Задачи по теории вероятностей 1. Из урны, содержащей 3

Задачи по теории вероятностей
1. Из урны, содержащей 3 белых, 4 зеленых и 5 красных шаров, наугад вынимают один шар. Какова
вероятность того, что этот шар
(а) зеленый; (б) не красный?
2. В книге 107 страниц, которые имеют номера с 1 по 107. Какова вероятность того,
что номер наугад открытой страницы книги будет
(а) кратным 6; (б) не кратным 3; (в) нечетным?
3. В книге 100 страниц, которые имеют номера с 1 по 100. Нерадивый студент вырвал страницы с 5 по 22
включительно. Какова вероятность того, что номер наудачу открытой страницы книги будет
(а) четным; (б) заканчивается цифрой 7; (в) начинается с цифры 2 или 8 ?
4. У студента 5 открыток только с розами, 3 – только с тюльпанами и 10 открыток, на которых
изображены как розы, так и тюльпаны. Какова вероятность того, что на выбранной наугад открытке
изображена хотя бы одна роза?
5. Имеются 23 одинаковых по форме ручек. Из них 11 имеют чернила черного цвета, 7 – чернила
красного цвета, а остальные – чернила зеленого или фиолетового цвета. Найти
вероятность того, что взятая наугад ручка будет с чернилами не черного цвета?
6. Бросается игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет
(а) четное очко; (б) нечетное очко; (в) очко, кратное 3; (г) очко, кратное 7; (д) очко, не кратное 3.
7. Из урны, содержащей 4 зеленых и 6 красных шаров, наугад вынимают два шара. Какова вероятность
того, что
(а) оба шара зеленые; (б) оба шара красные; (в) один шар красный, а другой зеленый;
(г) оба шара одного цвета?
8. Бросаются две игральные кости, красная и зеленая. Какова вероятность того, что выпадет(ут)
(а) в сумме 2 очка; (б) в сумме 9 очков;
(в) в сумме не менее 10 очков;
(г) хотя бы на одной кости очко 5; (д) одинаковые очки на разных костях;
(е) разные очки на разных костях; (ж) на красной кости больше очков, чем на зеленой ?
8а. Бросают две игральные кости. Событие А - сумма очков нечетная, событие В - хотя бы на одной кости
выпало 1. Найдите вероятности событий АВ и А+В.
8б. Бросили две игральные кости. Какова вероятность, что на первой кости выпало больше очков, чем на
второй, если сумма выпавших очков на костях равна 8.
8б. Из букв Я, В, К, И, Н, О наугад выбрали две буквы. Какова вероятность того, что из выбранных
наугад букв можно составить слово «ОН», если они
(а) разные;
(б) могут повторяться.
9. Из 22 задач по математике студент умеет решать 16 задач. Какова вероятность того, что
из пяти задач контрольной работы, составленной наугад, студент решит
(а) все задачи; (б) ровно 3 задачи; (в) не решит ни одну задачу; (в) решит хотя бы одну задачу?
10. Меню столовой университета содержит 3 первых, 5 вторых и 4 третьих блюд. На обед студент всегда
берет одно первое, два разных вторых и одно третье блюдо. Сколько дней он может разнообразить свой
обед так, что ни разу не будет повторять один и тот же набор блюд.
11. Студент забыл две последние цифры номера телефона подруги и наугад набрал их. Какова
вероятность того, что набранный номер правильный, если
(а) забытые цифры могут быть любыми;
(б) забытые цифры разные;
(в) забытые цифры разные и среди них нет любимой цифры студента – цифры 5;
(г) одна из забытых цифр – 5, но неизвестно какая?
12. В забеге участвуют 5 спортсменов. Сколькими способами можно предсказать распределение первых
трех мест, если эти спортсмены всегда показывают разные результаты?
13. Семеро терпеливых стоят в очереди в кассу. Сколькими способами можно составить очередь?
14. Восемь студентов, среди которых Маша и Миша, стоят в очереди в столовую. Какова вероятность
того, что Маша и Миша стоят
(а) первыми в очереди, причем неважно, в каком порядке;
(б) рядом, причем неважно, в каком месте; (в) рядом и не последними в очереди?
15. Двое подозреваемых и четверо понятых произвольно рассаживаются в ряд для опознания. Какова
вероятность того, что
(а) подозреваемые не будут на разных краях; (б) подозреваемые не окажутся рядом;
(в) между подозреваемыми окажутся ровно двое понятых?
16. В отделении сержанта Збруева 6 бойцов: А, Б, В, Г, Д, Е. Сколькими способами можно построить их в
ряд, если
(а) порядок расположения бойцов в ряду неважен; (б) первым в ряду всегда должен быть боец Г;
(в) первыми двумя в ряду могу быть только бойцы А и Д, причем в любом порядке;
(г) боец Е никогда не должен быть первым?
1
17. В группе из 20 студентов 8 отличников. Для участия в выборах председателя СНО наугад выбрали
делегацию из трех студентов. Какова вероятность того, что
(а) все делегаты отличники; (б) один из делегатов не отличник; (в) среди делегатов нет отличников?
18. У студента 3 книги по искусству и еще 5 книг по литературе. Студент расставил их наугад на одной
полке. Какова вероятность того, что все книги по искусству будут расположены рядом?
19. Из 22 студентов группы 16 знают только английский язык, а остальные – только немецкий (кроме
русского). Для встречи делегации из иностранных студентов из этой группы наугад отобрали 5 студентов.
Какова вероятность того, что среди них имеется хотя бы один студент, знающий английский язык, и хотя
бы один студент, знающий немецкий?
20. В соревнованиях по бегу участвуют 6 студентов экономического и 8 студентов факультета
разработки. Какова вероятность того, что студенты факультета разработки оставят всех студентов
экономического факультета позади, если все студенты имеют равные возможности занять с первого по
последнее место?
21. На карточке спортлото 36 клеток, расположенные в таблице 6х6 и пронумерованные от 1 до 36.
Играющий наугад отмечает 6 разных клеток. Какова вероятность того, что им отмечены(а)
(а) шесть верхних клеток подряд; (б) левая верхняя клетка; (в) не отмечена левая верхняя клетка;
(г) наименьший номер из всех отмеченных клеток меньше 5 ?
22. Одна из воюющих сторон захватила в плен 12 солдат, а вторая 14. Сколькими способами можно
обменять 5 военнопленных?
23. Ромео и Джульетта договорились встретиться ровно в полночь у входа в оливковый сад, но не
уточнили у какого входа. Какова вероятность их встречи в условленное время, если
(а) оливковый сад имеет 4 входа, расположенных по разные стороны света;
(б) северный вход всегда закрыт, о чем знает только Джульетта, а Ромео не знает?
24. По приказу майора Жеглова лейтенант Шарапов внедрился в банду преступников. Во время
очередной сходки преступников он условными знаками сообщил Жеглову, что на сходку явились 7
человек. Наблюдатель за сходкой заметил, что трое ушли с нее, однако из-за темноты не разобрал, кто они?
Найдите вероятность того, что Шарапов ушел со сходки, и можно начинать операцию по поимке
преступников.
25. Группа студентов из 3 девушек и 5 парней решила пойти в кафе, где они будут рассажены наугад по
четыре человека за стол. Какова вероятность того, что за одним из двух столов окажутся
(а) одни парни; (б) одна девушка и три парня; (в) парни и девушки поровну?
26. Из цифр 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9 составляют двузначное число, цифры которого не повторяются. Какова
вероятность того, что обе цифры полученного числа
(а) четные; (б) нечетные;
(в) либо четные, либо нечетные?
27. Из цифр 0, 2, 5, 6, 7 составляют двузначное число, цифры которого могут повторяться. Какова
вероятность того, что обе цифры полученного числа
(а) четные; (б) нечетные;
(в) либо четные, либо нечетные?
28. Из цифр 0, 2, 3, 5, 6, 7 составляют трехзначное число, цифры которого могут повторяться. Какова
вероятность того, что все цифры полученного числа
(а) четные; (б) разные; (в) либо четные, либо нечетные?
29. В лотерее 28 билетов, из них 6 выигрышных. Какова вероятность хотя бы одного выигрыша, если Вы
купите
(а) 3 билета; (б) 7 билетов (в) 22 билета?
30. Из кучи монет 1, 5, 10 и 50 коп. наудачу берется горсть монет. Найдите вероятность того, что сумма
денег четная.
31. Один стрелок попадает в цель с вероятностью 0,8, а другой – с вероятностью 0,5. Какова вероятность
поражения цели, если
(а) стрелки сделают по одному выстрелу; (б) первый стрелок сделает два выстрела, а второй – один;
(в) первый стрелок сделает 4 выстрела, а второй – 3.
32. В люстре три лампочки разной мощности, которые могу перегореть в течение месяца с
вероятностями 0,2, 0,3 и 0,4. Какова вероятность того, что в течение месяца будет(ут) светить
(а) все три лампочки; (б) хотя бы одна лампочка; (в) первые две лампочки, или одна третья, или все?
32а. В первой урне находятся 3 белых и 5 черных шаров, во второй – 4 белых и 3 черных шара. Из
каждой урны вынули наугад по одному шару. Какова вероятность, что
(а) шары разных цветов; (б) оба шара белые; (в) шары одного цвета.
32б. В первой урне находятся 3 белых и 5 черных шаров, во второй – 4 белых и 3 черных шара. Из
первой урны вынули наугад два шара, а из второй – один шар. Какова вероятность, что
(а) шары разных цветов;
(б) оба шара белые;
33. Вероятность того, что студент сдаст экзамен по математике, равна 0,7, а вероятность сдачи им
экзамена по физике равна 0,5. Какова вероятность того, что на очередной сессии студент сдаст
(а) оба экзамена; (б) только один экзамен; (в) хотя бы один экзамен; (в) не сдаст ни один экзамен?
2
35.
34. По одному разу подбрасываются монета и игральная кость. Какова вероятность того, что
на монете выпадет герб, а на игральной кости очко, кратное 3 ?
35. Вероятность обнаружения воздушной цели первой радиолокационной станцией равна 0,6, а второй
станцией – 0,8. Какова вероятность того, что цель будет обнаружена
(а) обеими станциями; (б) хотя бы одной станцией?
36. Ведутся поиски двух преступников: молодого и старого. Каждый из них может быть обнаружен
независимо от другого, причем молодой с вероятностью 0,6, а старый, более опытный, – с вероятностью
0,5. Какова вероятность того, что
(а) будут обнаружены оба преступника; (б) будет обнаружен хотя бы один преступник;
(с) обнаружен только один преступник.
37. В лабораторию для анализа поступило 7 бочек с бензином. Из сопроводительных документов
известно, что три из них содержат бензин типа А, две – типа В и две – типа С. Наугад вскрыли три бочки.
Какова вероятность обнаружить в них бензин всех трех типов?
38. Первый пресс штампует стандартные болты с вероятностью 0,9, а второй – с вероятностью 0,95. На
первом прессе изготовили 3 болта, а на втором – два. Какова вероятность, что все 5 болтов стандартные.
39. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятности ответить на первый и второй вопросы
для студента Карапузова равны 0,9; на третий вопрос – 0,8. Какова вероятность, что студент Карапузов
сдаст экзамен, если для этого надо: а) ответить на все вопросы; б) ответить хотя бы на два вопроса?
40. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет «орел». Определить
вероятности выигрыша для каждого игрока. 3.16. Двое поочередно бросают игральную кость. Выигрывает
тот, у кого раньше выпадет «шестерка». Определить вероятности выигрыша для первого и для второго
игроков.
40а. В коробке лежат две конфеты с вареньем и четыре с глазурью. Конфеты одинаковы по внешнему
виду. Сестры Маша и Даша поочередно вынимают по одной конфете и съедают их (начинает Маша).
Девочки договорились, что той, которой первой достанется конфета с вареньем, придется в этот день
убирать квартиру. Какова вероятность, что квартиру придется убирать Даше?
41. Один стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8, а другой – с вероятностью 0,5. Одним из
стрелков сделан выстрел по мишени. Какова вероятность поражения мишени?
42. Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8, второй – с вероятностью 0,7, а третий – с
вероятностью 0,5. Какова вероятность поражения мишени, если
(а) по мишени сделан один выстрел; (б) по мишени сделаны два выстрела?
43. Вероятности попадания в мишень при стрельбе из трех пистолетов соответственно равны
0,5; 0,6 и 0,8. Наугад выбрали один из этих пистолетов и произвели один выстрел по мишени.
Какова вероятность того, что пуля попала в мишень?
44. В двух одинаковых ящиках находятся шары двух цветов: в первом 5 шаров черного и 6 белого цвета,
а во втором 3 черного и 4 красного цвета. Из одной наугад выбранной коробки
продавец извлек два шара. Какова вероятность того, что они
(а) оба черного цвета; (а) разных цветов; (б) одного цвета?
45. В первой урне находится 15 шаров, из них 5 белых, а во второй урне – 17 шаров, из них 4 белых. Из
первой урны наугад извлекли один шар и переложили во вторую. Найдите вероятность того, что
извлеченный после этого из второй урны шар окажется белым.
46. На строительство нефтепровода 20% труб поступает с первого завода, 30% со второго завода и 50% с
третьего завода. Брак в продукции первого завода составляет 4%, второго завода – 2%, а третьего завода –
1%. Какова вероятность того, что случайным образом выбранная труба окажется бракованной?
47. На первом курсе в первой группе 25 студентов, из них 3 стипендиата предприятия.
Во второй группе 16 студентов, из них 6 стипендиатов. Наудачу выбран 1 студент.
Какова вероятность того, что он стипендиат предприятия?
50. По данным статистики вероятность совершения тяжких преступлений в городе N в рабочий день
равна 0,01, в выходной день – 0,02, а в праздничный день – 0,03. На предстоящий отпуск начальника УВД
города N приходятся 20 рабочих, 8 выходных и 2 праздничных дня. Согласно должностной инструкции
рапорт начальника на отпуск подписывается вышестоящим начальником, если вероятность совершения
тяжких преступлений в городе в период его отпуска не превышает 0,015. Узнайте, получит начальник УВД
отпуск или нет?
51. По данным статистики, во время непогоды на сложном участке дороги между пунктами А и В
правила дорожного движения нарушает каждый 5-й легковой автомобиль из 100, каждый 8-й грузовик из
100 и каждый 3-й мотоцикл из 50. Во время непогоды через пункт А в направлении пункта В проехали 30
автомобилей, 15 грузовых машин и 6 мотоцикла, а через пункт В в направлении пункта А проехали 40
автомобилей, 5 грузовых машин и 4 мотоцикла. Сколько нарушений они могли совершить на участке
дороги между пунктами А и В?
52. Через службу доставки цветов, получающую продукцию из трех цветоводческих фирм, студент
заказал два букета цветов, но забыл уточнить, из каких цветов они должны быть составлены. Какова
3
вероятность того, что оба букета будут из роз, если первая фирма выращивает 60% роз, вторая – 40%, а
третья – 50% роз, и служба доставки получает продукцию первой, второй и третьей фирм в
количественном соотношении 2:3:5, причем в любой момент времени в службе доставки имеется
продукция лишь одной из фирм?
52а. Вероятность провалить экзамен у первого экзаменатора равна 0.3, у второго – 0.4, а у третьего – 0.5.
Первый экзаменатор принимает экзамены у 40% студентов, а остальные – у оставшихся студентов поровну.
Какова вероятность, что студент сдаст экзамен?
53. Расследуется авария на аквапарке, которая могла произойти по одной из трех основных причин:
ошибки проекта аквапарка; ошибки персонала аквапарка по его эксплуатации и террористического акта. По
данным статистики вероятность аварии по возможной ошибке проектировщиков равна 0,5, ошибке
персонала по эксплуатации равна 0,4, а из-за теракта равна 0,1. В ходе расследования выяснилось, что
произошло разрушение трех колонн. Согласно той же статистике вероятность такого разрушения из-за
ошибки проекта равна 0,5, из-за ошибки персонала – 0,1 и из-за теракта – 0,9. Какая из причин аварии
наиболее вероятна?
54. Количество дождливых дней в июне составляет 25%. Вероятность того, что футбольная команда
выиграет в ясный день, равна 0,8, а в дождливый день -- 0,6. На очередном матче команда выиграла. Какова
вероятность того, что в этот день шел дождь?
55. На экзамен пришли 18 успевающих студента и 8 "двоечников". Вероятность использования
шпаргалки «двоечником» равна 0,7, а успевающим студентом – 0,2. После экзамена преподаватель нашел в
аудитории шпаргалку. Какова вероятность, что ее уронил успевающий студент?
56. В двух одинаковых ящиках находятся шары двух цветов: в первом 5 шаров черного и 6 белого цвета,
а во втором 7 черного и 4 белого цвета. Из одной наугад выбранной коробки продавец извлек один шар. Он
оказался черного цвета. Какова вероятность того, что он из второй коробки?
57. На первом курсе в первой группе 22 студента, из них 8 целевиков. Во второй группе 16 студентов, из
них 5 целевиков. Наудачу выбран 1 студент. Он оказался целевиком. Какова вероятность того, что он из
первой группы?
58. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер.
Производительность первого автомата в 3 раза больше производительности второго автомата. Первый
автомат производит в среднем 80% деталей отличного качества, а второй -- 60% деталей отличного
качества. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность того, что
она изготовлена первым автоматом?
59. Изделие проверяется на стандартность двумя контролерами. Первый контролер проверяет в среднем
40% всех выпускаемых изделий, а второй контролер – все остальные изделия. Вероятность того, что
первый контролер ошибочно признает нестандартное изделие годным, равна 0,02, а для второго контролера
эта вероятность равна 0,03. Поступившее в продажу изделие случайно оказалось нестандартным. Какова
вероятность того, что его проверял второй контролер?
61. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что при 8
выстрелах цель будет поражена
(а) ровно 6 раз; (б) не менее 6 раз.
62. Вероятность рождения мальчика равна 0,53. Найдите вероятность того, что
(а) среди 10 новорожденных окажется ровно 6 мальчиков;
(б) среди 200 новорожденных окажется 50 мальчиков;
(в) среди 200 новорожденных окажется от 50 до 55 мальчиков;
(г) среди 10000 новорожденных окажется от 5200 до 5360 мальчиков;
(д) среди 1000000 новорожденных окажется от 529000 до 530600 мальчиков;
(е) среди 1000000 новорожденных окажется не менее 529500 мальчиков.
63. Вероятность того, что в данной местности день будет солнечным, равна 0,6. Найдите вероятность
того, что в следующей декаде (декада равна 10 дням) в данной местности окажется
(а) ровно 8 солнечных дней; (б) не менее 8 солнечных дней.
64. Вероятность выигрыша книжного лотерейного билета равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 5
лотерейных билетов выигрышными окажутся
(а) ровно 2 билета; (б) хотя бы один билет.
65. Вероятность заболеть гриппом во время эпидемии равна 0,1. Найдите вероятность того, что во время
следующей эпидемии
(а) из 5 студентов заболеют гриппом 2 студента;
(б) из 5 студентов заболеют гриппом не более двух студентов;
(в) из 25 студентов заболеют 5 студентов;
(г) из 100 студентов заболеют не более 13 студентов;
(д) из 10000 студентов заболеют не более 980 студентов.
66. Монету бросают 6 раз. Какова вероятность, что герб выпадет
(а) ровно 4 раза; (б) три или четыре раза.
4
67. Согласно статистике каждая пятая пачка сигарет – поддельная. Студент купил блок сигарет из 10
пачек. Какова вероятность, что среди них
(а) нет поддельных; (б) не более 2 поддельных пачек.
67а. Согласно статистике каждый пятый курящий заболевает раком. Какова вероятность того,
что из 1000 курящих заболеют раком не менее 150.
68. В страховом обществе застраховано 10000 человек одного возраста и одной социальной группы.
Вероятность смерти каждого лица в течение года равна 0,004. Каждый застрахованный вносит в начале
года 1000 рублей, и в случае его смерти его родственники получают 100000 рублей. Какова вероятность
того, что по итогам года общество
(а) получит прибыль не менее 5 миллионов рублей; (б) получит прибыль менее 1 миллиона рублей.
69. Раскрываемость преступлений в городе N составляет 80%. Какова вероятность, что
(а) из 8 преступлений будут раскрыты 6; (б) из 8 преступлений будут раскрыты не менее 6.
70. Игральную кость бросают 5 раз. Какова вероятность, что
(а) ровно 2 раза выпадет очко 6; (б) не менее двух раз выпадет очко 5 или 6.
71. Какова вероятность того, что у двух студентов группы (потока) дни рождения попадут на 1 мая, если
(а) в группе 30 человек; (б) в потоке 150 чел.
72. Вероятность выпуска бракованной детали равна 0,02. Выпущено 1000 деталей. Какова вероятность,
что среди них не более 23 бракованных.
73. Всхожесть семян равна 5%. Какова вероятность, что из 1000 семян взойдут не менее 54.
5