Математическое дополнение. Аппарат угловых моментов

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"
"
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5**%0*9/084.1
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&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& " Hφ "( = (φ "(
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H
G B B
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ) ! = B σ = 
H !  B G  H
G − %
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ) # = B σ = B 
H #
H  % G 
B G 
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ) $ = B σ = B 
H $
H  G − B
P
G 

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ) H = ) !H + ) #H + ) $H =  O
 G P 

O
B B
= M + BL χ
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ) H χ
B µ
B µ
H H
H
H
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ) $ χ
B
H
µ
= µχ
B µ
H
A$*5%/J9//&6#0*08C/56*/&"$/35%#+)/08/;
B
G
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& χ B B =   &&&&&&&&&&&&&&&&& χ B − B =  
H H
H H
 G
B
&& χ *µ &Q&5"80*$1
*
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A'5%@&'&0#5&8.//%54&585%/.#:&(#.8)@%*08#0&6*%*$*J& + = + B + + H :&"*3585%/.,&0/
+S#8.*3/J5%+'D%& 8& 3)4& 6#E3*J& "*3585%/.,& .*E0*& "*5%$*8%@& , HH & 8& , H $ & :& ,BH & 8
,B$ 1&&2?*S0#C8.&5*?5%+/00,/&5*T%*4084&"*3585%/.,;& χ B -B &8& χ H - H 1
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BL1& ,B -B
, H - H :& /5)8& & ,B : , H & K8658$*+#0*:& %*& "/$/?8$#/.& -B : - H :& #& C85)*
5*5%*408J&:&*"85,+#DI8-&585%/.'&5&W&?'3/%& MH ,B + BLMH , H + BL 1
R85%/.#&?'3/%&*"85,+#%@54&*"/$#%*$#.8&M6*..'%8$'DI8.8L;& + : ,BH : ,B$ : , HH : , H $ &1
HL1& N$'(*/& *"85#08/& %*J& E/& 585%/.,1& X,& 5%$*8.& "*)0,J& *"/$#%*$& '()*+*(*
.*./0%#&58T%/.,;
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& " % = , %B + ,% H &&&&&&&&& M% = !: #: $ L
Y*..'%#78*00,/&5**%0*9/084&+,"*)04D%541&N)4&*"/$#%*$#& " % &.*E0*&"*5%$*8%@
5*?5%+/00,/&5*5%*40841&2?*S0#C8.&8-& "(,B , H 1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& " H "(,B , H = , M , + BL "(,B , H
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& " $ "(,B , H = ( "(,B , H
Z%8&E/&5*5%*4084&4+)4D%54&5*?5%+/00,.8&3)4& ,BH 8& , HH 1&A*)0,J&0#?*$&*"/$#%*$*+
+*&+%*$*.&5)'C#/;& + : ,BH : , HH : " H : " $ 1
2"/$#%*$& ,B$ 0/&6*..'%8$'/%&5& " H 1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& = ,B$ : " H < ≠ G
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./-#08C/56*.&5.,5)/:&%161&*08&*"85,+#D%&*30'&585%/.':&%*&3*)E0,&?,%@&5+4S#0,
'08%#$0,.&"$/*?$#S*+#08/.;
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& "(,B , H = ∑ . ( ,B -B , H - H \ "( ) ,B -B , H - H
-B-H
. M ,B -B , H - H \ "( L Q&)*122&3&$/#4+5.$67"89*:,*/"1
250*+0,/&5+*J5%+#&6*VKK878/0%*+&Y)/?9#Q]*$3*0#1
B1& A$/*?$#S*+#08/& '08%#$0*/:& +/I/5%+/00*5%@&
"$/*?$#S*+#08/&5*+"#3#/%&5&*?$#%0,.1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ,B -B , H - H =
∑ .( , -
"(
B
6*VKK878/0%*+ ⇒ "$4.*/
, - H \ "( ) "(,B , H
B H
H1&2$%*0*$.8$*+#00*5%@1
&&&&&&&&#L1&&&&&& ∑ . ( ,B -B , H - H \ "( ) ⋅ . ( ,B -B , H - H \ " ′( ′) = δ "" ′δ (( ′
-B-H
′
′
δ
&&&&&&&&?L&&&&&&&&& ∑ . ( ,B -B , H - H \ "( ) ⋅ .  ,B -B , H - H \ "(  = δ
-B-B′ -H-H′


"(
P1&A$#+8)*&%$/'(*)@086#1&&&&&& ∆( ,B ,H " )
. M ,B -B , H - H \ "( L ≠ G &%*)@6*&%*(3#:&6*(3#& \ ,B − , H \≤ " ≤ ,B + , H &MA$#+8)*&*%?*$#L1
A$#+8)*&*%?*$#&"*&^&&&&&&&& ( = -B + - H
O1&R8../%$881
U+/3/.&0*+,J&58.+*)1
, −- − ,  , , , 
&&&&&&&&&&&&&&&&&&& . M ,B -B , H - H \ , P − -P L = H , P + BM−BL B P H  B H P 
--  B H P
&U,$#E/08/:&5%*4I//&+&56*?6#-:&0#S,+#/%54&&P_&`&58.+*)*.&8)8&)*122&3&$/#*%
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, +, +,  , , , 
 , , , 
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&  H B P  = M−BL B H P  B H P 
--  - H -B-P 
 B H P
?L1&A$8&C/%0*J&"/$/5%#0*+6/&&P_Q&58.+*)&0/&./04/%&08&+/)8C80,:&08&S0#C/084;
 , , ,   , , , 
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&  H P B  =  B H P  &Q&786)8C/56#4&"/$/5%#0*+6#&0/&./04/%&S0#6#1
--  - H -P -B   B H P 
&+L1&b5)8&'&+5/-&"$*/678J&&.*./0%*+&S#./08.&S0#68&0#&"$*%8+*"*)*E0,/:&%*
, +, +,  , , , 
,B , H , P


 = M−BL B H P  B H P 
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 

- - - 
 − -B − - H − -P 
 B H P
c5"*)@S'4& V%8& 5**%0*9/084:& .*E0*& '5%#0*+8%@& 5+*J5%+#& 58../%$88
6*VKK87/0%*+&Y)/?9#Q]*$3*0#1
d1& . M ,B G , H G \ , P GL ≠ G & %*)@6*& %*(3#:& 6*(3#& ,B + , H + , P = H/ & Q& C/%0*/& C85)*
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A'5%@& 8.//.& + = + B + + H + + P :6#E3#4& "*3585%/.#& *?)#3#/%& 5+*8.& '()*+,.
,BH & : ,B$ : , HH & :& , H $ ; ,PH & : ,P $ 1& A*56*)@6'& +S#8.*3/J5%+8/& ./E3'
"*3585%/.#.8& *%5'%5%+'/%:& .*E0*& "*5%$*8%@& "$*8S+/3/08 ,B -B , H -H , P -P & Q
V%*&5*?5%+/00,/&5*5%*4084&&"*)0*(*&0#?*$#&*"/$#%*$*+1
!1&&&&R-/.#&5)*E/0841
" "
"
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ,B + , H = , ′
"
" "
&&&&&&&&&&&&&&&&&f&&& , ′ + , P = "
.*./0%*.;
N)4& V%*J& 5-/.,& 5)*E/084& & "*)0,J& 0#?*$& 6*..'%8$'DI8-& *"/$#%*$*+; + :
,BH : , HH : ,PH : " H : " $ : M , ′L H :#&5**%+/%5%+'DI8/&5*?5%+/00,/&S0#C/084& "(,B , H , ′, P 0 1
g&&&&&&N$'(#4&5-/.#&5)*E/0841
" "
"
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& , H + , P = , ′′ 1
"
"
"
&&&&&&&&&&&&&&&&&f&&& , ′′ + ,B = "
A*)0,J& 0#?*$& 6*..'%8$'DI8-& *"/$#%*$*+;& + :& ,BH : , HH : ,PH : " H : " $ : M , ′′L H :& #
5**%+/%5%+'DI8/&5*?5%+/00,/&S0#C/084 "(, H , P , ′′,B 1 1
Z%8&3+#&"$/35%#+)/084&!&8&U&3*)E0,&?,%@&5+4S#0,&'08%#$0,.&"$/*?$#S*+#08/.:
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"(,B , H , ′, P 0 = ∑ (H , ′ + B) ⋅ (H , ′′ + B) ⋅ 2 ( ,B , H ",P \ , ′, ′′) ⋅ "(, H , P , ′′,B 1 1
,′′
Z%*&5**%0*9/08/&.*E0*&$#55.#%$8+#%@&6#6&*"$/3/)/08/&&)*122&3&$/#*=+>")"0
Y*VKK878/0%,&e#6#&h&.*E0*&5+4S#%@&5&6*VKK878/0%#.8&Y)/?9#Q]*$3*0#&R1
2 ( ,B , H ",P \ , ′, ′′) ⋅ i
B
(H , ′ + B)(H , ′′ + B)
&
∑ .( , -
-- B H P
&&&& . M , H - H , P -P \ , ′′- ′′L ⋅ . M , ′′- ′′,B -B \ "( L
B
, - H \ , ′- ′) ⋅ . ( , ′- ′, P -P \ "( ) ⋅
B H
R+*J5%+#&6*VKK878/0%*+&e#6#1
BL1 2 ( ,B , H ",P \ , ′, ′′) ≠ G & %*(3#& 8& %*)@6*& %*(3#:& 6*(3#& +,"*)04D%54& O& "$#+8)#
%$/'(*)@086#1;& ∆( ,B , H , ′):& ∆( , ′, P " ) : ∆( , H , P , ′′) : ∆( , ′′,B " ) &Q&&"$#+8)#&*%?*$#1
j#5%*& 6*VKK878/0%,& e#6#& S#"85,+#D%& +& +83/& & 2 (5678 \ 34 ) :& %*(3#& "$#+8)#
%$/'(*)@086#&"$8.'%&5)/3'DI8J&+83;
∆(567 ) &&&& ∆(783 ) && ∆(574 ) &&&& ∆(684 )
5 +6 + 7 + 8  567 
 
 834 
HL1&& 2 (5678 \ 34 ) i (− B)
 567 
  & Q& V%*& k_& `& 58.+*):& +& k_& `& 58.+*)/& HO& "/$/5%#0*+681& N*"'5%8.,& )D?,/
 834 
"/$/5%#0*+68:&6*%*$,/&0/&./04D%&"$#+8)&%$/'(*)@086*+1
A$8&+5/-&V%8-&"/$/5%#0*+6#-&k_&`&58.+*)&0/&./04/%&+/)8C80,&&8&S0#6#1&[#./%8.:
C%*&6*VKK878/0%,&e#6#&"$8&V%*.&.*('%&./04%@541
R)*E/08/&C/%,$/-&'()*+,-&.*./0%*+:&l_Q58.+*)1
" "
"
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ,B + , H = ,BH 1
"
"
"
&&&&&&&&&&&&&&&&&f&&& , P + , O = , PO &&&&&&&&&&&&&&&&&& "(,B , H ,BH , P , O , PO
"
"
"
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ,BH + , PO = "
" "
"
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ,B + , P = ,BP 1
"
"
"
&&&&&&&&&&&&&&&&&f&&& , H + , O = , HO &&&&&&&&&&&&&&&&&& "(,B , P ,BP , H , O , HO
"
"
"
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ,BP + , HO = "
208&5+4S#0,&'08%#$0,.&"$/*?$#S*+#08/.
"(,B , H ,BH , P , O , PO =
∑ (H ,
,BP ,HO
BH
f
+ B)(H , PO + B)(H ,BP + B)(H , HO + B) ⋅
,B
,P
,BP
,H
, HB
, HO
,BH
, PO
"
m
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ⋅ "(,B , P ,BP , H , O , HO
R**%0*9/08/&+&f&&&m&/5%@&l_Q58.+*)1
A$#+8)*&%$/'(*)@086*+1
∆( ,B , H ,BH ):& ∆( , P , O , PO ): ∆( ,BP , HO , ) : ∆( ,B , P ,BP ): ∆( , H , O , HO ) :& ∆( ,BH , PO , )
l_Q58.+*)&*?)#3#/%&5+*J5%+*.&58../%$88:&8&+*S.*E0,&)D?,/&"/$/5%#0*+68:&0/
./04DI8/&"$#+8)&%$/'(*)@086#1
A$8)*E/08/&3)4&3+'-&0'6)*0*+&+&43$/1
N)4&08-&+*S.*E0,&3+#&+83#&5+4S8;
aL
" "
9B &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& *B + 9B = ,B
&&&&&&&&&&&&&&&&&&& *B
" " "
9 H &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& * H + 9 H = , H &&Z%*&%#6&0#S,+#/.#4&&_Q_&5+4S@1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&& * H
"
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&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 9B + 9 H = ' &&&&Z%*& ' − ) &5+4S@1
" " "
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ' + ) = "
9B *B ,B
"(9B *B ,B9 H * H , H = ∑ (H ,B + B)(H , H + B)(H) + B)(H ' + B) ⋅ 9 H * H , H
')
' ) "
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ⋅ "(9B9 H '*B * H )
f
j%*&"$/35%#+)4/%&8S&5/?4&
∑
m
n
')
&&&&&& *B = B &&&&&&&&&&&&& \ *B − * H \≤ * ≤ *B + * H &&&&&& ⇒ * = G>B
H
B
&&&&&& * H =
&&&&&&&&&&&&& \ ' − ) \≤ , ≤ ' + ) &&&&&& ⇒ * = G → , = '
H
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& * = B → ' = , − B: , : , + B
Y#6&+838.&&5'..#&5*3/$E8%&+5/(*&O&5)#(#/.,-1
N$'(*J&"$8./$&&Q585%/.#&&8S&o&0/+S#8.*3/J5%+'DI8-&"*3585%/.1
b/&?#S85&.*E0*&"$/35%#+8%@&+&+83/;
,B -B , H - H ppp1 , / - /
250*+0,/& K8S8C/568/& +/)8C80,& 0/& 6*..'%8$'D%& 5& *"/$#%*$#.8& "*3585%/.;
,BH : ,B$ 1&p11c&V%*&"$/35%#+)/08/&0/&4+)4/%54&38#(*0#)@0,.:&#&38#(*0#)@0,.&?'3/%
"$/35%#+)/08/& "(,B 111111111 1& N)4& "*)'C/084& ?#S85#& +& V%*.& "$/35%#+)/088& & 0'E0*
5)*E8%@&.*./0%,1
q&`&6*VKK878/0%,1
(H5 + B)(H6 + B)(H7 + B)(H8 + B) ⋅ ⋅. (5G7G \ 4 G)2 (5678 \ 34 )
: M5678 \ 34 L = % 4 −5 +7 : (5678 \ 34 )
: (5678 \ 34 ) =
Y*VKK878/0%,& r)#%%#Qr83/0-#$0#1& N)4& 08-& d& "$#+8)& *%?*$#;& O& "$#+8)#
%$/'(*)@086#&8& 5 + 7 + 4 = H/