. - Îáîçíà÷èì
Φ(n)
ôîðìóëó â ÿçûêå àðèôìåòèêè
∀m(Proof(m, n) → DisProof(m + 100, n))
ãäå Proof(m, n) åñòü ôîðìóëà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ â P A îòíîøåíèå ñëîâî
ñ íîìåðîì m ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâîì àðèôìåòè÷åñêîé ôîðìóëû
íîìåð n; DisProof(m, n) åñòü ôîðìóëà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ â P A îòíîøåíèå ñëîâî ñ íîìåðîì m ÿâëÿåòñÿ îïðîâåðæåíèåì (ò.å., äîêàçàòåëüñòâîì îòðèöàíèÿ) àðèôìåòè÷åñêîé ôîðìóëû íîìåð n. Ïî òåîðåìå î
äèàãîíàëèçàöèè ñóùåñòâóåò òàêàÿ çàìêíóòàÿ ôîðìóëà
A,
÷òî
PA ` A ↔ Φ(dAe)
Äîêàæèòå, ÷òî
2. Îáîçíà÷àåì
òîð
IFF
A
íåäîêàçóåìà è íåîïðîâåðæèìà â
True = λxy.x è False = λxy.y . Ïîñòðîéòå òàêîé êîìáèíà-
òàêîé, ÷òî
IFF True True
IFF True False
IFF False True
IFF False False
=
=
=
=
True
False
False
True
3. Ïîñòðîéòå êîìáèíàòîð, ïðåäñòàâëÿþùèé â ÷èñòîì
öèþ
P A.
λ-èñ÷èñëåíèè ôóíê-
f : n 7→ n2 + 2n.
4. Ïîñòðîéòå êîìáèíàòîð, ïðåäñòàâëÿþùèé â ÷èñòîì
λ-èñ÷èñëåíèè ôóíê-
öèþ, çàäàííóþ ðåêóðñèâíûì ñîîòíîøåíèåì
f (n) =
5.
Äîïîëíèòåëüíàÿ :
λ-èñ÷èñëåíèè
2,
f (n − 1) · f (n − 2),
åñëè
åñëè
n=0
n>1
èëè
n=1
Ïîñòðîéòå êîìáèíàòîð, ïðåäñòàâëÿþùèé â ÷èñòîì
ôóíêöèþ
√
n 7→ d ne.
2-àÿ êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ïî êóðñó ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè
(ÌÔÒÈ, ÔÈÂÒ, âåñíà 2009).
1. Îáîçíà÷èì
Φ(n)
ôîðìóëó â ÿçûêå àðèôìåòèêè
∃m DisProof(m, n)
DisProof(m, n)
ãäå
åñòü ôîðìóëà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ â
PA
îòíîøåíèå
ñëîâî ñ íîìåðîì m ÿâëÿåòñÿ îïðîâåðæåíèåì (ò.å., äîêàçàòåëüñòâîì
îòðèöàíèÿ) àðèôìåòè÷åñêîé ôîðìóëû íîìåð n. Ïî òåîðåìå î äèàãîíàëèçàöèè ñóùåñòâóåò òàêàÿ çàìêíóòàÿ ôîðìóëà
A,
÷òî
PA ` A ↔ Φ(dAe)
Äîêàæèòå, ÷òî
2. Îáîçíà÷àåì
XOR
òîð
A
íåäîêàçóåìà è íåîïðîâåðæèìà â
True = λxy.x è False = λxy.y . Ïîñòðîéòå òàêîé êîìáèíà-
òàêîé, ÷òî
XOR True True
XOR True False
XOR False True
XOR False False
=
=
=
=
False
True
True
False
3. Ïîñòðîéòå êîìáèíàòîð, ïðåäñòàâëÿþùèé â ÷èñòîì
öèþ
P A.
λ-èñ÷èñëåíèè ôóíê-
f : n 7→ n2 − 2n + 2.
4. Ïîñòðîéòå êîìáèíàòîð, ïðåäñòàâëÿþùèé â ÷èñòîì
λ-èñ÷èñëåíèè ôóíê-
öèþ, çàäàííóþ ðåêóðñèâíûì ñîîòíîøåíèåì
f (n) =
5.
1,
f (n − 1) + f (n − 3),
Äîïîëíèòåëüíàÿ :
λ-èñ÷èñëåíèè
åñëè
åñëè
n = 0, n = 1
n>2
èëè
n=2
Ïîñòðîéòå êîìáèíàòîð, ïðåäñòàâëÿþùèé â ÷èñòîì
ôóíêöèþ
√
n 7→ d ne.