К теории взрывных волн от горючих облаков

Ê òåîðèè âçðûâíûõ âîëí îò ãîðþ÷èõ îáëàêîâ
Àñëàíîâ Ñ.Ê., Øêóëèïà Ñ.À., Öàðåíêî À.Ï.
Îäåññêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Óíèâåðñèòåò,
Îäåññà 270026, óë. Äâîðÿíñêàÿ ä. 2
Ïðè ðàññìîòðåíèè âçðûâà ãàçîâîãî îáëàêà â îêðóæàþùåé àòìîñôåðå
îäíèì èç ãëàâíûõ ïàðàìåòðîâ ðàçâèâàþùåãîñÿ òå÷åíèÿ ñëóæèò ïåðåïàä
äàâëåíèÿ âî ôðîíòå âîçíèêàþùåé óäàðíîé âîëíû (ÓÂ): ∆Ð = (Ð1 - Ð0) / Ð0 , ãäå
Ð0 è Ð1  äàâëåíèå ïåðåä è çà åå ôðîíòîì ñîîòâåòñòâåííî.
Ïîñêîëüêó äàííîå ÿâëåíèå îáëàäàåò âåñüìà ñëîæíîé ñòðóêòóðîé, òî ïðè
åãî ìîäåëèðîâàíèè îñóùåñòâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå äîïóùåíèÿ: ñôåðè÷åñêîå
îáëàêî ðàäèóñà r0 ìãíîâåííî ïðîäåòîíèðîâàâøåé ãàçîâîé ñìåñè ñîäåðæèò
ïðîäóêòû âçðûâà ýíåðãèè Å0, ÷åìó ñòàâèòüñÿ â ñîîòâåòñòâèå ðàâíîìåðíîå
ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ Ð1 ïî âñåìó îáúåìó; ïîêàçàòåëü àäèàáàòû ïðîäóêòîâ
γ 1 . Èõ ðàçëåò ïðîèñõîäèò ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íî â îäíîðîäíóþ
îêðóæàþùóþ àòìîñôåðó ñ äàâëåíèåì Ð0 è ïîêàçàòåëåì àäèàáàòû γ0.
 äàííîé ðàáîòå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîïûòêà àíàëèòè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ
çàâèñèìîñòè ∆Ð(R), åäèíîîáðàçíîé, äëÿ âñåãî r ∈ (r 0 ,∞) èíòåðâàëà
r
ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñôåðè÷åñêîé óäàðíîé âîëíû (ÓÂ); R = (E / P )1 / 3 
0
0
áåçðàçìåðíàÿ êîîðäèíàòà ôðîíòà ÓÂ.
Êàê ïîêàçàíî â [9], âçðûâ çàðÿäà êîíå÷íîãî îáúåìà (ÂÇÊÎ) ñ ýíåðãèåé Å0
íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò ìåñòà ñâîåãî âîçíèêíîâåíèÿ ýêâèâàëåíòåí
òî÷å÷íîìó âçðûâó (ÒÂ) ñ ýíåðãèåé ηÅ0. Èç ñîâïàäåíèÿ äåéñòâèÿ ýòèõ âçðûâîâ
â äàëüíåé çîíå ñëåäóåò, ÷òî ãëàâíûå ÷ëåíû äëÿ ïðåäñòàâëåíèé
∆Ð äîëæíû
ñîâïàäàòü ïðè R→∞ ñ ó÷åòîì ïðèìåíÿåìîãî êîýôôèöèåíòà ýíåðãåòè÷åñêîãî
ïîäîáèÿ η:
∆ÐÂÊÎ(R) R→∞ = ∆ÐÒÂ(Rη-1/3)R→∞ . Âåëè÷èíà η âûðàæåíà â
Ð 1 /Ð 0 , γ , γ 1 . Ïîýòîìó íèæå ðàññìàòðèâàåòñÿ â êà÷åñòâå
[10] ÷åðåç
âñïîìîãàòåëüíîãî òî÷å÷íûé âçðûâ è äëÿ íåãî îòäåëüíî ñòðîèòñÿ âûðàæåíèå
∆Ð(R), ïî êîòîðîìó óäàåòñÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîñòðîèòü ñîîòâåòñòâóþùåå
âûðàæåíèå äëÿ ÂÇÊÎ.
Àíàëèòè÷åñêîå ïîñòðîåíèå åäèíîé ôîðìóëû ïåðåïàäà äàâëåíèÿ ∆Ð(R) íà
âñåì ïðîìåæóòêå (0, ∞ ) ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñôåðè÷åñêîé óäàðíîé âîëíû,
îáðàçîâàííîé ÒÂ, ïðîèçâîäèòñÿ ìåòîäîì ñðàùèâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ
ðàçëîæåíèé [5] íà êîíöàõ ðàññìàòðèâàåìîãî èíòåðâàëà.
Ðåøåíèå àâòîìîäåëüíîé çàäà÷è î ñèëüíîì âçðûâå, îïèñûâàþùåå ÿâëåíèå
íà íà÷àëüíîé ñòàäèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ óäàðíîé âîëíû, êîãäà äàâëåíèåì â
îêðóæàþùåì ãàçå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïî ñðàâíåíèþ ñ òàêîâûì íà ôðîíòå ÓÂ,
124
ïîëó÷åíî â [1]. Âûðàæåíèå äëÿ ïåðåïàäà äàâëåíèÿ âî ôðîíòå Ó èìååò
ñëåäóþùèé áåçðàçìåðíûé âèä:
∆Ρ(R ) =
8α
25( γ + 1) R 3
,
(1)
ãäå γ  ïîêàçàòåëü àäèàáàòû, α = α(γ)  îïðåäåëåííûé êîýôôèöèåíò.
Ñîãëàñíî [6], [7] àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ïåðåïàäà äàâëåíèÿ â
ñôåðè÷åñêîé óäàðíîé âîëíå âäàëè îò ìåñòà åå âîçíèêíîâåíèÿ âûãëÿäèò
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
,
(2)
ãäå À1, À2, Â  íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû, ïîäëåæàùèå îïðåäåëåíèþ.
Ïðåäñòàâèì èñêîìóþ ôóíêöèþ ∆Ð(R) â âèäå:
.
(3)
Ïîñëåäíèé ïðè R→∞ ñîãëàñóåòñÿ ñ âûðàæåíèåì (2), ÷òî ëåãêî ïîêàçàòü,
ëèíåàðèçóÿ âõîäÿùèå ôóíêöèè. Íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû B, A1, A2, A3, C1,
C2 îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíîé êîíôèãóðàöèåé ÓÂ, êîòîðàÿ çàäàåòñÿ èñòî÷íèêîì.
Çíà÷èò, äëÿ èõ íàõîæäåíèÿ ñëåäóåò ðàññìîòðåòü êàê äàëüíþþ, òàê è áëèæíþþ
çîíû âçðûâà.
Íå òðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ñðàñòèòü (3) ñ (1) ïðè R → 0 ïðåäñòàâëÿåòñÿ
âîçìîæíûì òîëüêî ïðè óñëîâèè Ñ2 =1.
Âûðàæåíèå ∆Ð(R), çàïèñàííîå â âèäå (4), ÿâëÿåòñÿ îêîí÷àòåëüíûì äëÿ
ïåðåïàäà äàâëåíèÿ âî ôðîíòå óäàðíîé âîëíû. Îíî óäîâëåòâîðÿåò è ðåøåíèþ
[1], êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì äëÿ âçðûâà ñ ïðîòèâîäàâëåíèåì, è
àñèìïòîòèêå [7].
Ñðàùèâàíèå âûðàæåíèé (3) è (1) ïðîâåäåì äëÿ ÷ëåíîâ ïîðÿäêà R-3 è R-2,
ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïîïðàâî÷íûì ñëàãàåìûì ê (1), ñîãëàñíî [2], áóäåò ÷ëåí Î(1).
Êðîìå òîãî, âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â âèäå èíòåãðàëà
ýíòðîïèéíûõ ïîòåðü, íàéäåííîãî â [9]:
.
(4)
 ðåçóëüòàòå èìååì òðè óñëîâèÿ äëÿ ïÿòè íåèçâåñòíûõ âåëè÷èí A1, A2, A3,
B, C1, òàê ÷òî äâà êîýôôèöèåíòà îñòàþòñÿ â êà÷åñòâå ïîäãîíî÷íûõ. È
îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèÿ íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ ê èçâåñòíûì
÷èñëåííûì ðåøåíèÿì [3], [4]. Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ â äàííîì ñëó÷àå
íå ýôôåêòèâåí, ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ∆Ð(R) èçìåíÿåòñÿ â áåñêîíå÷íûõ ïðåäåëàõ
è íà áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà â óðàâíåíèè (4) âîñïîëüçóåìñÿ
125
àñèìïòîòè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè íà êîíöàõ
èíòåðâàëà èíòåãðèðîâàíèÿ.
Èñïîëüçóÿ äàííûå ðàñ÷åòîâ [3], [4] (ïðè γ = 1.4 , α = 0.851 , Ð0 = 1àòì)
ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì çíà÷åíèÿì íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ: A1 = 0.28, A2 =
0.054, A3 = -0.092, B = 1.7, C = 1.5; ðàñõîæäåíèå ñ ðåçóëüòàòàìè ÷èñëåííîãî
ñ÷åòà íå ïðåâîñõîäèò 5.5%.
Òàêèì îáðàçîì, ãëàâíûé ÷ëåí âûðàæåíèÿ ∆Ð(R) äëÿ ÂÇÊÎ ñëåäóåò èñêàòü
â âèäå:
∆P(R ) =
0.28
 −1 / 3

Rη−1 / 3 ln  Rη B + C 


, ãäå íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû Â è Ñ íàõîäÿòñÿ
èç óñëîâèÿ íà÷àëüíîãî ðàñïàäà íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû ∆Ð(R0) è çàêîíà
ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â âèäå èíòåãðàëà ýíòðîïèéíûõ ïîòåðü äëÿ ÂÇÊÎ,
ïîëó÷åííîãî â [9]:
êîòîðûå îáðàçóþò çàìêíóòóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé. Ðàññ÷èòàííûå
êîýôôèöèåíòû ïîçâîëÿþò ïîñòðîèòü íà âñåì èíòåðâàëå ðàñïðîñòðàíåíèÿ
âçðûâíîé âîëíû åäèíóþ ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïåðåïàäà äàâëåíèÿ âî
ôðîíòå ÓÂ, êîòîðàÿ äàåò õîðîøåå ñîâïàäåíèå ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè
ðåçóëüòàòàìè ïî âçðûâó ãàçîâûõ îáëàêîâ [10]; ðàñõîæäåíèÿ ñ
ýêñïåðèìåíòàëüíûìè èçìåðåíèÿìè ñîñòàâëÿþò 30%.
Íà ïðèâåäåííîì â ëîãàðèôìè÷åñêîì ìàñøòàáå ãðàôèêå êðåñòèêàìè
îáîçíà÷åíû ýêñïåðèìåíòàëüíûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷åííûå â [10] äëÿ ðàçëåòà
ïðîäóêòîâ âçðûâà ñìåñè C2H2+2.5O2+9.4N2 , íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ  ýòî
∆P(R)
100
11.2
10
1
0.1
0.01
0.1
0.18
1
126
10
çíà÷åíèÿ âû÷èñëåííûå ïðåäëîæåííûì âûøå ìåòîäîì (íà÷àëüíûé ðàäèóñ
0.179R, íà÷àëüíàÿ èíòåíñèâíîñòü óäàðíîé âîëíû â âîçäóõå ïðè ðàñïàäå
äåòîíàöèîííîé âîëíû íà ãðàíèöå âçðûâ÷àòîé ãàçîâîé ñìåñè ñ âîçäóõîì 11.2
àòì, âíåøíåå äàâëåíèå 1àòì, ïîêàçàòåëè àäèàáàò ïðîäóêòîâ âçðûâà γ1 = 1.38,
îêðóæàþùåé ñðåäû γ = 1.4 ).
1. Ñåäîâ Ë.È. Ðàñïðîñòðàíåíèå ñèëüíûõ âçðûâíûõ âîëí. // Ïðèêëàäíàÿ
ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1946. T. 10. âûï. 2. Ñ. 156-164;
2. Ìåëüíèêîâà Í.Ñ. Èññëåäîâàíèå çàäà÷è î òî÷å÷íîì âçðûâå. // Äèññåðòàöèÿ.
Ìîñêâà. 1953. 173 ñ.;
3. Îõîöèìñêèé Ä.Å., Êîíäðàøåâà È.Ë., Âëàñîâà Ç.Ï., Êîçàêîâà Ð.Ê. Ðàñ÷åò
òî÷å÷íîãî âçðûâà ñ ó÷åòîì ïðîòèâîäàâëåíèÿ. // Òðóäû Ìàòåìàòè÷åñêîãî
èíñòèòóòà ÀÍ ÑÑÑÐ. 1957. T. 50. 156 ñ.;
4. Îõîöèìñêèé Ä.Å. Âëàñîâà Ç.Ï. Î ïîâåäåíèè óäàðíîé âîëíû íà áîëüøèõ
ðàññòîÿíèÿõ îò öåíòðà âçðûâà. // Æóðíàë âû÷. ìàò è ìàò. Ôèçèêè. 1962.
T. 2. ¹1. Ñ. 107 – 124.
5. Ìèëòîí Âàí Äàéê. // Ìåòîäû ñðàùèâàíèÿ â ãàçîâîé äèíàìèêå. Ìèð 1967.
6. Ëàíäàó Ë.Ä. Îá óäàðíûõ âîëíàõ íà äàëåêèõ ðàññòîÿíèÿõ îò ìåñòà èõ
âîçíèêíîâåíèÿ. // Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1945. T. 9.
Âûï. ¹4. Ñ. 96-103.
7. ßêèìîâ Þ.Ë. Îá àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèÿõ óðàâíåíèé îäíîìåðíîãî
íåóñòàíîâèâøåãîñÿ äâèæåíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà è îá àñèìïòîòè÷åñêèõ
çàêîíàõ çàòóõàíèÿ óäàðíûõ âîëí.// Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà.
1955. T. 19. Âûï. ¹6. Ñ. 681 – 692.
8. Ãóáêèí Ê.È. // Ìåõàíèêà â ÑÑÑÐ çà 50 ëåò. Ìîñêâà. Íàóêà. 1967. Ñ. 456;
9. Àñëàíîâ Ñ.Ê. Ãîëèíñêèé Î.Ñ. Ýíåðãèÿ Àñèìïòîòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíîãî
òî÷å÷íîãî âçðûâà äëÿ çàðÿäà êîíå÷íîãî îáúåìà // Æóðíàë ïðèêëàäíîé
ìåõàíèêè è òåõíè÷åñêîé ôèçèêè. 1988. ¹6. Ñ. 44 – 51.
10. Êîãàðêî Ñ.Ì. Àäóøêèí Â.Â. Ëÿìèí À.Ã. Èññëåäîâàíèå ñôåðè÷åñêîé
äåòîíàöèè ãàçîâûõ ñìåñåé // Íàó÷íî-òåõíè÷åñêèå ïðîáëåìû ãîðåíèÿ è
âçðûâà. 1965. ¹2. Ñ. 22 – 34.
127