ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ОПРЕДЕЛЕННЫЙ

А.М.Немов
В.И.Степанов
Численные методы решения
эвристических задач на ПК
МОДЕЛИРОВАНИЕ
АЛГОРИТМЫ
ПРОГРАММЫ
ФИЗИКА
МАТЕМАТИКА
ЭКОНОМИКА
АСТРОНОМИЯ
Издательство «КЛИО»
Чебоксары –2008-
В учебное пособие включены оригинальные, практические
задачи, встречающиеся в повседневной жизни. Подробно изложены
численные методы решения указанных задач на ЭВМ. Большинство
задач приводится с аналитическим решением и приложением текстов
соответствующих компьютерных программ. По каждой теме даны
задачи для самостоятельного решения, причём различной сложности.
Пособие имеет CD приложение. На CD размещены презентация
самого пособия, и презентации уроков большинства тем. Так же на CD
записана электронная версия пособия и полное программное
обеспечение для решения задач и математического моделирования.
Наличие мультимедиа обучающего курса по данному пособию в форме
электронного учебника (PDF-файл формата acrobat reader).
Авторы в течение нескольких лет работали с данным сборником
и считают, что он окажется полезным для учащихся школ, колледжей,
лицеев, гимназий. Книга представляет значительный интерес для вузов
и преподавателей математики, физики, информатики.
Издание второе. Дополненное, переработанное.
Авторы:
Немов Александр Михайлович
Отличник народного образования России.
Учитель – методист.
Степанов Владимир Иванович
Доцент ЧГУ кафедры математического
моделирования.
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие …………………………………………………………………..……….. 4
Введение: Информатика как методологическая наука ……………………………. 5
Прикладная информатика в школьном общеобразовательном процессе ..……….. 7
Десять заповедей учителя и сборник эвристических задач ………………….…….. 9
Алгоритмы и программы исследования функций.Реализация численных методов10
Решение уравнений и систем уравнений численными методами ……………….... 10
Практические задания решения уравнений и систем уравнений…………………..14
Решение экстремальных задач численными методами ………………………….. 15
Практические задания на нахождение экстремума функций. ……………...……. 18
Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями. …………………….…....… 18
Практические задания нахождения площадей фигур (определенный интеграл) .. 19
Эвристические задачи на нахождение максимума, или минимума. ……………… 19
Методика решения экстремальных задач ……..…………………………..………... 22
Эвристические задачи на определённый интеграл ………………….…………...… 29
Методика решения задач на определённый интеграл ……………………………... 31
Экстремальные задачи для самостоятельного решения на ЭВМ …………………. 37
Задачи для самостоятельного решения на определенный интеграл ……………… 39
Математическая модель - мощный инструмент исследования процесса, явления,
закона. …………………………………………………………………………………. 41
Движение тела в поле сил тяжести брошенного под углом к горизонту ……….. 42
Практические задания к модели …………………………………….………………. 43
Тело на наклонной плоскости …………………….………………………………….. 45
Практические задания к модели …………………………………………………….. 45
Гравитационное взаимодействие двух и более тел………………………………... 46
Практические задания к модели …………………………………………………….. 50
Клеточные автоматы. Игра Дж.Конвея «Жизнь» …………………………………... 51
Справочный материал. Основные формулы …………………………………...…… 54
Ответы ………………………………………………………………………………….55
Литература ……………………………………………………………………………..60
Содержание приложения на CD………………………………………………………61
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Решение задач в образовании занимает огромное место. Поэтому
обучению решению задач уделяется много внимания. Но до сих пор,
пожалуй, единственным методом такого обучения был показ способов
решения определенных видов задач и значительная, порой
изнурительная практика по овладению ими. Поэтому все пособия для
учащихся были построены в форме сборника задач (с ответами и
некоторыми указаниями к ним).
В последние годы появилось ряд пособий, в которых излагаются
общие указания и рекомендации (эвристики) по решению задач, по
поиску этих решений. Однако эти пособия излагают вопросы не
достаточно полно, без необходимой системы, без учета их реальных
трудностей, с которыми сталкиваются учащиеся.
Психологические исследования проблемы обучения решению
задач показывают, что основные принципы несформированности у
учащихся общих умений и способностей в решении задач состоит в
том, что школьникам не даются необходимые знания о сущности задач
и их решений. Поэтому, они решают задачи, не осознавая должным
образом свою собственную деятельность.
Возникла необходимость разработки таких пособий, которые
помогли бы преодолеть указанные причины, и дали возможность
учащимся сформировать у себя нужные умения и навыки в решении
задач математики, физики, и информатики.
Приведенный список литературы включает не только
цитируемые, но и другие книги, которые пригодятся читателям,
заинтересованным в более широком и глубоком знакомстве с
различными вопросами данной тематики.
Авторы будут благодарны читателям за замечания, новые
решения, а также интересные задачи.
Наш адрес: 428000 Чувашия. г.Чебоксары, ул.
Университетская, д.38, Чувашский госуниверситет,
математический факультет, кафедра математического
моделирования. Степанову В.И.
E_mail автора: school6_nemow@mail.ru.
Д.Т: 75-70-85
4
ВВЕДЕНИЕ. Информатика как методологическая наука
В настоящее время представление об образовании и, в частности,
об обучении как о передаче "суммы знаний" уступило место
уверенности в необходимости вооружить обучаемых "технологиями",
иначе говоря, методами приобретения знаний. С научной точки зрения,
принципиальным представляется вопрос о балансе приобретаемых в
процессе учебной деятельности знаний и методов их приобретения. К
сожалению, отечественная школа пошла по пути именно приобретения
суммы знаний. С научной точки зрения, принципиальным
представляется вопрос о балансе приобретаемых в процессе учебной
деятельности знаний и методов их приобретения. К сожалению,
отечественная школа пошла по пути именно приобретения суммы
знаний, делая акцент на механическое запоминание.
Учебная информатика в силу своей специфики и истории
оказалась на перекрестье большинства проблем современного
образования. Исследование методики преподавания информатики,
влияние информатики на другие учебные дисциплины неизбежно
приводит к размышлениям над глобальными проблемами системы
образования.
Неадекватность методологической подготовки учеников во
многих школах по-прежнему проявляется в том, что:
задачи, традиционно решаемые в ходе учебной деятельности, как
правило, не представляют интереса с точки зрения "реальной жизни";
однако эти задачи по-прежнему используются в обучении, поскольку
их решение в принципе посильно для школьников;
проблемы, представляющие реальный интерес, в школьной
практике чаще всего не используются, поскольку арсенал методов,
которыми владеют школьники, явно несостоятелен для их решения. [1]
Важную
роль
в
процессе
осознания
неадекватности
методологической подготовки учеников сыграл анализ проблем
методики преподавания информатики и применения ЭВМ в учебном
процессе. Здесь особенно ярко проявилась и потребовала решения
проблема несоответствия реальных задач, решаемых информатикой, и
арсеналом методов, осваиваемых в учебном процессе.
Такие методологические предметы как математика и
информатика посвящены тому, как протекает мышление человека
(более точно - как протекает процесс познания в целом). Прерогатива
этой группы предметов - методы, с помощью которых человек решает
задачи, возникающие в его жизни; общие методы, одинаково
применимые при решении задач из физики, химии, биологии, истории
и т.д., а главное - "на стыке" предметных областей.
5
Информатика,
как
методологическая
наука,
является
надпредметной. Именно она дает методы научного способа познания
мира.
Сегодня уже можно считать очевидным, что использование
компьютеров в учебной деятельности вообще и даже в учебной
информатике, в частности, не может являться самоцелью. Применение
(и, в особенности, изучение) компьютеров должно подчиняться
приоритетам целей и содержания учебной деятельности. Это означает,
что ЭВМ должны применяться лишь в той мере и постольку,
поскольку его использование способно породить необходимый
дидактический эффект, недостижимый без помощи ЭВМ. Такой
эффект заключается
в
качественно
новых
возможностях
моделирования в ходе учебной деятельности процессов самой разной
природы. Следовательно, вполне возможно и даже желательно
дифференцировать содержание курса информатики в зависимости от
профиля класса. В специализированных физико-математических или
программистских
классах
необходимо
изучение
основ
программирования, технологии программирования, дискретной
математики (численные методы, математическое моделирование...),
теории вероятности, статистики и т.д. Что же касается гуманитарных
классов (и тем более классов коррекции), в них курс информатики
может носить обзорный характер.
Творчески работающие учителя уже осознали, что умение писать
примитивные программы на Бейсике, Фокале или Паскале - не лучшее
подспорье для выпускников школ. Учитель, не задающий себе
извечного вопроса "зачем моим ученикам то, чему я собираюсь их
учить?", не может считаться человеком ответственным. А что может
быть страшнее безответственного учителя?
Итак, компьютер не объект изучения, а средство, инструмент для
решения задач, возникающих в различных сферах человеческой
деятельности. Информатика, как и математика, является не просто
царицей, но и "служанкой" наук. Именно ее прикладное значение и
имеет конкретный смысл. Разумно согласиться с мыслью, что на
уроках физики должны решаться специфические , "физические",
задачи имеющие большой дидактический вес, но не выполнимые без
ЭВМ. Аналогично и по другим дисциплинам, включая математику,
химию, историю и т.д. Т.е. информатика должна дать учащимся такой
инструмент, который бы позволил качественно изменить методы
обучения. Конечной целью является повышение эффективности и
качества учебного процесса, через коренное изменение методологии
обучения.
6
ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЬНОМ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ ПРОЦЕССЕ.
Прикладная информатика как наука, имеет смысл тогда, когда
идет речь о конкретной области ее приложения [1]. Отличительной
особенностью ее от других наук является то, что подходы (методы)
решения поставленных задач в различных дисциплинах, как правило,
одни и те же. Так, используя численные методы решения задач, можно
с успехом справиться с довольно сложными задачами из курса физики,
химии, математики, экологии, и т.д., причем такими, которые без ЭВМ
решаются с использованием дифференциального и интегрального
исчисления или вообще не решаются (например, задача трех тел).
Конечно, речь идет не о гуманитарных классах, в которых
информатика носит обзорный характер, а в классах с физикоматематическим уклоном или занятиях в УПК с соответствующей
специализацией.
Как
уже
отмечалось,
беда
всех
дисциплин
в
общеобразовательной школе заключается в том, что отсутствуют
задачи, имеющие практическое "жизненное" значение, вследствие чего
у учащихся теряется интерес к предмету как науке (зачем учить то, что
не знаю где применить?). Как правило, такие задачи "классическими"
методами школьной математики или не решаются, или решаются с
таким трудом, что за решением теряется смысл задачи. Следовательно,
дав учащимся, например, численный метод решения задач на ЭВМ, мы
тем самым даем возможность решать огромный класс задач из
различных областей знаний и дисциплин! У учащихся повышается
интерес к изучаемой науке именно из-за ее практического приложения,
будь то физика, математика или другая дисциплина. При этом до
учащихся наконец-то дойдет, зачем нужны производные и интегралы.
А теперь, если вы откроете учебник алгебры, то найдете в нем две (!)
практические и не очень интересные жизненные задачи на
производную, и ни одной на интеграл! Все задачи - абстрактные, как
правило, на нахождение производной или интеграла какой-либо
математической функции. Спрашивается, а зачем? Не лучше обстоит
дело в физике. Если просмотреть задачники, например, самые
популярные таких авторов, как Рымкевич А.П.[2], или Демкович В.П.
[3], то в них практически нет ни одной исследовательской задачи. Все
они жестко детерминированы и с такими данными, которые на
практике встречаются только в идеальных условиях. Например, над
столом висит лампочки с известной силой света и на определенной
7
высоте, спрашивается, чему будет равна освещенность под лампочкой?
Интересно знать, кто же будет сидеть под самой лампой? Другое дело,
если требуется найти такую высоту подвеса лампочки, чтобы на краю
стола освещенность была максимальной. Это уже совершенно другой
тип задач, которые можно отнести к эвристическим, и которые решать
и интереснее, и практичнее, так как первая задача есть частный случай
второй.
Численные методы стали доступны учащимся как инструмент,
решения задач именно потому, что в школах появились компьютеры.
Это совершенно новая технология (методология) обучения. Учащиеся
становятся не объектами обучения, а исследователями, которые
самостоятельно добывают знания. Численные методы, или иначе
дискретная математика по своей сущности не сложнее теоремы Виета.
И как показала практика, учащиеся 10 классов относительно легко ее
усваивают. По сути дела, это "джентльменский" набор приемов и
методов решения уравнений на ЭВМ, нахождение максимума или
минимума функции, а также вычисление определенного интеграла.
Конечно, это далеко не полный перечень возможностей дискретной
математики
(например,
построение
математической
модели
физического объекта), но это универсальный метод решения
подавляющего большинства задач, которая ставит перед нами
практика жизни.
Что касается компьютерных программ по численным методам, то
это довольно "примитивный" набор с точки зрения программирования
небольших программ, алгоритмы которых приводятся в учебниках
информатики: [4]
а) Решение уравнений. Отделение корней (графический или
табличный метод);
б) Решение уравнений. Уточнение корней (метод половинного
деления, или метод хорд);
в) Нахождение определенного интеграла (метод прямоугольников, или метод трапеций);
г) Нахождение максимума или минимума функции;
д) Программа построения графиков функций.
Все перечисленные методы (программы) настолько коротки (за
исключением математического моделирования), что сам собой
возникает соблазн объединить их в одну программу с удобным
интерфейсом работы с ней. Вооружившись данной программой и
начальными сведениями о выше изложенных методах, учащиеся
получают такой инструмент, перед которым устоит редкая задача.
8
Целью данного методического пособия и является создание
сборника эвристических задач из различных областей практической
деятельности человека. Таких "сложных" задач, которые легко
решаются методами дискретной математики с использованием ЭВМ,
которые имеют определенный практический интерес и соответственно
повышенный стимул их решения. Таких задач, научившись которые
решать, учащиеся неизбежно должны прийти к уважению математики,
как "царицы" наук. Таких задач, которые бы аналитическим методом
не решил бы даже учитель! Таких задач, которые впоследствии
хотелось бы решить аналитически.
ДЕСЯТЬ ЗАПОВЕДЕЙ УЧИТЕЛЯ И СБОРНИК
ЭВРИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.
Замысел и актуальность данного пособия вам станет понятен
после прочтения отдельных мест книги Д.Пойа "Математическое
открытие" [5]. Эта книга о методологии преподавания.
НАИЛУЧШИЙ СТИМУЛ. Учитель должен видеть в себе
комиссионера, желающего продать юнцам немного математики или
физики. Но если комиссионер испытывает затруднения со сбытом и
его товар залеживается, ибо клиенты отказываются его покупать, он не
должен винить во всем покупателей. Вспомните, что покупатель всегда
прав - в принципе, а иногда и практически. Парень, который
отказывается учиться, может быть и прав. Дело не обязательно в том,
что ваш ученик ленив или глуп, - просто его может интересовать чтонибудь другое. Ведь на свете столько интересного! И ваш долг, как
учителя, как поставщика знаний, состоит в том, чтобы убедить
учащегося в интересе вашего предмета, в изяществе и красоте того
вопроса, который вы как раз сейчас рассматриваете, заставить его
понять, что он не пожалеет, затратив усилия на предлагаемую вами
задачу.
Поэтому учитель должен уделять особое внимание ВЫБОРУ
ЗАДАЧИ, ее формулировке и тому, как лучше ее преподнести. Задача
должна выглядеть ОСМЫСЛЕННОЙ не только с позиции учителя, но
и с позиции ученика. Должна быть связана с ПОВСЕДНЕВНЫМ
ОПЫТОМ и жизненной практикой. Хорошо также, если постановка
задачи связывается с шуткой, каламбуром. Пусть задачи носят
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ характер, а не будут детерминированы.
Именно этим требованиям отвечает данное методическое пособие.
9
Десять заповедей учителя
01. Интересуйтесь своим предметом.
02. Знайте свой предмет.
03. Лучший способ изучить - это открыть самому.
04. Умейте читать по лицам учащихся и ставить себя на их место.
05. Не ограничивайтесь голой информацией; стремитесь развивать у
учащихся определенные навыки, нужный склад ума.
06. Старайтесь научить их догадываться.
07. Старайтесь научить их доказывать.
08. Выискивайте в вашей задаче то, что может пригодиться при
решении других задач, за данной конкретной ситуацией старайтесь
обнаружить общий метод.
09. Не выдавайте своего секрета сразу. Пусть они "поломают" голову.
10. Пользуйтесь наводящими указаниями, но не навязывайте своего
мнения насильно.
АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
ФУНКЦИЙ. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
В первом издании всё программное обеспечение было создано на
языке «Turbo Pascal 7.1». Программы работали под DOS, что вызывало
у пользователей определённые неудобства. Автором решён этот
вопрос переходом с языка программирования Pascal на объектноориентированный язык Delphı. При этом сохранена Pascal - запись при
рассмотрении тем численных методов и математического
моделирования.
Решение уравнений и систем уравнений численными методами
(ANALIZ)
Допустим, Вам нужно решить уравнение вида: 2 x 6 + 3 x 4 − 1 = 0
Что означает решить уравнение? Правильно, найти его корни. А что
такое корень уравнения? Это такое значение аргумента, при котором
выполняется равенство левой и правой части уравнения. В данном
случае необходимо найти все значения аргумента x , при которых
выражение обратится в ноль (станет равно нулю). Допустим, что сами
мы не можем аналитически решать подобные уравнения. Как нам
быть? Самым простым выходом, наверное, это вначале построить
график данной функции. Здесь нет возможности описания программы
построения графиков, из-за её громоздкости и специфичности.
Необходим вывод координатной сетки. Масштаба, или цены деления
сетки. Учета левой и правой границы изменения аргумента. Очистки
графического поля для вывода следующего графика. Изменение
расположения начала декартовых координат, в зависимости от вида
10
графика (начало координат может быть в центре экрана, в левом
нижнем углу, и т.д.). То есть, создание такой программы далеко
выходит за пределы школьного курса информатики. Хотя
продвинутым ученикам (и, наверное, даже учителям) это может быть
по силам. Автором же приводится вид рабочей программы с графиком
функции на экране.
Рис 1.
Размеры графика по горизонтали и вертикали зависят только от
цены деления по x и y. Чем меньше цена деления, тем крупнее график.
И, так, по графику видно, что уравнение имеет два корня.
Найдём их границы. x1=[-1; 0], x2=[0; 1]. Первый корень находится
между -1 и 0, а второй между 0 и 1. Не будет ошибкой, если вы точнее
определите границы корней. Например: x1=[-0.8; -0.6]; x2=[0.6; 0.8].
Но главное, запись границ всегда вести слева направо! В численных
методах определение границ корней называют отделением корней.
Теперь перейдём к этапу уточнения корней. Существует
несколько методов уточнения корней различных по эффективности и
скорости. Самым доступным (простым) методом является «метод
половинного деления».
Опишем этот метод, т.е. создадим
описательный алгоритм.
11
Описательный алгоритм уточнения корней
методом половинного деления(ANALIZ)
1. Зададим функцию. Введём в
переменные «a» и «b» левую и
правую границы одного корня. В
переменную
«е»
точность
нахождения корня.
2. Проверим, есть ли между
значениями «a» и «b» корень и
причём только один (защита от
дурака): Если f(a)*f(b)>0 тогда иди на
пункт 1. (корня нет).
3.
Присвоим
переменной
«с»
значение середины отрезка между Рис 2.
«a» и
«b». с:=a+(b-a)/2
4. Найдём значение функции y=f(с).
5. Определим, есть ли на участке между «a» и «c» корень? Если есть,
то присвоим значению «b» значение «c», т.е. правой границей станет
середина отрезка «с». Иначе «a» присваивается «с» (правой границей
станет середина отрезка «с»). Если f(a)*f(с)<0 тогда b:=c иначе a:=c
6. Проверим точность полученного корня с заданной точностью. Если
точность не достигнута, то расчет повторяется с пункта 3, иначе
выдается ответ. Если abs(b-a)/2>e тогда иди на пункт 3.
7. Вывод ответа в виде x= abs(b-a)/2
Блок - схема уточнения корней
12
Программа уточнения корней на «Turbo-Pascal»
program analiz_mpd;
uses crt, dos;
var a, b, e :real;
function f(x:real)
:real;
begin
f:=2*x*x*x*x*x*x+3*x*x*x*x-1; { задаем функцию }
end;
begin
clrscr;
repeat // защита ввода параметров от дурака
write’Введите левую, правую границу корня и точность:’;
readln (a,b,e);
until (f(a)*f(b)<0) and (a<b) and (abs(b-a)/2>e);
repeat
if f(a)*f((a+b)/2)<0 then b:=(a+b)/2 else a:=(a+b)/2;
until abs(b-a)/2<e;
writeln('Корень на данном участке =',(a+b)/2:9:4);
repeat // ожидание нажатия любой клавиши
until keypressed;
end.
Программа на Delphi работает по такому же алгоритму, но имеет
оформление под WINDOWs. См рис 3.
Рис 3.
Программа не запрашивает точность нахождения корня, т.к. точность
задана в программе: e=0.001
13
При построении графиков, могут возникнуть следующие нюансы:
а) графика нет... Это значит он ниже или выше (правее, левее)
видимой области. Попробуйте увеличить коэффициент сжатия по Y
или Х в 10 или 100 раз и график обязательно появится;
б) При выводе графика появилось сообщение типа: 'Деление на 0',
или 'Корень отрицательного числа' (программа ругается на
английском!). Ну, это уже в компетенции учителя (ученика) изменять
границы табуляции, чтобы область определения была задана верно.
ВНИМАНИЕ! Требуйте от учащихся построения крупных
графиков! Для "натаскивания" учащихся, ниже приводятся
тренинговые задачи и требования по их решению.
Примеры и задачи подбирались из литературы [9],[16],[17],[18],[19].
Практические задания решения уравнений и систем уравнений
численными методами (ANALIZ)
Выполняя данные задания, вы должны чётко знать:
1) что означает решить уравнение;
2) как найти корни составного уравнения (уравнения состоящего из
двух и более функций) по графику составного уравнения, или графикам
составляющих данное уравнение функций. Например функцию
y = x − 10 sin x можно представить как две функции: y = x и y = 10 sin x ,
тогда корнями будут являться точки пересечения графиков этих
уравнений.
3) что означает «ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ». Как это сделать по
графику?
4) сущность метода «УТОЧНЕНИЕ КОРНЕЙ» методом половинного
деления.
Ответы с заданиями следует записывать в тетрадь с указанием номера
задачи.
Найти количество корней и их значение с точностью до 0.001
1) 2 x 6 + 3 x 4 − 1 = 0
2) (0.2 x) 3 + cos x = 0
3) 2 + 0.5 x − 10 = 0
x2 + 4
=0
4)
x
5) 4 x + 7 − 3 cos x = 0
6) x 4 − 8 x 2 − 9 = 0
−x
2
14
Решить графически систему двух уравнений с точностью до 0.1
7) ⎨
⎧ y = x 2 + 4x + 4
⎩2 x + y + 4 = 0
8) ⎨
⎧ y = x 2 − 2x + 4
⎩ y = 2x
⎧ y = x 2 − 2x + 4
9) ⎨
⎩ y = 2x − 1
10) ⎨
⎧ xy = 12
⎩x − 2 y − 2 = 0
И так, господа, будем считать, что первый этап освоения
численных методов вами освоен. Пора переходить ко второму этапу.
Решение экстремальных задач численными методами(ANALIZ)
Рассмотрим решение экстремальных задач численными
методами. Решение сводится к нахождению максимального, или
минимального значения функции на интервале. Конечно, что бы
убедиться в наличии максимума, или минимума функции необходимо
опять строить её график. Например, дана функция вида:
y = −0.5 ⋅ x 2 + 4 ⋅ x + 5
Определим, при каком значении аргумента x функция принимает
максимальное значение. Построим график. См рис 4. Из графика видно,
что примерно при х=4 значение y – максимально и примерно равно 13.
Такое приближение, конечно, не может устраивать и мы должны
поручить компьютеру нахождение экстремума с произвольной
точностью. Опять нужен алгоритм. И начнем, как всегда, с
описательного алгоритма.
Рис 4.
15
Описательный алгоритм определения максимального
(минимального) значения функции
1. Зададим функцию. Введём в переменные «x» и «xp» левую и
правую границы максимума или минимума. В переменную «sh»точность нахождения экстремума. Sh также равен шагу
табуляции.
2. Выясним, какая это функция возрастающая, или убывающая?
If f(x)>f(x+sh) then goto 7; { условие убывающей функции }
Если функция возрастающая то здесь будем искать её максимум}
3. Увеличим левую границу а на шаг табуляции. x:=x+sh
4. If f(x+sh)>f(x) then goto 3 {если максимум не достигнут, то иди
на пункт 3}
5. Вывод ответа в виде: «y max=», f(x), «x=»,x
6. Конец.
{Если функция убывающая то здесь будем искать её минимум}
7. Увеличим левую границу а на шаг табуляции. x:=x+sh
8. If f(x+sh)<f(x) then goto 3 {если минимум не достигнут, то иди на
пункт 7}
9. Вывод ответа в виде: «y min=»,f(x), «x=»,x
10. Конец
Блок – схема нахождения экстремума функций
16
Программа нахождения экстремума функций на «Turbo-Pascal»
program max_min;
uses crt, dos;
label 0,1,2,3;
var x,xp,sh,y,y1
: real;
function f(x:real)
:real;
begin
f:=-0.5*x*x+4*x+5; { задаем функцию }
end;
begin
clrscr;
write(‘Левую, правую границу и шаг.’); readln(x,xp,sh);
if f(x)>f(x+sh) then goto 1;
Writeln('На данном участке функция возрастающая');
y1:=f(x);
2:
x:=x+sh;
y:=f(x);
if (y>y1) and (x<xp) then BEGIN y1:=y; goto 2; END;
writeln('x=',x-sh:8:3,' y=',y1:8:3);
If x>=xp then write('На участке макс.функции не найден');
GOTO 0;
1:
Writeln('На данном участке функция убывающая');
y1:=f(x);
3:
x:=x+sh;
y:=f(x);
if (y<y1) and (x<xp) then BEGIN y1:=y; goto 3; END;
writeln('x=',x-sh:8:3,' y=',y1:8:3);
If x>=xp then write('На участке мин. функции не найден');
0:
Readln;
End.
Результат работы программы отображен на рисунке 5. Если на
данном участке экстремум не был найден, то программа выдает
соответствующее сообщение. В самой программе введена точность
поиска экстремума до 0.001.
Рис. 5
17
Задачи на нахождение экстремума функций.
Найти все максимумы и минимумы функции на отрезке.
11) y = x 4 − 8 x 2 − 9
на отрезке [–3; 3];
12) y = x 5 − 5 x 4 + 5 x 3 + 1 на отрезке [–1; 3.5];
13) y =
x3 + 6
x4 −1
на отрезке [–5; 1];
14) y = 100 − x 2
2 x + 5x + 1
x2 +1
x2 + 4
16) y =
x
15) y =
3
2
на отрезке [–10; 10];
на отрезке [–2; 0.5];
на отрезке [–5; 5];
Найти координату вершины параболы и направление вершины.
17) y = −10 x 2 + 5 x − 2
18) y = 2 x 2 − 10 x + 40
19) y = 5 x 2 − 4 x − 12
20) y = −0.1x 2 − 4 x − 12
Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями(ANALIZ).
Вычисление площадей фигур ограниченных линиями, и/или осями
координат, может осуществляться численными методами с
использованием различных алгоритмов. Наиболее простым и
распространенным, является метод прямоугольников. На этот раз
обойдемся без словесного алгоритма и блок-схемы. Напишем сразу
программу на Turbo-Pascal.
Program sum;
Uses crt, dos;
Var x,xl,xp,dx,y,s,ds : real;
function f(x:real)
:real;
begin
f:=-0.5*x*x+4*x+5;
end;
begin
end.
18
Writeln (‘XL,XP,dx’);
Readln(XL,XP,dx);
s:=0; x:=XL+dx/2;
repeat
y:=f(x); ds:=y*dx;
s:=s+abs(ds);
x:=x+dx;
until x>xp;
writeln('Площадь S=',s);
Readln;
На рисунке 6. представлен образец экрана во время работы программы
“ANALIZ” на Delphi по нахождению площади одной арки синусоиды.
Рис. 6
Практические задания нахождения площадей фигур
(определенный интеграл)
21)
22)
23)
24)
25)
y = 4 − x2 ; y = 0
y = 3 − 2x − x 2 ; y = 0
xy = 4 ; x = 1 ; x = 4 ; y = 0
y = 2 x + 4 ; x = −2 ; x = 0 ; y = 0
2
y 2 = (4 − x) 3 ; x = 0 ; y = 0
26)
27)
28)
29)
30)
y = x 2 + 4 x; y = x + 4
y = x3 ; y = 8 ; x = 0
xy = 6 ; x + y − 7 = 0
y = 2 cos 2 x ; y = 2 x ; x = 0
y = sin x ; y = 0 ; x = 0 ; x = 3.14
ЭВРИСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ
МАКСИМУМА, ИЛИ МИНИМУМА.
Проверить верность ответа аналитическим методом. Ответ
оформить в виде чертежа и значения всех переменных полученных в
ходе решения.
Задача 1. У Вас имеется лист железа 3 х 3 метра из которого
необходимо сварить бак с квадратным основанием (для полива
огорода). При какой ширине основания и высоте бака его вместимость
будет максимальной. Сделать вывод.
19
Задача 2. Сделать ограду под дачный участок прямоугольной
формы, прилегающей одной стороной к реке (река не огораживается).
Сетка "рабица" имеет длину L=20 метров. При какой длине и ширине
участка, его площадь будет максимальной.
Задача 3. Главному конструктору консервного завода была
поставлена задача экономии дорогостоящей жести для банок, т.е.
возникла необходимость при минимуме затрат жести изготавливать
такие цилиндрические банки, в которые помещалось бы максимум
тушенки. На одну банку планируется затратить 160 кв.см, жести. Каков
максимальный объем банки при этом возможен? При каком диаметре и
высоте банки это будет выполняться?
Задача 4. Для слива воды с крыши необходимо изготовить желоб
с треугольным основанием. Ширина полосы жести 40 см. При каком
угле сгиба желоба, его пропускная способность будет максимальной?
Задача 5. В древнем Риме вся знать пила только из серебряных
кубков. Если бы вы были мастером по изготовлению кубков, какие бы
вы их делали, чтобы при минимальных затратах серебра, делать кубки
максимального объема? (кубок - цилиндр с открытым, как у кружки,
верхом). Если на 1 кубок дается 120 кв.см, серебра, то каков его
максимальный объем.
Задача 6. Старинные иконы прямоугольной формы снизу и
полукруглые сверху имеют золотой оклад (по периметру - отделка
золотой фольгой). При каком диаметре окружности (ширине иконы) и
высоте (от низа иконы, до центра полуокружности), ее площадь будет
максимальной, если на весь оклад отпущено 1 м. фольги.
Задача 7. Из пункта А в пункт В
нужно добраться за кратчайшее время,
причем по земле ваша скорость
составляет 2 м/с, а по воде - 1 м/с. В
какой точке по Х Вам нужно оставлять
лодку на берегу для переправы.
Задача 8. Над круглым столом диаметром 2м необходимо
повесить лампочку так, чтобы на расстоянии 1 метр от вертикали
подвеса (на краю стола) освещенность стола была максимальной (см.
справочный материал). Сила света лампочки 100кд.
20
3адача 9. Из лука, вертикально вверх выпущена стрела с
начальной скоростью 30 м/с. На какую максимальную высоту она
поднимется и за какое время, если подъем происходит по закону:
H=Vt-0.5gt2
Задача 10. К аккумулятору с ЭДС=12В. и внутренним
сопротивлении 0.5 Ом необходимо подключить электродвигатель.
Причем такой, чтобы он от данного
источника тока развил
максимальную мощность. При каком внутреннем сопротивлении
электрического двигателя R, его мощность Р станет максимальной.
Задача 11. В баке с водой нужно сделать отверстие, чтобы вода
струёй вытекала наружу. Высота от верхнего уровня воды до дна бака
равна L= 150см. Скорость струи V = 2 gh , где h -высота от верхней
границы воды до отверстия. Дальность полета горизонтально
вытекающей струи зависит не только от ее скорости, но и высоты.
Определить, на какой высоте Н нужно сделать отверстие, чтобы
дальность струи S была максимальной и найти её.
Задача 12. Сверхзвуковой самолет летит со скоростью 1000 м/с на
высоте 30 км. При подлете к объекту ПВО на расстояние 43 км (по X)
по нему был произведен боевой пуск ракеты с упреждением,
вертикально вверх. На всем активном пути полета ее ускорение
составило 32м/с2. Найти минимальное расстояние между самолетом и
ракетой. Поразит ли ракета цель, если ей достаточно взорваться на
расстоянии не более 50 метров от самолета?
Задача 13. Из бревна круглого сечения диаметром 30см.
необходимо изготовить балку прямоугольной формы максимальной
прочности. Точно известно, что прочность балки прямо
пропорциональна ее ширине и квадрату ее высоты, т.е. P=qah2, где qкоэффициент материала.
Задача 14. По коридору шириной 2м. нужно волоком протащить
трубу. Какой максимальной длины она может быть, если коридор
поворачивает под углом 90 град., а поднимать трубу нельзя.
Задача 15. Вы арендуете корабль с целью совершения круиза на
расстояние 10000км. Аренда корабля с командой обходится 1000$/час.
Цена одного килограмма топлива равна 0.7$. С какой скоростью
должен идти корабль, чтобы общие расходы были минимальны?
Расход топлива зависит от скорости корабля, т.к. сила сопротивления
среды
прямо
пропорциональна
квадрату
скорости
тела.
21
Следовательно, увеличение скорости в 2 раза вызовет увеличение
расхода топлива в 4 раза. Для данного судна, при движении со
скоростью 1км.ч требуется 5 кг топлива за 1 час.
Задача 16. У фермера стадо в 100 коров, каждая массой в 200кг.
Содержание одной коровы обходится в 0.5$ в день. Корова прибавляет
2.4кг в день. Рыночная цена коров составляет теперь 5.51$ за 1кг. и
падает на 1 цент в день. Как долго должен фермер откладывать
продажу, чтобы получить наибольший доход? Сколько он выиграет
по сравнению с немедленной продажей?
Задача 17. На странице текст должен занимать 384 кв.см. Верхнее
и нижнее поля должны быть по 3 см, а правое и левое поле – по 2 см.
Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы
должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ.
Приводится аналитическое решение экстремальных задач 1:17.
При наличии ЭВМ и вышеуказанной программы, есть возможность
нахождения максимума или минимума дифференцируемой (целевой)
функции (она подчеркнута) без нахождения производной.
Задача 1.
где a - ширина квадратного
основания, h - высота.
При известной L - ширине квадратной
V = a2h ,
L−a
заменив
2
a 2 ( L − a)
h в формуле объёма получим: V =
,
2
или V = 0.5La 2 − 0.5a 3 . Подставив в формулу
L = 3 получим: V = 1.5a 2 − 0.5a 3
заготовки, можно записать: h =
Построив график данной зависимости
можно определить, что данная функция
имеет максимум на интервале от 0 до 3. Затем, используя режим
программы «нахождение max/min функции», найти её максимум. При
какой ширине основания а, объем ящика V максимален.
Аналитическое решение заключается в нахождении производной.
V ' = (1.5a 2 − 0.5a 3 )' ⇒ 3a − 1.5a 2 = 0 , или 1.5a 2 − 3a = 0
Решив уравнение, находим: а=2м. Тогда h=0.5м. V=2м3.
22
Задача 2.
Длинна периметра прямоугольного участка
L = a + 2b = 20 , a - длинна; b - ширина участка.
20 − a
, или b = 10 − 0.5a . Так - как S = ab , то
2
S = −0.5a 2 + 10a . Для нахождения максимума
Выразим b через a : b =
S = a(10 − 0.5a) ,
или
производную
возьмем
этой
функции
и приравняем нулю.
S ' = (−0.5a + 10a)' = 0 ⇒ − a + 10 = 0 ⇒ a = 10 м, b = 5 м ; S = ab = 10 * 5 = 50 м 2 .
2
Задача 3.
Площадь цилиндра
Выразим h =
S = 2πR 2 + 2πRh .
S − 2πR 2
(*) Т.к. V = πR 2 h , то
2πR
S − 2πR 2
RS
πR
=V =
− πR 3 . Т.к. S = 160 , то
2πR
2
2
V = 80 R − πR 3
Возьмём производную
V ' = (80 R − 3.14 R 3 )' ⇒ 80 − 3 ⋅ 3.14 R 2 = 0 ⇒ 80 − 9.42 R 2 = 0 ⇒
R 2 = 80 / 9.42 = 8.49
R=2.91 или d=5.82 Подставив R в (*), найдем h=5.82см. По формуле
V = πR 2 h объём: V=155.4 см 3
Задача 4. Желоб – равнобедренный треугольник. Обозначим его
равные стороны через x, причём x=h/2=20. Угол при вершине –a. Тогда
S = x 2 cos
α
2
sin
α
2
⇒ S = 400 cos
α
2
sin
α
2
(*) На ЭВМ табулировать данную
функцию по α от 0 до π рад. Для
нахождения
её
максимума
возьмём
производную и приравняем полученное
выражение нулю. Упростим выражение,
заменив a/2 через b: S '= (400 cos b sin b)' = 0 . Используя правило
дифференцирования (uv)' = uv'+u ' v , получим: 400(sin b(cos b)'+(sin b)' cos b) =
23
= 400(sin b(− sin b) + cos b cos b) = cos b − sin 2 b = cos 2b ,т.к. b=a/2 то: S ' = cos a = 0 ,
α = 90 0 , или α = π / 2 = 1.57( рад). Подставив α = 90 в выражение (*),
найдём площадь сечения желоба. S = 400 cos 45 sin 45 = 400 * 0.7 * 0.7 = 200см 2
Задача 5. Площадь кубка S = πR 2 + 2πRh .
S − πR
h=
. (*) Т.к. V = πR 2 h ,
2πR
RS πR 3
V =
−
, т.к. S=120,
2
2
2
Выразим
S − πR 2
V = πR
⇒
2πR
то
2
то
V = 60R − 1.57R 3 .
Применив программу «АНАЛИЗ» найдите, при
каком R, V – максимально. Найденное R подставьте в выражение (*) и
найдите h. Решим задачу аналитически. Возьмём производную и
V = (60 R − 1.57 R 3 )' = 0 ⇒
приравняем полученное выражение нулю:
⇒ 60 − 3 ⋅ 1.57 R 2 = 0 ⇒ 60 − 4.712 = 0 ⇒ R 2 = 60 / 4.71 = 12.74 ⇒ R = 3.57 ⇔ d = 7.14
Подставив R в (*), найдем h=3.57см. По формуле V = πR 2 h получим:
V = 142.76см 3 .
Задача 6. Периметр иконы: L = 2h + d + πR = 2h + d + π
Выразим h через d:
Площадь иконы:
Подставим
S=
h:
S = −0.892d 2 + 0.5d
h=
πd 2 / 4
2
d
= 2h + 2.57d = 1
2
1 − 2.57d
⇒ h = 0.5 − 1.285d
2
+ dh ⇒ S = 0.39d 2 + dh
S = 0.393d 2 + 0.5d − 1.285d 2 ;
S ' = (−0.892d 2 + 0.5d )' = 0 ⇒
⇒ −1.784d + 0.5 = 0 ;
d=0.28м.
2
d = 0.14 м; ⇒ S = 0.07 м .
то
h = 0.5 − 1.285
Задача 7. Обозначим время t1 - движения по
суше, t 2 - по воде. Тогда общее время t1 + t 2 ⇒ t = R1 / V1 + R2 / V2 , где R1 , R2 расстояния пройденные по суше и по воде, а V1 ,V2 - соответствующие
скорости движения. Если R1 и R2 выразить через катеты
треугольников, то:
R1 = x 2 + 50 2 ;
t=
R2 = (100 − x) 2 + 50 2 ⇒
x 2 + 2500
1000 − 200 x + x 2 + 2500
+
. Т.к.
V1
V2
V1 = 2; V2 = 1; то
t = 0.25 x 2 + 625 + x 2 − 200 x + 12500
24
Взяв производную по x, найдём минимум данной функции, но из
– за громоздкости вычислений, лучше всего решить данное уравнение
на ЭВМ. Минимальное время прохождения всего пути составит t = 101c.
при x = 77 м.
P.S. Дифференцирование функции даёт уравнение:
sin α V1
. Это закон
=
sin β V2
преломления света!
F sin α
, где
R2
Задача 8. Освещённость находится по формуле J =
F - сила света, R - расстояние до источника, α - угол между лучом и
поверхностью.
sin a = h / R ⇒ I =
Fh
F h
Fh
⋅ ⇒I= 3 ⇒I=
⇒ Разделим числитель и
2
R R
R
( h 2 + 1) 3
знаменатель
I=
на
F
h 4 + 3h 2 + 3 + 1 / h 2
h
и
получим:
.
(*)
Найдем
производную и результат приравняем
2
)
3
h
нулю. I ' =
= 0 . Т.к.
1 3
4
2
2 (h + 3h + 3 + 2 )
h
− F ⋅ ( 4h 3 + 6h −
знаменатель не может быть равен
нулю, то − F ⋅ (4h 3 + 6h −
2
) = 0. Т.к. F>0,
h3
то 4h 3 + 6h −
2
= 0. Решив
h3
данное уравнение аналитически или на ЭВМ, вы найдёте h=0.71м.
Подставив h в (*), найдем максимальную освещённость I=38.5лк.
Задача 9.
При движении тела с отрицательным
ускорением (тело движется вертикально
вверх)
пройденный
путь
(высота)
определяется
формулой:
S = V0 t −
gt 2
.
2
Возьмём производную по времени t и
результат
приравняем
нулю.
V
gt 2
)' = 0 ⇒ V0 − gt = 0 ⇒ t = 0 . t – это время подъёма стрелы на
2
g
10 ⋅ 9
= 45 м.
максимальную высоту. t = 30 / 10 = 3c. Тогда S = 30 ⋅ 3 −
2
S ' = (V0 t −
25
E
R+r
E2R
P = I 2R ⇒ P =
(R + r) 2
Задача 10. Силу тока для полной цепи можно найти: I =
(см. справочный материал), Мощность тока
Найдём,
при
каком
внешнем
сопротивлении
R
мощность
источника тока будет наибольшей.
⎛ E2R
P ' = ⎜⎜
2
⎝ (R + r)
'
⎞
⎟⎟ = 0
⎠
Чтобы
взять
производную этой сложной функции
по R, воспользуемся формулой
'
⎛ u ⎞ vu '−uv'
⎜ ⎟ =
v2
⎝v⎠
дифференцирования:
( R + r ) 2 ⋅ ( E 2 R)'− E 2 R ⋅ (( R + r ) 2 )' ( R + r ) 2 E 2 − E 2 R(2 R + 2r )
= 0 Т.к. R + r ≠ 0
=
P' =
(( R + r ) 2 ) 2
(R + r) 4
то ( R + r ) 2 E 2 − E 2 R ⋅ (2 R + 2r ) = 0. Упростив выражение, мы придём к
квадратному уравнению вида 144 R 2 − 36 = 0 ⇒ R = 0.5Ом. Тогда мощность
источника тока Р=72Вт.
Задача 11.
Скорость истечения струи из
отверстия бака V0 = 2 gh
Время
падения воды от отверстия до земли
t=
2H
.
g
пролетит:
Вода
по
S = V0 t = 2 gh ⋅
горизонтали
2H
= 2 hH
g
т.к. H = L − h = 1.5 − h , то S = 4h(1.5 − h)
Возьмём производную по h и приравняем нулю.
S = 6h − 4h 2
S ' = ( 6h − 4h ) = 0
2
'
1 (6h − 4h 2 )'
S'= ⋅
= (6h − 4h 2 )' = 0;
2
2 6h − 4h
6 − 8h = 0 ⇒ h = 0.75 м.
H = 1.5 − 0.75 = 0.75 м. S = 4 ⋅ 0.75 ⋅ 0.75 = 1.5 м
Задача 12. Расстояние между
самолетом и ракетой определяется:
R = ( d − Vc t ) 2 + ( H −
at 2 2
)
2
Возведём
в квадрат оба слагаемых
корнем, т.е. раскроем скобки.
26
под
R =
d
2
− 2 dV c t + V c t + H
2
2
2
a 2t 4
− at H +
.
4
2
Чтобы не возиться с
таким громоздким выражением, подставим в него известные величины
из
условия
и
приведём
подобные
члены:
R = ( 256t 4 + 40000t 2 − 86000000t + 2749000000 ) .(*)
Для
нахождения
минимума этой функции возьмём её производную и приравняем нулю.
'
Для этого воспользуемся формулой дифференцирования.
u =
u'
2 u
И
так, R' = ( 256t 4 + 40000t 2 − 86000000t + 2749000000 ) ' = 0 Так как в формуле
дифференцирования знаменатель не может равняться нулю, то остаётся
только взять производную числителя:
256t 4 + 40000t 2 − 86000000t + 2749000000 = 0 ⇒ 1024t 3 + 80000t − 86000000 = 0 ⇒
8t 3 + 625t − 671875 = 0 . Это кубическое уравнение лучше всего решать
численными методами на ЭВМ. t=43.2c. За это время самолёт и ракета
сблизятся на минимальное расстояние. Подставив t в уравнение (*),
найдем R=244.м
Задача 13.
Прочность
балки
2
2
2
Подставим
h
h = d −a .
P = qa(d − a ) ⇒ P = qd a − qa
2
2
2
максимум
этой
P ' = (qd a − qa )' = 0 ;
2
a=
⇒
3
3
P = qah 2 .
в
P:
Найдем
функции:
qd − 3qa 2 = 0 ⇒
2
d2
= 17.32см ; h = 900 − 300 = 24.5см ⇒
3
h 24.5
=
= 1.41 ≈ 2 .
a 17.32
Задача 14.
Обозначим через a – угол
между горизонтальной стеной и
трубой. Тогда длину трубы в
зависимости от a можно варьировать
от
h
до
бесконечности:
L=
h
h
(*) Где h=2м. Найдём,
+
sin a cos a
при каком угле a длина трубы L
'
будет
минимальна.
h ⎞
⎛ h
L' = ⎜
+
⎟ = 0.
⎝ sin a cos a ⎠
27
Применим
формулу
'
1
u'
дифференцирования ⎛⎜ ⎞⎟ = − 2 :
sin a ⎞
⎛ cos a
h⎜ 2 −
⎟ = 0 Решим данное
2
u
⎝ sin a cos a ⎠
⎝u⎠
уравнение аналитически или на ЭВМ и найдём что a = 45 0 . Подставив в
уравнение (*) найдём L=5.65м.
Задача 15. Введём соответствующие обозначения:
R=? – общие расходы;
L=10000км – Путь круиза;
V=? – Скорость движения; k=5кг/ч – удельный расход топлива;
b=1000$/час–общие расходы; c=0.7$/кг – цена 1 кг. топлива.
Общие расходы за аренду корабля, команду, топливо:
R = (ckV 2 + b) ⋅ t . Так как
t=
L
L
⇒ R = (ckV 2 + b) ⋅ , или
V
V
Lb
.
V
R = ckLV +
Используя компьютерную программу, можно найти минимум данной
'
функции. Рассмотрим аналитическое решение.
⇒ R ' = ckL −
Lb
= 0⇒V =
V2
Lb ⎞
⎛
R ' = ⎜ ckLV +
⎟ =0
V ⎠
⎝
b
. V=16.9 км/ч; R=1183216$ - минимальный
ck
общий расход за круиз; круиз продлится 24.65 суток. Как изменится
скорость корабля при увеличении стоимости топлива и почему?
Задача 16. Сделаем соответствующие обозначения:
D – доход от продажи;
N – количество коров;
m=200кг – масса одной коровы;
S=0.5$ - содержание одной коровы;
dm=2.4 – прибавка кг/сутки;
С=5.51$ - цена мяса на рынке;
dC=0.01$ падение цены за сутки.
Общий доход при реализации коров, минус затраты на
содержание: D = N ⋅ (m + dm ⋅ t ) ⋅ (C − dC ⋅ t ) − S ⋅ N ⋅ t .
D = N ⋅ (m ⋅ C − m ⋅ dC ⋅ t + dm ⋅ t ⋅ C − dm ⋅ dC ⋅ t 2 − S ⋅ t ) . Подставим известное и
упростим выражение: D = −2.4t 2 + 1072.4t + 110200 . Максимум данной
функции (решение на ЭВМ) D=229996$ при t=223 суток. Если продать
коровы на мясо немедленно, то полученный доход составит 110200$,
что почти в 2 раза меньше.
Аналитическое
решение:
D ' = (−2.4t 2 + 1072.4t + 110200)' = 0 ⇒
− 4.8t + 1072.4 = 0 ⇒ t = 223 . Подставим в уравнение t, найдём, что при
этом доход составит D=229996$.
Задача 17. Сделаем чертёж страницы и введём обозначения:
Размер текста должен составить 384 кв.см. Следовательно, в целях
экономии бумаги, необходимо стремиться к минимальной площади
окантовки. S=4y+6(x-4) (*); Т.к. размер текста равен (x-4)(y-6)=384 ⇒
28
y(x-4)-6x+24=384 ⇒ y =
384 + 6 x − 24
. Подставим “y” в выражение (*)
x−4
1440 + 24 x
S=
+ 6( x − 4) .
Аналитическое
x−4
решение данной целевой функции на
нахождение её минимального значения вы
сможете сделать самостоятельно, так как
аналогичные примеры разбирались выше.
Решение численными методами на ЭВМ
даёт значение минимума функции при
x=20см. При этом площадь окантовки
cоставит 216 см.кв. Зная x, находим, что
y=30см.
ЭВРИСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ
Задача 1. Выкопав бассейн по заказу, предприятие забыло
сделать слив воды из него (дырку на дне бассейна с отводом воды).
Разгневанный хозяин коттеджа с бассейном (заказчик) заставил
установить электронасос для откачки воды и поставил условие, что все
расходы по затратам электроэнергии потребляемой насосом, будет
оплачивать вышеуказанное предприятие. Спрашивается, какой счет к
оплате они будут получать ежемесячно, если размеры бассейна
10*20*1.5м. Мощность электродвигателя 5кВт, КПД=70%. Стоимость
1 кВт/час =0.2$. Купаться хозяин любит каждый день.
Задача 2. Прораб дал вам задание набросать кучу песка в виде
конуса высотой 2м и диаметром 2м в основании. Спрашивается,
сколько беляшей по 150гр. вам нужно съесть после работы, чтобы
восстановить свои
силы? Плотность песка 1500кг/куб.м.
Калорийность беляша 10000кДж/кг.
КПД усвоения пищи для
человека по компенсации мышечной деятельности 1%.
Задача 3. Два каменщика Петров и Сидоров должны сложить
кирпичную стенку высотой 2 м. Петров был хитрым каменщиком 5
разряда. Он предложил поделить работу "пополам", т.е. 1 м. кладет он
сам, а до двух метров затем поднимает Сидоров. Но Сидоров будучи
отличником предложил более научный метод разделения труда. А
именно, каждому поднять стенку такой высоты, чтобы механическая
29
работа Петрова и Сидорова была равной. То есть H = 2м, h1 + h2 = 2 м .
h1 = ? h2 = ? Каждый кирпич поднимается с земли.
Задача 4. Иванов на работе тянул резину до обеда и растянул ее
на 5 м. Петров после обеда смог растянуть ее еще на 3 м. Когда в конце
работы, Сидоров измерил силу с которой тянул Петров, она оказалась
равной 800Н. Спрашивается, сколько заработал Иванов и Петров за
смену, если по смете полагается за 1 Дж работы 10 руб. Кто заработал
больше?
Задача 5. Для хранения ртути, юный химик налили ее в аквариум
размером 100*50*50 см. Выдержит ли стекло силу давления ртути,
если предел прочности стекла 0.1 ГПа. Плотность ртути 13600кг/м3?
P.S. Нужно найти не давление ртути на стенку аквариума, а силу,
с которой ртуть давит на всю боковую поверхность. Давление будет
расти с глубиной P = ρgh , а сила равна сумме давлений.
P.P.S. В журнале "Юный химик", вы прочтете некролог об
отважном исследователе и всех усопших с его подъезда.
Задача 6. Вы наливаете в ванну воду. Успеете ли вы сбегать в
магазин за мылом в течение 20 минут, если форму поперечного
сечения ванны можно описать функцией Y=16*x6+3x4. Ширина ванны
а=1м., длина L=1.5M. Толщина струи воды из крана равна 2см.
Скорость воды 1м/с.
Задача 7. Для определения высоты 15-ти этажного дома, Вова
ровно в 12 часов бросил с балкона папины часы. Спустившись на
землю Вова отметил, что часы остановились на 12ч. 00м. 03с. Вова
взял у папы курс высшей математики, построил график зависимости
скорости от времени при равноускоренном движении, и по графику
через площадь полученной фигуры нашел путь (высоту) падения
часов. Какой результат сообщил Вова отцу?
Задача 8. На разлив кваса доставлена стандартная цилиндрическая
цистерна на 900 литров. (диаметр=1м, длина 115см.). У ее основания
имеется кран
с
площадью поперечного сечения 2 кв.см.
Спрашивается, успеет ли буфетчица Клава на свидание к 19.00, если
она начала торговать в 13.00, а конца очереди не видно? (кружки
заполняются последовательно, не закрывая кран). Скорость истечения
жидкости находится по формуле: V = 2 gh . Для упрощения условия
задачи, попробуйте ее решить сначала при вертикальном положении
цистерны. В каком случае жидкость вытечет быстрее?
30
Задача 9. Чему равна напряженность электрического поля
равномерно заряженной нити q = 10 −6 Кл. длиной 1м, на прямой,
которая является продолжением нити, на расстоянии 0.5м от
ближайшего ее конца?
Задача 10. Вам необходимо дачный участок сделать удобным для
полива, а именно, за одну минуту нужно успеть сходить от места
жилья к реке за водой и затем дойти до любого (самого удаленного)
места. Считать скорость движения 1м/с. Расстояние от дома до реки
20м. Какую форму и площадь будет иметь участок? Что произойдет
при изменении расстояния от дома до реки?
Задача 11. Две мини-пекарни сами развозят горячий хлеб на
одной машине по 100кг за рейс. Производительность одной пекарни
100кг/час. В целях экономии, машина должна быть в рейсе не более
30мин. Выехав из пекарни А и сдав хлеб в каком-либо пункте С, она
должна не позднее 30 минут прибыть во вторую пекарню В, затем
обратно в А, через какой-либо новый пункт С. Какую максимальную
площадь смогут обслужить эти две пекарни, если расстояние между
ними 10 км, а скорость машины по городу 30 км/ч.
Задача 12. Вашему вычислительному центру дали задание на
расчет формы сосуда объемом 3 литра, причем форма должна быть
такой, чтобы жидкость из сосуда вытекала за минимально возможное
время. Какой бы странной форма сосуда не была, определите его
высоту, максимальный диаметр и функцию, описывающую боковую
поверхность сосуда. Площадь отверстия для слива жидкости равна
условно 1 кв.см, (см. аналогичную задачу 08).
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ОПРЕДЕЛЁННЫЙ
ИНТЕГРАЛ
Приводится аналитическое и численное решение задач на
определенный интеграл.
Численное
решение
полученной
интегральной
функции
возможно
только
при
наличии
соответствующей программы.
Задача 1. Работу в механике можно всегда определить в
геометрической интерпретации как площадь под графиком функции
А=F(x), где: А- работа (Дж); F- сила (Н); x-путь (м). В данном случае Fвес жидкости=mg, а x – высота h.
Запишем условие задачи:
a=10м; b=20м; H=1.5м; N=5кВт; КПД=70%; Q(цена 1кВт/час)=0.2$.
31
Выразим зависимость веса слоя жидкости dF от высоты h (см.рис.).
dF = dm ⋅ g = ρ ⋅ dV ⋅ g = ρ ⋅ Sосн ⋅ h ⋅ g ⇒ dF = 1000
кг
Н
⋅ 200 м 2 ⋅ 10 ⋅ h ⇒
3
кг
м
dF = 2000000 ⋅ h . Очевидно, что графиком данной функции будет
прямая, образующая с осью h прямоугольный треугольник, площадь
⇒
которого
и
будет
равна
работе.
Т.к.
hmax=H
A=
2000000 ⋅ H 2
F ⋅H
⇒
⇒ A = 1000000 ⋅ 1.5 2 = 2250000 Дж. Интегрирование
2
2
данной функции даёт аналогичный ответ (найдите площадь
численными методами на ЭВМ). Разделив работу на на полезную
мощность
мы
определим
время
откачки
воды:
A
2250000
30
=
= 642.857с. Тогда время за месяц: T = t ⋅
= 5.36ч.
0.7 ⋅ N 0.7 ⋅ 5000
3600
Энергопотребление W = NT = 26.8кВт / ч. Стоимость электроэнергии при
этом равна WQ = 26.8 ⋅ 0.2 = 5.36$
t=
Задача 2.
Задача решается аналогично предыдущей, т.е. нужно найти
зависимость силы (веса) от высоты конуса, а затем найти площадь
(работу) полученного графика функции. Разобьём конус на тонкие
слои и каждый из них примем за цилиндр с объёмом V = πr 2 h (см.рис.).
r H −h
( H − h)
=
⇒r=
, где h- высота
R
H
H
πR 2 h( H − h) 2
⇒ вес песка в dV можно
слоя, r- радиус слоя. Тогда: dV =
H2
32
Из подобия треугольников имеем:
определить
ρgπR 2
как
dP = dm ⋅ g = ρ ⋅ dV ⋅ g = ρ
1500 ⋅ 10 ⋅ 3.14 ⋅ 1
= 11775 ,
тогда
4
H
dP = 11775(h 3 − 4h 2 + 4h) . График данной
2
=
πR 2 h( H − h) 2
H2
Т.к.
⋅g
dP = 11775h( H − h) 2 ,
функции
или
приводится
на
рисунке. Численными методами можно найти площадь этой фигуры
(работу). Интегрирование этой функции приводится ниже:
4
⎛ 4h 2 4h 3 h 4 ⎞
⎜⎜
−
+
=
⋅
−
+ ⎟⎟ = 15700 .Вес беляшей:
dP
=
11775
(
h
4
h
4
h
)
dh
11775
∫0
∫0
3
4 ⎠0
⎝ 2
4
4
3
2
W=A/(10000000*0.01)=15700/100000=0.157кг.=157гр. Это один беляш.
Задача 3.
Работа против силы тяжести по подъёму кирпичей аналогично
задаче №1 и определяется как площадь прямоугольного
прямоугольника под графиком. P(вес)=f(h): dP = ρghSосн ⇒ A =
ρgSH 2
2
.
Это формула нахождения работы, нам же необходимо найти A1 и A2
такие, чтобы A1 = A2 . Составим систему уравнений, согласно рисунку к
задаче, через равенство площадей. Заменим для удобства ρgh через k .
A1 =
kh 2 kH + kh1
kh12
P + P1
; A2 =
⋅ ( H − h1 )
( H − h1 ) , где P = kH ; P1 = kh1 ⇒ 1 =
2
2
2
2
⇒ h12 = H 2 − h12 ⇒ 2h12 = H 2 . Так как H=2м, то h1 = 1.41м; h2 = 0.59 м.
Задача 4.
Задача решается аналогично предыдущей, но она связана с
работой сил упругости. График зависимости сил упругости F от
растяжения x аналогичен графику задачи №3. Следовательно,
функциональная зависимость и решение будет таким же. Работу, как
площадь прямоугольного треугольника, можно найти через закон Гука
(F=kx):
kx 2
. Из закона Гука найдём коэффициент упругости
A=
2
резины: k=F/x=800/8=100 H/м. Общая работа A=3200Дж. Иванов
произвёл работу A=1250 Дж, а Петров A=1950 Дж.
33
Задача 5. Давление жидкости определяется как P = ρgh. Если мы
разобьём весь объём аквариума на узкие горизонтальные слои
шириной dh, то сила действующая на один слой будет равна
dF = P ⋅ dS = ρgh ⋅ dS , или т.к. dS = a ⋅ dh , где a=1м. – ширина аквариума,
то dF = 13600 ⋅ 10 ⋅ h ⋅ 1 ⋅ dh ⇒ dF = 136000 ⋅ h ⋅ dh . Тогда общая сила
F = ∫ dF = ∫ 136000h ⋅ dh = 136000
H2
⇒ F = 17000H . Удельное давление на
2
стенку Pu=F/S=17000/0.5=8500 Па. Эта величина значительно меньше
предела прочности стекла и следовательно аквариум выдержит
давление ртути в нём..
Задача 6. Данная задача сводится к нахождению объёма ванны. Его
можно найти через произведение площади поперечного сечения ванны
на её длину. Площадь поперечного
сечения
ванной
находится
как
разность площади прямоугольника Sп
и площади Sг под графиком функции
описывающей
форму
ванной.
Y = 16 x 6 + 3 x 4 ⇒ Sг=
+0.5
∫ (16 x
6
+ 3 x 4 )dx
⇒
− 0.5
16 x 7 3 x 5
+
Sг=
7
5
+0.5
= 0.073 Высота ванны
− 0.5
(прямоугольника) Y = 16 ⋅ 0.5 + 3 ⋅ 0.5 = 0.437 Площадь прямоугольника
Sп= 1 ⋅ 0.437 = 0.437 Площадь поперечного сечения ванны равна S=SпSг=0.437-0.073=0.364
Объём ванны V=LS= 1.5 ⋅ 0.364 = 0.546 м 3 Скорость наполнения ванны:
πR 2 Z = 3.14 ⋅ 0.0001 ⋅ 1 = 0.000314 м 3 / с , где Z – скорость течения воды=1м/с.
Тогда время наполнения ванны: T=V/0.000314=0.546/0.000314=1739c,
или T=29 минут.
6
4
Задача 7. График зависимости скорости падения от времени, так же
является прямой, образуя с осью
абсцисс прямоугольный треугольник.
Тогда пройденный путь численно равен
площади прямоугольного треугольника
⇒ V = gt = 9.8t ⇒
(см.
рис.).
gt 2 9.8 ⋅ 9
=
= 44.1 Ответ: H=44.1м
H=
2
2
34
Задача 8. Рассмотрим только простой случай при вертикальном
положении
цистерны,
предоставляя более сложный
вариант для самостоятельной творческой работы. Как
уже
отмечалось
выше,
скорость
истечения
жидкости зависит от высоты
по закону: u = 2 g ( H − h) , где
h-изменяющаяся высота жидкости, H=115см. За время dt вытечет
жидкость объёмом dV = S ⋅ u ⋅ dt , где S - площадь поперечного сечения
⎧dV = S 2 g ( H − h) ⋅ dt
крана 2см 2 . Соответственно можно записать: ⎪⎨
⎪⎩dV = πR 2 ⋅ dh
Мы
получили систему, правые части которой должны быть равными.
πR 2 ⋅ dh = S 2 g ( H − h) ⋅ dt
dt =
πR 2
S 2 g ( H − h)
⋅ dh =
. Выразим dt и найдём сумму по времени T:
2500π
2 ⋅ 2 ⋅ 9.8 ⋅ (115 − h)
⋅ dh
Постройте график данной
функции и найдите площадь (интеграл) между кривой и осью абсцисс
от 0 до 115 см. T=18920с.=5.25ч.
Задача 9. Это чисто физическая задача на суперпозицию полей от
множества точек стержня в точке, лежащей на одной прямой со
стержнем и удаленной от конца на 0.5м. . Следовательно, необходимо
найти сумму напряженностей (интеграл) от всех точек стержня по всей
длине: dE = k
2
q
9 H ⋅м
,
где
k
=
9
⋅
10
; q = 10 −6 кл ; dx = [0;1]. Построив
Кл 2
( L + dx) 2
график зависимости, вы получите ветвь гиперболы. Если найти
площадь под графиком на интервале от 0 до 1, то вы определите
суммарную напряженность поля в точке. Ответ: E=12000 В/м.
Интегрирование приведенного уравнения даёт следующее
выражение: E = k
10 −6 Кл
q
= 9 ⋅ 10 9
= 12000 В / м .
L ⋅ ( L + dx)
0.5 ⋅ (0.5 + 1)
Задача 10. Разместим дачу так, чтобы она находилась на оси Y, а
берег реки лежал по оси Х на расстоянии а=20м от дачи. Тогда мы
получим симметричную картину (см. рисунок). Найдём вначале
максимальную ширину b (по берегу) для определения границ
35
м
с
табулирования: L = Vt = 1 ⋅ 60с = 60 м. ⇒ L2 = a 2 + b 2 ⇒ b = L2 − a 2 = 32000
Границы
табулирования будут лежать:
XL=-56.5м; XP=56.5м. Так
как L – постоянная величина
по условию задачи, то
границей участка будет дуга
окружности радиусом L.
Построив график, вы в этом
убедитесь. Только дуга будет
расположена выпуклостью
вниз,
а
не
вверх.
⇒ b = 56.5
Y = L2 − x 2 − a =
3600 − x 2 − 20 ,
где x - [-56.5; 56.5]. Найдите площадь полученной
фигуры. Ответ: S = 3310м 2
Задача 11. Исходя из условия, мы получим территорию
обслуживания в виде эллипса. Каноническое уравнение эллипса:
x2 y2
+
= 1 , где а и b – большая и малая полуоси.
a
b
а=15/2=7.5км, b определим из прямоугольного треугольника ACO =
=OCB: b = L12 − 5 2 = 7.5 2 − 25 = 5.59км. Выразим y из уравнения:
x2
y = b 1 − 2 ⋅ Если построить график, то получим положительную часть
a
эллипса на интервале x=[-7.5; 7.5]. Нужно взять интеграл и результат
умножить на 2. S=131.7 S = 131.7км 2 Кстати, площадь эллипса можно
найти по формуле S = πab = 131.7км 2 .
36
Задача 12. (Исследовательская).
Данную задачу рассматривать в этом пособии не будем, т.к. её
сложность не позволяет делать это на бумаге. Можно только
подсказать, что форма такого сосуда будет напоминать цветок
колокольчика. Решайте её с вашим учителем.
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ НА ЭВМ
01. Разбить число 12 на два слагаемых, произведения которых
имело бы максимальное значение.
02. Разбить число 10 на два слагаемых, чтобы сумма их квадратов
была наименьшая.
03. Число 8 разбить на два слагаемых так, чтобы сумма их кубов
была наименьшая.
04. Сумма основания и высоты треугольника равна 10 см. Каковы
должны быть размеры основания, чтобы площадь треугольника была
наибольшей?
05. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном
объемом 32 куб.м. так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло
наименьшее количество материала.
06. На параболе y 2 = 2 x найти точку, ближайшую к точке А(3;0).
07. Из точки А в точку В можно попасть только через точку С.
Где нужно расположить точку
С, чтобы сумма сторон АС+СВ
была минимальной? Чему при этом
будут равны углы при основании?
Ха=0; Yа=5; Хв=10; Yв=8.
08. Из пункта М и из пункта
В
одновременно
выезжают
соответственно мотоциклист Vм
=40км/ч и велосипедист
Vв=
16км/ч.
Через сколько времени
расстояние между ними будет
минимальным и чему оно равно? Расстояние ВМ= 145км.
37
09. Два прямолинейных шоссе пересекаются в пункте С под углом
60гр. К пункту С одновременно отбыли две автомашины по разным
шоссе. Из пункта А со скоростью 1 км/мин и из пункта В со скоростью
0.5 км/мин. Начальное расстояние АС = 60 км, ВС = 40 км. Через
сколько минут после своего отбывания автомашины окажутся на
наименьшем расстоянии одна от другой и каково это расстояние?
10. Из пункта А и B в одном направлении по одной прямой начали
двигаться автомашина V=40км/час и мотоцикл с ускорением
a = 32км / ч 2 . Определите наибольшее расстояние, которое может быть
между машиной и мотоциклом в течении первых двух часов
движения? Начальное расстояние между пунктами AB=9км.
11. Картина высотой 1.4 м висит на стене так, что ее нижний край
на 1.8м выше глаз наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен
стоять наблюдатель, чтобы его положение было наиболее
благоприятным для осмотра картины
(т.е. угол зрения был
наибольшим)?
12. Для сбора смолы с ели (на изготовление скипидара) требуются
воронки в виде конуса. При каком диаметре основания конуса и его
высоте объем будет максимальным, если на одну воронку расходуется
400 кв.см, жести?
13. Из проволоки
длиной 120 см нужно сделать модель
прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Какова
должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность
параллелепипеда была наибольшей?
14. В равнобедренный треугольник с основанием 20 см и высотой
8 см вписан прямоугольник. Какова должна быть высота
прямоугольника, чтобы он имел наибольшую площадь?
15. Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны по 10
см. Определить ее большее основание так, чтобы площадь трапеции
была наибольшей.
16. Два источника света расположены на расстоянии в 30 м друг
от друга. На прямой, соединяющей их, найти наименее освещённую
точку, если их сила света равна соответственно 100кд и 200кд?
38
17. Мимо завода А проводится по намеченной прямой к городу В
железная дорога. Как нужно
провести к ней шоссе от завода А,
чтобы доставка грузов из А в В была
наиболее дешевой, если стоимость
перевозки 1тонны-километра по
шоссе в 5 раз дороже, чем по
железной дороге?
18. В свинцовый шар радиусом 5 см требуется спрятать золотой
цилиндр с максимальным объемом (и соответственно массой). При
какой высоте цилиндра и его диаметре это возможно?
19. Решить задачу аналогичную 18, но цилиндр спрятать в конусе,
радиус основания которого 5см а высота 10 см.
20. Окно имеет форму прямоугольника, который сверху
заканчивается правильным треугольником. Периметр окна равен 3 м.
Каково должно быть основание прямоугольника, чтобы площадь окна
была наибольшей?
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ НА
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
01.
Скорость движения тела определяется по формуле:
V = 3t − 2t. Какой путь тело пройдет за 5 с от начала движения? За
седьмую секунду движения?
02. Два тела начинают движение одновременно в одном
направлении из одной и той же точки: одно со скоростью V = 3t 2 ,
другое V = 2t . На каком расстоянии они будут через 10с движения?
03. Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать
керосин, наполняющий цистерну с радиусом основания R=2 м и
высотой H=3 м, если цистерна находится в вертикальном положении.
2
Плотность керосина равна 800
кг
.
м3
04. Решить задачу №3, но при горизонтальном положении
цистерны.
39
05. Резервуар конической формы с вершиной, обращенной книзу,
наполнен водой. Какую работу нужно совершить, чтобы выкачать из
нее всю воду, если радиус основания конуса R=50см, а высота H= 1м?
06. Два заряда q1 = +100 мкКл и q 2 = +50 мкКл закреплены
неподвижно на расстоянии 10 см один от другого. Какую работу
совершит сила отталкивания зарядов, если заряд q 2 освободить и он
перемещаясь, удалится на расстояние 50см от q1 ? (Сила определяется
по закону Кулона)
07. В цилиндре заключен атмосферный воздух, объем которого
равен 0.3 м3. Цилиндр помещен в среду меньшей плотности, благодаря
чему воздух расширяется, выталкивая поршень. Вычислить работу,
произведенную воздухом при расширении его до объема 0.9 куб.м.
(Температура воздуха поддерживается постоянной).
08. Пластина в виде равнобедренного треугольника опущена в
воду так, что вершина находится на поверхности воды. Какова сила
давления воды на пластину, если высота треугольника 3 м, а ширина
основания 2м? Каково будет давление, если треугольник опустить вниз
на 1 м. (от поверхности воды до вершины треугольника 1 м.)?
09. Решить аналогичную задачу, как и № 8, но треугольник
перевернут основанием вверх. Рассмотреть оба случая.
10. Стакан цилиндрической формы наполнен маслом. Вычислить
силу давления масла на боковую поверхность стакана, если его высота
h=11см, радиус основания R=4 см. Удельный вес масла ρ =900г/см3.
11. Круглый иллюминатор диаметром 30 см на вертикальном
борту судна наполовину погружен в воду. Найти давление воды на
погруженную часть иллюминатора.
12. Передняя часть дамбы имеет форму параболы с вершиной
внизу. Основание дамбы а=3.2 м, высота ее h=1.6 м. Определить
давление воды на дамбу, если вода доходит до ее верхнего края.
40
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ – МОЩНЫЙ
ИНСТРУМЕНТ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССА, ЯВЛЕНИЯ,
ЗАКОНА.
В процессе познания окружающего мира и его законов,
важнейшим фактором являлся во все времена эксперимент [13], [14].
Это особенно касается таких наук, как физика, химия, психология,
социология,… Именно эксперимент позволяет выявить все (или почти
все) закономерности и зависимости одних параметров от других.
Любое теоретическое изыскание только тогда считается верным, когда
оно доказано экспериментально. Именно поэтому в курсе обучения
физике и химии уделяется особое внимание проведению
демонстрационных опытов и лабораторных работ. Только в ходе
эксперимента учащиеся становятся исследователями, а третья заповедь
учителя гласит "Лучший способ изучить — открыть самому".
Следовать такому принципу в полной мере современная школа не в
состоянии по следующим причинам:
а) низка материально - техническая база кабинетов физики, химии
для индивидуальных практических работ;
б) демонстрация некоторых опытов невозможна из-за их
сложности и вредности (радиоактивный распад, получение
рентгеновских лучей, работа с высоким напряжением...);
в) на подготовку и проведение индивидуальных работ тратится
времени больше, чем отводится программой.
Анализируя изложенное, можно прийти к единственно
правильному выводу - замене эксперимента его математической
моделью. Хорошо и педагогически грамотно созданная модель
позволяет имитировать то или иное явление, а удобный интерфейс
(система диалога), управлять этой моделью. Двухсторонний диалог
«ЧЕЛОВЕК - МОДЕЛЬ - ЧЕЛОВЕК», это как раз то, что необходимо в
исследовательской работе. Каждый учащийся самостоятельно придет к
открытию. Он прочувствует зависимость параметров друг от друга
(при хорошей наглядности и графическом оформлении программной
модели) и сделает единственно правильный вывод.
Хочется, однако, заметить, что математическое моделирование не
панацея от всех бед и ни в коем случае нельзя подменять "живой"
41
эксперимент - моделью. Если ученик ни разу не увидит настоящего
деревянного динамометра с железной пружинкой, то хоть как красиво
ни рисуй его на экране монитора, у ученика не возникнет
ассоциативный образ настоящего динамометра. Другое дело, если
учащийся введен в курс эксперимента и знает, как работают
оборудование и приборы. Довольно эффективно модели можно
использовать так же в качестве допуска к лабораторным работам.
Авторы в данном пособии не ставили своей целью научить
"делать" математические модели, т.к. это не соответствует названию
книги. В курсе информатики учитель обязан познакомить учеников с
понятием "математическая модель" и на конкретных примерах и
задачах "прокрутить" различного типа модели. Поэтому, в данном
сборнике задач приводится несколько математических моделей из
различных областей естествознания, тренировочных заданий к ним и
заданий для самостоятельной работы с моделями.
Движение тела в поле сил тяжести брошенного под углом к
горизонту (Ballist).
Данная программа моделирует движение тела брошенного под
углом к горизонту в различных средах (в вакууме, воздухе и воде).
Таким образом, учащиеся знакомятся с таким понятием, как
баллистика. Удобство работы с программой позволяет оперативно
менять параметры: угол броска, начальную скорость, начальную
высоту произведенного броска, цену деления. По
полученной
траектории, делается качественный и количественный анализ. А
именно: вид траектории, высота, дальность и время полета. При
решении конкретных задач, по графику движения и цене деления
координатной сетки, можно получить исчерпывающую недостающую
информацию. Кроме того, программа выдает точный результат по
времени движения, высоте подъема и дальности полета (только для
вакуума). Определение координаты тела в любой момент времени
производится по формулам: Vx:=Vo*cos(u); Vy:=Vo*sin(u);
Vx – constana; Vy:=Vy-g*t; X:=X+Vx*t;
Y:=Y+Vy*t.
42
Практические задания к модели
1. Произведите три броска: в вакууме, воздухе и воде. Как отличаются
их траектории друг от друга? Как называется траектория полета тела в
вакууме и воздухе? Какая ветвь круче восходящая или нисходящая?
2. Исследуйте зависимость дальности полета тела от угла бросания.
При каких различных углах бросания, но постоянной начальной
скорости, дальность полета тела по горизонтали будет одинаковой?
3. Бросьте тело со скоростью 16 м/с под углом 45 0 при цене деления
масштабной сетки 5м/дел. Не очищая экран, повторите
эксперимент, увеличив только начальную скорость броска в два
раза. Во сколько раз изменилась дальность, высота и время полета?
4. Тело бросили горизонтально со скоростью 10м/с. С какой высоты
его надо бросить, чтобы дальность полета равнялась начальной
высоте броска?
5. Под каким углом к горизонту нужно направить струю воды, чтобы
дальность полета была равна высоте подъёма струи?
6. Из шланга под углом к горизонту вылетает струя воды со
скоростью 17м/с. Капли воды вырываются под углом 51 0 , с
разбросом ± 2 0 , т.е. от 49 0 до 53 0 . Может ли быть такое, что в
каком-то месте траектории, все капли струи будут проходить через
одну точку? (В физике это называют фокусировкой пучка).
7. Нужно перебросить тело через дом высотой 6м и шириной 4м. С
какой начальной минимальной скоростью необходимо бросить
тело, и под каким углом, чтобы траектория полета не коснулась
дома? Повторить эксперимент для броска с начальной высоты 2м.
43
Ответ оценивать приближенно, по цене деления и полученной
форме траектории.
8. Дети бросают камни у основания горы в сторону ее возвышения.
Средняя начальная скорость броска 15м/с, а угол бросания может
быть любым. На каком минимальном расстоянии от детей должна
пастись корова, чтобы камни до нее не долетали? Угол наклона
(возвышения) горы к горизонту 30 0 .
Тело на наклонной плоскости (NPL).
Следующей моделью является «Тело на наклонной плоскости».
Данная модель позволяет изучить поведение тела на наклонной
плоскости. На форме рабочей программы отображены все текущие и
расчетные значения физических величин, необходимых для решения
большинства задач. А именно:
N – сила реакции опоры;
Ftr – сила трения;
Fx – Скатывающая сила;
Fr – Результирующая сила;
Vк – конечная скорость в конце наклонной плоскости;
tp, tgor – время движения по плоскости и на горизонтальном участке.
Sgor – Путь пройденный телом на горизонтальном участке до
остановки.
44
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Практические задания к модели
Наклонная плоскость расположена под углом α = 30 0 к
горизонту. При каких значениях коэффициента трения μ
втаскивать груз по ней труднее, чем поднимать его вертикально?
Длина наклонной плоскости 250см, высота 25см. Найти
ускорение катящегося по ней шара.
Под каким углом нужно наклонить плоскость, чтобы шарик по
ней скатился с ускорением 2,5 м / с 2 ?
Какую скорость приобретают сани, скользящие с ледяной горы
высотой 19,6м? Трением пренебречь.
Тело скользит по наклонной плоскости, длина которой 20м, и
наклон к горизонту 30 градусов. Когда тело достигнет
основания? Трением пренебречь.
Под каким углом нужно наклонить кузов автомобиля –
самосвала, чтобы сыпучий груз, находящийся в нем, высыпался?
Коэффициент трения равен 0,65.
Крыша дома наклонена под углом 20 градусов к горизонту.
Удастся ли человеку пройти вверх по обледенелой крыше, если
коэффициент трения покоя равен 0,03?
Как зависит длина пробега лыжника на горизонтальном участке
пути, после его скатывания с горы, от его массы?
45
Гравитационное взаимодействие двух и более тел (ZVT).
Математическая модель гравитационного взаимодействия двух
тел в принципе не сложнее модели брошенного под углом к горизонту
тела. Задача становится сложной при увеличении количества тел.
Сложность заключается не в сложности алгоритма, а в сложности
математических расчетов и вывода графического изображения тел в
динамике. Уже для трех тел компьютер заметно «тормозит», а при
моделировании нашей Солнечной системы автору пришлось обойтись
планетами только до Юпитера.
Чтобы понять работу алгоритма, рассмотрим одномерную задачу
о падении Земли на Солнце при ее остановке. Определим при этом
время падения Земли. Будем считать, что Солнце покоится, а Земля
движется к Солнцу по прямой. Здесь автор намеренно упрощает
задачу, чтобы был понятен сам алгоритм. Двухмерная задача на
плоскости, для взаимодействующих тел, реализована на Delphi. (см.
далее).
Алгоритм реализации математической модели
1. Введем начальные параметры:
G=6.67E-11 - гравитационная постоянная;
Mc=2E30 – масса Солнца (кг);
R=1.5E11 – расстояние до Солнца (м);
t=0 – Сумма времени по dt. Время падения (с);
dt=10 – расчетный интервал времени (с);
V0 – начальная скорость Земли (м/с).
2. Найдем ускорение Земли, через силу притяжения Земли с Солнцем
по закону всемирного тяготения:
a := G ⋅
F =G⋅
Mc ∗ Mз
Mc ∗ Mз
; Mз ∗ a = G ⋅
;
2
R
R2
Mc
;
R2
3. Найдем скорость Земли через интервал dt: V 1 := V 0 + a ∗ dt ;
4. Найдем среднюю скорость на участке пройденной Землей за dt:
V := (V 0 + V 1) / 2 ;
5. Найдем новое расстояние между Солнцем и Землей, делая
приближение, что Земля за промежуток времени dt двигалась
равномерно со скоростью V: R := R − V ∗ dt ;
6. Теперь примем для нового участка прошлую конечную скорость V1
за начальную V0: V 0 := V 1 ;
46
7. Увеличим переменную по времени на dt: t := t + dt ;
8. Проверим, достигла ли Земля Солнца и если нет, то повторим все
операции с пункта 2;
9. Вывод значения t – время падения Земли на Солнце;
10.Конец.
Программа модели для двух тел на Turbo-Pascal 7.0
program zvt;
uses crt,dos,graph,svgautil;
var R,v,v0,v1,a,Mc,t,dt,G : real;
st
: string;
begin
G:=6.67E-11; Mc:=2E30; R:=1.5E11;
t:=0; dt:=10; V0:=0;
initsvga(2);
putpixel(200,200,14);
repeat
a:=(G*Mc)/sqr(R);
V1:=V0+a*dt;
V:=(V0+V1)/2;
R:=R-V*dt;
V0:=V1;
putpixel(trunc(R/1E9)+200,200,14);
t:=t+dt;
until R<=0;
str((t/(3600*24)):8:2,st); setcolor(14);
outtextxy(30,15,'t='+st+' sut.');
readln;
end.
Указания к работе с программой.
Вы работаете с математической моделью гравитационного
взаимодействия тел. Она позволяет решать задачи как качественного,
так и количественного характера. Это довольно мощный инструмент
для исследования. Вы можете сотворить свою Солнечную систему,
запустить искусственный спутник с любой планеты и к любым
планетам, увидеть пролет астероидов и комет как существующих, так и
созданных Вами. Сможете создать планетарную катастрофу при
столкновении тел во вселенной. Модель позволяет объяснить даже
создание планет и звезд из газо-пылевого облака.
Решим совместно с вами конкретную задачу, чтобы разобраться
с методами работы программы “ZVT” и ее возможностями.
За какое время Земля упадет на Солнце, если она остановится?
47
Мз= 6 *10 24 кг ; Мс= 2 *10 30 кг ; L= 1.5 *1011 м. Солнце и Землю не считать
материальными точками. Rс=1 390 000 000м. Rз=6 375 000м.
После запуска программы, нажмите “New”. На экране появится
краткая инструкция к работе с программой. После ее прочтения, опять
жмите “New”.
Инструкция к работе
1. Вначале установите компонент «номер тела» на 1 (по
умолчанию там уже 1).
2. Введите временной интервал перерасчета dt(с) от 0,1с до 100с.
Чем меньше, тем точнее, но тем дольше работает модель. Для данной
задачи установите 100с.
3. Установите масштаб от 1км до 10 000 000 000 км. (целое число).
Для данной задачи масштаб возьмите равным 10 000 000 000км. Это
будет соответствовать размеру экрана 900 000 000км х 700 000 000км.
(координата правого нижнего угола).
4. Задайте массу первого тела (Солнца)=2Е30.
5. Задайте скорости по X и Y, если они отличны от ноля. В данной
задаче Солнце и Земля неподвижны по условию (в начальный момент
времени). Следовательно: Vx=0км/с, Vy=0км/с.
48
6. Если размерами тела нельзя пренебречь, то введите его радиус.
По умолчанию он равен 1м. В нашей задаче учтем размеры: Радиус
Солнца (м)=1 390 000 000.
7. Разместим Солнце на экране. Установите указатель мыши в
поле экрана (текущие координаты мыши X, Y - отображаются),
которые вам подходят и CLICK-ните левой клавишей мыши в место
указанное курсором. Разместим Солнце в центре экрана. Примерные
координаты при этом будут: Х=400 000 000км; Y=300 000 000км.
Только при размещении тела на экране, все введенные параметры
будут запомнены для первого тела! На экране появится точка. При
щелчке в другом месте, точка переместится по новым координатам.
8. Теперь перейдите к вводу параметров второго тела - Земли,
установив номер тела на 2.
9. Повторите все пункты ввода с 4-ого до 7-ого (не изменяя
временный интервал dt и масштаб) и опять на экране щелкните
мышкой по нужным координатам (Х=250000000км; Y=300000000км).
При этом появится ещё одна "планета" и активируется кнопка "Start".
Но не запускайте пока программу.
49
10. Сделайте активным окно “+ траектория” , чтобы
визуализировать траекторию движения Земли.
11. Аналогично сделайте активным окно “Stop of miting”, чтобы
программа закончила работу, при падении одного тела на другое.
12. Запишите введенные данные под каким-либо именем через
функцию "Save", а затем нажмите "Start". Программа выдаст ответ
t=64,6296 суток. Это правильный ответ! (Решение в файле Load “0”)
13. Все параметры можно редактировать для любого тела, но
каждый раз в конце жмите мышкой по планете на экране!
14. И, последнее. Перед нажатием “Старт” номер тела должен
быть установлен на количество тел Вами введенных, иначе программа
будет обрабатывать информацию по числу тел, которое указано перед
запуском, даже если их у вас больше!
Внимание, ко всем задачам прилагаются файлы с именами от «0»
до «6» (по номеру задачи), которые читаются программой через Load.
Данный пример имеет демонстрационный файл решения «0».
Свойства компонентов на панели управления программой:
+ траектория - выводить траекторию тела с текущим номером;
- траектория - не выводить траекторию тела с текущим номером;
StopOutScreen - остановка программы (но не выход из неё), при
достижении одним из тел границ экрана.
StopCenterMass - центр масс всех тел неподвижен. Удобно
использовать для того, чтобы тела при захвате не улетали за пределы
экрана. Мы как - бы полетим вместе с ними!
Stop of miting – Остановка программы при столкновении тел друг
с другом (при наличии у них размеров – радиусы>1).
Вкл.цвет - цветной вывод траекторий (для всех тел!). Замедляет
работу программы в 3-5 раз.
Время движения - задать время работы модели. Удобно использовать для определения времени взаимодействия тел.
Практические задания к модели
1. Имеется четыре тела по 1 кг. Они расположены на расстоянии
100м друг от друга в углах квадрата. Через сколько суток они
соединятся? Тела считать материальными точками.
50
2. С поверхности МКС (Международная космическая станция)
необходимо “запустить”
искусственный спутник в виде
контейнера с мусором. Найдите минимальную скорость, при
которой спутник будет вращаться вокруг МКС по круговой
орбите на расстоянии 1 метра от поверхности, а также период
обращения. Найдите минимальную скорость спутника, при
которой он навсегда покинет пределы МКС. Параметры: масса
МКС 500 000кг. Масса спутника (мусора) 10кг. Радиус МКС 25м.
Радиус спутника 1м.
3. Найти время падения Луны на Землю при её остановке. Масса
Луны=7.35Е22кг;
масса
Земли=6Е24кг;
расстояние
до
Луны=384400км;
радиус
Земли=6375000м;
радиус
Луны=1738000м.
4. Создайте планетарную модель Земля-Луна используя данные
предыдущей задачи. Линейная скорость Луны 1030м/с. Найдите
период обращения Луны вокруг земли.
5. Запустите зонд к Луне с орбиты Земли так, что бы он “упал” на
её поверхность. Используйте данные прошлых задач.
6. Запустите зонд к Луне с орбиты Земли так, что бы он произвел
облет Луны с возвратом в исходную точку земной орбиты.
7. Создайте планетарную систему с двойной звездой так, чтобы
вокруг одной из них вращалась хотя бы одна планета.
8. Создайте плоскую модель солнечной системы, до Сатурна
включительно.
Используйте
табличные
(справочные)
астрономические данные.
Клеточные автоматы. Игра Дж.Конвея «ЖИЗНЬ»
Эта модель, больше похожая на игру, была создана
американским математиком Дж. Конвеем. Такие модели относят к
семейству клеточных автоматов. Алгоритм модели следующий:
1. если у пустой клетки есть ровно три соседа (считая и по диагонали),
то в ней рождается новая жизнь;
2. если у клетки только один сосед, то она умирает от одиночества;
3. если у клетки больше трех соседей, то она умирает от
перенаселения.
Созданная на Delphi программа работает довольно шустро. Можно
до бесконечности удивляться, глядя на экран монитора, наблюдая
фантастические превращения колоний. Их бурное размножение может
51
сменяться вымиранием, образуя стабильные структуры, которые или
перестают изменяться, или меняются циклически. Ученики активно и с
интересом работают с данной моделью (программа «Life»).
Размещая на поле экрана “зародыши” различной конфигурации,
можно наблюдать за их дальнейшим развитием и гибелью. Как
правило, большинство из них «стремятся» к устойчивым
«сообществам», которые делятся на два класса:
1. полученная колония вообще не изменяется;
52
2. колония меняется с определенным циклом, повторяясь вновь.
В остальных случаях колония или умирает, или бесконечно
размножается.
К первому классу относят такие группы, как «УЛЕЙ»:
Улей из 8 клеток
Ульи из 4 клеток
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Ко второму классу относятся «светофоры»:
*
* * * или *
*
Кроме того, есть очень интересные «зародыши», которые могут
самостоятельно перемещаться по полю. Их называют «планерами».
*
*
* * *
Задания для исследования эволюции колоний
*
1
2
*
*
*
* * *
*
*
*
3
*
*
*
*
*
*
*
*
* *
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* *
*
*
*
*
4 *
*
*
5 * * * * * * *
* * * * *
*
*
*
*
*
6 * * * * * * *
*
53
* * * * *
Справочный материал. Основные формулы.
Площадь треугольника: S =
Объём конуса: V =
πR 2 h
3
ah
, где a - ширина основания, h - высота.
2
, где R - радиус основания, h - высота.
Площадь поверхности конуса: S = πR( R + l ) , где l - длина образующей.
Уравнение окружности: x 2 + y 2 = r 2
Объём шара: V =
4πr 3
3
Площадь поверхности шара: S = 4πr 2
Объём цилиндра: V = πr 2 h , где r - радиус цилиндра, h - высота.
Площадь поверхности цилиндра: S = 2πr 2 + 2πrh
a+b
h , где a, b - основания, h - высота.
2
Теорема косинусов треугольника: c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ , где γ угол при
Площадь трапеции: S =
вершине c .
Освещенность:
J=
F sin α
,
R2
где
F -сила
света,
R -расстояние
до
источника, α -угол между лучом и поверхностью.
Закон Кулона: F = k
q1 ⋅ q 2
, где q1 , q 2 -заряды, R -расстояние между
R2
H ⋅ м2
ними, k = 9 ⋅ 10
Кл 2
9
m1 ⋅ m2
, где m1 , m2 -массы, R R2
H ⋅ м2
расстояние между ними, G = 6.7 ⋅ 10 −11
кг
Закон Бойля – Мариотта: P1V1 = P2V2 , где P1V1 -начальные давление и
Закон всемирного тяготения:
F =G
объём газа, P2V2 - конечные давление и объём газа в замкнутом сосуде.
Мощность электрического тока: P = IU
U
R
ЭДС
Закон Ома для полной цепи: I =
R+r
Закон Ома для участка цепи: I =
54
ОТВЕТЫ
Тренировочные задания.
Решение уравнений
1. x1=-0.707
x2= 0.707
2. x1=-1.541
x2=1.603
3. x1=-3.123
x2=5.123
4. Корней нет
5. x1=-0.917
x2= 0.302
6. x1=-3.000
x2= 3.000
x3= 4.119
Графическое решение систем уравнений
7. x1=-4.000
x2=-2.000
8. x1= 2.000
9. Нет решения
10. x1=-4
x2= 6.000
Нахождение экстремума функций
11. x1=-2.00; y1=-25.0; x2= 0.00; y2=-9.00;
12. x1= 1.00; y1= 2.00; x2= 3.00; y2=-26.00
13. x1=-2.84; y1=-0.26; x2= -0.12; y2= -6.00
14. x1= 0.00; y1=10.00
15. x1=-1.00; y1= 2.00; x2=0.00; y2= 1.00
16. x1=-2.00; y1=-4.00; x2= 2.00; y2= 4.00
x3= 2.00; y3=-25.00
Нахождение координаты вершины параболы и её направление.
17. x= 0.25;
y= -1.37 вверх
18. x= 2.50;
y= 27.50 вниз
19. x= 0.40;
y=-12.80 вниз
20. x=-20.00; y= 28.00 вверх
Вычисление площади, ограниченной линиями.
21. s=10.(6)
22. s=10.(6)
23. s=5.545
24. s=2.(6)
25. s=12.800
26. s=20.833
27. s=4.000
28. s=6.749
29. s=0.592
30. s=2.000
55
Ответы к задачам для самостоятельного решения и комментарии
к ним по теме «Экстремальные задачи»
1. F ( x) = 12 x − x 2 . x=6; y=36.
6*6=36. Это максимум.
2
2. F ( x) = 2 x − 20 x + 100 . x=5; y=50. Число 10 разбить на 5 и 5, тогда
сумма их квадратов будет равна 50.
3. F ( x) = x 3 + (8 − x) 3 . x=4; y=128. Число 8 разбить на 4 и 4, тогда сумма
их кубов будет наименьшей.
4. F ( x) =
10 x − x 2
. x=5; y=12.5. Основание и высота треугольника
2
должны быть равными 5, тогда его площадь составит 12.5 см 2 .
5. F ( x) =
x 2 − 128
. x=2; y=48. Высота бассейна должна быть 2м, тогда
x
площадь поверхности будет минимальной и равной 48.
6. F ( x) = (3 − x) 2 + 2 x . Таких точек будет две с координатами x=2, y=2
и x=2, y=-2. В этом случае кратчайшее расстояние составит 2.24 ед.
7. F ( x) = 25 + x 2 + 64 + (10 − x) 2 . x=3.84; y=16.4. Углы при точке С
будут равными.
8. F ( x) = (16 x) 2 + (145 − 40 x) 2 . x=3.1ч; y=53.86км.
9. F ( x) = (60 − x) 2 + (40 − 0.5 x) 2 − 2(60 − x) ⋅ (40 − 0.5 x) ⋅ cos(60 / 57.3) .
x=60мин; y=16.26 0
10. F ( x) = 9 − 40 x − 16 x 2 . x=1.25ч.; y=16км.
⎛
3.2 ⎞
⎛ 1.8 ⎞ ⎞
0
⎟ − arctg ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⋅ 57.3 . x=2.4м.; y=16.26 .
⎝ x ⎠
⎝ x ⎠⎠
11. F ( x) = ⎜⎜ arct ⎛⎜
⎝
π
⎛ 400 − π ⋅ x 2
12. F ( x) = ⋅ x ⋅ ⎜⎜
πx
3
⎝
2
2
⎞
⎟⎟ − x 2 . x=5.6см.; y=531.86см 3 .
⎠
13. F ( x) = x 2 ⋅ (30 − 2 x) . x=10см; y=1000см 3 Это куб.
x
14. F ( x) = 20 x ⋅ ⎛⎜1 − ⎞⎟ . x=4см; y=40см 2
⎝
8⎠
15. F ( x) = 10 x + x ⋅ 100 − x 2 . x (высота h) =8.65см; y=129.9см 2 . Зная
высоту, найдем, что нижнее основание равно 20см.
16. F ( x) =
100
200
. x=13.3м; y=1.28лк.
+
2
x
(30 − x) 2
17. F ( x) = 5 ⋅ 200 2 + x 2 + 1 ⋅ (500 − x) . x=40.8км.
18. F(x)= π ⋅ (5 sin x) 2 ⋅ 10 cos x . x=0.96рад. y=302см 3
19. F ( x) = π ⋅ x ⋅ (5 − 0.5)2 x(высота)=3.3см; y(объем)=116.3см 3 ,R=3.35см
20. F ( x) = 1.5( x − x 2 ) + 0.5 x ⋅ x 2 − 0.25 x 2 .
56
x=0.7м; y=0.53м 2 .
Ответы к задачам для самостоятельного решения и комментарии
к ним по теме «Определенный интеграл»
1. F ( x) = 3x 2 − 2 x .
x=[0;5] S=100м.; x=[7;8] S=154м.
2
2. F ( x) = 3x − 2 x .
x=[0;10] S=900м.
2
3. F ( x) = 800 ⋅ 10 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ x .
x=[0;3] A=452389 Дж.
4. Площадь горизонтального слоя: S = L R 2 − ( R − x) 2 ⇒ F ( x) = ρgSx , или
F ( x) = 800 ⋅ 10 ⋅ 3 ⋅ 2 2 − (2 − x) 2 ⋅ x . x=[0;4] A=301961 Дж.
5. Радиус конуса меняется: r=[R;0].
F ( x) = 1000 ⋅ 10 ⋅ π ⋅ (0.5 − 0.5 x) 2 ⋅ x .
x=[0;4]
r=R
h−x
;
h
r=0.5-0.5x ⇒
A=654.5 Дж.
6 ⋅ 10 9 ⋅ 100 ⋅ 10 −6 ⋅ 50 ⋅ 10 −6
. x=[0.1;0.5] A=360 Дж.
x2
P ⋅V
7. Согласно закону Бойля – Мариотта P2 = 1 1 , но V2 у нас меняется
V2
6. F ( x) =
от 0.3 до 0.9м 3 , а P1 - начальное давление равное атмосферному
давлению P1 = 101300 Па. ⇒ F ( x) =
8. F ( x) =
ρgx 2 a
h
20000 ⋅ x 2
⇒ F ( x)
,
3
101300 ⋅ 0.3
, где x=[0.3;0.9] A=33387
x
где
x=[0;3],
Fдавл.=60000Н. При
погружении треугольника в воду ещё на 1м от вершины до
поверхности
F ( x) =
ρg (1 + x) x
3
⇒
20000 ⋅ (1 + x) ⋅ x
,
3
где
x=[0;3]
Fдавл.=90000Н
9. F ( x) =
ρgxa ⋅ (h − x)
3
⇒ F ( x) =
20000 x ⋅ (3 − x)
, где x=[0;3]. Fдавл.=30000Н
3
При погружении треугольника в воду еще на 1м от основания до
поверхности
воды
F ( x) =
ρg ⋅ (1 + x) ⋅ a ⋅ (h − x)
3
⇒
20000 ⋅ (1 + x) ⋅ (3 − x)
, где x=[0;3]. Fдавл.=60000Н.
3
10. F ( x) = 2 ρgπRx ⇒ F ( x) = 18000 ⋅ π ⋅ 0.004 ⋅ x , где x=[0;0.11]. Fдавл.=13.7Н
F ( x) =
11. Зависимость ширины иллюминатора L от высоты h: L = 2 R 2 − h 2 .
Заменяя h на табулирование по высоте x, получим
F ( x) = 2 ρg R 2 − x 2 ⋅ x ⇒ F ( x) = 20000 ⋅ 0.15 2 − x 2 ⋅ x ,
где x=[0;0.15].
Fдавл=22.5Н.
12. Функциональную зависимость Y=F(x) согласно условию можно
записать Y = 0 / 625 ⋅ x 2 , тогда x =
x=[0,1.6]. Fдавл.=21850Н.
57
1−Y
1.6 − x
⇒ F ( x) = 2 ρg
⋅ x , где
0.625
0.625
Ответы к задачам на математическую модель “Движение в поле
сил тяжести”
1. Траектория в вакууме описывает параболу, а в воздухе или воде вид
траектории называется баллистической у которой восходящая ветвь
траектории пологая, а нисходящая – крутая.
2. Максимальная дальность полета при фиксированной начальной
скорости V0 достигается при угле броска 45 0 . Дальность полета
может быть одинаковой для пар углов: 30 и 60, 20 и 70, 80 и 10 гр.
3. V0 = 16 м / с ; α = 45 0 ; l = 26 м ; h = 6.47 м ; t = 2.3с ;
V0' = 32 м / с ; α = 45 0 ; l = 104 м ; h = 26 м ; t = 4.6с ;
Следовательно, при увеличении начальной скорости в 2 раза, время
полета увеличится в 2 раза, а дальность и высота в 4 раза.
4. H 0 = 20 м .
5. α = 76 0 .
6. Все капли пересекутся в точке с координатами x=27.3м; y=5м.
7. При H 0 = 0 м ⇒ α = 72 0 , V0 = 12.6 м / с.
При H 0 = 2 м ⇒ α = 70 0 , V0 = 11.0 м / с.
8. При бросании камней под углом 60 0 дальность падения камней по
склону будет максимальной. Координаты Xmax=13м.; Ymax=7.5м.
Это соответствует расстоянию по склону 15м.
Ответы к задачам на математическую модель
“Тело на наклонной плоскости”
1. μ = 0,58 .
2. a = 0,98 м / с 2 .
3. α = 15 0 .
4. Vk=19,6м/с.
5. t=2,85с.
6. α = 34 0 .
7. Нет.
8. Не зависит.
Ответы к задачам на математическую модель “Гравитационное
взаимодействие тел”
1. 2.619 года (файл «1»).
2. Первая космическая скорость мусора (круговая орбита) равна:
V1 = 1.12 ⋅ 10 −6 км / с = 1.12 мм / с .
Период
обращения
спутника
Т=1.79суток (файл «2_1»); Вторая космическая скорость, при
которой спутник не вернется к космическому кораблю равна:
V2 = 1.56 ⋅ 10 −6 км / с = 1.56 мм / с (файл «2_2»).
3. t=4.8 суток (файл «3»).
4. T=27.31 суток (файл «4»).
5. Решение задачи полета корабля с посадкой на Луну в файле «5».
58
6. Решение задачи полета корабля с облетом Луны и возвратом на
Землю в файле «6».
7. Решение задачи с двойной звездой и одной планетой в файле «7»
8. Солнечная система до Сатурна в файле «8».
59
Литература
1 А.Г.Щеголев, П.И.Колыханов. Рекомендации по коррекции курса
информатики в средней школе. Москва. Министерство образования
Российской федерации. Институт информатизации образования.
1993.
2 А.П.Рымкевич, П.А.Рымкевич. Сборник задач по физике.
М.:
«Просвещение». 1984.
3 В.П.Демкович, Л.П.Демкович. Сборник задач по физике. М.:
«Просвещение» . 1974.
4 А.П.Ершов, В.М.Монахов. Основы информатики и вычислительной
техники. М. «Просвещение». 1985.
5 Д.Пойа. Математическое открытие. М. 1976.
6 О.Г.Максимова, А.М.Немов. Профдиагностическое и психофизическое обследование с использованием ЭВМ. Чебоксары. 1994г.
7 И.Л. Зайцев. Курс высшей математики
для техникумов. «Государственное издание физико-математической литературы». 1963г.
8 Донской А.Н., Немов А.М. Программирование на БК 0010.
Чебоксары. 1993г.
9 Н.Я. Виленкин. Функции в природе и технике. Мир знаний.
Москва. «Просвещение». 1978г.
10 А.С.Кондратьев, В.В.Лаптев. Физика и компьютер. Ленинград,
издательство ЛГУ. 1989г.
11 В.П.Минорский. Сборник задач по высшей математике. М.
«Наука». Главн. ред. Физико-математической литературы. 1969г.
12 Н.Я.Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. Алгебра и
математический анализ. 10 класс. М. «Просвещение» 1992г.
13 Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. Алгебра и
математический анализ, 11 класс. Пробный учебник. Москва.
«Просвещение» 1993г.
14 Э.С. Беляева, В.М. Монахов. Экстремальные задачи. Москва,
«Просвещение». 1977г.
15 Степанов В.И., Коновалова Н.А. Решение нестандартных задач по
основам информатики и вычислительной техники. Чувашский
государственный университет. Чебоксары. 1992.
60
Содержание приложения на CD
1.
2.
3.
4.
Read me. Инструкция к работе с пособием и приложениями.
Презентация книги.
Презентация теории численных методов.
Презентация «Строим дачу». Практика применения численных
методов.
5. Рабочая программа «Analiz».
6. Математическая модель «Ballist».
7. Математическая модель «NPL».
8. Математическая модель «Life».
9. Математическая модель «ZVT».
10. Электронная версия пособия в формате Acrobat Reader (PDFфайл)
11. Pascal – Папка исходных программ на языке Pascal.
12. Delphi – Папка исходных программ на языке Delphi.
61