IX Республиканская олимпиада имени А. М. Красникова МАТЕМАТИКА 9 класс

IX Республиканская олимпиада
имени А. М. Красникова
МАТЕМАТИКА
9 класс
Заочный тур
Задание №1.
Решить уравнение в целых числах: 2у²-2x²+3xy-2y+x=2;
Задание №2.
На какое целое положительное число надо разделить 180, чтобы остаток от
деления составлял 25% от частного?
Задание №3.
Решить уравнения x³-6x²-39x-10=0 и x³+x²-20x-50=0 воспользовавшись тем , что
один из корней первого уравнения в два раза больше одного из корней второго
уравнения.
Задание №4.
Пусть max{f(x), g(x)} обозначает наибольшее из значений функции f(x) и g(x)
для данного x. Найдите все x для которых выполняется неравенство max { 1/x; 5x-4
}≥x².
Задание №5.
Некоторое двузначное число кратно трем. Если между его цифрами вставить 0 и к
полученному трехзначному числу прибавить удвоенную цифру его сотен, то
получится число, в 9 раз большее первоначального. Найдите исходное двузначное
число.
Задание №6.
На окружности расставлены 20 точек. За ход разрешается соединить любые две из
них отрезком, не пересекающим отрезков, проведенных ранее. Проигрывает тот, кто
не сможет сделать ход. Кто выиграет и при какой стратегии?
Задание №7.
Квадратная площадь размером 100x100 выложена квадратными плитами 1x1
четырех цветов: белого, красного, черного и серого - так , что никакие две плиты
одинакового цвета не соприкасаются друг с другом ( т.е. не имеют общей стороны
или вершины ). Сколько может быть красных плит?
Задание №8.
Из одного и того же пункта одновременно в одном направлении по
прямолинейному участку шоссе с постоянными, но различными скоростями вышли
два пешехода. Через 2 ч расстояние между ними было S км. После этого пешеходы
стали идти быстрее и затрачивать на каждый километр пути на 10 мин меньше. Еще
через 2 ч расстояние между ними стало 3S км. Найдите расстояния, пройденные
пешеходами за первые два часа.
Задание №9.
Прямая, параллельная основаниям данной прямоугольной трапеции, рассекает ее
на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найти основания
исходной трапеции, если ее боковые стороны равны c и d, причем c<d.
Задание №10.
Из каждой вершины, принадлежащей основанию равностороннего треугольника
со стороной a , проведены во внутреннюю область треугольника по два луча,
образующих с основанием треугольника углы 15°и 30°. Найти площадь
четырехугольника, вершинами которого являются точки пересечения построенных
лучей.