кинематический анализ шагового механизма с гибкой связью

Кинематический анализ шагового механизма с гибкой связью
УДК 621.01
И.И. ВУЛЬФСОН, М.В. ПРЕОБРАЖЕНСКАЯ
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ШАГОВОГО МЕХАНИЗМА
С ГИБКОЙ СВЯЗЬЮ
1. Вводные замечания
Цикловые механизмы могут быть условно разделены на две группы – реверсивные
и нереверсивные – в зависимости от того, меняется ли на протяжении кинематического
цикла знак первой передаточной функции выходного звена [1]. К нереверсивным цикловым механизмам относятся так называемые шаговые механизмы (мальтийские, храповые
и т.п.), у которых среднее значение первой геометрической передаточной функции отличается от нуля. При этом в каждом цикле происходит смещение выходного звена на один
шаг. Обычно подобные механизмы используются в качестве транспортирующих устройств для перемещения материала в зону технологической обработки машины. Примером подобного механизма может служить механизм транспортирования ткани швейной
машины.
В качестве объекта динамического анализа эти механизмы следует отнести к классу
механизмов переменной структуры. К этому классу относят такие механизмы, у которых
в процессе движения скачкообразно изменяется число степеней свободы. Строго говоря,
все механизмы при учете упругости звеньев и зазоров являются механизмами переменной структуры. Однако во многих случаях структура может изменяться вследствие распадения исходной системы на автономные, что при этом заложено в самой схеме механизма, с последующим восстановлением исходной кинематической цепи. Подробная
классификация механизмов переменной структуры приведена в монографии [2].
Ниже приводится кинематический анализ оригинального шагового механизма с
гибкой связью для преобразования непрерывного вращательного движения во вращательное движение с остановками, предложенный А.С. Погосяном [3]. Упоминание об
этом механизме имеется в работе [2], однако его кинематический анализ в литературе не
обнаружен. Кроме того, в исходной схеме, предложенной в [3], фигурирует один ведущий кривошип, что соответствует перемещению выходного звена на один шаг за период
оборота входного звена. Приведенный ниже анализ соответствует более общему случаю,
когда число ведущих кривошипов больше одного.
2. Механизм с одним кривошипом
На риc. 1 изображена схема механизма, входным звеном которого является кривошип 2 с роликом 3, а выходным – шкив 1, свободно установленный на оси кривошипа.
Гибкое звено 4, в качестве которого может быть использован плоский ремень, зубчатый
ремень, цепь и т.п., имеет непрерывный кинематический контакт со шкивом, причем одним своим концом прикреплен к упругому элементу 5, а другим – к стойке. (Ниже для
краткости для гибкого звена будет использован термин «ремень», а для упругого элемента – «пружина»). При вращении кривошипа против часовой стрелки зона контакта между
ремнем и шкивом может располагаться по ходу вращения кривошипа до и после контакта ремня с роликом. Очевидно, что в первом случае шкив неподвижен, так как окружная
скорость точки А0 равна нулю. Однако, как только ролик коснется ремня, начнется деформация пружины, что приведет к вращению шкива по часовой стрелке. Это будет продолжаться до тех пор, пока снова не появится контакт между ремнем и шкивом справа.
При этом ремень остановит шкив, и вращение его прекратится до тех пор, пока кривошип
не повернется на целый оборот (от начала движения), после чего начнется новый цикл
движения. Таким образом осуществляется прерывистое движение шкива.
Теория Механизмов и Машин. 2006. №2. Том 4.
23
Кинематика механизмов
На рис. 1 приняты следующие условные обозначения: R0 – радиус шкива, r − радиус ролика, R1 − длина кривошипа, X 0 − абсцисса точки закрепления ремня на стойке (начало осей координат совмещено с центром вращения шкива), l1 − текущая длина правой
ветви ремня между стойкой и точкой касания с роликом, l10 − длина правой ветви ремня
между стойкой и точкой касания с роликом в начальном положении, l2 − длина ремня
между точками касания со шкивом и с роликом. ϕ1 − угол поворота кривошипа, отсчитываемый от вертикали против часовой стрелки, ϕ 20 − угол наклона ремня в начальном положении (I), ϕ 2 − текущий угол наклона ремня.
Рис. 1. Механизм с прерывистым движением ведомого звена.
Угол β определяет зависимость между диаметрами шкива и ролика и длиной кривошипа: β = arcsin( R0 − r ) / R1 , l2 = R1 cos( β ) − длина ветви ремня между роликом и
шкивом.
Разобьем цикл движения водила на четыре участка, после чего проведем кинематический анализ механизма на каждом из участков. При этом воспользуемся допущением
об отсутствии проскальзывания между ремнем и шкивом, которое с достаточным основанием может быть практически реализовано при применении зубчатых ремней и цепной
передачи.
Первый участок: движение от начального положения I, когда ремень одновременно касается и ролика и шкива, до момента, когда ролик окажется в верхнем положении и
ремень справа снова коснется шкива. На этом участке ремень «вытягивается» и поворачивает шкив. Границы первого участка движения изображены на рис. 2. Участок расположен между положениями кривошипа 1 и 2.
Уравнения для этого участка в проекциях на координатные оси:
R1 sin ϕ1 + r sin ϕ2 − X 0 = l1 cos ϕ 2 , 

L − R1⋅ cos ϕ 1 −r cos ϕ 2 = l1 sin ϕ 2 . 
24
(1)
http://tmm.spbstu.ru
Кинематический анализ шагового механизма с гибкой связью
После исключения неизвестной
l1
получаем
Рис. 2. Границы первого участка
A(ϕ1 ) sin ϕ 2 + B (ϕ1 ) cos ϕ 2 = r ,
(2)
где A(ϕ1 ) = X 0 − R1 sin ϕ1 и B (ϕ1 ) = L − R1 cos ϕ1 .
Пусть
A(ϕ1 )
= tgγ .
B(ϕ1 )
(3)
cos(ϕ 2 − γ ) = r cos γ / B(ϕ1 ) .
(4)
Тогда
Решая это уравнение относительно ϕ2 , получаем


r
cos γ  + γ .
 B(ϕ1 )

ϕ 2 = arccos 
(5)
Из второго уравнения системы уравнений (1) находим длину ветви ремня l1 :
l1 = ( L − R1 cos ϕ1 − r cos ϕ 2 ) / sin ϕ 2 .
Длина ветви ремня l10 при начальном положении кривошипа ϕ 2 = ϕ 20 равна
Теория Механизмов и Машин. 2006. №2. Том 4.
25
Кинематика механизмов
l10 = ( L − R0 cos ϕ 20 ) / sin ϕ 20 .
Угол поворота шкива определяется деформацией пружины
ϕ = ∆L R0 ,
(6)
где ∆L = L0 − LT , L0 − начальное значение длины ремня, LT − текущее значение «длины
ремня» (здесь и ниже для краткости под этим термином будем понимать суммарную длину недеформируемого ремня и деформации пружины).
После элементарных выкладок получаем
∆L = l1 + l2 + r (ϕ1 − ϕ2 − β − π / 2) − l10 − R0 ⋅ (ϕ1 − β − ϕ20 + π / 2) .
(7)
Далее определим первую передаточную функцию ϕ ′ = dϕ / dϕ1 ; при этом
ϕ ′ = ∆L′ R0 ,
где ∆L′ = d (∆L) / dϕ1 = l1′ + r (1 − ϕ 2′ ) − R0 .
После дифференцирования системы уравнений (1) по ϕ1 получаем систему линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными l1′ и ϕ 2′ :
a11ϕ 2′ + a12l1′ = b1 , 

a21ϕ 2′ + a22l1′ = b2 , 
(8)
где
a11 = r cos ϕ 2 + l1 sin ϕ 2 , a12 = − cos ϕ 2 ,
a21 = r sin ϕ 2 − l1 cos ϕ 2 , a22 = − sin ϕ 2 ,
b1 = − R1 cos ϕ1 , b2 = − R1 sin ϕ1 .
Система уравнений для определения вторых передаточных функций l1′′ и ϕ 2′′ имеет
вид:
a11ϕ 2′′ + a12l1′′ = b3 ; 

a21ϕ 2′′ + a22l1′′ = b4 , 
(9)
где
b3 = R1 sin ϕ1 + (r sin ϕ 2 − l1 cos ϕ 2 )(ϕ 2′ ) 2 − 2l1′ sin ϕ 2ϕ 2′ ,
26
http://tmm.spbstu.ru
Кинематический анализ шагового механизма с гибкой связью
b4 − R1 cos ϕ1 − (r cos ϕ 2 + l1 sin ϕ 2 )(ϕ 2′ ) 2 + 2l1′ cos ϕ 2ϕ 2′ .
На основании (8), (9) находим вторую передаточную функцию механизма
ϕ ′′ = ∆L′′ R0 = (l1′′− rϕ2′′) / R0 .
(10)
Второй участок: движение кривошипа до момента, когда ремень слева перестанет
касаться шкива. На этом участке шкив неподвижен, а деформация пружины максимальна. Границы второго участка движения изображены на рис. 3. Второй участок движения
кривошипа расположен между положениями 1 и 2. Определим длину ремня на этом участке.
Рис. 3. Границы второго участка
Можно показать, что дуга охвата шкива ремнем равна ∪ AB = r (3π / 2 − ϕ 20 ) . При
этом текущее значение длины ремня
LT = l10 + 2l2 + r (3π / 2 − β ) + R0 (π / 2 − ϕ 20 + 2 β ) + L ,
а деформация пружины на этом участке после некоторых преобразований определяется
как
∆L = R0 (π − 2 β ) − 2l2 − r (3π / 2 − ϕ 20 ) .
Третий участок: движение кривошипа до момента, когда ролик перестанет касаться ремня. На этом участке деформация пружины уменьшается до исходной минимальной
величины. При этом шкив неподвижен, так как удерживается прилегающей к нему неподвижной частью ремня на дуге AA0 . но длина ремня LT переменна.
Границы третьего участка движения изображены на рис. 4. На этом участке кривошип перемещается из положения 1 в положение 2. Длина LT определяется следующим
образом:
LT = O1 A + ∪ AA0 + A0 B + ∪ BC + CO2 .
Для определения расстояния CO2 составим систему уравнений для механизма в
проекциях на координатные оси
Теория Механизмов и Машин. 2006. №2. Том 4.
27
Кинематика механизмов
R1 sin ϕ1 + r sin ϕ3 + R0 = l3 cos ϕ3 , 

L − R1⋅ cos ϕ 1 − r cos ϕ3 = l3 sin ϕ3 . 
(11)
Рис. 4. Границы третьего участка
Исключив из системы уравнений (11) неизвестную l3 , после преобразований получаем
A(ϕ1 ) sin ϕ 3 + B(ϕ1 ) cos ϕ 3 + r = 0 ,
(12)
где A(ϕ1 ) = − R0 − R1 sin ϕ1 , а B (ϕ1 ) = L − R1 cos(ϕ1 ) .
Из уравнения (12) после некоторых преобразований, с учетом (4), аналогично алгоритму на первом участке, получаем выражение для угла ϕ3 :
ϕ3 = π − arccos(r cos γ / B(ϕ1 )) + γ .
(13)
Значение LT теперь определяются зависимостью:
LT = l10 + ∪ AA0 + l2 + ∪ BC + l3 ,
где длина дуги ∪ AA0 = ϕ1 + β − ϕ 20 − π / 2 , а длина дуги ∪ BC = ϕ 3 − ϕ1 − β + 3π / 2 .
Тогда
LT = l10 + R0 (ϕ1 + β − ϕ 20 − π / 2) + l2 + r (ϕ 3 − ϕ1 − β + 3π / 2) + l3 ,
где длина участка ремня l3 определяется из второго уравнения системы (11):
l3 = ( L − R1 cos ϕ1 − r cos ϕ 3 ) sin ϕ 3 .
28
(14)
http://tmm.spbstu.ru
Кинематический анализ шагового механизма с гибкой связью
Четвертый участок: движение кривошипа до начального положения. Ролик не касается ремня. Шкив неподвижен. Границы четвертого участка движения изображены на
рис. 5
Рис. 5. Границы четвертого участка
На четвертом участке шкив неподвижен, а деформация пружины равна исходной.
3. Механизм с двумя кривошипами
Механизм с двумя кривошипами изображен на рис. 6.
Рис. 6. Механизм с двумя кривошипами
Механизм с двумя кривошипами позволяет реализовать два цикла движения шкива
за один оборот кривошипа. Так же, как и для механизма с одним кривошипом, рассматриваем его движение по участкам. Разница лишь в том, что одновременно проходятся два
участка, сдвинутые друг относительно друга на угол π (нумерация участков соответствует.
Первый участок ограничен положениями, изображенными на рис. 7, а, б. Движение шкива осуществляется за счет кривошипа 1. В это время второй кривошип находится
на третьем участке (см. раздел 2) и играет пассивную роль. При повороте кривошипа
на угол π к первому участку подойдет кривошип 2, после чего цикл повторится.
Алгоритм расчета кинематических функций остается практически таким же, как и с
одним кривошипом, только вместо угла ϕ1 вводится угол ϕ11 :
ϕ11 = ϕ1 − 2π (i − 1) / 2 ,
Теория Механизмов и Машин. 2006. №2. Том 4.
(15)
29
Кинематика механизмов
где i – номер кривошипа, проходящего через рассматриваемый участок, а угол ϕ11 – угол
поворота i -того кривошипа.
Формулы для угла наклона правой ветви ремня ϕ 2 (5) и угла поворота шкива (6)
остаются без изменения. Длина ремня изменяется, так как она зависит от положения i того кривошипа.
а)
б)
Рис. 7. Начало (a) и конец (б) первого участка
Полная длина ремня на первом участке:
LT = l1 + ∪ AB + l2 + ∪CD + l2 + ∪ EF + l3 ,
где ∪ AB = r (ϕ11 − β − (ϕ 2 − π / 2) ) , ∪CD = 2 R0 β и ∪ EF = r (ϕ 3 − ϕ11 − β − π / 2) .
Угол ϕ3 определяется так же, как и на третьем участке движения механизма с одним кривошипом (13) с заменой угла ϕ1 на угол ϕ11 (15). Длина ветви l3 определяется
зависимостью (14) с: заменой угла ϕ1 на угол ϕ11 .
Для определения первой и второй передаточных функции решаются системы уравнений (8) и (9), в которых угол ϕ1 заменяется углом ϕ11 .
Второй участок определяется границами, показанными на рис. 8.
а)
б)
Рис. 8. Начало (a) и конец (б) второго участка
30
http://tmm.spbstu.ru
Кинематический анализ шагового механизма с гибкой связью
Второй кривошип в это время находится на участке 4 (см. раздел 2). Шкив неподвижен. Длина ремня на протяжении этого участка постоянна и равна
LT = l10 + 2l2 + ∪ BC + ∪ DE + L ,
где ∪ BC = r (π − 2 β ) ,
∪ DE = R0 (π − (ϕ 20 − π / 2) − (π − 2 β ) ) = R0 (π / 2 − ϕ 20 + 2 β ) .
Третий участок определяется границами, показанными на рис. 9.
а)
б)
Рис 9. Начало (a) и конец (б) третьего участка
Кинематические характеристики соответствует алгоритму первого участка, но для
угла поворота кривошипа ϕ11 = ϕ1 + π .
Четвертый участок. Границы участка 4 показаны на рис. 10. За то время, пока первый кривошип проходит участок 4, он не оказывает влияния на движение шкива. Второй
кривошип в это время проходит через три участка. Шкив продолжает двигаться до тех
пор, пока угол ϕ11 < ϕ 20 − β . Длина ремня на этом участке движения второго кривошипа
постоянна. Третий участок для второго кривошипа начнется тогда, когда ϕ11 > π / 2 + β .
На этом участке шкив неподвижен, но длина ремня переменна.
а)
б)
Рис. 10. Начало (a) и конец (б) четвертого участка
Теория Механизмов и Машин. 2006. №2. Том 4.
31
Кинематика механизмов
Приведенный алгоритм позволяет проводить кинематический расчет механизма с
произвольным числом кривошипов. Однако при числе кривошипов, больше двух, движение шкива обеспечивается только при определенном соотношении между числом кривошипов, их длиной и радиусом роликов т.е. при
R1 ≤ R1max =
( R0 − r )
,
cos(π n)
− максимально допустимая длина кривошипа, R и r − радиусы шкива и
n − число кривошипов. При длине кривошипа, превышающей максимально до-
где R1max
0
ролика,
пустимую, ремень не будет касаться шкива и произойдет размыкание кинематической
цепи.
4. Описание программы для расчета механизма
с произвольным числом кривошипов
В соответствии с приведенным выше алгоритмом была разработана программа для
ЭВМ на алгоритмическом языке Visual C++.
Программа интерактивна. Она позволяет проводить исследование кинематики механизма с произвольным числом кривошипов. Управление программой производится с
помощью мыши и кнопок. Не останавливая программы, можно изменять количество кривошипов, их длину, диаметр шкива и ролика, изменять угол наклона закрепленной (правой) ветви ремня.
На рис. 11 представлены графики передаточных функций для механизма с одним и
двумя кривошипами.
На рис. 12 приведен вид с экрана монитора для механизма с тремя кривошипами.
В левой части экрана расположена анимация работающего механизма, в правой –
графики передаточных функций.
В верхней части экрана выведены параметры механизма, которые можно менять в
процессе работы программы. Для их изменения следует щелкнуть левой кнопкой мыши
на нужном параметре, и затем увеличить, или уменьшить его с помощью кнопок <+> или
<–>. Изменить параметры можно также с помощью редактора данных.
В нижней части экрана расположены кнопки управления программой:
1 – автоматическая загрузка стандартного файла данных (без выбора файла); 2 –
выбор загружаемого файла данных; 3 – редактирование данных; 4 – запуск и остановка
анимации механизма; 6 – установка максимально допустимой длины водила; 7 – увеличение изменяемого параметра; 8 – уменьшение изменяемого параметра; 9 – возврат к исходным данным; 10 – сохранение данных; 12 – вывод информации на печать; 13 – помощь.
В заключении отметим, что рассмотренный вид шагового механизма может оказаться неконкурентоспособным для высокоскоростных передач из-за и неблагоприятных
динамических условий, связанных с ударами на границах рассмотренных участков. Тем
не менее этот механизм представляет определенный интерес из-за простоты конструктивного решения.
32
http://tmm.spbstu.ru
Кинематический анализ шагового механизма с гибкой связью
Рис. 11. Графики передаточных функций для механизма с одним и двумя кривошипами.
Теория Механизмов и Машин. 2006. №2. Том 4.
33
Кинематика механизмов
Рис. 12. Вид с экрана монитора
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вульфсон И.И. Колебания машин с механизмами циклового действия. – Л.: Машиностроение, 1990. - 309 с.
2. Антонюк Е.Я. Динамика механизмов переменной структуры. – Киев: Наукова
думка, 1988. - 184 с.
3. А.С. 371371 СССР, МКИ F 16h 19/00/. Механизм для преобразования непрерывного вращательного движения во вращательное движение с остановками /А.С.
Погосян // Открытия. Изобретения. 1973. – №12.- С.103.
Поступила в редакцию 14.03.2006
34
http://tmm.spbstu.ru