Элементы математической статистики

Лекция 5
Элементы математической статистики
Статистика – процесс сбора и первичной
обработки
числовой
структурированной
информации о некоторых объектах или процессах.
Также:
Статистика или статистическая информация
– числовая и структурированная информация о
некоторых объектах или процессах.
1
Математическая статистика – наука о том,
как на основе статистической информации сделать
определенные
выводы
о
свойственных
ей
закономерностях, выраженных в числовой форме, а
также применение этой науки на практике (то есть
сам процесс построения научно обоснованных
заключений).
2
Предмет математической статистики
МС и ТВ тесно связаны, обе дисциплины изучают массовые
случайные явления. При этом
• ТВ выводит из математической модели свойства реального
процесса,
• МС устанавливает свойства математической модели, исходя
из наблюдаемых данных (из статистических данных).
Предмет МС – изучение СВ (или сл. событий, процессов) по
результатам наблюдений.
1 задача: Полученные данные сначала надо обработать,
представить в удобном для анализа виде (оценки студентов в
сессию – расположить по сумме баллов, по академическим группам
и т.п.)
2 задача: Оценить интересующие нас характеристики
наблюдаемой величины (вычислить частоты набранных баллов,
средний балл, кол-во отличников и т.д.), сформулировать
статистические гипотезы.
3 задача: Проверить статистические гипотезы, т.е. согласование
3
результатов оценивания с опытными данными.
Практическое использование
Обработка статистических данных производится при помощи
специальных пакетов прикладных программ (SPSS, STADIA, STATISTICA
и др.). Небольшие задачи можно решить в программах обработки
электронных таблиц (Excel).
Результаты исследования статистических данных методами МС
используются для принятия решения (в задачах планирования,
управления, прогнозирования и организации производства, при контроле
качества, в юридической практике, в социальном управлении и т.д.), т.е.
для научных и практических выводов.
Таким образом:
МС – это теория и методология принятия управленческих
решений в условиях массовой случайности, неопределенности.
4
Генеральная совокупность
В конкретной задаче МС всегда имеется некоторая мыслимая совокупность
изучаемых объектов, обладающих выбранным для изучения признаком, который
можно измерить (числовой признак, числовая характеристика) и который носит
случайный характер. Изучаемое множество объектов может быть и одним и тем же
объектом, но фигурирующим в процессе последовательности экспериментов.
Опр. Все изучаемое множество объектов с некоторым случайным
признаком называется генеральной совокупностью.
Примеры:
1. Множество предприятий данной отрасли с целью изучения рентабельности.
2. Множество избирателей (перед выборами) с целью изучения рейтинга
кандидатов.
3. Множество студентов перед тестированием с целью изучения уровня знаний.
Вся генеральная совокупность недоступна для изучения в целом, а
иногда является лишь мыслимым множеством
Пример – азартные игры.
5
Генеральная совокупность математически
С точки зрения дальнейших математических
исследований и приложений
Генеральная совокупность – это:
исследуемая случайная величина
X(ω), заданная на пространстве
элементарных событий Ω, в
котором определена вероятность
событий P(ω).
6
Выборочная совокупность (выборка)
Опр. Выборка – доступная, случайным образом
отобранная
часть
элементов
генеральной
совокупности, по которой изучаются свойства всей
совокупности.
Опр. Выборка называется репрезентативной
(представительной), если она составлена так, что
является достаточной для надежных выводов о всей
генеральной совокупности.
Опр. Объемом выборки называется количество
выбранных из всей генеральной совокупности
элементов.
Объем выборки обычно обозначается через n.
Говорят, что “имеется выборка объема n”.
7
Результат выборки (реализация)
Результат выборки – полученная совокупность
значений признака.
Пример 1. Время опоздания студентов на лекцию
согласно журналу (по алфавиту):
Иванов – 5 мин; Петрова – 2 мин; Сидоров – 1 мин;
Чернов 2 мин.
Результат выборки из 4 элементов (объема 4):
5; 2; 1; 2.
Вариационный
ряд
–
результат
выборки,
расположенный в порядке возрастания значений (а не в
порядке их получения).
В примере 1 вариационный ряд - 1; 2; 2; 5.
8
Варианты и статистический ряд
Опр. Различные значения, полученные в вариационном ряде,
называются вариантами.
В примере 1 варианты - 1; 2; 5 (минут опоздания).
Варианты обозначаются x1,…,xk
Опр. Числа n1,…,nk , показывающие, сколько раз встречаются варианты в выборке, называются частотами.
Опр. Частость (или относительная частота) варианта –
это частота варианта, деленная на объем выборки.
Частости обозначаются, например, pi* или wi.
Сумма всех частостей всегда равна единице!
Опр.
Статистический
ряд
(статистическое
распределение
выборки)
–
перечень
вариантов
и
соответствующих им частот или частостей.
9
В примере 1 статистический ряд
xi (минут)
1
2
5
ni (раз)
1
2
1
xi (минут)
1
2
5
wi
1
4
1
2
1
4
или
10
Полигон статистического ряда
Рассмотрим выборку с вариантами
x1,…,xk
и частотами
n1,…,nk
(объем выборки n = n1+…+ nk)
Опр. Полигон частот статистического ряда – это
ломаная, построенная по точкам с координатами (xi,ni).
Вычислим частости
nk
n1
w1 = ,..., wk =
n
n
Опр. Полигон частостей статистического ряда – это
ломаная, построенная по точкам с координатами (xi,wi).
11
В примере 1 полигоны
Полигон частот
xi (минут)
1
2
5
ni (раз)
1
2
1
n
2
1
x
0
0
1
2
3
4
5
12
В примере 1 полигоны
Полигон частостей
xi (минут) 1
2
5
1
4
1
2
1
4
wi
w
1/22
1/41
x
0
0
1
2
3
4
5
13
Эмпирическая функция распределения
Опр. Пусть дана выборка объема n. Для любого числа x
вычислим kx – количество элементов в выборке со
значением меньшим, чем x.
Эмпирическая функция распределения определяется по
формуле:
kx
F ( x) =
n
График эмпирической функции распределения имеет
ступенчатый вид!
14
В примере 1 эмпирическая функция распределения
x
≤1
≤2
≤5
>5
xi (минут)
1
2
5
kx
0
1
3
4
1
2
1
F(x)
0
1/4
3/4
1
ni (раз)
Статистический ряд
15
Некоторые характеристики вариационного
(статистического) ряда
Опр. Мода Mo вариационного ряда – это значение (вариант),
у которого наибольшая частота.
Опр. Медиана Me вариационного ряда – это значение
(вариант), которое приходится на середину вариационного ряда.
Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом
членов медиана равна серединному варианту, а для ряда с четным
числом – полусумме двух серединных элементов.
Опр. Вариационный размах R вариационного ряда – это
разность между наибольшим и наименьшим значением
(вариантом) ряда.
В примере 1? (мода и размах , медиана)
16
Средняя арифметическая
Рассмотрим выборку с вариантами
частотами n1,…,nk
и частостями
x1,…,xk ,
(объем выборки n = n1+…+ nk)
nk
n1
w1 = ,..., wk =
n
n
Средняя арифметическая выборки, вариационного
или статистического ряда вычисляется по формуле
k
k
xi ni
= ∑ xi wi
x=∑
i =1 n
i =1
17
Средняя арифметическая (продолжение)
Если рассматривается вариационный (несгруппированный)
ряд со значениями x1≤ x2 ≤ … ≤ xn, то используется
формула
n
xi
x=∑
i =1 n
Результат один и тот же (почему?), но эта формула
называется «невзвешенная» средняя арифметическая
вариационного ряда.
18
Другие статистические характеристики
Опр. Выборочная дисперсия статистического ряда:
k
s =
2
∑ ( x − x) n
i =1
2
i
i
n
k
= ∑ ( xi − x) wi
2
i =1
Опр. Среднее квадратическое отклонение
статистического ряда:
s= s
2
19
Выборочные оценки характеристик генеральной
совокупности
Опр. Несмещенная оценка дисперсии:
k
s =
2
∑ ( x − x) n
i =1
2
i
i
n −1
Опр.
Несмещенная
оценка
арифметической
(математического
равна самой средней.
средней
ожидания)
20