§ 7. Многообразия.

§ 7. Многообразия.
rr
r
Если в аффинном пространстве An задать систему координат (Oe1e2 ...en ) , то
каждая точка x ∈ An имеет координатами n-местный кортеж действительных
чисел ( x1 ,..., x n ) , который является точкой пространства R n :
( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R n .
Таким образом, задание аффинной
системы координат в пространстве An
определяет отображение f : An → R n . Легко
убедиться, что f взаимно – непрерывно и
биективно, то есть f – гомеоморфизм.
Вывод: систему координат в An (также как
и декартову систему координат в En ) можно
рассматривать как гомеоморфизм топологического пространства An
на числовое пространство R n (с естественной топологией).
Теперь вместо An рассмотрим некоторое топологическое пространство Х
вообще.
Пусть (Х,Т) – отделимое топологическое пространство.
Определение 1. n – мерной координатной системой (или n – мерной картой)
называется гомеоморфизм ϕ : U → F некоторого открытого подмножества
U ⊂ X на открытое подмножество F ⊂ R n (или на все R n ).
Замечание: если X = An , то n – мерная координатная система ϕ − система коrr r
ординат (Oe1e2 ...en ) .
Определение 2. Открытое множество U называют координатной окрестностью карты ϕ .
Если x ∈ U , то ϕ ( x) = ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R n .
Определение 3. Вещественные числа x1 ,...x n называют координатами точки
Х в данной карте ϕ .
Замечание: иногда картой называют пару (U ,ϕ ) .
Определение 4. n – мерным топологческим многообразием X n называется
связное топологическое пространство (Х,Т) со счетной базой, если существу-
ет накрытие этого пространства координатными окрестностями n – мерных
карт.
Примеры: числовое пространство R n связно, отделимо, имеет счетную базу.
В качестве карты ϕ можно взять тождественное преобразование пространства R n (координатная окрестность этой карты – все R n ). Следовательно, R n − n
– мерное многообразие.
Аналогично: An , En , Pn − многообразия n – мерные.
На плоскости E2 рассмотрим окрестность γ радиуса r . Выберем прямоrr
угольную систему координат Oi j с началом в центре О окрестности;
M , N − точки пересечения с осью Oy .
U1 = γ \ {M }
(окрестность
γ
«проколотая» в точке М);
U 2 = γ \ {N }.
Отображение ϕ : U1 → Ox по правилу:
если A ∈ U1 , то ϕ ( A) = A0 = MA I Ox .
ψ : U 2 → Ox .
U1 ,U 2 − открытые
множества
на
окрестности γ ; ϕ и ψ - гомеоморфизмы открытых множеств U1 и U 2 на ось
Ox (гомеоморфно R ). Следовательно, (U1 ,ϕ ) и (U 2 ,ψ ) − одномерные карты окрестности γ .
На окрестности U1 и U 2 покрывают всю окрестность γ (U1 ∪ U 2 = γ ) .
Окружность γ − одномерное многообразие.
Замечание: в пространстве E3 сфера S является двумерным многообразием.
Другие примеры: эллипсоид, гиперболоид, параболоид, цилиндр второго
порядка.
Обозначим через R+n множество тех точек ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R , у которых x n ≥ 0
(то есть замкнутое полупространство в R ).
Определение 5. n – мерным многообразием с краем называется отделимое пространство (Х,Т) со счетной базой, если его
точки можно разбить на 2 непустых класса
так, что каждая из точек одного класса
(точки внутренние) имеют окрестность гомеоморфную пространству R n , а каждая из
точек другого класса (точки краевые) име-
ют окрестность, гомеоморфную R+n , но не имеет окрестности гомеоморфной
Rn .
Определение 6. Множество всех краевых точек называется краем.
Примеры: 1) отрезок [a, b] числовой прямой является одномерным многообразием с краем. Край состоит из точек а и b. Замкнутый луч.
Замечание: можно доказать, что любое связное одномерное многообразие с
краем гомеоморфно либо отрезку, либо лучу замкнутому.
2) Выпуклый многоугольник – двумерное многообразие с краем (край –
граница многоугольника). Замнутая евклидова полуплоскость –
некомпактное многообразие с краем.
3)
Интересным
примером
двумерного многообразия с краем в
R 3 является так называемый лист
Мебиуса. Он выглядит как результат
склеивания концов перекрученной
полоски бумаги. Это простейшая
одностороняя поверхность (начав
красить его с любого места, вы непременно закрасите его целиком – “со всех
сторон”).
rr r
E3 зададим прямоугольную систему координат (Oi j k ) и в плоскости Oxy
рассмотрим прямоугольник ABCD = {M ( x, y,0)} , такой, что x ≤ a, y ≤ b, a, b >0.
Каждой точке M (a, y ) отождествляем точку M ′(−a,− y ) , симметричной ей относительно точки О.
Получим фигуру Φ , на которой топология из E3 индуцирует некоторую
топологию Т1 .
Топологическое пространство (Φ, Т1 ) называется листом Мебиуса. Лист
Мебиуса – двумерное многообразие с краем. Лист Мебиуса можно получить
склеиванием прямоугольника ABCD по направленным отрезкам BC и DA
(точку B отождествляем с D , точку A - с C ).
Край листа Мебиуса гомеоморфен окружности.
Если в четырехугольнике ABCD любой точке M ( x, b) отождествить точку
M ′( x,−b) , симметричной относительно Oy , то получим фигуру F , на которой
топология из E3 индуцирует некоторую топологию Т 2 . Пространство ( F , Т 2 ) двумерное многообразие с краем. Край состоит из двух фигур, любая из которых гомеоморфна окружности. ( F , Т 2 ) − трубка.
Примеры двумерных многообразий с краем: а) круг, кольцо, круг с дырами
(замыкания различных плоских областей).
б) тор с дырами, крендель с дырой (замыкание открытых множеств в двумерных многообразиях без края.
§ 8. Понятие о клеточном разложении. Эйлерова характеристика многообразия.
Определение 1. Клеткой называется всякое
многообразие
с краем, гомеоморфное
выпуклому многоугольнику. Гомеоморфный
образ вершины многоугольника называется
вершиной
клетки,
образ
стороны
многоугольника – стороной клетки.
Определение 2. Говорят, что двумерное
многообразие Φ разложено на на конечное
множество клеток Φ1 , Φ 2 ,..., Φγ , если выполнены два условия:
1) Φ = ∪Φ i (клетки Φ i образуют покрытие Φ );
2) пересечение любых двух клеток Φ i и Φ j (i ≠ j ) либо пусто, либо является общей вершиной этих клеток, либо их общей стороной.
Например, грани простой многогранной поверхности – выпуклые многоугольники, образуют ее клеточное разложение. Примеры – додекаэдр, икосаэдр.
Замечание: Всякое двумерное компактное многообразие (сфера) с краем
можно разложить клетки (их конечное число), причем несколькими способами.
Пусть Φ − компактное либо компактное двумерное многообразие. K - его
клеточное разложение. Будем называть точку x ∈ Φ вершиной разложения K ,
если она является вершиной хотя бы одной клетки из K . Подмножество
γ ⊂ Φ назовем стороной разложения K , если оно является стороной хотя бы
одной клетки из K .
Обозначим:
α 0 − число вершин;
α1 − число сторон;
α 2 − число клеток разложения K .
Определение 6. Число X (Φ) = α 0 − α1 + α 2 называется эйлеровой характеристикой (или характеристикой Эйлера – Пуанкаре) многообразия Φ .
Замечание: можно доказать:
1) эйлерова характеристика не зависит от выбора клеточного разложения
K;
2) эйлерова характеристика является топологическим инвариантом многообразия.
Действительно, пусть f - гомеоморфизм, Φ′ = f (Φ) ; f переводит клеточное разложение K многообразия Φ в некоторое клеточное разложение K ′
многообразия Φ′ . При этом K ′ имеет те же числа α 0 , α1 , α 2 . Следовательно,
X (Φ ) = X (Φ ) .
Пример: найдем эйлерову характеристику сферы S .
В сферу впишем тетраэдр, поверхность Φ которого – двумерное компактное многообразие.
X (Φ ) = 4 − 6 + 4 = 2 ;
Пусть О – внутренняя точка тетраэдра;
рассмотрим отображение f : Φ → S по
правилу:
∀( M 0 ∈ Φ )
f ( M 0 ) = M = OM ∩ S .
f − гомеоморфизм.
f (Φ ) = S ⇒ X ( S ) = 2 .
f : Φ → S − центральное проектирование
тетраэдра Φ на сферу S из центра О. f −
гомеоморфизм.
Контрольный вопрос: чему равны эйлеровы характеристики икосаэдра, додекаэдра? (2).
§ 9. Ориентируемые и неориентируемые двумерные многообразия.
K − разложение на клетки двумерного многообразия Φ . ABCDE − одна из
клеток разложения K .
Определение
1.
Сторона
клетки
называется ориентированной, если указан
порядок ее вершин.
AB
BA
Например,
стороны
и
ориентированы противоположно. Если считать одну из сторон клетки ориентированной,
то можно ввести согласованную ориентацию
всей границы клетки.
Определение
2.
Клетка
называется
ориентированной, если ориентирована ее
граница.
Замечание: каждую клетку
ориентировать двумя способами.
можно
Пусть Φ1 и Φ 2 - две клетки с общей
стороной.
Определение 3. Если в ориентациях клеток Φ1 и Φ 2 их общая сторона получает противоположные ориентации, то говорят, что клетки Φ1 и Φ 2 одина-
ково ориентированы. Если же общая сторона получает одинаковую ориентацию, то клетки противоположно ориентированы.
Определение 4. Многообразие Φ называется ориентируемым, если существует его клеточное разложение, в котором клетки можно ориентировать
так, что каждые две клетки, имеющие общую сторону будут одинаково ориентированы. Если же такого разложения не существует, то многообразие Φ
называется неориентируемым.
Замечание: 1) легко проверить, что
поверхность Φ тетраэдра ориентируема.
2) Свойство
многообразия
быть
ориентированным
(неориентируемым)
является
топологическим инвариантом.
Действительно гомеоморфизм f : Φ → Φ′
ориентированное многообразие)
(Φ −
переводит клеточное разложение K
многообразия Φ в некоторое клеточное
разложение K ′ многообразия Φ′ , причем ориентация любой клетки сохраняется. Следовательно, каждые две клетки многообразия Φ′ , имеющую общую
сторону, одинаково ориентированы. Следовательно, Φ′ − ориентируемо.
Так как поверхность тетраэдра ориентируема, то ориентируема гомеоморфная ей сфера, а следовательно, и гомеоморфная сфере поверхность любого
выпуклого многогранника.
Примером неориентируемого компактного многообразия с краем является
лист Мебиуса. Он может быть получен из прямоугольника ABCD склеиванием по направленным отрезкам BA и DC . Ориентируя клетки ABFE и FCDE ,
начиная со сторон EF получаем, что общая сторона BA = DC получила одинаковую ориентацию. Следовательно, лист Мебиуса неориентируем.
§ 10. Понятие об условиях гомеоморфизма компактных двумерных многообразий. Теорема Эйлера для многогранников.
Пусть S = S (O, r ) - сфера в пространстве E3 . Пересечем ее плоскостью Π ,
расстояние h от точки O до которой удовлетворяет условию: 0 < h < r , и
пусть
F={M∈S | M и О лежат по разные стороны от П}.
Фигура Q1 = S \ F есть многообразие с краем. Оно гомеоморфно замкнутому
кругу.
Определение 1. Многообразие Q1 называется сферой с одной дырой.
Замечание: 1) Q1 гомеоморфно замкнутому кругу, а замкнутый круг гомеоморфен треугольнику. Следовательно, X (Q1 ) = 1 .
2) Аналогично можно получить Qr - сферу с
r дырами. Причем эти дыры таковы, что
никакие две окружности, образующие
край многообразия, не имеют общих
точек.
Пусть Q2 - сфера с двумя дырами. Ее край
состоит из двух окружностей γ 1 и γ 2 . Ручка F
также является многообразием с краем. Край
также состоит из двух одномерных компактных
многообразий γ 1′ и γ 2′ гомеоморфных окружностям.
Следовательно, возможны гомеоморфизмы:
f1 : γ 1 → γ 1′
f 2 : γ 2 → γ 2′
Склеим многообразия Q2 и F
по
гомеоморфизмам f1 и f 2 так, чтобы
внутренние точки ручки были внешними
отношениями шара, граница которого
содержит сферу.
Полученное многообразие называется
сферой с одной ручкой. Оно гомеоморфно
тору.
Определение 2. Тором наывается поверхность,
образованная вращением некоторой окружности вокруг
некоторой оси, лежащей с окружностью в одной
плоскости.
Сфера с двумя ручками гомеоморфна кренделю.
Пусть Q2 p + r - сфера с 2 p + r дырами. p пар этих дыр мы заклеим ручками, а
остальные r дыр оставим. Получим многообразие Q p , r - сфера с р ручками и r
дырами.
Сфера с одной ручкой и одной дырой гомеоморфна тору с одной дырой.
Двойная перекрученная лента гомеоморфна кольцу.
Многообразие Q2 (сфера с двумя дырами) гомеоморфна замкнутому кругу с
дырой. Найдем его эйлерову характеристику X (Q2 ) . Произведем клеточное
разложение:
α 0 = 6; α1 = 9; α 2 = 3 . X (Q2 ) = 6 − 9 + 3 = 0.
Сфера с двумя ручками гомеоморфна кренделю.
Окружность гомеоморфна заузленной окружности.
В топологии доказывают следующую теорему.
Теорема 1. Всякое ориентируемое компактное двумерное многообразие гомеоморфно некоторому многообразию Q p ,0 (сфере с р ручками);
всякое ориентируемое компактное двумерное многообразие с
краем гомеоморфно некоторому многообразию Q p , r (с р ручками
и r дырами).
Определение 3. Число р называют родом, а число r – числом контуров многообразия.
Теорема 2. Каждая дыра уменьшает эйлерову характеристику на единицу,
т.е.
X (Qr ) = 2 − r
(1).
Доказательство. Рассмотрим Qr - сферу с r дырами. Если мы заклеим каждую из этих дыр клеткой, то получим многообразие Φ , гомеоморфное сфере.
Пусть К - клеточное разложение Qr . Возьмем клеточное разложение K ′
многообразия Φ с теми же вершинами и сторонами, что и у разложения K .
Следовательно, число клеток у K ′ на r единиц больше, т.е.
α 0′ = α 0 ; α1′ = α1; α 2′ = α 2 + r .
Следовательно,
X (Φ ) = X (Qr ) + r ⇒ X (Qr ) = X (Φ ) − r .
Но Φ гомеоморфно сфере, следовательно, X (Φ ) = 2 ⇒ X (Qr ) = 2 − r.
Теорема доказана.
Теорема 3. X (Q p , r ) = 2 − 2 p − 2.
(2).
Теорема 4. (критерий гомеомофности двух ориентируемых компактных многообразий): два ориентируемых компактных многообразия гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же
род (или одну и ту же эйлерову характеристику).
Теорема 5. Два ориентируемых компактных многообразия с краем
гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один и
тот же род и одно и то же число контуров ( p = p′, r = r ′ ).
Сферы с пленками.
В случае неориентируемых многообразий дело обстоит сложнее. Рассмотрим, например, лист Мебиуса. Его край гомеоморфен окружности. Следовательно, можно взять сферу Q p +1 (с р+1 дырами) и каждую дыру можно заклеить листом Мебиуса. Получить компактное неориентируемое многообразие
ψ р , причем
X (ψ p ) = X (Q p +1 ) = 2 − ( p + 1) = 1 − p .
X (ψ p ) = 1 − p
(3).
Замечание: можно доказать следующие факты:
1) всякое компактное неориентируемое двумерное многообразие Φ гомеоморфно некоторому многообразию ψ р (сфере с (р+1) пленками), где р –
род многообразия Φ ;
2) два замкнутых неориентируемых двумерных многообразия Φ и Φ′ гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же род
(одну и ту же эйлерову характеристику);
3) если взять сферу Q1 с одной дырой (р=0) и заклеить ее листом Мебиуса,
то получим ψ 0 - сферу с одной пленкой ( X (ψ 0 ) = 1 ); это хорошо знакомая
проективная плоскость;
4) нарисовать сферу с пленками трудно: будучи неориентированной, она не
вкладывается в Е3 .
Сфера ψ 1 с двумя пленками носит название бутылка Клейна.
Определение 4. Родом многогранника называется род его поверхности
(границы многогранника).
Граница простого многогранника – простая многогранная поверхность,- не
имеет точек края и является компактным двумерным многообразием. Так
как поверхность многогранника нулевого рода (в частности выпуклого) гомеоморфна
сфере,
то
его
эйлерова
характеристика
α 0 − α1 + α 2 = 2 или α 0 + α 2 = α1 + 2 . Это равенство выражает знаменитую теорему Эйлера для многогранников.
Теорема 6. Во всяком многограннике нулевого рода сумма числа вершин и
числа граней на две единицы больше числа ребер.
Контрольные вопросы:
1) чему равна эйлерова характеристика плоскости, тора?