Îá óðàâíåíèè äåëåíèÿ êðóãà

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
ÓÄÊ 512.57
Ë. Â. Àêîïÿí
Îá óðàâíåíèè äåëåíèÿ êðóãà
(Ïðåäñòàâëåíî àêàäåìèêîì Â.Ñ. Çàõàðÿíîì 26/III 2008)
Êëþ÷åâûå ñëîâà: íå÷èñëîâîé êîðåíü, ëèàíèòû, òåîðèÿ Ãàëóà, ïåðâîîáðàçíûå
êîðíè
Ñîãëàñíî îáùåìó îïðåäåëåíèþ ìíîãî÷ëåí, êîðíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ
ïåðâîîáðàçíûå êîðíè èç åäèíèöû íåêîòîðîé ñòåïåíè, íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì äåëåíèÿ êðóãà. Èíà÷å:
xn ¡ 1 = ( x ¡ 1 ) ( xn¡1 + xn¡2 + : : : + x + 1 ) :
(1 )
Êàê ýòî ïðèíÿòî, áóäåì ðàññìàòðèâàòü ëèøü ñëó÷àè, êîãäà ñòåïåíü
óðàâíåíèÿ (1) åñòü ïðîñòîå ÷èñëî, ò.å. n = 5 ; 7 ; 1 1 ; : : : Îñîáûå ñëó÷àè,
ðàçóìååòñÿ, òå, äëÿ êîòîðûõ ñòåïåíü óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ÷èñëîì,
êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ôåðìà: n ¡ 1 = 2 l , ãäå l = 1 ; 2 ; 3 ; : : :
Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî íà÷èíàÿ óæå ñ ïÿòîé ñòåïåíè ïîïûòêè ðåøåíèÿ ýòèõ
óðàâíåíèé â ðàäèêàëàõ âñòðå÷àþòñÿ ñ î÷åíü áîëüøèìè òðóäíîñòÿìè.  ñâîå
âðåìÿ Ãàóññ ôàêòè÷åñêè ïîñòðîèë ÷àñòíóþ òåîðèþ ãðóïï äëÿ íàõîæäåíèÿ
ïåðâîîáðàçíûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ (1) ïðè ëþáîì ïðîñòîì ïîêàçàòåëå n.
Ãëàâíàÿ îñîáåííîñòü ñëó÷àåâ, êîãäà n ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì Ôåðìà, çàêëþ÷àåòñÿ
â òîì, ÷òî ïåðâîîáðàçíûå êîðíè âûðàæàþòñÿ â êâàäðàòíûõ ðàäèêàëàõ (n =
5 ; 1 7 ; 2 5 7 ; : : : ). Ñëåäóåò, îäíàêî, îòìåòèòü, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ xn ¡ 1 = 0
ìåòîäîì òàê íàçûâàåìûõ ïåðèîäîâ Ãàóññà, ïîìèìî ãëóáîêèõ èäåé è ïîíÿòèé
òåîðèè ãðóïï, ñîäåðæèò îäíîâðåìåííî è òðóäíîäîñòóïíûå ñïåöèôè÷åñêèå
ïðèåìû, ïîíÿòíûå ëèøü àëãåáðàèñòàì âûñîêîãî êëàññà.
Ìåæäó òåì,
èäåÿ è îñíîâíûå ñâîéñòâà íå÷èñëîâûõ êîðíåé àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
ïðåâðàùàþò ýòó çàäà÷ó â äîñòàòî÷íî îäíîîáðàçíóþ ïðîöåäóðó. Ïðåäëàãàåìûé
ïîäõîä íåëüçÿ ñ÷èòàòü, îäíàêî, ñðàâíèòåëüíî ïðîñòîé ìîäåðíèçàöèåé ìåòîäà
1 3 3
Ãàóññà, èáî â åãî îñíîâå ëåæèò ïðèíöèïèàëüíî èíàÿ èäåÿ, à èìåííî:
ïîíÿòèå íå÷èñëîâûõ êîðíåé àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Îñíîâíàÿ òåîðåìà
î íå÷èñëîâûõ êîðíÿõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé íàä ìíîæåñòâîì êîììóòàòèâíûõ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ è äèñòðèáóòèâíûõ îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ
ëèàíèòîâ ãëàñèò: ïóñòü ìíîãî÷ëåíû f1n ( x) è f2m ( x) èìåþò ðîâíî n îáùèõ
÷èñëîâûõ êîðíåé (m > n) è ïóñòü ¾( x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ñ ýëåìåíòàìè xi ÿâëÿåòñÿ
îñíîâíûì ëèàíèòîâûì êîðíåì äëÿ f1n ( x) . Òîãäà f2m ( ¾) = 0 = ( 0 ; 0 ; : : : ; 0 ) , ò.å. ¾
åñòü ïîáî÷íûé êîðåíü äëÿ f2m ( x) .
 ïðèíöèïå ýòà òåîðåìà è ÿâëÿåòñÿ îáùèì ìåòîäîì äëÿ íàõîæäåíèÿ
÷èñëîâûõ êîðíåé ëþáûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ðàçðåøèìûõ â ðàäèêàëàõ.
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü òðåáóåòñÿ ðåøèòü óðàâíåíèå f n ( x) = 0 . Â ïðåäåëàõ
ëþáîé íàïåðåä çàäàííîé àëãåáðû âîçüìåì èñêîìûé ëèàíèò ¾( x1 ; x2 ) . Óñëîâèå
f n ( ¾) = ( 0 ; 0 ) äàñò ñèñòåìó íåëèíåéíûõ îòíîñèòåëüíî x1 , x2 óðàâíåíèé.
Ðåøàÿ åå, áóäåì èìåòü ÿâíûé âèä ëèàíèòà ¾. Ñîîòâåòñòâóþùåå êâàäðàòíîå
óðàâíåíèå è äàñò íàì äâà ÷èñëîâûõ êîðíÿ f1n ( x) = 0 . Ê ñîæàëåíèþ, ïî ìåðå
âîçðàñòàíèÿ ñòåïåíè ñîîòâåòñòâóþùèå âûêëàäêè îêàçûâàþòñÿ äîñòàòî÷íî
ãðîìîçäêèìè, ïîýòîìó â íàñòîÿùåé ñòàòüå ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ îäíèì
î÷åíü ïðîäóêòèâíûì ñëåäñòâèåì òåîðåìû îá îñíîâíûõ ëèàíèòîâûõ êîðíÿõ
àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è âû÷èñëèì ïåðâîîáðàçíûå êîðíè xn ¡ 1 = 0
äëÿ ñëó÷àåâ n = 5 ; 7 ; 1 1 ; 1 7 . Îäíàêî íåáåçûíòåðåñíî è ïðÿìîå ïðèìåíåíèå
îñíîâíîé òåîðåìû, èáî ïåðâîîáðàçíûå êîðíè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ðàäèêàëû
n-é ñòåïåíè (ìû ðàññìîòðèì ñïåöèàëüíî ñëó÷àé n = 7 ). Èç òåîðåìû Âèåòà äëÿ
÷èñëîâûõ êîðíåé òåîðåìà î íå÷èñëîâûõ êîðíÿõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
äîïóñêàåò îäíî âàæíîå ñëåäñòâèå: ïóñòü ìíîãî÷ëåíû f1m ( x) è f2l ( x) èìåþò
ðîâíî n ¡ 1 îáùèå ÷èñëîâûå êîðíè ñ ìíîãî÷ëåíîì f0n ( x) è ïóñòü ¾( x1 ; x2 ; : : : ; xn )
ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ëèàíèòîâûì êîðíåì äëÿ f0n ( x) . Òîãäà ó ëèàíèòîâ f1m( ¾)
è f2l ( ¾) ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû ïðîïîðöèîíàëüíûå, ò.å. åñëè f1m( ¾) =
y1
y2
yn
( y1 ; y2 ; : : : ; yn ) ; f2l ( ¾) = ( z1 ; z2 ; : : : ; zn ) , òî
=
= ::: = .
z1
z2
zn
 äàëüíåéøåì, ðàäè åäèíîñòè ðàññóæäåíèé, áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ïðîñòîé
àëãåáðîé:
¾1 + ¾2 = ( x1 ; x2 ) + ( y1 ; y2 ) = ( x1 + y1 ; x2 + y2 ) ;
(2 )
¾1 + ¾2 = ( x1 ; x2 ) + ( y1 ; y2 ) = [x1 ( y1 + y2 ) ; x2 y1 ];
e = ( 1 ;0 )
 ïðåäåëàõ àëãåáðû (2) ëþáîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå ñ ÷èñëîâûìè
µ
¶
q
êîðíÿìè x01 , x02 äîïóñêàåò ëèàíèòîâîå ðåøåíèå âèäà ¾( x1 ; x2 ) = ¡p;
.
p
 ïðåäåëàõ òîé æå àëãåáðû âûøåóêàçàííîå ñëåäñòâèå ãëàñèò: ïóñòü ó
n
ìíîãî÷ëåíîâ
f¶
( x) è f0 ( x) = x2 +px+q ðîâíî îäèí îáùèé ÷èñëîâîé êîðåíü x02 è
µ
q
ïóñòü ¾ ¡p;
îñíîâíîé ëèàíèòîâûé êîðåíü óðàâíåíèÿ f0 ( x) = x2 + px + q = 0 .
p
1 3 4
Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåí '( p; q) òàêîé, ÷òî
·
¸
q
n
f ( ¾) = x01 '( p; q) ; '( p; q) ;
p
(3 )
ãäå x01 íåñîâïàäàþùèé ÷èñëîâîé êîðåíü f0 ( x) .
Ôîðìóëà (3) ïðÿìî ñëåäóåò èç òåîðåìû Âèåòà äëÿ ÷èñëîâûõ êîðíåé
êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé. Èìåííî ôîðìóëà (3) è ñëóæèò îòïðàâíîé òî÷êîé äëÿ
âûäåëåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ äåëåíèÿ êðóãà: xn ¡ 1 = 0 .
Êàê è äîãîâîðèëèñü, ïðåæäå ÷åì ïðèñòóïèòü ê ðåøåíèþ çàäà÷è,
ïîñðåäñòâîì ïðÿìîãî ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû îá îñíîâíûõ ëèàíèòîâûõ êîðíÿõ
âû÷èñëèì ìíîæåñòâî ïåðâîîáðàçíûõ êîðíåé äëÿ óðàâíåíèÿ x7 ¡ 1 = 0
â ðàäèêàëàõ ñåäüìîé ñòåïåíè. Äîñòàòî÷íî â ïðåäåëàõ àëãåáðû (2) íàéòè
õîòü îäèí ïîáî÷íûé ëèàíèòîâûé êîðåíü ¾( x1 ; x2 ) äëÿ íåãî. Èòàê, ýëåìåíòû
èñêîìîãî ëèàíèòà íàõîäÿòñÿ èç óñëîâèÿ ¾ 7 ¡ 1 = ¾ 7 ¡ ( 1 ; 0 ) = ( 0 ; 0 ) . Èëè æå
(
4 x41 x32 + 1 0 x51 x22 + 6 x61 x2 + x71 ¡ 1 = 0 ;
(4 )
x32 + 6 x1 x22 + 5 x21 x2 + x31 = 0 :
Ïîñëåäîâàòåëüíûì ïðèìåíåíèåì àëãîðèòìà Åâêëèäà ïðèõîäèì ê ïðåîáðàçîâàííîé íîâîé ñèñòåìå
(
1 4 x51 x22 + 1 4 x61 x2 + 3 x71 + 1 = 0 ;
(5 )
7 0 x61 x22 + 6 7 x71 x2 + 1 4 x81 ¡ x2 = 0 :
Óìíîæàÿ ïåðâîå óðàâíåíèå (5) íà 5 x1 ( x1 6= 0 ) è îòíèìàÿ âòîðîå, ïîëó÷èì
x1 ( x71 + 5 )
x2 = ¡
:
3 x71 + 1
(6 )
Ïîäñòàâëÿÿ (6) â ëþáîå èç óðàâíåíèé ñèñòåìû (5) è îáîçíà÷àÿ x71 = z,
ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
z3 + 5 7 z2 ¡ 2 8 9 z ¡ 1 = 0 :
(7 )
Èòàê, èìåþòñÿ ¾1 ; ¾2 ; ¾3 – öåëûõ òðè ïîáî÷íûõ ëèàíèòîâûõ êîðíÿ,
ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò òðè ðàçíûõ êâàäðàòíûõ óðàâíåíèÿ, ÷èñëîâûå
êîðíè êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñ ïåðâîîáðàçíûìè êîðíÿìè x7 ¡ 1 = 0 .
Ïðèñòóïèì òåïåðü ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ äåëåíèÿ êðóãà ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû (3) äëÿ ñëó÷àåâ n = 5 ; 7 ; 1 1 ; 1 7 .  ëèòåðàòóðå îáû÷íî
íå ïðèâîäèòñÿ âåñü âîçìîæíûé ñïåêòð òåõ êîíå÷íûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå
äàþò âñå ìíîæåñòâî ïåðâîîáðàçíûõ êîðíåé äëÿ êàæäîãî ñëó÷àÿ ïîêàçàòåëÿ
n. Ïîýòîìó ñòîèò â ñëó÷àå n = 5 ; 7 ; 1 7 âûäåëèòü âåñü âîçìîæíûé ñïåêòð
ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðâîîáðàçíûõ êîðíåé.
Ïóñòü òðåáóåòñÿ ðåøèòü óðàâíåíèå x5 ¡ 1 = 0 . Ïîèùåì âñ¸ âîçìîæíîå
ìíîæåñòâî êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå èìåþò ðîâíî îäèí îáùèé
1 3 5
÷èñëîâîé êîðåíü ñ èñõîäíûì óðàâíåíèåì x5 ¡ 1 = 0 .  ïðåäåëàõ àëãåáðû (2)
2
èñêîìîå ìíîæåñòâî
µ f0 ( x) ¶= x + px + q òð¸õ÷ëåíîâ èìååò îñíîâíîé ëèàíèòîâûé
q
. Ïîäñòàâëÿÿ åãî â x5 ¡ 1 = f ( x) , ïîëó÷èì ëèàíèò
êîðåíü âèäà ¾ = ¡p;
p
·
¸
q
5
f( ¾) = ¾ 5 ¡ 1 . Ïî ôîðìóëå (3) ¾ ¡ 1 = x01 '; ' , ãäå x01 åñòü íåñîâïàäàþùèé
p
êîðåíü óðàâíåíèÿ x2 + px + q = 0 (x02 îáùèé ÷èñëîâîé êîðåíü ìåæäó f0 ( x) è
f( x) = x5 ¡ 1 ). Èìååì
·
¸ ·
¸
q 4
q
5
5
3
2
2
2
¾ ¡ 1 = ¡p + 4 p q ¡ 3 pq ¡ 1 ; ( p ¡ 3 p q + q ) = x01 ¢ '; ' ;
p
p
ñëåäîâàòåëüíî
'( p; q) = p4 ¡ 3 p2 q + q 2 :
(8 )
p5 ¡ 5 qp3 + 5 q 2 p + q 5 + 1 = 0 :
(1 0 )
p5 ¡ 5 p3 + 5 p + 2 = 0 :
(1 1 )
¡p5 + 4 p3 q ¡ 3 pq 2 ¡ 1
= ¡p ¡ x02 (òåîðåìà Âèåòà). Îêîí÷àòåëüíî
p4 ¡ 3 p2 q + q 2
¡qp3 + 2 q 2 p + 1
:
(9 )
x02 = 4
p ¡ 3 p2 q + q 2
2
Ïîäñòàâëÿÿ (9) â f0 ( x) = x + px + q = 0 , ïîëó÷àåì êîíå÷íîå ïàðàìåòðè÷åñêîå
óðàâíåíèå
À òîãäà x01 =
Ñîãëàñíî (10) ëþáàÿ ïàðà ( p; q) , óäîâëåòâîðÿþùàÿ ýòîìó ïàðàìåòðè÷åñêîìó óðàâíåíèþ, ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ, ó êîòîðîãî
ðîâíî îäèí îáùèé ÷èñëîâîé êîðåíü ñ óðàâíåíèåì x5 ¡ 1 = 0 . Ïðè q = ¡1
ïîëó÷àåì î÷åâèäíîå ðàçëîæåíèå p( p4 + 5 p2 + 5 ) = 0 . Ïàðà ( p; q) = ( 0 ; 1 ) äà¸ò
x2 ¡ 1 = 0 , ò.å. x02 = 1 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì x5 ¡ 1 = 0 (íåïåðâîîáðàçíîé).
Âñå îñòàëüíûå âîçìîæíûå ïàðû ( p; q) = ( p; ¡1 ) , ãäå p ÿâëÿåòñÿ êîðíåì
4
p + 5 p2 + 5 = 0 , äàþò âñå ìíîæåñòâî êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé, ó êîòîðûõ îäèí
èç ÷èñëîâûõ êîðíåé ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç ïåðâîîáðàçíûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ
x5 ¡ 1 = 0 . Èñòîðè÷åñêè Ãàóññ ñâåë çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ êîðíåé
ê öåïè óðàâíåíèé áîëåå íèçøèõ ñòåïåíåé, ïðè÷åì ïîñëåäíåå çâåíî ýòîé öåïè
åñòü óðàâíåíèå ñ åäèíè÷íûì ñâîáîäíûì ÷ëåíîì. Ñëåäóÿ Ãàóññó, âûäåëèì âåñü
âîçìîæíûé ñïåêòð ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (10) ïðè q = 1 , èíà÷å
Ðàçëîæèì (11) ïî íåîïðåäåë¸ííûì êîýôôèöèåíòàì:
p5 ¡ 5 p3 + 5 p + 2 = ( p2 + a1 p + a2 ) ( p3 + b1 p2 + b2 p + b3 ) :
Èìååì 8
>
a1 + b1 = 0
>
>
>
>
>
< a2 + b2 + a1 b1 = ¡5
b3 + a1 b2 + b1 a2 = 0
>
>
>
a1 b3 + a2 b2 = 5
>
>
>
: a b =2
3 2
8
¡a22 + ( 3 a21 ¡ 5 ) a2 + 5 a21 ¡ a41 ¡ 5 = 0
>
>
>
>
>
>
<
2 a1 a22 + ( 5 a1 ¡ a31 ) a2 ¡ 2 = 0
)
>
>
>
>
>
2 ( a1 + 1 ) ( a41 ¡ a31 ¡ 4 a21 + 4 a1 + 1 )
>
: a2 =
5 ( a1 + 1 ) ( a1 ¡ 1 )
1 3 6
(1 2 )
Ñëó÷àþ a1 = ¡1 ñîîòâåòñòâóåò a2 = ¡1 , ò.å. p2 ¡ p ¡ 1 = 0 (èìåííî ýòîò
ñëó÷àé áûë íàéäåí Ãàóññîì), îäíàêî èç (12) ñëåäóåò (ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà
a1 + 1 6= 0 ) îáùåå óñëîâèå:
( a81 ¡ 2 a71 ¡ 1 2 a61 + 2 6 a51 + 2 0 a41 ¡ 4 4 a31 ¡ 7 a21 + 1 8 a1 ¡ 4 ) =
= ( a1 + 1 ) 2 ( a21 ¡ 3 a1 + 1 ) 2 ( a21 + 2 a1 ¡ 4 ) = 0 :
(1 3 )
Íàïðèìåð,
a!21 ¡ 3 a1 + 1 = 0 ñîîòâåòñòâóþò ïàðû ( p; q) =
! à ñëó÷àþ
p
p
¡1 + 5
¡1 ¡ 5
;1 ;
; 1 , äëÿ êîòîðûõ îäèí èç ÷èñëîâûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ
2
2
f0 ( x) = x2 +px+q = 0 çàâåäîìî åñòü ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ x5 ¡1 = 0 .
Ïåðåõîäèì ê âû÷èñëåíèþ ïåðâîîáðàçíûõ êîðíåé x7 ¡ 1 = 0 . µ
¶
q
 ïðåäåëàõ òîé æå ñàìîé àëãåáðû (2), âîçâåäÿ ëèàíèò ¾ = ¡p;
â
p
ñåäüìóþ ñòåïåíü è ïîäñòàâëÿÿ åãî â f ( x) = x7 ¡ 1 , äàëüøå, ïî ôîðìóëå (3),
ïîëó÷àåì
Ã
'( p; q) = p6 ¡ 5 p4 q + 6 p2 q2 ¡ q3 :
(1 4 )
Ñëåäîâàòåëüíî, âèä îáùåãî ÷èñëîâîãî êîðíÿ x02 ìåæäó óðàâíåíèÿìè
f0 ( x) = x2 + px + q è x7 ¡ 1 = 0 äàåòñÿ ïî ôîðìóëå
x02 =
¡p5 q + 4 p3 q 2 ¡ 3 pq 3 + 1
:
p6 ¡ 5 p4 q + 6 p2 q 2 ¡ q 3
(1 5 )
Ïîäñòàâëÿÿ (15) â óðàâíåíèå f0 ( x) = x2 + px + q = 0 , ïîëó÷àåì
p7 ¡ 7 qp5 + 1 4 q 2 p3 ¡ 7 q 3 p + q 7 + 1 = 0 :
(1 6 )
(Êîíå÷íî, ñîîòâåòñòâóþùèå âûêëàäêè îêàæóòñÿ íàìíîãî ïðîùå, åñëè
çàðàíåå âçÿòü êîíêðåòíîå çíà÷åíèå p èëè æå q, íàïðèìåð q = ¡1 ). Óðàâíåíèå
(16) ïðè q = ¡1 ðåøàåòñÿ òðèâèàëüíî:
p( p6 + 7 p4 + 1 4 p2 + 7 ) = 0 :
(1 7 )
Îáîçíà÷àÿ p2 = z, ïðèõîäèì ê êîíå÷íîìó óðàâíåíèþ
z3 + 7 z2 + 1 4 z + 7 = 0 :
(1 8 )
p
Ïðè êàæäîì èç z ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïàðà ( p; q) = ( § z; ¡1 ) ïðèâîäèò
p
ê óðàâíåíèþ f0 ( x) = x2 + ( § z) x ¡ 1 = 0 , ó êîòîðîãî îäèí èç ÷èñëîâûõ
êîðíåé çàâåäîìî ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì óðàâíåíèÿ x7 ¡ 1 = 0 .
(18) íåïðèâîäèìî â ñìûñëå Êàðäàíî, ñëåäîâàòåëüíî, åãî êîðíè íå ìîãóò
áûòü âûðàæåíû ÷åðåç êâàäðàòíûå ðàäèêàëû.
Ñëó÷àé n = 1 1 (ñëó÷àé
Âàíäåðìîíäà) âû÷èñëÿåòñÿ ïî òîé æå ñòàíäàðòíîé ñõåìå.
 èòîãå äëÿ
êîíå÷íîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïîëó÷àåì
q 11 ¡ 1 1 pq5 + 5 5 p3 q 4 ¡ 7 7 p5 q 3 + 4 4 p7 q 2 ¡ 1 1 p9 q + p11 + 1 = 0 :
1 3 7
(1 9 )
Åñëè âçÿòü q = ¡1 è îáîçíà÷èòü z = p2 , òî ïîëó÷àåòñÿ ðàçðåøèìîå â ðàäèêàëàõ
óðàâíåíèå ïÿòîé ñòåïåíè
z5 + 1 1 z4 + 4 4 z3 + 7 7 z2 + 5 5 z + 1 1 = 0 :
(2 0 )
Îòìåòèì ëèøü, ÷òî ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ (20)
ðàçëàãàåòñÿ íà òàêèå ìíîæèòåëè 2-é è 3-é ñòåïåíè, êîýôôèöèåíòû êîòîðûõ
âû÷èñëÿþòñÿ êàê ÷èñëîâûå êîðíè îïðåäåëåííîãî óðàâíåíèÿ 3-é ñòåïåíè.
Ïðèíöèïèàëüíî âàæíûì ñëó÷àåì, îäíàêî, ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìûé
ñëó÷àé Ãàóññà [3], à èìåííî, âûäåëåíèå ïåðâîîáðàçíûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ
x17 ¡ 1 = 0 ÷åðåç êâàäðàòíûå ðàäèêàëû. Ýòîò ñëó÷àé è ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé öåëüþ
íàñòîÿùåé ñòàòüè, è ìû èçëîæèì ïðîöåññµíàõîæäåíèÿ
êîðíåé áîëåå ïîäðîáíî.
¶
q
Âîçâåäÿ ëèàíèòîâîå ðåøåíèå ¾ = ¡p;
èñêîìîãî óðàâíåíèÿ f0 ( x) =
p
x2 + px + q = 0 â 17-þ ñòåïåíü è ñëåäóÿ ñòàíäàðòíîé ïðîöåäóðå èñïîëüçîâàíèÿ
ôîðìóëû (3), ïîëó÷àåì
'( p; q) = [p16 ¡ 1 5 p14 q + 9 1 p12 q 2 ¡ 2 8 6 p10 q 3 + 4 9 5 p8 q4 ¡ 4 6 2 p6 q 5 + 2 1 0 p4 q 6 ¡
¡ 3 6 p2 q 7 + q 8 ]:
(2 1 )
Êîíå÷íî æå, ìîæíî èçáåãàòü ãðîìîçäêîñòè, çàðàíåå ïîäáèðàÿ îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå äëÿ p èëè q ïàðàìåòðîâ, îäíàêî, äóìàåòñÿ, ñòîèò ïðèâåñòè
íàèáîëåå îáùèé âèä ïàðàìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Èòàê, ïî óæå èçâåñòíîé
ñõåìå ïîñðåäñòâîì (21) íàõîäèì îáùèé êîðåíü ìåæäó óðàâíåíèÿìè x17 ¡ 1 = 0
è x2 +px +q, äàëüøå, ïîäñòàâëÿÿ x02 â óðàâíåíèå f0 ( x) = x2 +px+q = 0 , ïîëó÷àåì
q 17 + 1 7 pq 8 ¡ 2 0 4 p3 q 7 + 7 1 4 p5 q 6 ¡ 1 1 2 2 p7 q 5 + 9 3 5 p9 q 4 ¡ 4 4 2 p11 q 3 + 1 1 9 p13 q 2 ¡
¡ 1 7 p15 q + p17 + 1 = 0 :
(2 2 )
Ïðè çíà÷åíèè q = ¡1 , îáîçíà÷àÿ p2 = z, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå 8-é ñòåïåíè
z8 + 1 7 z7 + 1 1 9 z6 + 4 4 2 z5 + 9 3 5 z4 + 1 1 2 2 z3 + 7 1 4 z2 + 2 0 4 z + 1 7 = 0 :
(2 3 )
Êàê è â ñëó÷àå x11 ¡ 1
= 0 , óðàâíåíèå íå òîëüêî ýôôåêòèâíî
ðàçëàãàåòñÿ íà ìíîæèòåëè, íî è êîýôôèöèåíòû ýòèõ íîâûõ ìíîãî÷ëåíîâ
ôèãóðèðóþò êàê ÷èñëîâûå êîðíè îïðåäåëåííûõ êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé ñ
öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè. Äåéñòâèòåëüíî, ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì z =
z0 ¡ 2 ïðåîáðàçóåì (23) ê áîëåå ïðîñòîìó âèäó
z08 + z07 ¡ 7 z06 ¡ 6 z05 + 1 5 z04 + 1 0 z03 ¡ 1 0 z02 ¡ 4 z0 + 1 = 0 :
(2 4 )
Ïðèìåíÿÿ ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ, ïðåäñòàâèì (24) â
âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ 4-é ñòåïåíè:
f( z0 ) = ( z04 + a1 z03 + a2 z02 + a3 z0 + a4 ) ( z04 + b1 z03 + b2 z02 + b3 z0 + b4 ) :
1 3 8
(2 5 )
Èìååì:
a1 + b1 = 1 ;
a2 + b2 + a1 b1 = ¡7 ;
a3 + b3 + a1 b2 + b1 a2 = ¡6 ;
a4 + b4 + a1 b3 + b1 a3 + a2 b2 = 1 5 ;
a1 b4 + b1 a4 + a2 b3 + b2 a3 = 1 0 ;
a2 b4 + b2 a4 + a3 b3 = ¡1 0 ;
a3 b4 + b3 a4 = ¡4 ;
a 4 b4 = 1 :
(2 6 )
Êàê ïðàâèëî, ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ ýôôåêòèâíûé, åñëè
ñî÷åòàåòñÿ ñ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì. Çàìå÷àÿ, ÷òî â (25) f ( 0 ) = 1 è f ( 1 ) = 1 ,
âîçíèêàåò ”ïîäîçðåíèå”, ÷òî ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèå, ïðè êîòîðîì ëèáî a4 = 1 ,
b4 = 1 , ëèáî æå a4 = b4 = ¡1 . Èìåííî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî a4 = b4 = ¡1 ,
èçáàâëÿåò íàñ îò íåîáõîäèìîñòè ïîäûñêàòü âåñü âîçìîæíûé ñïåêòð ðåøåíèé
ñèñòåìû (26). Â (26) èç óñëîâèÿ a4 = ¡1 , b4 = ¡1 íåìåäëåííî âûòåêàåò
8
1 1 + 7 a3 + a1 a3 ¡ a21 a3
a21 ¡ a31 + 7 a1 ¡ 1 0
>
>
>
=
;
a
=
< 2
1 ¡ 2 a1
4 ¡ 2 a3
(2 7 )
2
3
>
¡5
1
+
5
0
a
+
4
a
¡
4
a
1
>
1
1
>
:
: a3 =
¡1 3 + a1 ¡ a21
Èç (27) íåìåäëåííî ñëåäóåò ñèñòåìà
(
a81 ¡ 4 a71 ¡ 2 7 a61 + 9 5 a51 + 8 3 a41 ¡ 3 2 9 a31 + 6 1 a21 + 1 2 0 a1 ¡ 5 6 0 = 0 ;
a61 ¡ 3 a51 ¡ 2 0 a41 + 4 5 a31 + 9 6 a21 ¡ 1 1 9 a1 ¡ 1 7 2 = 0 :
(2 8 )
Ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà Åâêëèäà ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî êâàäðàòíûé
òð¸õ÷ëåí f( a1 ) = a21 ¡a1 ¡4 ÿâëÿåòñÿ îáùèì ìíîæèòåëåì äëÿ îáîèõ ìíîãî÷ëåíîâ
(28).
Âåñü âîçìîæíûé ñïåêòð ðåøåíèÿ ñèñòåìû (26) ìîæíî ïîëó÷èòü,
ïðèìåíÿÿ èíûå, áîëåå ìîùíûå ïîäõîäû, îäíàêî äëÿ íàøåé öåëè äîñòàòî÷íî
ñóùåñòâîâàíèÿ
òð¸õ÷ëåíà f ( a1 ) = a21 ¡ a1 ¡ 4 , ÷èñëîâûå êîðíè êîòîðîãî
p
1 § 1 7
a1 =
. Èç ñèñòåìû (26) òîãäà ìîæíî âû÷èñëèòü òàêæå âñå îñòàëüíûå
2
êîýôôèöèåíòû, èáî a4 = b4 = ¡1 óæå çàðàíåå èçâåñòíû. Îêîí÷àòåëüíî èìååì
ðàçëîæåíèå âèäà
z08 + z07 ¡ 7 z06 ¡ 6 z05 + 1 5 z04 + 1 0 z03 ¡ 1 0 z02 ¡ 4 z0 + 1 =
"
#
p
p
p
1
+
1
7
1
7
¡
3
= z04 +
z03 +
z02 + ( 2 ¡ 1 7 ) z0 ¡ 1 £
2
2
"
#
p
p
p
1
7
¡3
¡
1
7
1
¡
£ z04 +
z03 +
z02 + ( 2 + 1 7 ) z0 ¡ 1 :
2
2
(2 9 )
Êàæäàÿ èç ñêîáîê ðàçëîæåíèÿ, îêàçûâàåòñÿ, ðàçëàãàåòñÿ íà äâà êâàäðàòíûõ òð¸õ÷ëåíà. Ðàçëîæèì, íàïðèìåð, ïåðâóþ ñêîáêó. Èìååì
p
p
p
1 + 1 7 3
1 7 ¡3 2
4
F ( z0 ) = z0 +
z0 +
z0 + ( 2 ¡ 1 7 ) z0 ¡ 1 =
(3 0 )
2
2
= ( z02 + k1 z0 + k2 ) ( z02 + k3 z0 + k4 ) :
1 3 9
针֌:
p
p
p
1 7 +1
1 7 ¡3
k1 + k3 =
; k2 + k4 + k1 k3 =
; k1 k4 + k2 k3 = 2 ¡ 1 7 ; k2 k4 = ¡1 : ( 3 1 )
2
2
Êîýôôèöèåíòû
K1 , K3 îêàçûâàþòñÿ ÷èñëîâûìè êîðíÿìè óðàâíåíèÿ x2 ¡
p
1 + 1 7
x ¡ 1 = 0 . À èìåííî
2
q
q
p
p
p
p
1 7 +1 ¡ 2 ( 1 7 + 1 7 )
1 7 +1 + 2 ( 1 7 + 1 7 )
K1 =
; K3 =
:
(3 2 )
4
4
À òîãäà èç ñèñòåìû (31) ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû êîýôôèöèåíòû K2 , K4 :
q
q
p
p
p
p
1 7 ¡1 + 2 ( 1 7 ¡ 1 7 )
1 7 ¡1 ¡ 2 ( 1 7 ¡ 1 7 )
K4 =
; K2 =
:
(3 3 )
4
4
Èòàê, èìååì
q
q
p
p
p
p
1 7 +1 ¡ 2 ( 1 7 + 1 7 )
1 7 ¡1 ¡ 2 ( 1 7 ¡ 1 7 )
z02 + k1 z0 + k2 = z02 +
z0 +
=0 :
4
4
p
Íàéäÿ z0 , ïîëó÷èì è z = z0 ¡ 2 = p2 . Ñëåäîâàòåëüíî, p = § z0 ¡ 2 .
Îêîí÷àòåëüíî, îäèí èç ÷èñëîâûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x2 + px ¡ 1 = 0 (âñïîìíèì,
÷òî âçÿò áûë ñëó÷àé q = ¡1 ) çàâåäîìî ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ
x17 ¡ 1 = 0 . Âîîáùå ëþáîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (23) âåäåò ê íàõîæäåíèþ
èñêëþ÷èòåëüíî òîëüêî ïåðâîîáðàçíûõ êîðíåé, èáî ïðè q = ¡1 ñëó÷àþ p = 0
ñîîòâåòñòâóåò óðàâíåíèå x2 ¡ 1 = 0 è êîðåíü x = 1 ñîâïàäàåò ñ åäèíè÷íûì
ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ x17 ¡ 1 = 0 .
Çàêëþ÷åíèå.  ðàáîòå ðàññìîòðåíà çàäà÷à î íàõîæäåíèè ÷èñëîâûõ
è íå÷èñëîâûõ êîðíåé óðàâíåíèé äåëåíèÿ êðóãà ñ ïðèìåíåíèåì àïïàðàòà
ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ðàçâèòîãî â ïðåäûäóùèõ ðàáîòàõ [1,2].
Ïîäðîáíî ðàçîáðàíû óðàâíåíèÿ ñî ñòåïåíÿìè n = 5 ; 7 ; 1 1 , à òàêæå n =
1 7 (çíàìåíèòûé ñëó÷àé Ãàóññà). Äëÿ óðàâíåíèé ïåðå÷èñëåííûõ ñòåïåíåé
íàéäåíû ÷èñëîâûå è íå÷èñëîâûå êîðíè. Íåñìîòðÿ íà ãðîìîçäêîñòü âû÷èñëåíèé, ïðåäëàãàåìûé ïîäõîä ðåøåíèÿ óðàâíåíèé äåëåíèÿ êðóãà îòëè÷àåòñÿ
êîíöåïòóàëüíîé ïðîñòîòîé è ëåãêî àëãîðèôìèðóåòñÿ.
Ïðåäëàãàåìûé ïîäõîä ðåøåíèÿ óðàâíåíèé äåëåíèÿ êðóãà ÿâëÿåòñÿ áîëåå
óíèâåðñàëüíûì è ïðàêòè÷íûì ïî ñðàâíåíèþ ñî ñòàíäàðòíûìè ãðóïïîâûì
ïîäõîäîì òåîðèè Ãàëóà.
Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Åðåâàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
1 4 0
Ë. Â. Àêîïÿí
Îá óðàâíåíèè äåëåíèÿ êðóãà
 ðàáîòå ðàññìîòðåí êëàññ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ðåøåíèÿìè êîòîðûõ
ÿâëÿþòñÿ êîðíè èç åäèíèöû ðàçëè÷íîé ñòåïåíè (ò.í. ïðîáëåìà êîðíåé ìíîãî÷ëåíîâ
äåëåíèÿ êðóãà èëè çàäà÷à Ãàóññà).  õîäå ðàáîòû äàíî ñèñòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå
àïïàðàòà è ñðåäñòâ ëèàíèòîâûõ [1, 2] àëãåáð, ïîñðåäñòâîì êîòîðûõ çàäà÷à ìîæåò
áûòü ðåøåíà â îáùåì ñëó÷àå. Ïðîäåìîíñòðèðîâàíî ïðèíöèïèàëüíîå ïðåèìóùåñòâî
ïðåäëàãàåìîãî ìåòîäà ïåðåä ñòàíäàðòíûìè ãðóïïîâûì ïîäõîäîì òåîðèè Ãàëóà.
È. ì. гÏáµÛ³Ý
Þñç³ÝÇ Ñ³í³ë³ñ Ù³ë»ñÇ µ³Å³ÝÙ³Ý Ù³ëÇÝ
Ðá¹í³ÍáõÙ áõëáõÙݳëÇñíáõÙ »Ý ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñ, áñáÝó ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ
ï³ñµ»ñ ³ëïÇ׳ÝÇ ³ñÙ³ïÝ»ñ »Ý Ù»ÏÇó (³Ûëå»ë Ïáãí³Í ¶³áõëÇ ËݹÇñÁ): ÎÇñ³éí³Í
¿ ÁݹѳÝáõñ áã Ãí³ÛÇÝ Ùáï»óáõÙ ó³Ýϳó³Í ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ýϳïٳٵ:
Ðá¹í³Íáõ٠ݳ»õ í»ñÉáõÍí³Í »Ý ³é³ç³ñÏí³Í Ùáï»óÙ³Ý ï»ë³Ï³Ý »õ ÏÇñ³é³Ï³Ý ³é³í»ÉáõÃÛáõÝÝ»ñÁ
ËÙµ»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý Ñ³Ý¹»å:
L.V. Hakobyan
The Solution of Cyclotomic Equations within the Framework of Lianit Algebra
The paper studies a set of algebraic equations the solutions of which are given as
roots of identity at various powers (the so called problem of cyclotomic equations also
known as the Problem of Gauss). A general lianit [1, 2] algebra approach is successfully
applied to the problem of solving cyclotomic equations of arbitrary powers. The analysis
of the advantages in the proposed approach versus the classical group approach in both
theoretical and practical aspects is discussed as well.
Ëèòåðàòóðà
1. Àêîïÿí Ë.Â. - Ó÷. çàïèñêè ÅÃÓ. 2007. N2. Ñ. 23-34.
2. Àêîïÿí Ë.Â. - Ó÷. çàïèñêè ÅÃÓ. 2007. N3. Ñ. 33-43.
3. Ïîñòíèêîâ Ì.Ì. Òåîðèÿ Ãàëóà. Ì. Ôèçìàòãèç. 1963.
1 4 1