примарные разложения узлов в утолщенных

На правах рукописи
Кораблев Филипп Глебович
ПРИМАРНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ УЗЛОВ
В УТОЛЩЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
И ВИРТУАЛЬНЫЕ УЗЛЫ
01.01.04 — геометрия и топология
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико–математических наук
Екатеринбург — 2012
Работа выполнена на кафедре компьютерной топологии и алгебры
Челябинского государственного университета.
Научный руководитель:
член-корреспондент РАН,
доктор физико–математических наук,
профессор С. В. Матвеев
Официальные оппоненты:
член-корреспондент РАН,
доктор физико–математических наук,
А. Ю. Веснин
кандидат физико–математических наук,
М. А. Овчинников
Ведущая организация:
Московский государственный
университет имени М. В. Ломоносова
Защита состоится 31 января 2012 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 004.006.03. в Институте математики и механики
УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.
Автореферат разослан
декабря 2011 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета,
кандидат физ.-мат. наук
И. Н. Белоусов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ1
Актуальность темы
Утолщенные поверхности, то есть прямые произведения замкнутых ориентируемых поверхностей на отрезок, являются самыми простыми многообразиями после трехмерной сферы S 3 .
Изучение узлов в таких многообразиях является естественным
шагом в дальнейшем развитии теории классических узлов в S 3 .
Одним из распространенных способов исследования объектов
комбинаторной топологии является разбиение их на максимально простые части, и исследование каждой из частей по отдельности. Хорошо известна теорема Кнезера-Милнора (см. [6]), которая утверждает, что любое замкнутое ориентируемое трехмерное
многообразие M может быть представлено в виде
M = M1 # . . . #Mn #k(S 2 × S 1 ),
где каждое из многообразий M1 , . . . , Mn неприводимо. Более того, такое представление единственно, то есть определяется исходным многообразием M . В силу этой теоремы в большинстве
случаев рассматриваются только неприводимые многообразия.
Аналогом теоремы Кнезера-Милнора для классических узлов
в S 3 является теорема Х. Шуберта (см. [8]), которая состоит в
том, что любой нетривиальный узел раскладывается в связную
сумму конечного числа примарных узлов, и слагаемые такого
разложения определены однозначно, то есть зависят только от
исходного узла. Одной из целей настоящей диссертации является доказательство аналога теоремы Х. Шуберта для узлов в
утолщенных поверхностях.
Отметим, что в общем случае обобщение теоремы Х. Шуберта на случай узлов в утолщенных поверхностях неверно. Один
из контрпримеров приведен в работе С.В. Матвеева [10]. В ней
же было доказано, что любой гомологически тривиальный узел
в утолщенной поверхности (то есть узел, определяющий нулевой элемент первой группы гомологий с коэффициентами в Z2 )
раскладывается на примарные слагаемые единственным образом. Для такого разложения используется операция кольцевой
связной суммы, которая является прямым обобщением операции связного суммирования классических узлов на случай узлов
в утолщенных поверхностях.
1 Работа
выполнена при поддержке гранта РФФИ (№11-01-00605).
3
Хорошо известна связь между узлами в утолщенных поверхностях и виртуальными узлами, введенными Л. Кауффманом в
1999 году в работе [3] (также см. [10]). Определим на множестве
узлов в утолщенных поверхностях отношение эквивалентности
следующим образом: два узла стабильно эквивалентны, если от
одного к другому можно перейти с помощью последовательности
преобразований дестабилизации (уменьшений рода поверхности
без изменения узла) и обратных преобразований стабилизации.
Тогда множество виртуальных узлов совпадает со множеством
классов стабильно эквивалентных узлов в утолщенных поверхностях (см. [1, 3, 5, 9, 10]). В частности, каждый виртуальный узел
реализуется бесконечным числом различных узлов в утолщенных поверхностях, при этом операция связного суммирования
виртуальных узлов индуцируется операцией кольцевой связной
суммы их представителей.
Будем говорить, что узел в утолщенной поверхности, являющийся представителем виртуального узла, минимален, если он
не допускает дестабилизаций. В 2003 году Г. Куперберг доказал
(см. [5]), что для каждого виртуального узла существует единственный минимальный представитель.
Одним из основных результатов диссертации является теорема, являющаяся обобщением теоремы Х. Шуберта для виртуальных узлов:
Теорема 2.1. Любой виртуальный узел раскладывается в
связную сумму конечного числа примарных и тривиальных виртуальных узлов, причем примарные слагаемые такого разложения определены однозначно.
Важное отличие этой теоремы от теоремы Х. Шуберта состоит в том, что в разложении присутствуют тривиальные слагаемые. Причина этого заключается в том, что, как показал Т.
Кишино в 2004 году в работе [4], существуют нетривиальные виртуальные узлы, являющиеся связной суммой тривиальных виртуальных узлов. В случае классических узлов это невозможно.
На множестве всех узлов в утолщенных поверхностях вводятся четыре типа редукций. Редукция типа 1 узла K ⊂ F × I
состоит в разрезании утолщенной поверхности F ×I по несжимаемому разбивающему собственному послойному кольцу, пересекающему узел K в двух точках, и приклеивании к копиям этого
кольца двух ручек индекса 2, содержащих тривиальные дуги. Ре-
4
дукцией типа 2 является операция дестабилизации. В качестве
кольца, задающего дестабилизацию, выбирается любое несжимаемое послойное кольцо, в том числе и разбивающее. Если в
результате дестабилизации получается утолщенная поверхность,
не содержащая никакого узла, то мы помещаем в нее тривиальный узел. Редукция типа 3 узла K ⊂ F ×I состоит в следующем:
разрежем утолщенную поверхность F × I по паре собственных
послойных колец, каждое из которых пересекается с узлом K в
одной точке и которые разбивают все многообразие F × I на две
части. Склеим копии колец на крае каждой из частей так, чтобы получились два узла в утолщенных поверхностях. Редукция
типа 4 состоит в вырезании локального узла. Непосредственно
проверяется, что редукции типов 1 и 4 являются обратными для
операции кольцевой связной суммы узлов в утолщенных поверхностях, а редукция типа 3 является суперпозицией стабилизации
и редукции типа 1. Если в результате редукции типа 1,3 или 4
один из получившихся узлов совпадает с исходным, то такая редукция называется тривиальной.
В диссертации используются методы теории корней, разработанной С. Матвеевым и С. Хог-Анжелони в 2007 году (см. [2]).
В этой работе было получено простое доказательство теоремы
Кнезера-Милнора (см. [6]), обобщение теоремы Х. Шуберта для
заузленных графов в произвольных многообразиях и другие результаты. В частности, приемы, описанные в этой работе, оказываются полезными для доказательства еще одного основного
результата диссертации, который состоит в следующем:
Теорема 1.4. Пусть K ⊂ F × I — узел. Будем применять
к паре (F × I, K) и получающимся из нее парам нетривиальные редукции типов 1 – 4 до тех пор, пока это возможно. Тогда
этот процесс всегда конечен, причем получающийся в результате набор узлов в утолщенных поверхностях зависит только от
исходной пары (F × I, K), с точностью до удаления пар вида
(S 2 × I, O), где O ⊂ S 2 × I — тривиальный узел в S 2 × I.
Цель работы. Целью настоящей диссертации является доказательство аналогов теоремы Х. Шуберта для узлов в утолщенных поверхностях и виртуальных узлов.
Основные результаты
1. Доказано, что конечный результат применения 4-х видов
5
редукций к произвольному узлу в утолщенной поверхности
существует и определен однозначно с точностью до удаления тривиальных узлов в S 2 ×I, то есть не зависит от последовательности редукций, а определяется только исходным
узлом (теорема 1.4).
2. Доказано, что любой виртуальный узел раскладывается в
связную сумму нескольких примарных и нескольких тривиальных виртуальных узлов. Примарные слагаемые такого
разложения определены однозначно (теорема 2.1).
Основные методы исследования. В работе используются
стандартные методы маломерной топологии, в том числе техника устранения пересечения поверхностей в трехмерных многообразиях. Используется модификация этой техники, при которой
все получаемые поверхности должны допустимым образом пересекать фиксированную кривую (узел) в многообразии. Помимо
этого используются методы теории корней [2].
Научная новизна. Все основные результаты диссертации
являются новыми и снабжены полными доказательствами.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит
теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы для дальнейших исследований узлов в трехмерных
многообразиях. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов и семинаров для студентов и аспирантов
математических специальностей.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:
1. Семинар под руководством академика РАН А. Т. Фоменко в
Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова ;
2. Семинар под руководством член.-корр. РАН С.В. Матвеева
в Челябинском государственном университете;
3. Семинар под руководством член.-кор. РАН И.А. Тайманова
в Институте математики Сибирского отделения Российской
Академии наук;
6
4. Семинар под руководством под руководством член.-кор. РАН
А.А. Махнева в Институте математики и механики Уральского отделения Российской Академии наук;
5. Международная школа-конференция по геометрическому
анализу (Горно-Алтайск, 2010);
6. Всероссийская школа-конференция по геометрии и анализу
(Кемерово, 2011).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12]–[16]. К списку ВАК относятся работы [12]–
[14].
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии. Она изложена на 71 странице,
снабжена 45 рисунками, библиография содержит 21 наименование. Нумерация теорем, лемм и т. п. в каждой главе своя. Основные результаты диссертации — это теоремы 1.4. и 2.1.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Введение состоит из двух параграфов. В нем описываются
направления исследований, наиболее близкие к теме диссертации, формулируются известные результаты.
Глава 1 посвящена изучению редукций узлов в утолщенных
поверхностях и состоит из четырех параграфов.
Параграф 1.1 посвящен определениям основных объектов
изучения — узлам в утолщенных поверхностях и четырем видам
редукций всех таких узлов. Под узлом в утолщенной поверхности понимается пара (F × I, K), где K ⊂ F × I — простая замкнутая кривая в прямом произведении замкнутой ориентируемой поверхности F на отрезок I. Приводится два примера узлов
в утолщенных поверхностях рода 2 и результаты примененных к
ним редукций.
Параграф 1.2 посвящен теории корней геометрических объектов (см. [2]). Пусть Γ — произвольный ориентированный граф
с множеством вершин V(Γ) и множеством ребер E(Γ). Обозначим
через E(2) (Γ) множество таких пар ребер графа Γ, что начальные
вершины каждой пары совпадают.
Будем говорить, что вершина V ∈ V(Γ) является корнем вершины U ∈ V(Γ), если существует ориентированный путь в графе
7
Γ из вершины U в вершину V , и из вершины V не исходит ни
одного ребра.
Следующие условия на граф Γ были предложены С.В. Матвеевым. Они достаточны как для существования, так и для единственности корня любой его вершины, и уточняют аналогичные
условия, приведенные в [2].
(FC): (от слов Finiteness Condition) любой ориентированный путь
по ребрам графа Γ имеет конечную длину;
(MF): (от слов Mediator Function) существует такая функция
µ : E(2) (Γ) → N ∪ {0},
−−→ −−→
что для любой пары ребер (U V1 , U V2 ) ∈ E(2) (Γ) выполнено
следующее:
−−→ −−→
(MF1): если µ(U V1 , U V2 ) = 0, то найдется вершина W ∈ V(Γ),
в которую можно проложить ориентированные пути
по ребрам графа Γ как из вершины V1 , так и из вершины V2 ;
−−→ −−→
−−→
(MF2): если µ(U V1 , U V2 ) > 0, то найдется такое ребро U W с
той же начальной вершиной, что для каждого i = 1, 2
−−→ −−→
−−→ −−→
µ(U Vi , U W ) < µ(U V1 , U V2 ).
Теорема 1.1. Если граф Γ удовлетворяет условиям (FC) и
(MF), то корень любой его вершины существует и единственен.
Это теорема является аналогом леммы Ньюмана о диаманте
(см. [7]), но лучше нее приспособлена для решения конкретных
геометрических задач.
Построим конкретный ориентированный граф Γ. В качестве
множества вершин V(Γ) рассмотрим множество, состоящее либо
из пар вида (F ×I, K), то есть узлов в утолщенных поверхностях,
либо наборов таких пар, рассматриваемых с точностью до добавления или удаления тривиальных узлов в S 2 × I. Две вершины
−−→
U, V ∈ V(Γ) соединены ориентированным ребром U V ∈ E(Γ),
если набор узлов V получается из набора узлов U с помощью
нетривиальной редукции типа 1, 2, 3 или 4.
8
Параграф 1.3 посвящен доказательству теоремы о том, что
построенный граф Γ обладает свойством (FC). Ключевой момент
состоит в построении функции сложности. Пусть Ω — вполне
упорядоченное множество, состоящее из троек вида (g, s, w), где
g, s — неотрицательные числа, а w — упорядоченная конечная
последовательность неотрицательных чисел, причем множество
таких последовательностей упорядочено лексикографически. На
множестве всех троек также вводится лексикографический порядок. Пусть K — множество всевозможных пар вида (F × I, K),
где K ⊂ F × I — узел. Функция ϕ : K → Ω называется функцией
сложности, если для любой пары (F 0 × I, K 0 ) ∈ K, получающейся из пары (F × I, K) ∈ K в результате нетривиальной редукции
типа 1, 2, 3 или 4, справедливо соотношение
ϕ(F × I, K) > ϕ(F 0 × I, K 0 ).
Пусть (F × I, K) — узел. Числом Шуберта называется максимальное число s(F × I, K) таких попарно непересекающихся
трехмерных шаров B1 , B2 , . . . в F ×I, что для каждого i = 1, 2, . . .
пересечение K ∩ Bi является заузленной дугой в Bi .
Пусть (F × I, K) — узел, g(F ) — род поверхности F , и пусть
c1 , . . . , c2g(F ) — такой упорядоченный набор простых замкнутых
кривых на F , что каждая следующая кривая трансверсально пересекает предыдущую ровно в одной точке. Упорядоченный набор трансверсальных узлу K вертикальных колец C = {Ci ⊂
F × I, 1 6 i 6 2g(F )} называется контрольным, если для каждого i = 1, . . . , 2g(F ) кольцо Ci изотопно кольцу ci × I.
Пусть (F × I, K) — узел, C = {C1 . . . , C2g(F ) } — контрольный набор колец. Весом узла (F × I, K) называется величина
w(F × I, K) = min(#(C1 ∩ K), . . . , #(C2g(F ) ∩ K)), где миниC
мум берется по всем возможным контрольным наборам колец,
а на множестве всех упорядоченных последовательностей вида
(#(C1 ∩ K), . . . , (C2g(F ) ∩ K)), где #(Ci ∩ K) – число точек пересечения кольца Ci и кривой K, вводится лексикографический
порядок.
Функция ϕ : K → Ω задается следующим образом:
ϕ(F × I, K) = (g(F ), s(F × I, K), w(K)),
где g(F ) — род поверхности F , s(F × I, K) — число Шуберта
пары (F × I, K), w(K) — вес узла K в утолщенной поверхности
9
F × I. Значением ϕ(F × I, K) является тройка элементов, где
первые два элемента — это неотрицательные числа, а третий —
упорядоченная последовательность чисел длины 2g(F ).
В леммах 1.3 и 1.4 доказывается, что построенная функция
ϕ действительно является функцией сложности. Основным результатом параграфа 1.3 является следующая теорема:
Теорема 1.2. Граф Γ обладает свойством (FC).
Параграф 1.4 посвящен доказательству того, что построенный граф Γ обладает свойством (MF). Функция µ : E2 (Γ) →
N ∪ {0} определяется следующим образом: пусть для каждого
−−→
i = 1, 2 ребро U Vi ∈ E(Γ) отвечает нетривиальной редукции пары (Fi ×I, Ki ) ∈ U вдоль поверхности Xi ⊂ Fi ×I. Тогда значение
−−→ −−→
µ(U V1 , U V2 ) равно минимальному числу #(X1 ∩ X2 ) компонент
связности пересечения X1 ∩ X2 среди всевозможных пар поверх−−→ −−→
ностей X1 , X2 , задающих ребра U V1 , U V2 соответственно.
Для доказательства свойства (MF2) используется некоторая
модификация стандартной техники устранения пересечений поверхностей в многообразиях. Отличие от стандартной техники
состоит в том, что при устранении пересечений каждая из поверхностей должна допустимым образом пересекаться с рассматриваемым узлом.
Основным результатом первой главы является следующая теорема:
Теорема 1.4. Пусть K ⊂ F × I — узел. Будем применять
к паре (F × I, K) и получающимся из нее парам нетривиальные редукции типов 1 – 4 до тех пор, пока это возможно. Тогда
этот процесс всегда конечен, причем получающийся в результате набор узлов в утолщенных поверхностях зависит только от
исходной пары (F × I, K), с точностью до удаления пар вида
(S 2 × I, O), где O ⊂ S 2 × I — тривиальный узел в S 2 × I.
Глава 2 состоит из двух параграфов и посвящена приложению доказанной теоремы 1.4 к теории виртуальных узлов. Основным результатом этой главы является следующая теорема:
Теорема 2.1. Любой виртуальный узел раскладывается в
связную сумму конечного числа примарных и тривиальных виртуальных узлов, причем примарные слагаемые такого разложения определены однозначно.
10
В параграфе 2.1 приводятся основные понятия теории виртуальных узлов. Помимо классического определения виртуального узла через виртуальные диаграммы и обобщенные движения Радемайстера (см. [3, 9]), мы приводим более удобное в нашем случае эквивалентное определение виртуального узла как
класса эквивалентности узлов в утолщенных поверхностях (см.
[3, 5, 9]). Отношение эквивалентности порождается гомеоморфизмами узлов и операцией стабилизации, которая состоит в
следующем: для узла в утолщенной поверхности (F × I, K) выберем два таких непересекающихся диска D1 , D2 ⊂ F , что (Di ×
I) ∩ K = ∅, i = 1, 2. Вырежем из многообразия F × I цилиндры
D1 × I, D2 × I и склеим кольца ∂Di × I, i = 1, 2, на крае замыкания многообразия (F \ (D1 ∪ D2 )) × I по такому гомеоморфизму
∂D1 × I → ∂D2 × I, что в результате получается утолщенная
поверхность, содержащая узел.
В параграфе 2.2 операция кольцевой связной суммы узлов в
утолщенных поверхностях (F1 ×I, K1 ) и (F2 ×I, K2 ) определяется
следующим образом: для каждого i выберем диск Di ⊂ Fi и
изотопно продеформируем узел Ki так, чтобы пересечение li =
Ki ∩(Di ×I) было тривиальной дугой в топологическом шаре Di ×
I. Тогда узел K ⊂ (F1 #F2 ) × I, который получается склеиванием
многообразий (Fi \ IntDi ) × I, i = 1, 2, по такому гомеоморфизму
ϕ : ∂D1 × I → ∂D2 × I, что ϕ(∂l1 ) = ∂l2 , называется кольцевой
связной суммой узлов K1 ⊂ F1 × I и K2 ⊂ F2 × I (также см.
[9, 11]).
Операция кольцевой связной суммы узлов в утолщенных поверхностях индуцирует операцию связного суммирования виртуальных узлов, которую удобно понимать следующим образом:
для каждого виртуального узла v1 , v2 выберем его реализацию
узлом в утолщенной поверхности Ki ⊂ Fi × I, i = 1, 2 соответственно. Кольцевая связная сумма K1 #K2 задает виртуальный
узел v, который называется связной суммой узлов v1 , v2 и обозначается v = v1 #v2 . Операция связного суммирования виртуальных узлов многозначна, так как зависит от конкретных реализаций виртуальных узлов v1 , v2 и дисков, задающих кольцевую
связную сумму.
Будем говорить, что разложение v = v1 #v2 одного виртуального узла v в связную сумму узлов v1 , v2 тривиально, если один
из этих узлов совпадает с v, а второй тривиален. Нетривиальный
виртуальный узел называется примарным, если его нельзя пред-
11
ставить в виде нетривиальной связной суммы двух виртуальных
узлов. Реализация виртуального узла называется минимальной,
если она не допускает дестабилизаций (редукций типа 2).
Лемма 2.1. Если v = v1 #v2 , то минимальная реализация
узла v допускает редукцию типа 1, 3 или 4, в результате которой
получаются реализации узлов v1 и v2 .
В частности, из этой леммы следует, что виртуальный узел v
примарен тогда и только тогда, когда его минимальная реализация узлом в утолщенной поверхности примарна.
Автор выражает глубокую признательность своему научному
руководителю С. В. Матвееву за постановку задачи и всестороннюю помощь в работе.
12
Список литературы
[1] Scott Carter, J. C., Seiichi, K., Saito, M. Stable
equivalence of knots on surfaces and virtual knot cobordisms
// J.Knot Theory Ramifications. 2002. V. 11. P. 311 – 322.
[2] Hog-Angelony, C., Matveev, S. Roots in 3-manifold
topology // Geometry and Topology Monographs. 2008. V. 14.
P. 295 – 319.
[3] Kauffman, L. H. Virtual knot theory // European Journal
of Combinatorics. 1999. V. 20. № 7. P. 662 – 690.
[4] Kishino, T., Satoh, S. A note on non-classical virtual knots
// Journal of Knot Theory and Its Ramifications. 2004. V. 13.
№ 7. P. 845 – 856.
[5] Kuperberg, G. What is a virtual link? // Algebraic and
Geometric Topology. 2003. V. 3. P. 587 – 591.
[6] Milnor, J. A unique decomposition theorem for 3-manifolds
// Amer. J. Math. 1962. V. 84. P. 1 – 7.
[7] Newman, M. H. A. On theories with a combinatorial
definition of “equivalence” // Ann. of Math. 1942. V. 43. P.
223 – 243.
[8] Schubert, H. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in
Primknoten // Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949.
V. 3. P. 57 – 104.
[9] Кауффман, Л., Мантуров, В.О. Виртуальные узлы и
зацепления // Труды МИРАН им. В.А Стеклова. 2006. Т.
252. № 1. С. 114 – 134.
[10] Мантуров, В.О. Теория узлов // Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2005. 512 с.
[11] Матвеев, С.В. Разложение гомологически тривиальных
узлов в F × I // Доклады Академии Наук. 2010. Т. 433.
№ 1. С. 13 – 15.
13
Работы автора по теме диссертации
[12] Кораблев, Ф.Г., Матвеев, С.В. Редукции узлов в утолщенных поверхностях и виртуальные узлы // Доклады
Академии наук. 2011. Т. 437. № 6. С. 748 – 750.
[13] Кораблев, Ф.Г. Единственность корней узлов в F × I и
примарные разложения виртуальных узлов // Труды Института Математики и Механики УрО РАН. 2011. Т. 17.
№ 4. С. 160 – 175.
[14] Кораблев, Ф.Г. Примарные разложения виртуальных
узлов // Вестник Кемеровского государственного университета. 2011. Т. 2. № 3. С. 59 – 63.
[15] Кораблев, Ф.Г. Разложение узлов в прямом произведении поверхности на отрезок // Тезисы школыконференции по геометрическому анализу. Горно-Алтайск.
2010. С. 50 – 51.
[16] Кораблев,
Ф.Г.
Примарные
разложения
виртуальных
узлов
//
Тезисы
докладов
Международной
школы-конференции
по
геометрии
и
анализу,
Кемерово,
19-26
июня
2011.
[http://www.math.kemsu.ru/kma/file/tesis/index.htm]
—
Кемерово: КемГУ, 2011, номер гос. Рег. 0321102235.
14
Кораблев Филипп Глебович
ПРИМАРНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ УЗЛОВ
В УТОЛЩЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
И ВИРТУАЛЬНЫЕ УЗЛЫ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико–математических наук
Подписано в печать 7.12.2011
Формат 60×841/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,85. Уч.-изд. л. 1.
Тираж 100 экз. Заказ 138. Бесплатно.
ФГБОУ ВПО Челябинский государственный университет.
454001 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129.
Издательство ЧелГУ.
454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57б