Сентябрьская олимпиада, 8 класс

Сентябрьская олимпиада, 8 класс
1. Четыре мальчика играли в футбол. Один из них попал мячом в окно и разбил
стекло. Когда у ребят спросили, кто это сделал, трое сказали: «Не я», а Вася
сказал: «Не знаю». Оказалось, что двое из них солгали. Знал ли Вася, кто разбил
стекло?
2. На доске были написаны примеры на сложение. Вовочка заменил одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные — разными. Получилось, что
Д+В+А+Ж+Д+Ы+Д+В+А = 32, а Т+Р+И+Ж+Д+Ы+Т+Р+И = 38. Чему
может быть равно Д+В+А+Ж+Д+Ы+Т+Р+И?
3. Дано выражение со знаками деления: 1:2:3:4:5:6:7:8:9:10. Можно ли расставить скобки так, что после выполнения действий получилось число 7?
4. Каждую грань кубика разбили на четыре одинаковых квадрата, а затем
раскрасили эти квадраты в несколько цветов так, что квадраты, имеющие общую
сторону, оказались окрашены в различные цвета. Какое наибольшее количество
квадратов одного цвета может получиться?
5. На стороне BC равностороннего треугольника ABC построен во внешнюю
сторону квадрат BCDE, медиана BM треугольника пересекается с отрезком AE
в точке O. Докажите, что CE = 2AO.
6. Докажите, что в любом 2015-значном числе можно вычеркнуть ровно одну цифру так, чтобы после этого двоек на четных и нечетных местах стало бы
поровну.
Продолжительность олимпиады: 150 минут.
Задача считается решенной, если записано подробное обоснование ответа.
Сентябрьская олимпиада, 8 класс
1. Четыре мальчика играли в футбол. Один из них попал мячом в окно и разбил
стекло. Когда у ребят спросили, кто это сделал, трое сказали: «Не я», а Вася
сказал: «Не знаю». Оказалось, что двое из них солгали. Знал ли Вася, кто разбил
стекло?
2. На доске были написаны примеры на сложение. Вовочка заменил одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные — разными. Получилось, что
Д+В+А+Ж+Д+Ы+Д+В+А = 32, а Т+Р+И+Ж+Д+Ы+Т+Р+И = 38. Чему
может быть равно Д+В+А+Ж+Д+Ы+Т+Р+И?
3. Дано выражение со знаками деления: 1:2:3:4:5:6:7:8:9:10. Можно ли расставить скобки так, что после выполнения действий получилось число 7?
4. Каждую грань кубика разбили на четыре одинаковых квадрата, а затем
раскрасили эти квадраты в несколько цветов так, что квадраты, имеющие общую
сторону, оказались окрашены в различные цвета. Какое наибольшее количество
квадратов одного цвета может получиться?
5. На стороне BC равностороннего треугольника ABC построен во внешнюю
сторону квадрат BCDE, медиана BM треугольника пересекается с отрезком AE
в точке O. Докажите, что CE = 2AO.
6. Докажите, что в любом 2015-значном числе можно вычеркнуть ровно одну цифру так, чтобы после этого двоек на четных и нечетных местах стало бы
поровну.
Продолжительность олимпиады: 150 минут.
Задача считается решенной, если записано подробное обоснование ответа.