Тема: Законы распределения СВ

Лекция 4
Тема: Законы распределения СВ
1. Биномиальный закон распределения
Опр. Дискретная СВ Х имеет биномиальный закон
распределения, если выполнены следующие условия:
1) эксперимент заключается в последовательном
повторении n независимых опытов;
2) в результате опыта может появиться или нет
событие А (других исходов нет);
3) вероятность появления события А в каждом из
опытов остается равной р;
4) СВ Х характеризует число появлений события А
при n испытаниях.
1
Ряд распределения биномиального закона:
X
P
0
Pn(0)
1
Pn(1)
…
P ( X = xi ) = Pn (k ) = C p q
k
n
k
n−k
n
Pn(n)
n
, ∑ Pn (k ) = 1,
k =0
k = i − 1, i = 1, n + 1 (k = 0, n), q = 1 − p.
Для биномиальной СВ:
M(X)=np;
D(X)=npq;
σ = npq .
2
Замечание.
Биномиальный закон распределения
широко используется:
в теории и практике статистического
контроля качества продукции;
при описании функционирования систем
массового обслуживания,
при моделировании цен активов,
в теории стрельбы,
в демографической области (рождение
детей одного пола) и др.
3
Пример. Задана биномиальная СВ: n=4, p=0.2.
Построить ряд распределения, найти M(X), D(X), σ.
Решение.
0 0 4−0
X
0
1
2
3
4
P P4(0) P4(1) P4(2) P4(3) P4(4)
X
0
1
2
3
4
P 0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016
P4 (0) = C4 p q
=
= 0.4096
P4 (1) = 0.4096
P4 (2) = 0.1536
P4 (3) = 0.0256
P4 (4) = 0.0016
q=1-p=0.8
M(X)= np=4*0,2=0,8;
D(X)= npq=4*0,2*(1-0,2)=0,64; σ=0,8.
4
2. Характеристики непрерывных СВ
Для непрерывных СВ записать таблицу ряда распределения невозможно (т.к. число значений бесконечно), поэтому
для характеристики используют не вероятность P(X=xi), а
функцию распределения F(x)=P(X<x).
Опр. Функция распределения F(x) называется
интегральным законом распределения.
Для непрерывной случайной величины F(x) –
непрерывная и дифференцируемая во всех точках функция
(следовательно, имеет производную). Ее график является
плавной кривой:
5
Опр. Функция f(x)=F '(x) называется
плотностью распределения непрерывной
СВ Х (или дифференциальной функцией
распределения).
x
F ( x) = ∫ f (t )dt.
Тогда:
−∞
Вероятность того, что СВ Х примет
значение из интервала (α;β), равна:
β
P(α < X < β) = ∫ f ( x)dx = F (β) − F (α).
α
6
Плотность распределения f(x) является
одной из форм закона распределения для
непрерывной случайной величины.
Свойства f(x):
1. f ( x) ≥ 0.
+∞
2. ∫ f ( x)dx = 1 ,
−∞
т.е. площадь, ограниченная f(x) и осью x,
равна 1.
7
Опр. Модой Мo(Х) непрерывной СВ Х
называется значение, для которого f(x) достигает
максимума.
Опр. Медианой Ме(Х) непрерывной СВ Х
называется значение, для которого:
1
P( X < Me( X )) = P( X > Me( X )) = .
2
8
Опр. Математическим ожиданием М(Х)
непрерывной СВ Х называется величина:
m = M (X ) =
∞
∫ x ⋅ f ( x)dx.
−∞
Опр. Дисперсией D(Х) непрерывной СВ Х
называется величина:
∞
∞
−∞
−∞
D( X ) = M ( X − m)2 = ∫ ( x − m)2 ⋅ f ( x)dx = ∫ x2 ⋅ f ( x)dx − m2 .
Опр. Cредним квадратичным отклонением СВ
называется величина :
σ(x) = σ = D( X ).
9
3. Равномерное распределение
Опр. Непрерывная СВ с плотностью
распределения равной постоянной величине:
f(x)=const
называется равномерно распределенной СВ.
 1
, x ∈ [a; b],

f ( x) =  b − a
 0, x ∉ [a; b].
Найдем математическое ожидание и дисперсию:
10
Для равномерного распределения СВ Х:
 1
, x ∈ [a; b],

f ( x) =  b − a
 0, x ∉ [a; b].
a+b
M (X ) =
;
2
2
b−a
(b − a )
D( X ) =
; σ=
.
12
2 3
 0, x ≤ a.
x−a

F ( x) = 
, a < x ≤ b,
b − a
 1, x > b.
11
4. Нормальный закон распределения
В практических ситуациях массовые явления в различных
сферах деятельности подчиняются нормальному закону
распределения.
Главная особенность нормального закона – он является
предельным законом, к которому приближаются другие
законы распределения при определенных условиях, часто
встречающихся на практике.
В математической статистике доказывается, что сумма
большого числа независимых (или слабо зависимых) СВ
распределяется почти нормально. Чем больше число СВ, тем
ближе распределение их суммы к нормальному закону.
12
Опр. Непрерывная СВ Х называется нормально
распределенной, если ее плотность распределения
определяется по формуле:
( x −µ) 2
−
1
2σ 2
f ( x) =
⋅e
,
σ 2π
µ, σ − параметры нормального
распределения.
µ - центр распределения,
точка максимума;
σ- расстояние от оси
симметрии до
точки перегиба.
13
Для нормальной СВ Х:
1
f ( x) =
⋅e
σ 2π
M ( X ) = µ;
−
( x −µ) 2
2σ 2
,
2
D( X ) = σ ;
σ( X ) = σ.
14
Правило «трех сигм»:
99,73% значений нормальной случайной
величины попадают в интервал µ ± 3σ.
95,45% значений нормальной случайной
величины попадают в интервал µ ± 2σ.
68,27% значений нормальной случайной
величины попадают в интервал µ ± σ.
15
Пример:
16