Влияние теплопроводности и длины кристалла на поля

УДК 621.9
ВЛИЯНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДЛИНЫ КРИСТАЛЛА НА ПОЛЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
И ТЕРМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ В РЕЖИМЕ РАДИАЦИОННО-КОНВЕКТИВНОЙ
ТЕПЛООТДАЧИ В МЕТОДЕ ЧОХРАЛЬСКОГО
Митин К.А.1,2, Клещенок М.С.1, Григорьева А.М.1
1
Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН,
630090, Россия, Новосибирск, пр. Лаврентьева, 1
2
Новосибирский государственный технический университет,
630073, Россия, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
в системе температуре. На фронте кристаллизации
задана максимальная температура в системе.
Задача решалась в безразмерном виде, в качестве
масштабов геометрических размеров радиус кристалла – R. Для скорости использован масштаб ν/R,
где ν – кинематическая вязкость жидкости. За масштаб температуры взят ∆T − перепад температур между фронтом кристаллизации и стенками ростовой
камеры. Масштабом для радиационных потоков является R2/λgas∆T − отношение квадрата радиуса кристалла к произведению теплопроводности газа, заполняющего ростовую камеру, и перепада температуры.
При моделировании термогравитационной конвекции использована безразмерная система уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска, записанная в переменных температура, вихрь скорости и
функция тока:
Структурное совершенство монокристаллов получаемых методом Чохральского в значительной мере зависит от наличия плоского фронта кристаллизации, постоянной скорости роста, отсутствия резких
изменений диаметра кристалла, максимальной симметрии теплового поля и минимальных градиентов
температуры вблизи фронта кристаллизации. В силу
слабой изученности сопряженных процессов теплообмена между кристаллом, расплавом и окружающей
средой, управление тепловыми условиями роста кристалла является достаточно сложной задачей. Комплексом нерешенных проблем тепло-массообмена в
значительной мере определены трудности создания
оптимизированной, хорошо управляемой и автоматизированной технологии выращивания монокристаллов.
Для понимания общих закономерностей зависимости полей температуры и термических напряжений
задачу можно решать в рамках частичного моделирования. Результаты таких исследований необходимы
для оценок пространственной зависимости электрофизических характеристик кристалла от условий роста и тепловой истории кристалла. Радиационноконвективная теплоотдача от кристалла в окружающую среду ростовой камеры в процессе роста влияет
на поля температуры внутри кристалла и в режиме
сопряженного теплообмена не только корректирует
кривизну фронта кристаллизации, но и определяет
объемное распределение собственных точечных дефектов [1].
Численно, в идеализированной осесимметричной
постановке, при различных теплопроводностях и относительных длинах кристалла была исследована
радиационно-конвективная теплоотдача от кристалла
в окружающую среду ростовой камеры. Расчеты проведены методом конечных элементов [2]. Радиационные потоки вычислялись с помощью зонального метода [3]. При поиске полей термических напряжений
решалась квазистационарная задача термоупругости,
используя концепцию термоупругого потенциала
перемещений [4].
В качестве расчетной области взята верхняя часть
ростовой камеры, состоящей из монокристалла, штока, стенок ростовой камеры и экрана отделяющего
поверхность расплава от ростовой камеры. На всех
жестких поверхностях системы заданы условия прилипания и непротекания. На образующих кристалла,
затравки и штока задано условие идеального контакта, т.е. неразрывность поля температуры и равенство
тепловых потоков в твердом теле и газе. Поверхность
экрана, отделяющего расплав и ростовую камеру,
адиабатическая. Стенки корпуса ростовой камеры
изотермические и поддерживаются при минимальной
 1  ∂ 2T 1 ∂T ∂ 2T 
∂T
∂T
+ 2  + u
+v
=0
−  2 +
r ∂r ∂z 
∂r
∂z
 Pr  ∂r

2
2
ω
∂ω
∂ω ω
∂T
  ∂ ω 1 ∂ω ∂ ω 
+ 2 +u
+v
+ 2 − u = Gr
−  2 +
r
r
r
z
r
∂
∂
∂
∂r
r
z
r
∂
∂

 

2
2
−  ∂ ψ + 1 ∂ψ + ∂ ψ  + ψ = −ω u = − ∂ψ v = − 1 ∂ (r ⋅ψ )
2

  ∂r
r ∂r ∂z 2  r 2
∂z
r ∂r

где T, ω и ψ это соответственно температура, вихрь и
функция тока, u и v это радиальная и осевая компоненты скорости соответственно. Число Грасгофа Gr =
(βg/ν2)×∆T×R3, по определению является отношением сил плавучести (силы Архимеда) к силам вязкого
трения, а при заданной геометрии и параметрах газа
может трактоваться как безразмерный перепад температуры. Число Прандтля Pr = ν/a, ν – кинематическая вязкость, α = λ/ρCP – коэффициент температуропроводности, λ – коэффициент теплопроводности,
g – ускорение силы тяжести, β – коэффициент объемного расширения газа, ρ – плотность, CP – теплоемкость при постоянном давлении.
Расчет радиационных потоков проводился зональным методом [4] при следующих предположениях: расчетная область ограничена замкнутой системой поверхностей; все поверхности системы – серые,
диффузно-излучающие и диффузно-отражающие;
поверхности разбиты на зоны, в пределах которых
радиационные свойства и температура могут считаться постоянными; среда, заполняющая ростовую
камеру – диатермична.
При поиске полей термических напряжений решалась квазистационарная задача термоупругости,
используя концепцию термоупругого потенциала
перемещений [4]. Значения термоупругого потенциа-
111
ла перемещений может быть найдено из решения
следующего уравнения Пуассона:
основания кристалла практически не меняются с ростом длины кристалла.
1 ∂F ∂ 2 F 1 + µ
+
+
=
α ⋅T ,
∂r 2 r ∂r ∂z 2 1 − µ
где F – термоупругий потенциал перемещения, µ –
коэффициент Пуассона, α – коэффициент линейного
расширения. Поле термических напряжений по распределению термоупругого потенциала перемещений, используя следующее соотношение:

E  ∂2 F
σ ij =
− ∆F ⋅ δ ij  ,



1 + µ  ∂i∂j

где σ – величина термических напряжений, E – модуль Юнга, ∆ – лапласиан, δij – символ Кронекера:
1 при i = j
δ ij = 
( i,j = r,z,φ ) .
0 при i ≠ j
Эквивалентное напряжение по Мизесу определяется по следующему соотношению [6]:
∂2 F
(σ rr − σ zz )
2
σi =
(
+ (σ rr − σ ϕϕ ) + (σ zz − σ ϕϕ ) + 6 σ + σ
2
2
2
rz
2
rϕ
+σ
2
zϕ
10
10
10
9
9
9
8
8
8
7
7
7
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
-2 -1.5 -1 -0.5 0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5
0
0.5
1
1.5
2
0.35
0.35
0.3
0.3
0.25
0.25
0.2
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
-2 -1.5 -1 -0.5 0
0.5
1
1.5
2
0
0
0.02
0.04
0
0.02
0.04
а
б
в
г
д
Рис. 1. Изотермы для кристалла высокой (слева) и низкой
(справа) теплопроводности при относительной длине кристалла: а) H/R = 2; б) 4; в) 8. Изолинии поля эквивалентных напряжений по Мизесу в кристалле при длине H/R = 8
при высокой (г) и низкой (д) теплопроводности (горизонтальные размеры увеличены в два раза).
При высокой теплопроводности кристалл прогревается заметно равномерней по сравнению с кристаллами низкой теплопроводности (Рис. 1). Соответственно термические напряжения так же распределяются равномернее. Вне зависимости от теплопроводности и при любых длинах кристаллов наибольшие термические напряжения наблюдаются в
основании кристалла и зоне сочленения кристалла и
затравки. По мере увеличения длины кристалла появляются зоны, в которых распределение термических напряжений начинают приближаться к линейному виду.
Полученные результаты позволяют на качественном и количественном уровне увидеть основные тенденции перестройки взаимосвязанных полей температуры в газе и в составном твердом теле “кристалл –
затравка – шток”, определить тенденции в изменениях полей градиента температуры и эквивалентных
термических напряжениях по Мизесу при изменении
теплопроводности и длины кристалла.
).
2
Численное моделирование проводилось методом
конечных элементов на неравномерной сетке
100х500, состоящей из треугольников с заданными
на них линейными функциями. Вычисления проводились при следующих физических параметрах: радиус кристалла R – 0,05 [м]; теплопроводность газа
λgas – 5,83·10-2 [Вт/м·К]; температуропроводность газа
α –3,74·10-4 [м2/с]; коэффициент объемного расширения газа β – 6,4·10-4 [1/K]; кинематическая вязкость
газа ν –2,54·10-4 [м2/с]; степень черноты всех поверхностей системы – 0,5. Свойства для газов взяты при
температуре 1600 К [6]. Коэффициент Пуассона µ –
0,25, коэффициент линейного расширения α – 5,2·10-6
[К-1], модуль Юнга E – 1,59·1011 [Па]. Теплопроводность низкотеплопроводного кристалла λL =
151,58·10-2 [Вт/м·К] и высокотеплопроводного кристалла λH = 26 [Вт/м·К].
Проведены расчеты в режиме радиационноконвективной теплоотдачи от кристалла при числе
Прандтля Pr = 0,68 числе Грасгофа Gr = 16000, которое соответствует перепаду температуры ∆T = 1330
K, в диапазоне длин кристаллов от 1 до 8 при высокой и низкой теплопроводности кристалла. Рассчитаны поля термических напряжений.
Значительное влияние на поля температуры и
термических напряжений оказывает теплопроводность кристалла. В зависимости от нее изменяются
закономерности теплообмена с ростом длины кристалла. При высокой теплопроводности кристалла
определяющую роль играет кондуктивный механизм
теплообмена. С ростом длины стабильно растут осевые градиенты температуры в основании кристалла.
Для низкотеплопроводных кристаллов возрастает
относительная роль конвективного и радиационного
механизма теплообмена. Начиная с некоторой длины
кристалла, за счет практически неизменной пространственной формы конвективных течений у основания кристалла, осевые градиенты температуры у
Список литературы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Простомолотов А.И., Мильвидский М. Г. Моделирование
тепловых процессов и дефектообразования при выращивании
и термообработке бездислокационных монокристаллов и пластин кремния // Изв. Вузов. Материалы электрон. техники.
2008. №3. С. 49-53.
Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных
элементов для решения скалярных и векторных задач. – Новосибирск: изд-во НГТУ, 2007. - 896 с.
Спэрроу Э.М., Сесс Р.Д. Теплообмен излучением. – Л.: ”Энергия”, 1971. – 294 c.
Мелан Э., Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые
стационарными температурными полями. – М.: Физматгиз,
1958. – 167 с.
Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.:Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – 592 с.
Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам
газов и жидкостей. М.: Наука, 1972. 720 с.
Выражаем благодарность научному руководителю
Бердникову В.С. за постановку задачи и обсуждение
результатов. Работа выполнена при поддержке СО
РАН (проект III.18.2.5. Гос. рег. 01201350443) и
РФФИ (грант 12-08-00487).
112