ФИЛОСОФСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ОБОСНОВАНИЯ

Глава 2
ФИЛОСОФСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
ОБОСНОВАНИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
За тысячу лет, которую мы называем эпохой
средневековья, в математике не произошло существенных переворотов, хотя математические и логические истины были постоянным объектом различных схоластических спекуляций. Философия
математики также стояла на мертвой точке: она
не вышла за рамки пифагореизма в его платонистской и неоплатонистской интерпретации. Только
в XIV—XV вв. в Европе началось возрождение
творческого математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Следующие два столетия ознаменовались появлением и раззитием совершенно новых математических идей, которые мы
относим сегодня к дифференциальному и интегральному исчислению. Новые идеи возникли
в связи с потребностями науки, в особенности механики, и это обстоятельство предопределило появление принципиально новой философии математики. Математика стала рассматриваться не как
врожденное и абсолютное знание, а скорее как
знание вторичное, опытное, зависящее в своей
структуре от некоторых внешних реальностей. Эта
философская установка предопределила в свою
очередь конкретное методологическое мышление,
ярко проявившееся в сфере обоснования дифференциального и интегрального исчислений.
Проблема обоснования
дифференциального исчисления
В дискуссиях о природе бесконечно малых величин, которые велись математиками в XVIII в.,
фигурировал идеал математики под наименова28
нием греческой строгости. «Строгости древних»
требовали от математики Лейбниц, Эйлер, Ньютон,
Лагранж и другие ученые XVIII в. Под этим наименованием имелся в виду прежде всего метод,
примененный Евклидом в «Началах», т. е. метод
выведения одних положений из других, без использования каких-либо предпосылок, помимо
зафиксированных в аксиомах и определениях.
С современной точки зрения ясно, что ни Евклид,
ни кто-либо другой из античных математиков
не осуществил указанного идеала, хотя бы потому,
что они не сформулировали всех аксиом, необходимых для строгого развития геометрии. Однако,
несомненно, что у Евклида, Платона и Аристотеля
была правильная идея математического доказательства, строгого отделения математически доказанного от очевидного, а также точного от приближенного. Такой идеал математики был принят и
математиками XVIII в. Однако практически, сами
это осознавая, они должны были отступать от него. Прежде всего это относится к создателям дифференциального исчисления Ньютону и Лейбницу.
В работах математиков XVII в. (Кеплер, Кавальери, Ферма, Барроу и другие) различными
частными методами были решены многочисленные
задачи, которые сегодня мы относим к дифференциальному и интегральному исчислению — нахождению площадей криволинейных фигур, проведение касательной к произвольной кривой, нахождение максимумов и минимумов элементарных
функций и т. д. Г. В. Лейбниц и И. Ньютон завершили работу созданием алгоритма, позволяющего
единообразным приемом решать все эти, на первый взгляд, различные задачи. Этот алгоритм, будучи принят, подвергся, однако, сразу же критике
за неясность в основных понятиях.
Основным понятием теории Лейбница было понятие дифференциала, или бесконечно малого приращения функции. Пусть мы имеем функцию у =
=f(x). Если мы увеличим ее аргумент (х) на некоторую величину h, то получим приращение
функции dy=f(x + h)—f(x). Для Лейбница
но вместе с тем эта величина столь мала, что, ум29
ножив ее на любое конечное число, мы не получим
конечной величины. В основном своем определении
таким образом Лейбниц проводил чуждую элементарной математике и вообще здравому смыслу
идею неархимедовой величины 1. Эта идея, однако,
была необходима Лейбницу для оправдания предлагаемого им способа вычисления дифференциала.
Пусть, к примеру, дана функция у=х2. Придавая
переменной х приращение dx, получаем y + dy =
=
2
(x+dx) 2 =x 2 +2x*dx+dx 2 ,
откуда dy=2x*dx +
+dx . Величину dx2 Лейбниц предлагает отбрасывать как несравненно малую по отношению к величине 2x*dx. В результате dy=2x*dx — правильный результат! Эта процедура является, очевидно,
противоречивой. Если допустить, что dx=0, то
очевидно, что и dy будет равно нулю (из исходного равенства). Но если
, то, не нарушая
строгости, мы не имеем права отбрасывать dx2.
Рассуждение Лейбница о несравненно малых величинах были попыткой как-то оправдать такой
способ действия.
Практика, однако, показывала (что и было, конечно, основным аргументом за принятие алгоритма в целом), что если мы условимся отбрасывать
в разложении y+dy все члены, содержащие dx
в степени выше первой, то с помощью таким образом определенного понятия
(дифференциала)
мы можем получать точные ответы в широком
классе задач. Поскольку интегрирование определяется как операция, обратная дифференцированию, то, к примеру, площадь любой фигуры, ограничивающая линия которой задана в виде той
или иной функции, найдется теперь как некоторое
значение первообразной функции от этой данной.
Мы получаем таким образом универсальный метод
вычисления площадей и объемов самых различных фигур, метод, совершенно несводимый к методам традиционной геометрии.
Алгоритм Ньютона базировался на понятии
флюксии (производной — в современной термино1
Согласно аксиоме Архимеда, для любых двух величин
а и b найдется такое целое N, что а*N>b.
30
логии) и страдал тем же самым противоречием.
При отыскании флюксии Ньютон также отбрасывал члены, заведомо не равные нулю (хотя вообще
считал, что в математике нельзя пренебрегать
никакими количествами, хотя бы и самыми малыми). К. Маркс писал по поводу исчисления флюксии у Ньютона: «... Если в
[слагаемое]
отбрасывается ввиду его бесконечной малости по сравнению с
или
,то математическим
оправданием этому может служить лишь ссылка
на то, что
имеет в наших глазах приближенное значение, мыслимое сколь угодно близким
к точному. Подобного рода маневр встречается и
в обыкновенной алгебре. Но тогда мы оказываемся
перед лицом еще большего чуда: благодаря этому
методу мы получаем для производной функции
[в]х отнюдь не приближенные, а совершенно точные значения...» [1, с. 153].
Противоречивость алгоритмов дифференциального исчисления, несогласие их с представлениями
о математической строгости, было очевидным для
большинства математиков XVIII в. Между тем
само это исчисление находило все новые приложения в механике и астрономии, превращаясь в центральную и наиболее продуктивную часть математического здания. Проблема обоснования дифференциального исчисления становилась все более
актуальной, перерастая в некоторую проблему
века, вызывавшую, по словам Маркса, отклик
даже в мире неспециалистов.