Билет 10

Билет № 10
1. Теорема о средней линии трапеции.
2. Формулы площади треугольника. Запись, вывод одной из
них.
Вопрос № 1
Теорема о средней линии трапеции
Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные стороны – боковыми сторонами.
На рисунке ABCD – трапеция, ВС || AD, ВС и AD – основания, АВ || СD,
АВ и СD – боковые стороны.
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины
её боковых сторон. На рисунке MN – средняя линия трапеции ABCD, так как
АМ = МВ, CN = ND.
Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их
полусумме.
B
C
М
Дано: ABCD – трапеция, ВС || AD,
MN – средняя линия.
Доказать: MN || ВС, MN || AD,
MN = 12 (BC + AD ) .
N
A
D
Доказательство
По
правилу многоугольника
сложения
нескольких векторов
MN = MB + BC + CN и MN = MA + AD + DN . Сложив эти равенства, получим
2MN = MB + MA + BC + AD + CN + DN .
По условию теоремы MN – средняя линия трапеции, поэтому M и N – середины сторон АВ и CD, а MB и MA , CN и DN – противоположные векторы. Так
как сумма противоположных векторов равна нулевому вектору, то MB + MA = 0
и CN + DN = 0 . Следовательно, 2 MN = BC + AD , отсюда MN = 12 BC + AD .
(
) (
) (
)
(
)
Так как BC ↑↑ AD , то MN ↑↑ BC и MN ↑↑ AD , а длина вектора BC + AD
равна BC + AD. Отсюда следует, что MN || ВС, MN || AD и MN = 12 (BC + AD ) .
Итак, средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Ч.т.д.
Вопрос № 2
Формулы площади треугольника. Запись, вывод одной из них
Одну из сторон треугольника часто называют его основанием. Если основание выбрано, то под словом «высота» подразумевают высоту треугольника,
проведенную к основанию.
Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Рис. 1
D
C
Дано: ∆ АВС, АВ = а, СН = h.
h
Доказать: S∆ ABС =
A
Н a
1
ah.
2
B
Доказательство
Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВDС так, как показано
на рисунке 1. Рассмотрим треугольники АВС и DCB.
АС = ВD и АВ = СD как противолежащие стороны параллелограмма, BС –
общая сторона. Следовательно, ∆ ABС = ∆ DСB по III признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
Равные фигуры имеют равные площади, поэтому S ∆ ABС = S∆ DСB . По
свойству площадей площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников, из которых он составлен, поэтому SABDС = S∆ ABС + S∆ DСB = 2 S∆ ABС .
Значит, площадь ∆ АВС равна половине площади параллелограмма АВDС.
Площадь параллелограмма АВDС равна произведению его основания а на
высоту h, следовательно, S∆ ABС =
1
ah.
2
Итак, площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Ч.т.д.
b
hb
hc
hа
a
c
S∆ =
1
1
1
aha = bhb = chс
2
2
2
Площадь прямоугольного треугольника
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его
катетов.
S∆ =
b
1
ab
2
a
Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух его
сторон на синус угла между ними.
A(b cos C ; b sin C )
y
h
b
Дано: ∆ АВС, ВС = а,
АС = b.
c
Доказать: S =
1
ab sin C.
2
a
B x
Доказательство
Введем прямоугольную систему координат так, чтобы точка С совпала с
началом координат, точка В лежала на положительной полуоси Ох, а точка А
имела положительную ординату, тогда вершины треугольника будут иметь координаты С (0; 0), В (а; 0), А(bcosC; bsinC).
O C
1
2
Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S = ah,
где h – высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т.е. h = b sin C. Следовательно, S =
1
ab sin C.
2
Итак, площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Ч.т.д.
Формула Герона
S=
p ( p − a )( p − b )( p − c ),
где а, b, с – стороны треугольника,
р – полупериметр треугольника,
р=
1
(а + b + с).
2
Площадь равностороннего треугольника
a2 3
S=
,
4
где а – сторона треугольника.
Площадь треугольника
через радиус описанной окружности
abc
S=
,
4R
где а, b, с – стороны треугольника,
R – радиус описанной окружности.
Площадь треугольника
через радиус вписанной окружности
S = rp,
р – полупериметр треугольника,
r – радиус вписанной окружности.