ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗВЕРТКИ

Министерство образования и науки Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
РАЗВЕРТКИ
Методические указания
к выполнению практических и лабораторных работ
для студентов инженерно-технических специальностей
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного
технического университета
Саратов 2013
1
ВВЕДЕНИЕ
В машиностроении и строительстве находят широкое применение
конструкции, изготовленные из листового материала. Техническая документация, разрабатываемая на такие конструкции, дополняется чертежами
разверток.
Правильно построенные развертки одного и того же объекта могут
иметь различные конфигурации. Важно выбрать такую, которая давала бы
наибольшую экономию материала.
При построении разверток необходимо оптимальное получение выкроек отсеков поверхностей для конструирования изделия из листового
материала; при этом зачастую приходится строить вспомогательные чертежи, упрощающие решение задач на поверхности путем сведения их к задачам на плоских развертках.
Разверткой поверхности называется фигура, полученная в результате
совмещения развертываемой поверхности с плоскостью. Необходимым
условием совмещения является отсутствие разрывов и складок на развертке. Полученная в результате развертки плоская фигура, точки которой находятся во взаимно-однозначном соответствии с точками заданной
поверхности, наделена следующими свойствами:
а) длина дуги линии любого направления на развертке равна длине
дуги соответствующей линии на поверхности;
б) углы между линиями на развертке равны углам между соответствующими линиями на поверхности (кроме особых точек поверхности);
в) площади фигур на развертке равны площадям соответствующих
фигур на поверхности.
Развертки могут быть точными и приближенными. Точные развертки имеют все многогранники (призмы, пирамиды и др.), цилиндрические
и конические поверхности и некоторые другие. Приближенные развертки
имеют шар, тор и другие поверхности вращения с криволинейной образующей. Первую группу поверхностей называют развертывающимися,
вторую – неразвертывающимися.
При построении разверток многогранников находят действительную
величину ребер и граней этих многогранников с помощью вращения или
перемены плоскостей проекций. При построении приближенных разверток
для неразвертывающихся поверхностей заменяют участки последних
близкими к ним по форме развертывающимися поверхностями.
Аналогично строят развертку поверхности цилиндра вращения. Делят поверхность цилиндра на определенное количество равных частей,
и развертывают вписанную поверхность правильной призмы. Длина развертки при таком построении получается несколько меньше действительной длины развертки. Если требуется значительная точность, то применяют графо-аналитический способ.
2
1. РАЗВЕРТКИ МНОГОГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1.1. Развертка поверхности пирамиды
Каждая грань многогранной поверхности представляет собой отсек
плоскостей. Проще всего, определив натуральную величину всех граней,
построить их на чертеже в оптимальном виде для раскроя. Рассмотрим построение развертки поверхности пирамиды (рис. 1).
Рис. 1. Построение развертки поверхности пирамиды
Основание трехгранной пирамиды ΔABC расположено в горизонтальной плоскости проекций П1, поэтому и проецируется в натуральную
величину. Для получения величины каждого бокового ребра пирамиды
используем способ вращения. Вращаем ребра вокруг оси, перпендикулярной П1 и проходящей через вершину S до положения фронталей. Истинными длинами ребер S2А'2, S2В'2 и S2С'2 строим боковые грани пирамиды.
Если на гранях пирамиды заданы точки М и D и между ними требуется
определить кратчайшее расстояние, то сначала строят эти точки М и D на
развертке. Точка М принадлежит ребру SA и при определении его величины следует повернуть и точку М. Тогда S2М'2 = SМ. Откладывая найденный отрезок на ребре развертки, находим искомую точку М. Точку D переносят на развертку посредством проведённых через нее прямых SF и BЕ.
В их пересечении на развертке определяем точку D. Линия на поверхности, которая определяет кратчайшее расстояние между двумя точками поверхности, называется геодезической линией. На развертке они преобра3
зуются в отрезок прямой МD. Каждая точка поверхности пирамиды соответствует строго определенной точке развертки.
1.2. Развертка поверхности призмы
При развертке призмы возможно использовать один из способов построения развертки многогранных поверхностей:
1) способ нормального сечения;
2) способ треугольников (триангуляции);
3) способ раскатки.
Рассмотрим в качестве примера призму, у которой ребра являются
линиями уровня – фронталями (рис. 2). Если будет задана призма с ребрами, имеющими вид прямых общего положения, сначала нужно способом
замены плоскостей проекций преобразовать ребра призмы в линии уровня.
Рис. 2. Построение развертки
поверхности призмы
Рис. 3. Построение развертки
поверхности призмы
способом триангуляции
Используем способ нормального сечения, чтобы определить натуральную величину нормального сечения (т.е. перпендикулярного ребра)
сечения. Для этого проводим фронтально-проецирующую плоскость  ┴
П2, которая перпендикулярна ребрам призмы   AA' (2  A2А'2). В результате построений получаем проекцию 122232. Истинную величину нормального сечения 102030 получаем совмещением с горизонтальной плоскостью проекции П1. Разворачиваем нормальное сечение в прямую 1-2-3-1.
Перпендикулярно прямой вверх и вниз откладываем из точек 1, 2, 3
и 1 длину ребра призмы (например, 1А=J2A2, 1А'=12A'2). При необходимости
4
можно достроить основание призмы, сняв истинные величины их с горизонтальной плоскости проекции П1.
Для наглядности выполним построение развертки способом триангуляции с той же трехгранной призмы (рис. 3).
Развертка боковой поверхности пирамиды, в этом случае, представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников – граней пирамиды. Эти треугольники строятся по трем известным сторонам. В приведенном примере АА'В' развертки строится по известным АА' =А2А'2,
АВ' = А1В''1, АВ = А1В1. К нему пристраивается равный ему АВВ'. Остальные грани строятся аналогично. Истинная величина основания снимается с плоскости П1.
Для закрепления навыков построения разверток многогранных поверхностей с линиями пересечения проецирующих плоскостей предлагаются задачи, решение которых дается в динамике построений в соответствии со ступенями алгоритма.
Требуется построить линию сечения треугольной пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью П2 и дать ее развертку (рис. 4).
Отмечаем опорные точки 1, 2, 3 на ребрах пирамиды и строим сечение в искаженном виде (рис. 5).
Определяем натуральные величины ребер пирамиды способом вращения вокруг оси i (i1, i2), перпендикулярной к плоскости П1. В этом случае ребра
пирамиды из отрезков прямых общего положения преобразуются в прямые
уровня – фронтали, параллельные плоскости П2. Ребра S2 A2 , S2 B2 и S2 C 2 –
натуральные величины (рис. 6).
Рис. 4. Пирамида и плоскость
П2
Рис. 5. Построение сечения
пирамиды плоскостью 
5
Рис. 6. Определение натуральных величин ребер пирамиды
Для построения развертки боковой поверхности пирамиды из точки
S на прямой, проведенной под любым углом, откладываем натуральную
величину S2 A2 ребра и отмечаем точку А. Из точки А проводим дугу радиусом, равным натуральной величине стороны А1В1 основания, а из точки
S – радиусом, равным натуральной величине S2 B2 ребра, отмечаем точку
В. Аналогично находятся точки С и А (рис. 7).
Рис. 7. Построение развертки боковой поверхности пирамиды
6
Рис. 8. Построение натуральной величины основания пирамиды
Продолжаем построение и пристраиваем натуральную величину основания пирамиды к развертке, как треугольники по трем известным сторонам (рис. 8).
2. РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТЕЙ
ВРАЩЕНИЯ
Поверхности вращения, для которых можно построить их развертку,
называются развертываемыми. К ним относятся только три поверхности:
цилиндрическая, коническая и торсовые поверхности.
Развертываемая поверхность во всех точках своих прямолинейных
образующих имеет одну и ту же касательную плоскость, что позволяет эту
поверхность «раскатать» на плоскости без разрывов и складок, то есть получить развертку. Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности ℓ, а центральный угол сектора в радианах
  2R/ .
2.1. Развертка конической поверхности
Аппроксимация развертываемой поверхности многогранной поверхностью осуществляется на практике следующим образом: в заданную
развертываемую поверхность Ф вписывается многогранная поверхность
Ф' достаточно хорошо передающая форму Ф. Развертка Ф' поверхности
Ф заменяет с определенной точностью развертку теоретически точную
поверхности Ф. Ее называют приближенной разверткой поверхности Ф
(рис. 9).
Развертывание боковой поверхности наклонного конуса в общем
случае, после вписывания в него пирамиды, ребра которой будут совпадать с соответствующими образующими конуса, сводится к развертыванию пирамиды (рис. 9).
7
Рис. 9. Развертка конической поверхности
В предлагаемом примере вписывается восьмигранник, ребра которого способом вращения преобразуются во фронтали, после чего определяются натуральные величины ребер и сторон основания пирамиды. На
плоскости чертежа строятся последовательно грани пирамиды, представляющие в своей совокупности развертку ее боковой поверхности.
Полученная развертка поверхности пирамиды представляет собой
приближенную развертку поверхности конуса. Развернутая линия сторон
основания конуса представляет собой плавную кривую D, C, B…D'2. А сечение конуса фронтально-проецирующей плоскостью
преобразуется
в кривую 2, 1, 9, 8, 7, 6, 4, 3, 2'2. В итоге получаем искомую развертку наклонного конуса.
2.2. Развертка цилиндрической поверхности
Цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями. Часть цилиндрической по8
верхности, заключенной между плоскостями, называется боковой поверхностью, а части плоскостей, отсекаемые этой поверхностью, основаниями
цилиндра. Расстояние между плоскостями оснований называется высотой
цилиндра.
При развертывании цилиндра вращения в нормальном сечении имеем, как известно, окружность. Длина линии окружности равна d, где
d – диаметр окружности. Это используют при развертывании цилиндра
вращения. Нормальное сечение – окружность цилиндра делят на несколько частей и через точки делений проводят образующие цилиндра. Рассмотрим пример, когда цилиндр вращения пересекает фронтальнопроецирующая плоскость П2 и покажем полученное сечение на развертке (рис. 10).
Строим три проекции опорных точек 1, 2, 3, 4 пересечения контурных образующих цилиндра с плоскостью  (рис. 11).
Рис. 10. Цилиндр и плоскость П2
Рис. 11. Построение опорных точек сечения цилиндра плоскостью 
9
Для построения
промежуточных точек
5, 6, … 12 строим три
проекции пересечения
образующих с той же
плоскостью  (рис. 12).
Соединяем полученные точки 1, 2, 3,…1
плавной кривой, строим
сечение поверхности цилиндра плоскостью  –
эллипс (рис. 13). Далее
строим развертку поверхности цилиндра и наносим на нее плавной
кривой линию сечения
1-7-8-2-9-10-3-11-12-4-5Рис. 12. Построение промежуточных точек сечения
6-1, представляющей социлиндра плоскостью 
бой синусоиду (рис. 13).
При необходимости можно определить натуральную величину построенного сечения способом замены плоскостей проекций.
Рис. 13. Построение развертки поверхности
цилиндра и линии сечения
2.3. Развертка поверхности сферы
Если поверхность не развертываемая, то ее заменяют набором развертываемых поверхностей достаточно хорошо передающим ее форму.
Развертку набора развертываемых поверхностей принимают условно за
приближенную развертку неразвертываемой поверхности и называют условной разверткой поверхности.
10
Сфера принадлежит к числу неразвертываемых поверхностей, но она
может быть развернута приближенно с достаточной для практических целей точностью. Существующие методы расчета построения приближенной
развертки неразвертываемой поверхности заключаются в том, что отсеки
этой поверхности аппроксимируются отсеками развертывающихся поверхностей, в данном случае цилиндрическими. Рассмотрим построение
развертки сферы предлагаемым способом (рис. 14).
Сферическая поверхность с помощью горизонтально-проецирующих
плоскостей 1', 1'' и 1''', проведенных через ось ОК, рассекается по меридианам на шесть одинаковых частей, а экватор и окружности параллелей –
на шесть соответственно равных дуг. Максимальная ширина одной части
равна одной шестой длины экватора. Ширина же в других местах, например, на параллелях принадлежащих точкам В, С, В', С'…, равна одной
шестой длины соответствующей параллели. В точках О и К ширина равна
нулю. Длина каждой части равна длине меридиана, например, на плоскости П2 – это полуокружность О2С2В2А2В2', С2'К2. Через точки А, В, С …
этого меридиана проводим касательные прямые к экватору и окружностям
параллелей. Все они принадлежат поверхности кругового цилиндра, огибающего сферу. Ось этого цилиндра перпендикулярна плоскости П2.
Проецирующие плоскости 1' и 1'' отсекают из поверхности этого цилиндра участок, которым можно приближенно заменить соответствующую
часть сферы.
Рис. 14. Развертка поверхности сферы
11
Для построения развертки проводится горизонтальная прямая
1'0А010 … , в произвольной ее точке А0 проводится перпендикуляр А0О0, на
котором по обе стороны от А0 откладываются отрезки А0В0, В0С0, С0О0 … ,
равные соответственным долям меридиана А2В2, В2С2, С2О2…. Максимальная ширина участка развертки 1'010 равна отрезку 1''1''' касательной
к экватору, ширина 2'020 на уровне В0 равна отрезку 2''2''' касательной к
параллелям и т.д. Плавными кривыми, соединив полученные точки 1'0, 2'0,
3'0, 00, … , получают очерк первой части приближенной развертке сферы.
Остальные пять участков приближенной развертки повторяют очерк первого. Количество разверток должно быть равно количеству частей, на которые разделена сфера.
Если на параллели лежит точка N, то сначала надо выяснить, в какой
части она расположена. Затем находят эту точку на соответствующем участке развертки, измерив по горизонтальной проекции этой параллели ее
приближенное расстояние от средней точки параллели или от одного ее
концов.
Для получения более точной развертки сферу рассекают на большее
число частей.
Для закрепления навыков построения разверток поверхностей вращения предлагаются задачи, решения которых даются в динамике построения в соответствии со ступенями алгоритма.
Построить развертку усеченного конуса и нанести сечение плоскостью Σ (рис. 15). Намечаем точки 1,2,…12, проводим образующие 11’…,
12, 12’ и строим их профильные проекции (рис. 16).
Рис. 15. Усеченный конус и плоскость 
12
Рис. 16. Построение образующих
Рис. 17. Построение точек
Рис. 18. Построение линии сечения
Находим проекции 1”,…, 12” точек пересечения образующих конуса
с плоскостью Σ (рис. 17). Соединяем проекции 1”, 2”, …12” точек плавной
кривой (рис. 18).
Для построения развертки вписываем в конус пирамидальную поверхность и находим проекции диагоналей граней пирамиды (рис. 19).
Способом вращения находим натуральные величины ребер, диагоналей вписанной пирамиды и точки сечения (рис. 20).
Рис. 19. Проекции диагоналей граней
вписанной пирамиды
Рис. 20. Натуральная величина
ребер и диагоналей пирамиды
13
Рис. 21. Построение развертки поверхности усеченного
конуса с нанесением линии сечения плоскостью 
Строим развертку поверхности заданного усеченного конуса и наносим линию сечения по натуральным величинам ребер и диагоналей граней
пирамиды (рис. 21).
14
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гордон В.О. Курс начертательной геометрии: учеб. пособие для студентов вузов / В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский; под ред. В.О. Гордона, Ю.Б. Иванова. 25е изд., стереотип. – М.: Высшая школа, 2003. – 272 с.
2. Гордон В.О. Сборник задач по курсу начертательной геометрии: учеб. пособие / В.О. Гордон, Ю.Б. Иванов, Т.Е. Солнцева; под ред. Ю.Б. Иванова. – 9-е изд., стереотип. – М.: Высшая школа, 2003. – 320 с.
3. Инженерная графика. Примеры решения задач по начертательной геометрии /
Под ред. Ю.А. Зайцева – Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2011. – 177 с.
4. Инженерная графика: в 3 кн. Кн. 1. Начертательная геометрия. Геометрическое проекционное черчение: учебник / П.Н. Учаев, В.И. Якунин, С.Г. Емельянов и др.
– М.: Высшая школа, 2007. – 687 с.
5. Иванов Г.С. Начертательная геометрия: учебник для вузов / Г.С. Иванов. – М.:
Машиностроение, 1995. – 224 с.
6. Нартова Л.Г. Начертательная геометрия: учеб. пособие для студентов техн.
спец. вузов / Л.Г. Нартова, В.И. Якунин. – М.: Издат. центр «Академия», 2005. – 288 с.
15
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
РАЗВЕРТКИ
Методические указания
к выполнению практических и лабораторных работ
Составил: ОДИНОКОВ Игорь Петрович
Рецензент Е.А. Данилова
Редактор К.А. Кулагина
Компьютерная верстка Т.В. Семёновой
Подписано в печать 21.03.13.
Формат 60×84 1/16
Бум. офсет
Усл. печ.л. 0,93 (1,0)
Уч.-изд.л. 0,9
Тираж 100 экз.
Заказ 34
Саратовский государственный технический университет
410054, Саратов, Политехническая ул., 77.
Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77.
Тел.: 24-95-70, 99-87-39, E-mail: izdat@sstu.ru
16