- EcoPlant

Модуль 1. Предмет «Динамические модели в биологии»
Лекция 1. Введение в предмет
Введение
Биология как наука о живой природе сформировалась гораздо позже наук о неживой природе
— физике, химии, геологии, математики и др. Ее историческое развитие требовало, чтобы
простейшее в ней предшествовало более сложному. Поэтому на первом этапе (особенно в
ботанике и зоологии) преобладали исследования наблюдательного и описательного
характера.
Разработка
физиологического
направления
в
биологии
потребовало
соответствующих знаний по физике и химии уже на элементарном уровне физиологических
исследования живых объектов. Теоретический же уровень изучения биологических объектов,
задачей которого является познание сущности жизни, немыслим без знаний физических и
химических законов и закономерностей. Согласно диалектическому материализму эволюция
материи является главной сущностью жизни, которая выражается в виде развития от
физической формы движения материи к химической, а она, в свою очередь, к биологической
на основе универсальных законов развития.
Часть А. Предмет, методы и задачи
Предметом изучения дисциплины «Динамические модели в биологии» является определение
законов развития живые систем. При этом главное внимание обращается на связь между
биологическими явлениями и аналогичными процессами в физике и химии, которые
описываться при помощи математического аппарата для дальнейшего построения идеальной
модели.
Модель — это объект любой природы, умозрительный или материально реализованный,
который воспроизводит явление, процесс или систему с целью их исследования или
изучения.
Моделирование — метод исследования явлений, процессов и систем, основанный на
построении и изучении их моделей.
٠1٠
Математическое моделирование биологических объектов представляет собой описание
идеализированных процессов и систем, адекватных реальным. Конечно, идеальных систем и
процессов в природе не существует, однако, полученные в результате моделирования данные
в известных пределах можно применить к реальным процессам и системам, так как они
имеют общие свойства с идеальными. Математические модели строят на либо на основе
экспериментальных данных, либо умозрительно, использую гипотезу или известную
закономерность какого-либо явления. При этом математическое моделирование требует
последующий опытной проверки.
На сегодняшний день моделирование в биологии развивается весьма бурно за счет
использования в математических расчетах ресурсы ЭВМ. Построения математических
моделей используется при планировании биотехнологического производства, борьбы с
вредителями сельского хозяйства и рыбный промысла, расчетов поведения лекарственных
средств в биологических средах, тканях и органов, при мониторинге изменений структуры
сообщества и целых экосистем.
К главной задаче моделирования биологических систем можно отнести создание моделей
позволяющих прогнозировать развитие биологических систем разного уровня организации
(от физических и биохимиских процессов происходящих в клетке до смены целых
экосистем).
Методы моделирования в биологии заимствованы из других дисциплин. Из химиии химическая кинетика; из физики - теория регулирования (клетка — как триггер, имеющий
дискретный набор устойчивых состояний); из математики — качественная теория
дифференциальных уравнений (словом «качественная» подчеркивается, что главное
внимание в этой теории обращается на качественную, а не количественную сторону
результата). Наряду с изложенными методами и на их основе в моделировании
биологических процессов
возникли свои приемы и принципы, отражающие специфику
биологических систем.
Направление развития принципов биологического моделироания можно свести к цели,
которую сформулировал еще Ньютон: «Объяснить как можно большее количество фактов как
можно меньшим числом исходных положений». Отсюда следует, что по мере приближения
٠2٠
теории к идеалу число принципов (и постулатов) должно сокращаться. Современные модели
в биологии основываются на результатах теоретической биологии, которая, в свою очередь,
основывается на три постулата.
Основные постулаты современной биологии
Постулат первый. Экономия энергии.
Мысль о том, что «природа всегда действует простейшим образом» (И.Бернулли),
чрезвычайна стара и послужила источником многих научных идей и методологических
приемов. Так, И.Ньютон в «Началах» говорит: «Природа
ничего не делает напрасно...
Природа проста и роскошествует излишними причинами вещей». Вскоре идея «экономии»
получила воплощение в развитии экстремальных принципов как в физики (напр. принцип
Ферра, принцип наименьшего действия Мопертюи), так и биологии — принцип экономии
энергии: U=min.
На основе принципа экономии энергии Н.Рашевский сформулировал принцип оптимальной
конструкции: «организм имеет оптимально возможную конструкцию по отношению к
экономии используемого материала и расходуемой энергии, необходимых для выполнения
заданных функций».
Используя этот принцип биофизикам удалось получить целый ряд
конкретных моделей, который описывают строение кровеносной системы организмов,
формы туловища, конструкции ног, деления клеток и даже поведения. Действительно если
изучить тропы зверей, то обнаружиться, что они проложены по кратчайшему пути в целях
экономии энергии. Организация летящей стаи журавлей — клин — тоже следствие экономии
энергии, каждая птица летит в зоне наименьшего сопротивления, создаваемой волной от
предыдущей птицы.
Однако, в природе существует множество примеров, когда принцип экономии энергии
нарушается и поведение организма подчиняется какому-то другому принципу. Например, в
опытах П. Кроукрофта, землеройка на пути к кормушке должна была прыгать через
препятствие. Потом препятствие убрали, но землеройка, добежав до этого места, все равно
продолжала прыгать. Данный феномен можно объяснить за счет действия условного
рефлекса или памяти, но только не экономией энергии. С точки зрения экономии энергии эти
прыжки - чистый убыток, хотя возможно, организм предпочитает выполнять то действие,
٠3٠
которое в прошлом приносило успех, так как не надо заново тратить ресурсы для
перестройки системы поведения.
Таким образом, принцип экономии энергии не является универсальным, имеет ограниченный
характер, и явно просматривается только тогда, когда отсекаются другие принципы.
Принцип второй. Максимум энтропии.
Энтропи́я (от греч. ἐντροπία — поворот, превращение) — мера беспорядка системы,
состоящей из многих элементов. Энтропия впервые введена Р.Клаузиусом в термодинамике в
1865 году для определения меры необратимого рассеивания энергии, меры отклонения
реального процесса от идеального
dS = δQ / T (1), где
dS - приращение энтропии,
δQ - минимальная теплота подведенная к системе,
T - абсолютная температура процесса;
Энтропию можно определить как меру неопределенности или как меру разнообразия
возможных состояний системы. С энтропией тесно связано другое понятие — число
степеней свободы — число независимых переменных, которыми описывается состояние
системы. Например, одноатомная молекула газа имеет три пространственные степени
свободы (x, y, z), две молекулы — шесть степеней свободы. Но если между этими
молекулами возникает связь, например, если они объединяться в одну двухатомную
молекулу, то число степеней свободы у атомов уменьшиться до пяти.
Принцип максима энтропии можно выразить в виде следующей формулы:
H (X) = Σ p(xi) log (1/p (xi)) = max p (xi), где
H (X) — энтропия состояния
p (xi) — вероятность различных состояний.
Как правило, максимум энтропии является условным, так как всегда есть ограничивающие
٠4٠
факторы, препятствующие бесконечному росту энтропии (энергия, вещество, время,
пространство и т.д.).
U (X) = Σ p(xi) U(xi) < const., где
U(xi) – количество ресурсов.
С учетом ограничивающих факторов принцип максимума можно записать в следующем виде:
H(x) = β U(X) = max p (xi), где
β — множитель Лангранжа, который позволяет оба слагаемых в выражении к единой
размерности. Кроме того, он определяет относительный вес и важность второго слагаемого U(X) — дефицита ресурсов. Например, если запас ресурсов небольшой, то множитель
Лангранжа будет большим, а это значит, что система будет экономить ресурсы. В
подтверждение к сказанному можно отнести сравнение числа мышей и слонов в ареале, чем
больше масса особи вида, тем реже этот вид встречается в системе.
Принцип максимума информации
В процессе переработки информации, информация должна передаваться и обрабатываться с
наименьшими затратами, за кратчайшее время, при наименьшем уровне помех и наилучшей
кодировке.
Таким образом, исследователь при построении/создании модели, которая будет описывать
биологические процессы или системы должен учитывать три принципа биологических
систем (принцип экономии энергии, принцип максимума энтропии и принцип максимума
информации). Кроме этого, при построении модели, сама модель должна соблюдать три
принципа.
Принцип простоты.
Принцип разделения членов системы во времени или в пространстве.
Принцип синхронизации различных автоколебательных процессов в живых объектах.
Часть Б. Классификация математических моделей биологических систем
٠5٠
Современные математические модели биологических продукционных процессов можно
разбить на три класса. Первые два не слишком громоздкие, поддающиеся качественному или
аналитическому исследованию:
Первый - описательные модели: регрессионные и другие эмпирически установленные
количественные зависимости, не претендующие на раскрытие механизма описываемого
процесса.
Второй - модели качественные, которые строятся с целью выяснения динамического
механизма изучаемого процесса, способные воспроизвести наблюдаемые динамические
эффекты в поведении систем, такие, например, как колебательный характер
изменения
биомассы или образование неоднородной в пространстве структуры.
Третий класс - имитационные модели конкретных сложных живых систем, учитывающие
всю имеющуюся информацию об объекте. Цель построения таких моделей - детальное
прогнозирование поведения сложных систем или решение оптимизационной задачи их
эксплуатации.
Суть имитационного моделирования заключается в исследовании сложной математической
модели с помощью вычислительных экспериментов и обработки результатов этих
экспериментов. При этом, как правило, создатели имитационной модели пытаются
максимально использовать всю имеющуюся информацию об объекте моделирования, как
количественную, так и качественную. Особенно привлекательным оказалось применение
имитационных моделей для описания экологических систем - необычайно сложных
образований, включающих множество биологических, геологических, метеорологических и
прочих факторов.
Благодаря возможности проигрывать различные "сценарии" поведения и управления
имитационная модель может быть успешно использована для выбора оптимальной стратегии
эксплуатации природной или оптимального способа создания искусственной экосистемы.
Следуя Горстко и др. (1984), наметим основные этапы построения имитационной модели.
Этап 1. Формулируются основные вопросы о поведении сложной системы, ответы на
٠6٠
которые мы хотели бы получить. В соответствии с задачами моделирования задается вектор
состояния системы. Вводится системное время, моделирующее ход времени в реальной
системе. Временной шаг модели также определяется целями моделирования.
Этап 2. Производится декомпозиция системы на отдельные блоки, связанные друг с другом,
но обладающие относительной независимостью. Для каждого блока определяют, какие
компоненты вектора состояния должны преобразовываться в процессе его функционир
ования.
Этап 3. Формулируют законы и гипотезы, определяющие поведение отдельных блоков и
связь этих блоков друг с другом. Для каждого блока множество законов функционирования
дополняется множеством логических операторов, формализующих опыт наблюдения за
динамикой процессов в системе. При необходимости вводится "внутреннее системное время"
данного блока модели, позволяющее моделировать более быстрые процессы. Если в блоке
используются случайные параметры, задаются правила отыскания на каждом шаге
некоторых их реализаций. Разрабатываются программы, соответствующие отдельным
блокам.
Этап 4. Каждый блок верифицируется по фактическим данным, и при этом его
информационные связи с другими блоками "замораживаются", или линеаризуются. Обычно
последовательность
действий
при
верификации
блоков
такова:
часть
имеющейся
информации используется для оценки параметров модели, а затем по оставшейся части
информации сравнением расчетных данных с фактическими проверяется адекватность
модели.
Этап 5. Производится объединение разработанных блоков имитационной модели на базе
стандартного или специально созданного математического обеспечения. Апробируются и
отрабатываются различные схемы взаимодействия блоков. На этом этапе всю "большую
модель" удобно рассматривать как комплекс автоматов с памятью или без нее,
детерминированных или стохастических. Работа с моделью тогда представляет собой
изучение с помощью ЭВМ коллективного поведения автоматов в случайной или
детерминированной среде.
Этап 6. Производятся верификация имитационной модели в целом и проверка ее
٠7٠
адекватности. Этот процесс еще менее может быть формализован, чем верификация
отдельных блоков. Здесь решащими оказываются знания экспертов - специалистов, хорошо
знающих реальную систему.
Этап 7. Планируются эксперименты с моделью. При анализе их результатов используются
статистическая обработка информации, графические формы выдачи данных и пр. Результаты
экспериментов пополняют информационный фонд (банк данных) и используются при
дальнейшей работе с моделью.
Часть В. История создания моделей биологических систем
Историю развития использования моделй и математического подхода в биологии можно
разбить на четыре этапа.
Этап 1. Использование дискретных математических вычислений. Первая дошедшая до нас
математическая модель динамики популяции приводится в опубликованном в 1202 г.
"Трактате о счете" Леонардо из Пизы, известного по прозвищу Фибоначчи (сын Боначчи). В
этой книге, рассматривается задача о том, сколько пар кроликов рождается каждый месяц от
одной пары, если через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рожают
кролики со второго месяца после своего рождения. Решением задачи является ряд чисел: 1, 1,
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,.... Два первых числа соответствуют началу
размножения, 12 последующих -месячному приросту поголовья кроликов. Каждый
последующий член ряда равен сумме предыдущих. Этот ряд вошел в историю под именем
ряда Фибоначчи, а его члены - чисел Фибоначчи. Это была первая дошедшая до нас модель
биологического процесса.
Первая "непрерывная" модель динамики роста популяции принадлежит Т. Мальтусу (1798),
следующей была "логистическая" модель Ферхюльста (1838), описывающая эффект
"насыщения". К настоящему времени существует много самых различных дискретных и
непрерывных детерминистических и стохастических популяционных моделей, некоторые из
них вы рассмотрите в последующих лекциях.
Этап 2. Построение описательных моделей. На этом этапе можно отнести исследования,
посвященные математическим моделям биологических процессов, принадлежат Лотке,
٠8٠
Вольтерра, Ван-дер-Поля и других не менее выдающихся ученых. Лотке создал уравнение в
которой вывел коэффициента естественного прироста замкнутого населения с постоянным
порядком вымирания и деторождения.Вольтерр предложил модель сосуществования видов,
Ван-дер-Поль—модель сердца, Тьюринг предложил автоколебательную модель и исследовал
ее поведение в пространстве. В дальнейшем математические модели заняли прочное место в
микробиологии: работы Моно, Новика и Сцилларда, которые позволили описать
закономерности роста популяций одноклеточных организмов.
Этап 3. Моделирование сложных живых систем. Этот вид моделирования в биологии
начался с середины шестидесятых годов. В шестидесятых годах были открыты системы
регуляции роста и развития клетке. Первоначально, на этом этапе делались попытки связать
биологические явления с физическими процессами (конечно еще в новое время был развит
механицизм, однако здесь мы говорим о применении некоторых физические законов в
биологических и биохимических процессах). Однако не всегда модель в которой
учитываються лишь физические факторы может достоверно описать биолоческий процесс.
Так, А. Г. Гурвич пытался применить аппарат теории поля к процессам морфогенеза и
рассматреть деления клетки как простое разбухание ее, влекущее за собой нарушение
механического равновесия, проделанная работа оказалась неудачной.
Этап 4. Моделирование сообществ и целых экосистем. Математическое моделирование для
прогнозирования процессов в происходящих в биосестемах. Такой вид моделирования стал
востребован в результате влияния
человека на все процессы биосферы и создание им
ноосферы.
Модель Мир-1 (2) и (3).
Модель Мир рассматривает человека как природопользователя. Этот подход представлен в
ставших классическими работах супругов Даниелы и Денниса Медоузов и Й.Рандерса. Также
считается, к авторам разработанной модели может быть отнесен и Д.Форрестер.
Работы были начаты по поручению «Римского клуба» - международной неправительственной
группы выдающихся государственных деятелей, ученых, бизнесменов. Результаты в свое
время произвели в западном мире сенсацию, ибо большинство сценариев возможного
развития событий вели к результатам, которые можно назвать концом света (разумеется, с
٠9٠
точки зрения человечества). Вместе с тем авторы не раз подчеркивали, что речь идет не о
заведомо предопределенном будущем, а о выборе путей развития человечества, среди
которых есть и ведущие к стабильности.
В модели Мир-2 человек, ими был показан, как система, стоящая на потоке, превращающая
энергию высокого уровня (солнечную энергию, нефть) и ресурсы (древесину, полезные
ископаемые) в энергию низкого уровня.
Источники ресурсов имеют свои пределы и
человечество уже подошло к этим пределам, и из-за экспоненциального роста скоро эти
пределы перейдет. Выход за эти пределы грозит катастрофой, разрушением биосферы, а
вместе с этим и разрушением человечества в целом.
На основе таких рассуждений была сделана модель МИР-3, которая описывает стандартный
сценарий развития человечества. Согласно этой модели если ничего не будет предпринято в
ближайшее будущее, численность населения многократно упадет.
Если вложить в эту модель удвоенные значения пределов, то есть если у нас в 2 раза больше
ресурсов, чем мы сейчас думаем, и если у нас будут сверхмощные, безотходные технологии
переработки, картина принципиально не изменится, только сдвинется на 20-30 лет.
٠ 10 ٠