Теория вероятностей в играх

Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и
проектных работ учащихся 6-11 классов
«Прикладные и фундаментальные вопросы математики»
Прикладные вопросы математики
Теория вероятностей в играх
Елисеев Максим,
8 кл., МАОУ «Лицей №1» г. Кунгур,
Шерстобитова Ольга Александровна,
учитель математики первой категории
Пермь. 2013.
Оглавление
Введение
2
История возникновения теории вероятностей
3
Основные понятия теории вероятностей
8
Математические основы игр
12
Лотереи
12
Рулетка
13
Игровые автоматы
18
Заключение
21
Список используемой литературы
21
2
Введение.
Игры сопровождают нас всю жизнь. Едва родившись, ребёнок
начинает познавать окружающий мир с помощью игр. Сначала он
пытается дотянуться до игрушки, висящей у него на кроватке. Став
старше малыш с удовольствием играет в мяч.
Проходит время, ребёнок растёт, и игры его тоже меняются. Кто то
играет в спортивные игры, кто то открывает для себя мир компьютерных
игр.
Став взрослым, человек не оставляет игры. Кто то играет в
карточные игры, кто то в рулетку, а кто-то пытается ухватить за хвост
сказочную жар-птицу, пытая счастье игрой вразного рода лотереи.
В своей исследовательской работе я хотел бы изучить историю
возникновения и развития теории вероятностей, понять основные
определения, а также выяснить можно ли с помощью теории
вероятностей предсказать исход ряда игр, рассчитать вероятность
наступления выигрыша и ответить на главный вопрос: можно ли
заработать игрой в данные игры.
Все свои расчёты я хотел бы подкрепить практикой, создав
приложение в среде DELPHI, для наглядности всех утверждений.
3
История возникновения теории вероятностей.
Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним
векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (
орлянка, кости ). Первоначально её основные понятия не имели строго
математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым
эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они
формулировались в наглядных представлениях.
Слово «азарт», под которым обычно понимается сильное
увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова
hazard, буквально означающего «случай», «риск». Азартными называют
те игры, в которых выигрыш зависит, главным образом, не от умения
игрока, а от случайности.
Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута
всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода
связаны с именами известных учёных – алгебраиста
4
Джелорамо Кардана (1501-1576) и Галилео Галилея (1564-1642). Однако
честь открытия теории, которая не только даёт возможность сравнивать
случайные величины, но и производить определённые математические
операции с ними принадлежит двум выдающимся учёным – Блезу
Паскалю и Пьеру
Ферма.
В 1658 году появилась книга Христиана
Гюйгенса (1629-1695) «О расчётах в азартных
играх» («Deratiociniisinludoaleae»), в которой
давалось подробное изложение вопросов,
рассмотренных Ферма и Паскалем (автор явно
опирался на переписку этих двух учёных), но,
кроме того им было выдвинуто и много
аналогичных вопросов.
С работой Гюйгенса
непосредственно
связана основная работа Якоба Бернулли
(1654-1705) «Искусство догадок»
(«Arsconjectandi»), которая была опубликована
лишьпосле его смерти в 1713 году. В первых
частях своего труда Бернулли воспроизводит и
комментирует Гюйгенса, приводит полные решения тех вопросов,
5
которые Гюйгенс поставил, но не решил. Однако важнейшей частью
книги является четвёртая, в которой изложен закон больших чисел.
Следующий период истории теории вероятностей (18 век начало 19
века) связан с именами А. Муавра (Англия), П. Лапласа (Франция), К.
Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Это период, когда теория
вероятностей уже находит ряд весьма актуальных применений в
естествознании и технике (главным образом в теории ошибок
наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и
астрономии). К этому периоду относится доказательство первых
предельных теорем Лапласа (1812 г.) и Пуассона (1837 г.). Гауссом (1808
г.) был разработан способ наименьших квадратов.
Третий период истории теории вероятностей (вторая половина 19
века) связан в основном с именами русских
математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова, А. А.
Маркова (старшего). Теория вероятностей
развивалась в России и раньше (в 18 веке ряд
трудов был написан работавшим в России Л.
Эйлером.Следует также отметить работы М. В.
Остроградского по вопросам теории вероятностей,
связанным с математической статистикой и В. Я.
Буняковского по применению теории вероятностей к страховому делу,
статистике и демографии).
6
Со второй половины 19 века
исследования по теории вероятностей в
России занимают ведущее место в мире.
Чебышев и его ученики Ляпунов и Марков
поставили и решили ряд общих задач в
теории вероятностей, обобщающих теоремы
Бернулли и Лапласа. Чебышев чрезвычайно
просто доказал (1867 г.) закон больших чисел
при
весьма общих предположениях.
Двадцатый век не мог удовлетворится тем идейным наследием,
которое было получено им от прошлого. В то время, как физика,
инженера, биолога интересовал процесс, то есть изменение изучаемого
явления во времени, теория вероятностей предлагала им в качестве
математического аппарата лишь средства, изучавшие стационарные
состояния. Изучение броуновского движения в физике подвело
математику к порогу создания теории случайных процессов.
Во втором десятилетии двадцатого века начались исследования
динамики биологических популяций.
В 1931 году была опубликована большая статья А. Н. Колмогорова
«Об аналитических методах в теории
вероятностей», а через
три
года работа А. Я.
Хинчина «Теория
корреляции
стационарных
стохастических
процессов», которые
следует считать началом построения общей
теории случайных процессов.
Теория вероятностей имеет богатую и поучительную историю. Она
7
наглядно показывает, как возникали её основные понятия и развивались
методы из задач, с которыми сталкивался общественный прогресс. При
этом мы видим, как человечество переходило от первичных догадок к
более полному и совершенному знанию.
Теория вероятностей продолжает бурно развиваться, в ней
появляются новые направления исследований. Эти направления
представляют значительный общетеоретический и прикладной интерес.
Основные понятия теории вероятностей.
1.
Случайное событие
Под случайным событием понимается всякое явление, о котором имеет
смысл говорить, что оно происходит или не происходит.
Например:
1. Выпадение герба при бросании монеты
2. Выпадение четырёх очков при бросании игральной кости
2.
Достоверное событие
Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдёт при
осуществлении определённой совокупности условий.
Например:
1. Выпадение герба или цифры при подбрасывании монеты
2. Выигрыш, проигрыш или ничья в матче двух футбольных
команд
3.
Невозможное событие
Событие называют невозможным, если оно никогда не произойдёт при
определённой совокупности условий.
1. Выпадение больше шести очков при броске игрального
кубика
2. Выпадение цифры и герба одновременно при подбрасывании
монеты
4.
Единственновозможноесобытие
8
События называют единственно возможными, если наступление одного
из них – это событие достоверное.
1. Вытаскивание белого шарика из мешка, содержащего только
белы шары
2. Выпадение цифры и герба одновременно при подбрасывании
монеты
5.
Равновозможныесобытия
События называют равновозможными, если ни одно из них не является
более возможным, чем другие.
1. Выпадение шести или пяти очков при броске игрального
кубика
2. Выпадение цифры или герба при подбрасывании монеты
6.
Совместимыеинесовместимыесобытия
Два события называются несовместимыми, если появление одного из них
исключает появление другого. В противном случае события называются
совместимыми.
1. Выпадение цифры и герба при подбрасывании монеты
2. Выпадение цифры и герба при двукратном подбрасывании
монеты
Разберём на примере:
Проведём испытание – подбросим монету. Можно утверждать, сто
случайными событиями при подбрасывании монеты могут быть выпадение
герба либо цифры, причём события эти равновозможные. Очевидно также, что
эти события являются несовместимыми, так как
наступление одного из них исключает наступление
другого.
9
Кстати говоря, опыт с многократным
подбрасыванием монет проводили в своё время
французский естествоиспытатель Жорж Луи Леклерк
Бюффон(1707-1788) и английский статистик Карл
Пирсон(1857-1936).
Число бросков
Выпадение герба
Частота
Ж. Бюффон
4040
2048
0,5069
К. Пирсон
24000
12012
0,5005
К. Пирсон
12000
6014
0,5011
М. Елисеев
100
53
0,5300
Как мы видим, при многократном повторении опыта число выпадений
герба незначительно отличается от
.
Если возможные исходы (результаты) опыта являются событиями
несовместимыми, достоверными, то каждый из результатов испытания
назовём элементарнымисходоми обозначим буквой n.
Те элементарные исходы, при которых интересующее нас событие
наступает, назовём благоприятствующимиэтомусобытиюисходами и
обозначим, как m.
Отсюда
7.
Классическоеопределениевероятности
Вероятностью события aназывается отношение числа mэлементарных
исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу
элементарных исходов испытания n.
10
P(a) =
Так как число исходов благоприятствующих событию не может быть
больше общего числа исходов испытаний, а общее количество испытаний
быть числом отрицательным, то можно утверждать, что:
Причём P(a) = 1для достоверного события при m = n
P(a) = 0 для невозможного события при m = 0
8.
Математическоеожидание
Математическоеожидание дискретной случайной величины есть сумма
произведений всех её возможных значений на их вероятности:
M(X) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn
Применительно к игре математическое ожидание является суммой,
которую вы можете заработать или проиграть в среднем по каждой
ставке. На языке игроков это иногда называется преимуществом игрока
(если оно положительно для игрока), или преимуществом казино (если
оно отрицательно для игрока).
Где P – вероятность выигрыша или проигрыша
A – выигранная или проигранная сумма
N– количество возможных результатов
Предположим вы играете в кости. При выпадении 5 и 6 очков вы
выигрывайте 5 очков, а при выпадении 1, 2, 3 и 4 – проигрывайте 3
очка. Посчитаем математическое ожидание.
11
Как мы видим математическое ожидание отрицательное, что делает игру
не обоснованной. Попробуем поднять выигрыш до 6 очков.
Вот на таких условиях можно играх. А теперь попробуем поднять
выигрыш до 7 рублей.
Как мы видим математическое ожидание положительное что даёт
больше шансов на выигрыш.
12
Математические основы игр
Лотереи
Все ожидают
выигрыша в лотерее,
даже те, кто не покупает
лотерейных билетов.
Антоний
Слонимский
Ещё из советских времён пришли к нам лотереи. Гениальным
режиссёром Леонидом Иовичем Гайдаем даже был снят фильм
«Спортлото 82». Опустим художественные подробности фильма и
попробуем посчитать, какой шанс на выигрыш дают нам лотереи.
Сначала о правилах. В купленной карточке нужно зачеркнуть 5 из
36 чисел, либо 6 из 49 в зависимости от варианта игры. Одну часть
билета отправить по почте, другую оставить себе. Затем при помощи
лототрона и шаров определяется выигрышная комбинация.
Давайте немного окунёмся в математику. Для того чтобы узнать
шанс на выигрыш, воспользуемся следующей формулой (где m –
количество шаров, которые необходимо угадать играя в лотерею, а n –
количество шаров в лототроне).
Для лотереи 6 из 49
Для лотереи 5 из 36
Вот оно истинное лицо числовых
лотерей. Теперь понятна вся мизерность
13
шанса на выигрыш в лотерею. Кажется, что может быть проще угадать 6 чисел
из 49? А угадать одно число из 13983 816 чисел реально? Запомните – это одно
и тоже.
Из почти 14 миллионов игроков в лотерею лишь одному может выпасть
шанс угадать все шесть чисел. Действительно стоило создать фильм об этом
великом событии.
14
Рулетка
Признайся: ставя на
красное и черное, ты все же
не теряешь надежды
выиграть на зеленое!
Станислав Ежи Лец.
Европейская рулетка (рулетка Монте – Карло)
Колесо рулетки Монте - Карло имеет 37 секторов, секторы 1, 3, 5, 7,
9 ,13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35 красные; секторы 2, 4, 6, 8,
10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36 чёрные и сектор 0, он
же ZERO – зелёного цвета.
Если не считать 0 , секторы на колесе рулетки чередуются между
красным и чёрным. Такой странный порядок чисел на колесе
предназначен для того, чтобы большие и маленькие числа, так же как
чётные и нечётные числа, имели тенденцию чередоваться.
Ставки казино:
Прямая ставка или ставка на число – является ставкой на
единственное число и оплачивается в случае выигрыш 35:1, т. е. при
выпадении выбранного вами числа выигрыш равен 35 единицам, в
других случаях вы поигрываете одну единицу (ставку).
Ставка на 2 числа является ставкой на два смежных числа в
таблице на столе рулетки. Фишка ставится на черту, разделяющую два
номера. Выигрыш оплачивается как 17:1, если выпадает любое из
выбранных чисел.
Ставка на 3 числа (или ставка на строку C) является ставкой на три
числа в вертикальной строке таблицы. Фишка ставится на вертикальную
черту, ограничивающую ряд справа. Выигрыш оплачивается как 11:1,
если при одном вращении колеса рулетки выпадет одно из трёх чисел.
15
Ставка на 4 числа (D) является ставкой на четыре числа, которые
образуют квадрат на столе рулетки. Фишка ставится на угол между
четырьмя номерами. Выигрыш оплачивается как 8:1, если при одном
вращении колеса рулетки выпадает одно из 4 чисел.
Ставка на 6 чисел (F) является ставкой на шесть чисел в двух
смежных строках. Выигрыш оплачивается как 5:1, если выпадает одно из
выбранных чисел.
Ставка на 12 чисел. Ставки на 12 чисел могут быть сделаны
несколькими способами. Ставка на столбец (G) делается на любой из
трёх столбцов, расположенных горизонтально на столе. Фишка ставится
на поле возле выбранной колонки.
Другие ставки на 12 чисел (H) – первая дюжина (1 – 12), средняя
дюжина (13 – 24) и последняя дюжина (25 – 36). Ставки на 12 чисел
оплачиваются как 2:1,
если выпадает одно из
выбранных чисел. Ставка
на 12 чисел проигрывает,
если выпадает 0.
Ставки на 18 чисел.
Ставка на цвет (I)
является ставкой на
красное или чёрное.
Ставка на чёт – нечет (K) является ставкой на чётные числа от 1 до 36
или на нечётные числа от 1 до 36. Малая ставка (J) является ставкой на
числа 1 – 18, и большая ставка является ставкой на числа от 19 до 36.
Ставки на 18 чисел оплачиваются 1:1, если при одном вращении колеса
рулетки выпадает одно из выбранных чисел. Ставка на 18 чисел
проигрывает, если выпадает 0.
Определим величину ожидаемого выигрыша при различных
ставках:
16
X – величина выигрыша (проигрыша)
P(X) – вероятность выигрыша (проигрыша)
Ставка на число
X
-1
35
P(X)
Как мы видим математическое ожидание в данном случае
отрицательное, т. е. на каждую поставленную единицу ожидается проигрыш
около 0,03 этой единицы.
Ставка на пару чисел
X
-1
17
-1
8
P(X)
Ставка на четыре числа
X
P(X)
17
Ставка на дюжину
X
-1
2
P(X)
Как мы видим, правила игры созданы так, что с повышением вероятности
того, что произойдёт определённое событие, уменьшается ставка на это
событие, при этом математическое ожидание остаётся неизменным.
18
Игровые автоматы
Всегда играй честно,
если все козыри у тебя на
руках.
Оскар Уайльд
Прошло почти четыре года с тех пор, как были закрыты все игорные
заведения на почти всей территории Российской Федерации. Сейчас игровые
автоматы не встретишь ни в торговых ни в развлекательных центрах, а ведь
ещё совсем недавно они стояли прямо на улицах.
Попробуем разобраться был ли шанс
разбогатеть играя на них.
О правилах:
Стоимость одной игры составляла пять
рублей. Выигрыш варьировался в зависимости от
комбинации трёх цифр на игровом табло.
Величина выигрыша равнялась произведению
пяти рублей и количеству монет указанному в
таблице.
Например, 444=50 обозначает, что при выпадении числа 444 ваш
выигрыш составит 50 пятачков.
Рассчитаем вероятность выпадения каждой комбинации. При расчётах
будем исходить из того, что выпадение любой из цифр равновероятно.
Посчитаем вероятность выпадения трёх одинаковых цифр:
Вероятность выпадения двух одинаковых цифр в схемах Y00 и Y77 равна:
19
Расклад вида YY0 и YY7 означает, что второй цифрой не может стоять 0 и
7 соответственно (так как это приведёт к появлению других комбинаций), а
первая цифра может быть вообще любой, отсюда:
Сведём в таблицу сумму и вероятность выигрыша
X
5
10
25
50
75
75
100
P
0,09
0,09
0,009
0,009
0,001
0,001
0,001
X
100
125
125
250
250
500
1000
P
0,001
0,001
0,001
0,001
0,001
0,001
0,001
И посчитаем математическое ожидание выигрыша:
В результате мы видим, что мат ожидание выигрыша меньше пяти
рублей, хотя и ненамного, что делает игру обоснованной при однократном
испытании, но при продолжительной игре результат будет уже просто
удручающим. Так что заработать на такой игре вряд ли удастся.
20
21
Заключение
Каждому человеку в
течение дня предоставляется
не менее десяти
возможностей изменить свою
жизнь. Успех приходит к
тому, кто умеет их
использовать.
А.Моруа
Теория вероятности, как и игры, пришли к нам из глубины веков. Людей
всегда волновал их шанс на удачу. Но как показали проведённые исследования
вариантов выиграть в представленные игры немного, а пытаться зарабатывать
игрой ещё и глупо. Тем не менее, миллионы людей во всём мире пытаются это
сделать.
22
Список используемой литературы
 Колмогоров А. Н. Журбенко И. Г. Прохоров А. В. Введение в теорию
вероятностей –М.: Наука 1982 г
 Лютикас В. С. Школьнику о теории вероятностей –М.: Просвещение 1983 г
 Тарасов Л. В. Закономерности окружающего мира –М.: Физматлит 2004 г
 Сайт ru.wikipedia.org
 Ресурсы сети internet
23