Ускорение и сила. Импульс и энергия».

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
Пособие по физике
«УСКОРЕНИЕ И СИЛА,
ИМПУЛЬС И ЭНЕРГИЯ»
В помощь учащимся 9 класса
Под редакцией В. В. Грушина
Москва 2009
УДК 53 (075)
ББК 22.3я7
Г67
Пособие по физике «Ускорение и сила, импульс и энергия». В помощь учащимся 9 класса./ Горбаченко Г.М., Грушин В.В., Добродеев Н.А.,
Самоварщиков Ю.В. /Под ред. В.В. Грушина. – М.: НИЯУ МИФИ, 2009.
– 152 с.
Пособие содержит учебный материал и задачи по механике в соответствии со стандартами по физике для 9-го класса основной средней школы
в несколько расширенном виде с учетом дальнейшего обучения по физико-математическому профилю. Материал и задачи расположены по темам
в соответствии с последовательностью занятий. В пособие включены задачи повышенного уровня сложности, соответствующие целям успешного
дальнейшего обучения в физико-математических классах.
Пособие предназначено для учащихся 9-х классов средних школ, которые хотят углубленно изучать физику, и поможет подготовиться к
олимпиадам, поступлению в физико-математические лицеи. Учителя могут использовать данное пособие для подготовки к занятиям.
Рекомендовано редсоветом НИЯУ МИФИ к изданию
в качестве учебно-методического пособия.
Рецензенты А. Н. Долгов, Т. Д. Дудкина
© Национальный исследовательский
ядерный университет «МИФИ», 2009
ISBN 978-5-7262-1217-3
Содержание
1. Векторные физические величины ................................................ 4
Задачи к разделу 1......................................................................... 9
2. Основные понятия механики. Прямолинейное
равномерное движение ................................................................ 12
Задачи к разделу 2........................................................................ 17
3. Относительность механического движения .............................. 20
Задачи к разделу 3........................................................................ 24
4. Ускорение. Равноускоренное движение .................................... 26
Задачи к разделу 4 ....................................................................... 32
5. Свободное движение по вертикали ........................................... 35
Задачи к разделу 5 ...................................................................... 36
6. Криволинейное движение с постоянным ускорением ............. 39
Задачи к разделу 6 ....................................................................... 43
7. Движение по окружности. Вращательное движение ............... 47
Задачи к разделу 7 ....................................................................... 55
8. Законы Ньютона .......................................................................... 57
Задачи к разделу 8........................................................................ 62
9. Силы упругости ........................................................................... 66
Задачи к разделу 9........................................................................ 70
10. Силы трения и сопротивления.................................................. 72
Задачи к разделу 10 ..................................................................... 77
11. Закон всемирного тяготения .................................................... 80
Задачи к разделу 11 ..................................................................... 88
12. Импульс тела и системы тел .................................................... 91
Задачи к разделу 12 ..................................................................... 96
13. Энергия и работа ..................................................................... 101
Задачи к разделу 13.................................................................... 116
14. Равновесие тел ......................................................................... 123
Задачи к разделу 14 ................................................................... 130
15. Равновесие в жидкости и газе ............................................... 135
Задачи к разделу 15 .................................................................. 143
Ответы............................................................................................. 146
3
1. ВЕКТОРНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Скалярные и векторные величины
Величины, изучаемые в курсе физики, можно разделить на
две группы: скалярные и векторные.
Скалярной называют величину, которая полностью характеризуется одним числом после выбора единицы измерения (кратко – скаляр).
Например: масса, плотность, время, расстояние.
Векторной называют величину, которая характеризуется
численным значением и направлением (кратко – вектор).
Например: перемещение, скорость, сила.
Если сказано, что автомобиль движется со скоростью 100 километров в час (то есть дано численное значение скорости),
то про его скорость известно не все: неизвестно, в каком направлении он движется.
Свойства векторов
Вектор можно изобразить в виде направленного отрезка,
выбрав определенный масштаб. Начало вектора иногда отмечается точкой, а конец – стрелкой. Обозначается вектор буквой со стрелкой над ней. Например: A , F , υ (рис. 1.1).
Рис. 1.1
4
Модулем векторной величины является ее численное
значение с учетом единицы измерения. Оно равно длине отрезка, изображающего вектор, с учетом выбранного масштаба.
Модуль вектора обозначается либо буквой без стрелки,
либо математическим обозначением модуля: А = 5 м, F = 7 Н,
| υ | = 10 м/с.
Для указания направления часто используется единичный
вектор – вектор, модуль которого равен единице. Единичный
вектор является безразмерным.
Если все точки, принадлежащие вектору, перенести по параллельным (или совпадающим) прямым на одинаковое расстояние, получим вектор, равный исходному.
Параллельные векторы лежат на параллельных прямых. В
случае параллельности и противоположного направления
двух векторов их часто называют антипараллельными.
Проекции вектора на оси координат
Проекция вектора на ось равна произведению модуля
вектора на косинус угла между направлением вектора и положительным направлением оси.
Например, проекция вектора A на ось 0х (см. рис. 1.1) обозначается как Ах и равна
Ах = А соs α = | A | cos α.
Проекция вектора A на ось 0y (см. рис. 1.1) обозначается
как Аy и равна
Аy = А соs β = | A | cos β,
где угол β – это угол между вектором A и осью 0y.
Так как β = 90о – α, то cos β = соs (90о – α ) = sin α. Поэтому
проекцию вектора A на ось 0y можно (и часто полезно) записывать в виде:
Аy = А sin α = | A | sin α
5
Проекция вектора на ось может быть как положительной,
так и отрицательной.
Знак проекции определяется знаком косинуса угла, образуемого направлением вектора и положительным направлением оси. При угле < 90° проекция вектора положительна;
при угле, равном 90°, проекция вектора равна нулю; при
угле > 90° − отрицательна.
Еще раз вспомним обозначения: A − вектор; | A | = А − модуль вектора, Ах – проекция вектора на ось 0х.
Модуль вектора и его проекции на оси 0x, 0y связаны соотношением
А2 = Ах2 + Ау2 .
Это следует из теоремы Пифагора.
Действия с векторами
Сложение векторов. Имеем векторы А и В . Нужно найти вектор С = А + В . Геометрически это можно сделать по
правилу параллелограмма или по правилу треугольника.
Правило параллелограмма (рис. 1.2).
А
В
А
В
А
В
С
Рис. 1.2
а) Параллельным переносом приводим векторы к одному
началу.
б) Строим параллелограмм на векторах.
в) Из общего начала слагаемых векторов строим вектор
вдоль диагонали параллелограмма и равный ее длине. Это и
есть вектор суммы.
6
Правило треугольника (рис. 1.3).
а) Параллельным переносом к концу первого вектора пристраиваем начало второго вектора.
б) Из начала первого вектора к концу второго проводим
третий вектор. Это и есть вектор суммы.
А
А
В
А
В
С
В
Рис.1.3
По правилу треугольника удобнее складывать три и более
векторов. В этом случае говорят о правиле многоугольника.
Отметим, что векторы С , полученные по правилу параллелограмма и правилу треугольника, равны, но могут лежать
на разных параллельных прямых.
Алгебраический способ (рис. 1.4):
а) если известны проекции слагаемых векторов Ах, Ау, Вх, Ву, то
проекции вектора суммы
Сх = Ах + Вх и Су = Ау + Ву.
б) если известны модули векторов
слагаемых А и В и угол α между ними, то модуль вектора С определяется из формулы:
С2 = А2 + В2 + 2АВcos α.
Рис. 1.4
Вычитание векторов. Даны векторы А и В . Надо найти
вектор D = А − В .
Для этого не нужно использовать новых правил, а надо записать вектор D в виде суммы D = А + (− В ) и учесть, что
7
вектор (− В ) равен по модулю вектору В , а направлен противоположно.
Умножение вектора на число. Вектор А можно умножить
на число k.
Получим новый вектор Е = k А , модуль которого Е = |k|А.
Если множитель k положительный, то векторы А и Е параллельны, если множитель k отрицательный, то векторы А и Е
антипараллельны.
Если известны проекции вектора Ах, Ау, то
Ех = kАх, Еу = kАу.
Разложение вектора на составляющие
Пусть даны две непараллельные прямые а и b, лежащие в
одной плоскости (рис. 1.5), которые где-то пересекаются. Дан
еще вектор D . Определим составляющие вектора D по этим
направлениям, то есть найдем два вектора, каждый из которых параллелен одной из данных прямых, а в сумме они дают
вектор D .
D
а
а
D
b
Da
b
Db
Рис. 1.5
Для этого:
а) параллельным переносом переместим вектор D так,
чтобы его начало совпадало с точкой пересечения прямых;
б) из конца вектора проведем прямые, параллельные прямым а и b до пересечения с ними, получив параллелограмм;
8
в) из точки пересечения прямых а и b (начала вектора D )
построим векторы Da и Db по сторонам параллелограмма.
Векторы Da и Db будут составляющими вектора D по направлениям а и b.
Аналогично можно построить составляющие любого вектора по осям
координат. Например (рис. 1.6), векторы В х и Ву являются составляющими
вектора В , то есть В х + Ву = В .
Не следует путать составляющие и
проекции вектора. Составляющая векРис. 1.6
тора – тоже вектор, проекция вектора не
является вектором. Это отражается и в обозначениях: В х – составляющая вектора по оси 0х, Вх – проекция вектора на ось 0х.
ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 1
Проекции, модуль и направление вектора
1.1. Камень бросили со скоростью υ0 = 12 м/с под углом α = 60°
к горизонту. За время подъема на максимальную высоту Н = 5,5 м
он переместился в горизонтальном
направлении на расстояние b = 6,35м,
и в верхней точке его скорость составляла υ = 6 м/с. На рис. 1.7 изображены
указанные величины, а также перемещение камня l за время подъема и век2
тор его ускорения g (g = 9,8 м/с ).
Найти проекции всех векторов на оси
Рис. 1.7
указанной системы координат; модуль
и направление (угол β с осью 0x) вектора l .
9
1.2. Двигаясь в плоскости x0y, небольшое тело переместилось из
точки 1 (–2, 1) в точку 2 (3, 3), затем из точки 2 в точку 3 (4,–2) и,
наконец, из точки 3 в точку 4 (1, 4) (в скобках указаны координаты
точек x и y в метрах). Изобразив на чертеже векторы перемещения
l1 , l2 , l3 тела, определить проекции на оси 0х, 0y и модули этих
векторов.
1.3. Самолет летит так, что он перемещается вдоль поверхности
Земли со скоростью υх = 80 м/с и одновременно поднимается вверх
со скоростью υу = 60 м/c. Найти модуль скорости υ самолета и направление его полета (угол вектора υ с горизонтальной поверхностью).
1.4. По горизонтальной дороге в направлении оси 0х катится обруч радиусом R. Ось 0y направлена вверх. Найти векторы перемещения точки обруча, вначале касавшейся земли, через 1/4, 1/2, 3/4
оборота и за время полного оборота обруча.
1.5. На брусок, скользящий по наклонной плоскости (рис. 1.8), действуют
сила тяжести Р = 10 Н, сила нормальной
реакции опоры N = 8 Н и сила трения
Fт = 2 Н (на рисунке изображены равные
Рис. 1.8
Рис. 1.9
им векторы Р , N и Fт ). Угол наклона
α = 37°. Определить проекции этих сил в
системе координат x0y.
1.6. В поле зрения микроскопа
(рис. 1.9) броуновская частица переместилась из точки 1 в точку 2,
расположенную на 33 мкм выше
точки 1 (плоскость x0y горизонтальна, ось 0z направлена вверх).
Определить модуль перемещения
частицы. Каков угол α между перемещением частицы и осью 0х?
10
Сложение и разложение векторов
1.7. Между тремя силами F1 , F2 , F3 , равными по модулю, существует связь: F3 = F1 + F2 . Чему равен угол между векторами
F1 и F2 ?
1.8. На рис. 1.10 изображен
вектор D = A + B + C . Используя
масштабные деления, убедиться,
что
Dx = Ax + Bx + Cx ,
Dy = Ay + By+ Cy .
Рис. 1.10
Найти модуль и направление
вектора D .
1.9. Между тремя силами F1 , F2 , F3 , равными по модулю, существует связь: F3 = F1 − F2 . Чему равен угол между векторами
F1 и F2 ?
1.10. По условию задачи 1.2 из чертежа найти проекции вектора
полного перемещения тела l = l1 + l2 + l3 (вектор, проведенный из
точки 1 в точку 4). Сложив проекции, найденные в задаче 1.2, убедитесь, что lx = l1x + l2x + l3x, lу = l1у + l2у + l3у.
1.11. На тело действуют две силы: F1 = 3 Н и F2 = 5 Н. Угол
между ними α = 120°. Каковы модуль и направление силы
F = F1 + F2 ? Ее направление задать углом β с вектором F1 . Задачу
решить двумя способами: а) геометрически; б) используя проекции
сил в некоторой системе координат.
1.12. По условию задачи 1.4 определить модуль и направление
силы F = Fт + N + P (рассчитать сначала Fx и Fy в указанной системе координат).
1.13. Скорости шарика до удара о плиту υ0 и после удара υ
равны по модулю и противоположны по направлению. Изобразить
вектор Δ υ = υ – υ0 и вычислить его модуль (обозначается |Δ υ |).
Вычислить также Δ υ = υ – υ0 .
11
1.14. Шарик прикреплен к двум нитям, одна из которых горизонтальна, другая образует угол α = 30° с горизонтом. Сила тяжести, действующая на шарик, Р = 1 Н. Определить силы P1 и P2, действующие на каждую нить.
1.15. В лучах Солнца, падающих с востока под углом α = 45° к
горизонту, в западном направлении взлетает самолет со скоростью
υ = 400 км/ч. Вектор υ образует угол β = 30° с горизонтальной поверхностью Земли. Определить скорость движения тени самолета
на поверхности Земли.
2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ.
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Основные определения механики
Механическое движение – перемещение тела относительно других тел с течением времени.
Система отсчета представляет собой совокупность:
тела отсчета – тела, относительно которого рассматривается движение других тел;
часов – любого прибора, способного измерять время.
Для точного определения движения тел с телом отсчета
связывают систему координат.
Рассмотрим еще несколько важных определений.
Материальная точка – тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь в силу их малости.
Вектор перемещения – вектор, соединяющий некоторое
предыдущее и некоторое последующее положение точки (независимо
от характера ее движения).
Траектория – линия, которую
описывает в пространстве при своем движении материальная точка.
На рис. 2.1 приведена некоторая
Рис. 2.1
траектория, точки 1 и 2 – положения
12
материальной точки (точка 1 – в более ранний момент), вектор l – вектор перемещения.
Радиус-вектор
Рассмотрим произвольное положение тела (материальной
точки) на траектории в некоторой системе отсчета.
Радиус-вектор r точки – это
направленный отрезок, проведенный
из начала координат в рассматриваемую точку (рис. 2.2).
Его проекции на оси координат 0х
и 0у равны координатам точки, как
видно из рис. 2.2: rx = x; ry = y.
Рис. 2.2
При движении материальной точки ее положение изменяется с течением времени, т.е. ее радиус – вектор r (t) будет зависеть от времени. В начальный момент обозначим его как r0 (рис. 2.3, а). Проведем вектор из
начального положения материальной точки в ее положение в
момент времени t – это вектор l на рис. 2.3, б. Вектор l есть
вектор перемещения материальной точки за время t. Согласно правилу сложения векторов – правилу треугольника
r (t) = r0 + l .
а
б
Рис. 2.3
13
Вектор перемещения ( он тоже зависит от времени)
l (t) = r (t) – r0 .
Таким образом, вектор перемещения равен разности радиусов-векторов двух положений материальной точки.
Для проекций имеем:
lx(t) = х(t) – х0;
lу(t) = у(t) – у0.
Вспомним определение длины пути.
Длина пути – скалярная положительная физическая величина, равная длине траектории, пройденной за рассматриваемый промежуток времени. Обозначается обычно буквой s.
Как видно на рис. 2.3, б, модуль (длина) вектора перемещения не совпадает в произвольном случае с длиной пути.
Длину пути вдоль кривой траектории можно измерить, например, ниткой.
Твердое тело
В некоторых случаях нельзя рассматривать тело как материальную точку, приходится учитывать размеры тела. Это
может быть катящееся колесо или падающий столб. Все точки этих тел движутся по-разному.
В подобных случаях часто принимают модель абсолютно
твердого тела.
Абсолютно твердое тело – это тело, изменениями размеров и формы которого можно пренебречь в силу малости
этих изменений.
Протяженные тела могут совершать достаточно сложные
движения. Можно выделить два более простых вида: поступательное и вращательное движения.
Поступательное движение – движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной самой себе при движении тела.
14
При поступательном движении тела все его точки движутся по параллельным траекториям, т.е. одинаково, следовательно, достаточно описать движение одной точки и можно
представить движение всего тела.
Вращательное движение – движение, при котором все
точки тела движутся по окружностям, центры которых
лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскостям этих
окружностей и называемой осью вращения.
Ось вращения может проходить через тело, а может и не
проходить через него.
Некоторые более сложные виды движения тел можно
представить как совокупность поступательного и вращательного движений.
Прямолинейное равномерное движение
Прямолинейным равномерным называется такое движение, при котором точка за любые равные промежутки
времени совершает одинаковые перемещения.
Одинаковость перемещений (перемещение – вектор!)
обеспечивает прямолинейность движения. Чем больше промежуток времени, тем больше перемещение, то есть перемещение прямо пропорционально времени.
Скорость при прямолинейном равномерном движении –
векторная физическая величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за который это перемещение
произошло:
l
υ= .
t
Модуль скорости и ее проекции в СИ должны измеряться в
м/с.
На практике часто скорость измеряют также в км/ч
(1 м/с = 3,6 км/ч).
15
Из определения скорости следует, что l (t ) = υ ·t. Если
подставить это значение l (t ) в соотношение r (t) = r0 + l (t ) ,
получим:
r (t) = r0 + υ ·t.
Это – закон прямолинейного равномерного движения в
векторной форме.
В проекциях на оси координат он имеет вид:
х(t) = х0 + υx·t,
у(t) = у0 + υy·t.
При прямолинейном равномерном движении можно направить ось 0х по прямой, по которой движется тело. В этом
случае остается только зависимость
х(t) = х0 + υx·t.
Эту зависимость можно представить графически. График
зависимости координаты тела х от времени t приведен на
рис. 2.4. Угол наклона графика к оси времени определяется
знаком и величиной проекции скорости υx.
х
υx
υx> 0
х0
υ
υx= 0
lx(t1)
υx< 0
Рис. 2.4
t
Рис. 2.5
t1
t
График зависимости проекции скорости υx. от времени t
(рис. 2.5) представляет собой прямую, параллельную оси времени.
В момент времени t1 координата х(t1) = х0 + υxt1, следовательно, υxt1 = х(t1) − х0 = lx(t1). Так как υx = υ, то произведение
υxt1 численно равно площади прямоугольника, выделенного
16
на графике (см. рис. 2.5). Таким образом, в этом случае площадь под графиком зависимости проекции скорости от времени от 0 до t1 численно равна проекции перемещения за это
время.
Оказывается, такое утверждение справедливо и для любых
других типов движения, и в дальнейшем оно будет использоваться.
В случае, если движение началось не в момент времени
t = 0, а спустя время τ, закон движения принимает вид:
х(t) = х0 + υx·(t – τ).
ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 2
Основные понятия
2.1. Как движется (поступательно или вращательно) кабина «колеса обозрения» в системе отсчета, связанной с Землей?
2.2. Материальная точка движется по прямолинейному отрезку.
Может ли пройденный ею путь быть равным 13 см за время, в течение которого она переместилась на 10 см?
2.3. Траекторией частицы является окружность радиусом R. Определить путь s и модуль перемещения | l | частицы, если радиусвектор, проведенный к ней из центра окружности, повернулся на
угол: а) 90°; б) 360°.
2.4. Поезд длиной d = 300 м движется по прямолинейной колее
со скоростью υ = 36 км/ч. Какой путь s пройдет поезд за время
τ = 0,5 с?
2.5. Взлетев с поверхности Земли на расстоянии b = 2,7 км от
наблюдателя, тело движется по траектории y = A x (ось 0x горизонтальна, х = 0 в точке взлета). Оно пролетело над наблюдателем
на высоте 2b. Найти модуль перемещения тела l от начала движения до момента, когда оно удалилось от наблюдателя на d = 7,8 км
по горизонтали.
17
Равномерное прямолинейное движение
2.6.Двигаясь по прямой, тело за каждую секунду перемещается
на 1 м. Можно ли утверждать, что такое движение всегда является
равномерным?
2.7. Частица движется с постоянной
скоростью υ под углом α к оси 0x В момент t0 = 0 её координаты x0 и y0 .
Описать движение частицы (рис. 2.6),
задав её положение в пространстве x (t),
y (t) в любой момент времени t. Записать
Рис. 2.6
уравнение траектории.
2.8. Поездка из пункта А в пункт В заняла у велосипедиста времени вдвое меньше, чем его возвращение в А без стоянки в В (υ1 =
= 2υ2). На общий путь s = 40 км он затратил время τ = 3 ч. Выбрав
ось 0х от А к В, построить графики проекции скорости υх(t), проекции перемещения lx(t), модуля скорости υ(t) и пути s(t) велосипедиста.
2.9. На рис. 2.7 изображена зависимость от времени координаты
x (t) точки, движущейся вдоль оси 0х. Один под другим построить
графики зависимости от времени проекций перемещения lx(t) и
скорости υх(t), а также модуля скорости υ(t) и пути s(t).
Рис. 2.7
Рис. 2.8
2.10. По графику пути s(t) построить график координаты x(t)
частицы, движущейся вдоль оси 0х (рис. 2.8). Известно, что после
остановки, изменив направление движения на противоположное,
частица двигалась в направлении оси 0х. Начальная координата
x0 = 5 м.
18
2.11. По оси 0х движутся две точки: первая по закону
x1 (t ) = 10 + 2t, а вторая по закону x2 (t ) = 4 + 5t (x в метрах, t в секундах). Найти координату хв и момент tв их встречи. Решить задачу аналитически и графически.
2.12. В некоторый момент t0 машина находится на расстоянии s
от поста ДПС и приближается к нему с постоянной скоростью υ.
Описать движение машины, совместив начало системы координат
с постом ДПС и направив ось 0x от поста к машине.
2.13. Из точек 1 и 2, расстояние между которыми b = 1,2 м, одновременно навстречу друг другу стали
двигаться два тела со скоростями υ1 =
= 12 см/с и υ2 = 18 см/с. Выбрав удобную систему отсчета (например, ось 0x
от точки 1 к точке 2 с началом в точке 1, а t0 = 0 в момент старта), написать
законы движения тел x1(t), x2(t). Построить графики этих функций. Вычислить время tв и координату xв встречи.
Рис. 2.9
2.14. Из пунктов А и В, расположенных вдоль прямого шоссе на
расстоянии l = 3 км друг от друга, одновременно в одном направлении начали движение велосипедист и пешеход: велосипедист из
пункта А со скоростью υ1 = 15 км/ч, а пешеход из пункта В со скоростью υ2 = 5 км/ч. Через сколько времени τ и на каком расстоянии
s от пункта В велосипедист догонит пешехода?
2.15. Города А и В расположены на прямой дороге на расстоянии b = 120 км один от другого. Из А в В вышла машина со скоростью υ1 = 60 км/ч. Через какое время τ из А в В должна выйти вторая машина, движущаяся со скоростью υ1 = 90 км/ч, чтобы обе машины прибыли в В одновременно?
2.16. На рис. 2.10 даны графики проекций скорости двух частиц,
между которыми начальное расстояние d = 100 м, υ = 50 м/с. Быстрая частица стартовала из начала координат, и когда она пришла в
начальный пункт другой частицы, последняя удалилась от этого
пункта на 3d/4. Чему равна координата хс места столкновения частиц и момент времени столкновения tc?
19
2.17. Из конечных точек маршрута длиной l = 120 км навстречу
друг другу выехали два автобуса: один – в момент τ1 = 9 ч 00 мин
со скоростью υ1 = 40 км/ч, другой – в момент τ2 = 9 ч 30 мин со
скоростью υ1 = 60 км/ч. В какое время и на каком расстоянии от
конечных точек маршрута встретились автобусы?
2.18. Автомобиль, двигаясь равномерно со скоростью υ1 =
= 60 км/ч, в течение времени t1 = 10 c прошел такой же путь, какой
прошел автобус за время t2 = 15 с, двигаясь равномерно в том же
направлении. Каково расстояние d между ними спустя время
t3 = 15 мин после встречи? Вычислить их относительную скорость υ′.
2.19. Из города А в город В отправляется со скоростью υ1 =
= 60 км/ч, грузовая машина. Спустя время τ0 = 1 ч ей навстречу из
города В выходит легковая машина со скоростью υ2 = 90 км/ч. Через какое время τ после отправления легковой машины и на каком
расстоянии d от города В машины встретятся в пути, если известно,
что грузовая машина прошла путь ѕ = 150 км, когда легковая машина пришла в город А?
3. ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ МЕХАНИЧЕСКОГО
ДВИЖЕНИЯ
В определении механического движения уже отмечено,
что оно является относительным. Например, в вагоне поезда
пассажир неподвижен относительно вагона, но движется относительно платформы. Характер движения зависит от выбранной системы отсчета. Систем отсчета – множество. Поэтому необходимо понять правила изменения характера движения в разных системах отсчета.
Сложение перемещений
Рассмотрим льдину, движущуюся по реке (рис. 3.1). Один
рыбак находится на берегу в неподвижной системе отсчета
х0у, другой – на льдине в подвижной системе отсчета х′0у′.
20
1
l0
y'
x'
1'
l'
2
y
2'
х
Рис. 3.1
Ворона, севшая на льдину в точку 1 в момент времени t0,
стала перемещаться в точку 2, в которую она попала в момент
времени t1. За время τ = t1 – t0 ворона совершила перемещение
l ' в системе отсчета, связанной со льдиной. За это время
льдина переместилась по течению реки на на величину l0 .
Для рыбака, находящегося на берегу (в системе отсчета, которую условно будем считать неподвижной), за время τ ворона переместилась на величину l из точки 1 в точку 2′. При
этом выполняется соотношение:
l = l ′ + l0 ,
которое носит название закона сложения перемещений: перемещение точки в неподвижной системе отсчета равно перемещению точки в подвижной системе отсчета плюс перемещение самой подвижной системы отсчета относительно
неподвижной.
Сложение скоростей
Если для простоты полагать все движения в приведенном
примере равномерными и прямолинейными, то, разделив
правую и левую части уравнения закона сложения перемещений на время τ, получим:
21
l / τ = l ′ / τ + l0 / τ или υ = υ ′ + υ0 ,
так как отношение перемещения ко времени, в течение которого оно произошло, есть скорость.
Последнее выражение называют законом сложения скоростей: скорость точки в неподвижной системе отсчета
равна скорости точки в подвижной системе отсчета плюс
скорость самой подвижной системы отсчета относительно
неподвижной.
Относительная скорость
Часто требуется определить скорость одного движущегося
тела относительно другого, тоже движущегося, другими словами, относительную скорость.
Относительная скорость тела (относительно другого
тела) – это скорость тела в системе отсчета, где другое
покоится.
Например, человек движется по вагону со скоростью u –
это и есть относительная скорость человека относительно вагона. Вагон движется относительно земли со скоростью V .
Из правила сложения скоростей следует, что скорость человека относительно земли υ = u + V . Тогда u = υ – V .
Средняя скорость
Средний вектор скорости определяется как отношение
вектора перемещения к промежутку времени, за который
перемещение произошло:
υср = l / t .
Средний модуль скорости определяется как отношение
длины пути s к промежутку времени t, за который этот
путь пройден:
υср = s / t.
22
Средний модуль скорости часто называют просто средней
скоростью и используют для оценки пути или времени движения при неравномерном движении. Средний модуль скорости обозначают еще как ⟨υ⟩. Так как модуль вектора перемещения не всегда совпадает с длиной пути, то равенство
| υср | = υcp
выполняется далеко не всегда. Оно выполняется только при
прямолинейном движении в одном направлении.
Мгновенная скорость
Как определить скорость при неравномерном движении,
когда она изменяется и по модулю и по направлению?
Предположим, тело (маy
териальная точка) движется
по криволинейной траектоl2
ln
рии (рис. 3.2) и в некоторый
А
момент времени t0 находитl1
ся в точке А. Определим
скорость тела в этой точке.
Тело движется дальше, и
х
Рис. 3.2
перемещение тела к моменту времени t1 за промежуток τ1 = t1 – t0 составит некоторую
величину l1 . Скорость, рассчитанная по формуле υ1 = l1 / τ1 ,
не будет точным значением мгновенной скорости в точке А,
так как движение не является равномерным и прямолинейным. Однако, если промежуток времени τ1 мал, то можно
считать υ1 некоторым приближенным значением.
Возьмем более ранний момент времени t2 < t1. К этому
моменту перемещение тела составляет l 2 . Промежуток вре-
мени τ2 = t2 – t0 < τ1, но и l2 < l1. Значение υ2 = l2 / τ 2 будет
следующим приближенным значением. Если и дальше
23
уменьшать промежуток времени τ, то в конце концов он достигнет такой малой величины τn, а перемещение ln будет так
мало, что можно пренебречь любыми изменениями направления движения и скорости за этот промежуток времени и считать движение равномерным и прямолинейным. Это предельное значение отношения ln /τn и принимается равным мгновенной скорости тела υ в точке А. При этом направление
вектора ln практически совпадает с касательной к траектории
движения в точке А.
Мгновенная скорость, или скорость в точке – векторная
физическая величина, равная отношению достаточно малого
перемещения на участке траектории, включающем данную
точку, к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло.
Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к
траектории движения в данной точке.
ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 3
Относительность движения
3.1. На край доски длиной b = 60 см поместили небольшой брусок. Выдергивая доску из под бруска, ее переместили на 1,5b, когда
брусок соскользнул с противоположного края. Изобразить перемещение доски l0 , перемещения бруска относительно стола l и
относительно доски l ' и убедиться, что l = l '+ l0 . Найти модули
этих векторов.
3.2. Наклонной плоскостью является грань призмы, образующая
угол α = 40° с горизонтальной поверхностью стола. На призму кладут небольшое тело на высоте h = 20 см от стола. В момент, когда
тело соскользнуло с призмы, она переместилась на b = 50 мм. Найти перемещение тела l относительно стола, определив его модуль
и направление (угол β с горизонтом).
24
3.3. Велосипедист движется навстречу ветру. Скорость ветра
υ = 4 м/с, скорость велосипедиста υ0 = 36 км/ч. Какова скорость υ′
воздуха относительно велосипедиста? Изобразить эти векторы и
убедиться, что υ = υ ′ + υ0 .
3.4. С какой скоростью υ′ относительно воды должен перемещаться лодочник, чтобы кратчайшим путем переплыть реку шириной d = 90 м за время τ = 2,5 мин? Скорость течения реки
υ0′ = 80 см/с. Какой курс к направлению переправы должен при
этом держать лодочник?
3.5. Два тела движутся поступательно во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростями υ1 = 12 м/с и υ2 = 16 м/с. Определить скорость υ12 первого тела относительно второго и угол α
между векторами υ1 и υ12 .
3.6. Студент, возвращаясь домой на электричке в безветренную
дождливую погоду, решает измерить скорость падения капель дождя за окном. С этой целью он оценивает скорость вагона по километровым столбам (υ0 = 36 км/ч) и угол между вертикалью и направлением движения капель по оконному стеклу (α = 50°). Какие
значения скорости капель относительно Земли v и относительно
вагона υ′ получил студент?
3.7. Колонна войск длиной l = 2 км движется вдоль шоссе со
скоростью u = 5 км/ч. Командир, находящийся в конце колонны,
посылает мотоциклиста с распоряжением головному отряду. Мотоциклист вернулся через τ = 10 мин. Определить его скорость υ.
Время отдачи распоряжения мало.
3.8. Из игрушечной пушки вылетает шарик со скоростью
υ = 2,5 м/с под углом α = 60° к горизонту. В момент его вылета за
счет отдачи пушка движется со скоростью υ0 = 70 см/с по горизонтальному полу. Определить скорость шарика υ′ относительно пушки и угол β наклона ствола пушки к горизонту.
3.9. Гребя против течения, рыбак обронил удочку, проплывая
под мостом. Обнаружив пропажу через τ = 15 мин, рыбак повернул
обратно и, гребя с прежней силой, догнал удочку на расстоянии
b = 0,5 км от моста. Определить скорость реки υ0.
25
Средняя скорость
3.10. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью
υ1 = 10 м/с, а вторую – со скоростью υ2 = 15 м/с. Какова средняя
скорость движения ⟨υ⟩ на всем пути?
3.11. По условию задачи 2.10 найти среднюю скорость ⟨υ⟩ частицы за 40 с и за 30 с движения.
3.12. 35 % общего пути тело двигалось со скоростью υ1, а остальную часть – со скоростью υ2. Какова средняя скорость ⟨υ⟩ на
всем пути?
3.13. Катер, двигаясь вниз по течению, затратил время в
n = 3 раза меньше, чем на обратный путь. С какими скоростями υ1,
υ2 относительно берега двигался катер, если его средняя скорость
на всем пути ⟨υ⟩ = 3 км/ч?
4. УСКОРЕНИЕ. РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
Равномерное движение встречается редко, еще реже встречается прямолинейное равномерное движение. Гораздо чаще
встречается движение, при котором скорость изменяется по
модулю или по модулю и по направлению.
Равноускоренное движение
Среди всех неравномерных движений выделим равноускоренное движение.
Равноускоренным называется такое движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени
изменяется на одну и ту же величину.
Например, в момент времени t0
скорость тела равна υ0 (рис. 4.1).
Через время τ она равна υ1 = υ0 + υ ,
изменившись на υ . Еще через τ
скорость опять изменилась на υ и
стала равна υ2 = υ0 + 2 υ .
Рис. 4.1
26
Ускорение
Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.
Чтобы узнать, как быстро меняется скорость, надо взять ее
изменение в единицу времени. Если в начальный момент
времени t0 скорость тела υ0 , а в произвольный последующий
момент времени t скорость тела υ , то изменение в единицу
времени получится, если разделить изменение скорости
υ – υ0 на (t – t0). Если окажется, что это отношение не зависит от выбора момента времени t (то есть является постоянной величиной), то это и будет ускорение тела при равноускоренном движении.
Ускорение тела при равноускоренном движении – векторная физическая величина, равная отношению изменения
скорости к промежутку времени, в течение которого это
изменение произошло:
υ − υ0
.
а=
t − t0
Обозначается ускорение символом a . Измеряется ускорение в СИ в м/с2.
Перемещение при равноускоренном движении
Из определения ускорения следует: υ (t ) − υ0 = a (t − t0 ) . Если положить t0 = 0, то υ (t ) = υ0 + a ⋅ t .
В проекциях на оси координат:
υ0 x (t ) = υ0 x + axt ; υ0 y (t ) = υ0 y + a y t .
График зависимости проекции скорости от времени представляет собой прямую, наклон которой к оси абсцисс зависит от величины и знака проекции ускорения (рис. 4.2).
27
Рис. 4.2
Рис. 4.3
Рассмотрим график зависимости υx(t) при ах > 0 и υ0x > 0
(рис. 4.3). Как указывалось ранее, площадь под графиком
проекции скорости равна проекции перемещения. В данном
случае заштрихованная фигура под графиком – это трапеция.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Высота равна t1, основание слева равно υ0x;
основание справа равно υ0x + axt1. В результате получим, что
проекция перемещения на ось 0х
lx(t1) = υ0xt1 + ахt12/2.
Поскольку момент времени t1 был выбран произвольно,
вышеприведенное выражение справедливо для любого t.
Аналогично получим проекцию перемещения на ось 0у.
Таким образом, в проекциях на оси перемещение при равноускоренном движении запишется так:
lx(t) = υ0x t + ах t 2/ 2,
lу(t) = υ0у t + aу t 2/ 2.
Учитывая, что проекция перемещения равна разности координат движущейся точки: lx(t) = х(t) − х0 и lу(t) = у(t) − у0,
получим окончательное выражение для зависимости координаты точки, движущейся равноускоренно, от времени:
х(t) = х0 + υ0xt + ах t 2/ 2,
у(t) = у0 + υ0уt + aу t 2/ 2.
28
В векторной форме зависимости перемещения и радиусавектора от времени имеют вид:
1
1
l (t ) = υ0t + at 2 , r (t ) = r0 + υ0t + at 2 .
2
2
Эти формулы пригодны для любого движения точки с постоянным ускорением. Вид траектории зависит от взаимного
направления начальной скорости υ0 и ускорения a . Если направления векторов совпадают или противоположны (угол
между векторами 0 или 180°), то движение точки будет прямолинейным. Если угол между векторами отличен от 0 или
180°, то движение криволинейно, а кривая, вдоль которой
движется тело, представляет собой параболу.
Прямолинейное движение с постоянным ускорением
Полученные выражения:
1
r (t ) = r0 + υ0t + at 2 ,
2
х(t) = х0 + υ0xt + ах t 2/ 2,
у(t) = у0 + υ0уt + aу t 2/ 2
называют законом равноускоренного движения, записанным в
векторной и скалярной формах соответственно.
Если угол между векторами скорости υ0 и ускорения а
равен 0, то движение тела ускоряется, скорость его увеличивается.
Если угол между векторами скорости υ0 и ускорения а
равен 180°, то движение тела замедляется, скорость его
уменьшается.
И то и другое движение – равноускоренное движение или
движение с постоянным ускорением.
При прямолинейном равноускоренном движении целесообразно направлять ось координат 0х параллельно траектории
29
движения, как и при равномерном прямолинейном движении.
В этом случае при решения задач можно использовать следующие основные формулы:
ax = const,
υx(t) = υ0x + axt;
lx(t) = υ0xt + ахt2/2,
х(t) = х0 + υ0xt + axt2/2.
Из второй и третьей формул, исключив время, получим
формулу, часто используемую при решении задач:
υ 2 − υ02x
lx = x
.
2a x
Для функций υ(t), l(t) и s(t) (модулей скорости, перемещения и пути) общих выражений не существует. Однако в тех
промежутках времени, когда скорость не изменяется по направлению, из условия, что |υx| = υ, а |lx| = s, получим:
υ(t) = υ0 ± at;
s(t) = υ0 t ± at2/2.
Знак плюс соответствует ускоренному движению, знак минус – замедленному. Исключив время из обоих выражений,
получим выражение для длины пути
| υ 2 − υ02 |
s=
.
2a
Еще раз уточним: это выражение справедливо только для
движения в одном и том же направлении – ускоренном υ > υ0
или замедленном υ < υ0.
Получим выражение для средней скорости равноускоренного движения:
υср = s/t = υ0 + a t/2 = υ0/2 + υ0/2 + a t/2 = (υ0 + υ)/2.
Такое же выражение можно получить и для равноускоренного движения, когда ускорение противоположно начальной
скорости (когда движение, по существу, замедляется).
30
Таким образом, для движения с постоянным ускорением в
одном и том же направлении средняя скорость равна полусумме начальной и конечной скоростей.
Графики зависимости от времени проекций ускорения,
скорости и перемещения
График зависимости проекции ускорения от времени представляет собой прямую, параллельную оси времени. Она выше оси, если ах > 0 (рис. 4.4, а), или ниже, если ах < 0 (рис.
4.4, б).
ax
ax
ax > 0
ax<0
a
t
а)
б)
1
2
3
υx
υ0
υx
t
−υ0x
1
2
3
г)
в)
lx
t
−a
1
lx
2
t
1
3
t
t
д)
е)
Рис. 4.4
31
3
2
График зависимости проекции скорости от времени представляет собой прямую, наклонную к оси времени под углом
α > 0, если ах > 0 и υ0x = 0 (линия 2 на рис. 4.4, в). Если начальная скорость отлична от нуля, то график скорости смещается
вверх, если υ0x > 0 (линия 1), или вниз, если υ0x < 0 (линия 3).
Для ах < 0 соответствующие случаи приведены на рис. 44, г.
График зависимости проекции перемещения от времени
представляет собой параболу – ветви вверх, если ах > 0 (рис.
4.4, д), или перевернутую, если ах < 0 (рис. 4.4, е). Следует
обратить внимание на то, что вершине параболы соответствует временная точка, при которой проекция скорости равна
нулю.
ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 4
Прямолинейное движение с ускорением
4.1. Материальная точка движется прямолинейно. За время
Δt = 2 мс она переместилась на s = 5 см, а её скорость изменилась
на Δυ = 1 см/с. Определить средние значения скорости и ускорения
точки за указанный интервал времени.
4.2. В начальный момент и спустя время τ = 2 с мгновенная скорость тела была равна υ0 = 15 м/с и υ = 5 м/с соответственно. Направление скорости υ противоположно υ0 и оси 0x. Определить
модуль и проекцию ускорения тела a , считая его постоянным.
4.3. На рис. 4.5 дана зависимость
проекции скорости частицы от времени
υх(t). Вычислить проекцию и модуль
ускорения частицы в интервалах времени: 0 < t < 1 c и 1с < t < 3 с. Записать
зависимость υх(t) в указанных интерваРис. 4.5
лах (с численными коэффициентами).
4.4. С каким ускорением а двигался снаряд в стволе пушки, если
длина ствола l = 3 м, а время движения τ = 0,01 с? Какова скорость
υ вылетевшего снаряда?
32
4.5. После удара шайба стала двигаться по льду с начальной
2
скоростью υ0 = 15 м/с и ускорением а = 1,5 м/с . Через время
t1 = 3,3 c она ударилась о борт. Какой путь s прошла шайба, и с ка-
кой скоростью υ она ударилась о борт?
4.6. За время τ = 10 c скорость тела равномерно увеличилась от
υ1 = 10 м/с до υ2 = 25 м/с. Найти путь s, пройденный телом за указанное время.
2
4.7. При движении с ускорением а = 1,5 м/с скорость тела за
некоторое время уменьшилась от υ1 = 25 м/с до υ1 = 10 м/с. Найти
путь s, пройденный телом за это время.
4.8. Во сколько раз n скорость пули в середине ствола меньше,
чем при ее вылете? Ускорение пули считать постоянным.
4.9. Тело, пущенное вверх по наклонной плоскости со скоростью υ1 = 6 м/с, соскользнуло с нее в той же точке со скоростью
υ1 = 3 м/с. При движении в одну сторону ускорение постоянно.
Найти среднюю скорость при прямом ⟨υ1⟩ = и обратном ⟨υ2⟩ направлении движения, а также среднюю скорость ⟨υ⟩ на всем пути.
4.10. Двигаясь равноускоренно под уклон, поезд прошел участок
спуска со средней скоростью ⟨υ⟩ = 54 км/ч, увеличив скорость на
Δυ = 36 км/ч. Найти начальную υ0 и конечную υ скорости поезда.
4.11. По условию задачи 4.10 найти скорость поезда υс на середине участка спуска.
Графики ускорения, скорости и других величин
4.12. На рис. 4.6 дана зависимость координаты от времени
(парабола) для частицы, движущейся вдоль оси 0x. Указана
касательная к графику в момент t = 1 с. Рассчитать скорость частицы в этот момент.
Какова скорость частицы в момент t = 2 с?
Рис. 4.6
33
4.13. По графику задачи 4.3 вычислить проекцию перемещения
частицы lx и пройденный ею путь s за указанные 3 с движения.
4.14. По условию задачи 4.12 построить графики проекций скорости υх(t), ускорения aх(t), а также модуля скорости υ(t) и пути s (t ) .
4.15. По графику задачи 4.3 построить графики проекций ускорения ах(t) и перемещения lх(t), координаты x (t ) ( x0 = 1 м), а так-
же модуля скорости υ(t) и пути s (t ) .
4.16. Первые две секунды материальная точка двигалась вдоль
2
2
оси 0x с ускорением ах = –2 м/c , а затем с ускорением ах = 4 м/c .
Начальная скорость точки υ0х = 2 м/c, начальная координата х0 =
= 0,5 м. Построить графики функций: aх(t), υх(t), lх(t), x (t ) , υ(t),
s (t ) .
4.17. Тело начинает двигаться равноускоренно. Найти путь,
пройденный телом за 5-ю секунду движения, если за 2-ю секунду
оно прошло 3 м (можно воспользоваться графиком скорости).
4.18. Тело начинает двигаться равноускоренно, а через время t0
продолжает движение с тем же по модулю, но противоположным
ускорением. Через какое время τ от начала движения оно вернется
в исходную точку (можно воспользоваться графиком проекции
скорости)?
2
4.19. Точка движется по закону x = 2 – 12t + 2t (x в метрах, t в
секундах). Построить графики функций x (t), υх(t), ах(t).
Применение уравнений равноускоренного движения
4.20. Машина движется со скоростью υ0 к железнодорожному
переезду. На расстоянии l от него водитель стал сбавлять скорость
с ускорением а. Выбрав удобную систему отсчета (например, начало системы координат на переезде с направлением оси 0x к машине
и t0 = 0 в момент начала торможения), описать движение машины
(найти x (t) и υх(t)).
4.21. Автомобиль, двигаясь равноускоренно, через время
Δt = 10 с после начала движения достиг скорости υ = 54 км/ч. Вы34
числив ускорение и выбрав удобную систему отсчета, записать закон движения автомобиля x (t) (в числах). Найти положение автомобиля хк в момент времени Δt.
4.22. Тело движется вдоль оси 0x с ускорением ах = 50 cм/c2.
Начальная скорость υ0х = –5 м/с, начальная координата x0 = 2 м.
Определить время движения тела до остановки t1 и координату в
момент остановки x1 .
4.23. Частица движется ускоренно в направлении оси 0x, приближаясь к точке x = 0 с ускорением а. В некоторый момент t0 её
скорость была равна υ0, а расстояние до указанной точки – d. Написать закон движения частицы x (t).
4.24. По условию задачи 4.20 а = 1 м/с2, υ0 = 72 км/ч, а время замедленного движения до переезда τ = 10 с. Используя уравнения
движения, найти l и скорость машины на переезде v .
4.25. По условию задачи 4.23 задана скорость υ0 в момент t0 = 0 .
Через сколько времени τ частица окажется в точке x = 0?
4.26. Шарик, пущенный вверх по наклонной плоскости, побывал
на расстоянии b = 60 см от начальной точки через t1 = 2 с и через
t2 = 3 с после начала движения. Найти начальную скорость υ0 и
ускорение а шарика.
4.27. Пассажир, стоявший у начала третьего вагона поезда, определил, что начавший двигаться вагон прошел мимо него за время
t1 = 10 с, а остальные вагоны – за t2 = 30 с. Определить число вагонов N поезда, считая его движение равноускоренным. Через какое
время tN прошел мимо пассажира последний вагон?
5. СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ВЕРТИКАЛИ
Все тела вблизи поверхности Земли (в пренебрежении сопротивлением воздуха) движутся с одинаковым ускорением.
Такое движение часто называют свободным падением, а
ускорение называется ускорением свободного падения, обо35
значается g , направлено вертикально вниз и по модулю принимается равным g = 9,81 м/с2.
Для описания движения тел с ускорением свободного падения вспомним, что вид траектории зависит от взаимного
направления начальной скорости υ0 и ускорения, в данном
случае ускорения свободного падения g . Если направления
векторов υ0 и g совпадают или противоположны (угол между
векторами 0 или 180°), то движение материальной точки будет прямолинейным и происходить по вертикали. Такое движение и рассмотрим вначале в этом разделе.
Если в системе отсчета, связанной с Землей, ось 0у направим вертикально вверх, то основные уравнения равноускоренного движения будут иметь вид:
gу = − g;
υу(t) = υ0у − gt;
у(t) = у0 + υ0уt − g t2/2.
Если ось 0у направлена вниз, то проекция ускорения положительна gу = g.
Еще раз следует обратить внимание на тот факт, что все тела независимо от массы, формы и размеров, в отсутствии сопротивления воздуха (в вакууме) движутся с одинаковым ускорением. Реально на практике в воздухе так движутся тела,
имеющие высокую плотность – например, изготовленные из
металлов, и не очень высокую скорость, так как сопротивление
воздуха возрастает с ростом скорости движущегося тела.
ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 5
Свободное падение по вертикали
5.1. Тело брошено с поверхности Земли вертикально вверх. Показать, что: 1) начальная скорость тела υ0 равна конечной скорости его
падения на землю; 2) время подъема τ1 равно времени падения τ2.
36
5.2. Тело, брошенное вертикально вверх, упало на Землю через
время τ = 6 с. Каковы начальная скорость υ0 и максимальная высота
подъема тела H ?
5.3. Какую начальную скорость υ0 нужно сообщить камню, чтобы при его вертикальном падении с моста высотой Н = 20 м он
достиг воды через t0 = 1 c?
5.4. Тело падает с некоторой высоты без начальной скорости.
Последние h = 196 м оно прошло за время Δt = 4 с. Определить
время падения тела τ.
5.5. Свободно падающее без начальной скорости тело в последнюю секунду (Δt = 1 с) проходит n = 2/3 всего пути. С какой высоты Н падало тело?
5.6. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью
υ0 = 30 м/с. Через какое время tn и на какой высоте hn скорость тела
будет в n = 3 раза меньше начальной?
5.7. На высоте h вертикально вверх бросили тело с начальной
скоростью υ0. На какую максимальную высоту H относительно
Земли поднимется тело?
5.8. На высоте H вертикально вверх бросили тело с начальной
скоростью υ0. Найти скорость тела υ в момент его падения на землю.
5.9. Тело падает без начальной скорости с высоты Н. За первые
t1 = 2 c и за последний интервал времени t1 / 2 тело проходит оди-
наковый путь. Определить время падения τ, высоту Н, и скорость
тела в момент падения υ.
Движение нескольких тел
5.10. Из некоторого пункта в одном направлении начали одновременно двигаться два тела: одно равномерно со скоростью υ0 =
2
= 10 м/с, другое с постоянным ускорением а = 10 м/с без начальной
скорости. Через какое время τ, на каком расстоянии b от начального
пункта и с какой скоростью υ второе тело догонит первое?
5.11. Два тела начинают падать одновременно. Одно тело падает
без начальной скорости с высоты h = 20 м, другое – с высоты
37
H = 80 м. Какой должна быть начальная скорость υ0 второго тела,
чтобы оно упало одновременно с первым?
5.12. Первое тело падает с высоты H = 80 м. Спустя τ = 2 с
с меньшей высоты h начинает падать второе тело. Какова эта высота, если тела упали на землю одновременно? Начальные скорости
тел равны нулю.
5.13. На высоте Н отпускают без начальной скорости тело и одновременно с поверхности земли бросают ему навстречу другое
тело со скоростью υ0. Через какое время t1 расстояние между телами станет равным Н/5?
5.14. Первое тело бросили вертикально вверх со скоростью υ0 =
= 20 м/с. Когда оно достигло максимальной высоты, вслед за ним
бросили второе тело с той же скоростью υ0. На какой высоте h
столкнулись тела?
5.15. Два тела находились вначале на одной вертикали на расстоянии h = 20 м друг от друга. В момент, когда верхнее тело отпустили без начальной скорости, нижнему сообщили скорость
υ0 = 5 м/с, направленную вертикально вверх. Определить время
движения тел до столкновения tс и координату места столкновения yc .
5.16. С поверхности Земли начинает подниматься равноускоренно ракета, которая за время t1 = 10 с достигает высоты
Н = 200 м. Через t2 = 5 с после старта из неё выпал предмет. Каким
будет расстояние между ракетой и предметом в момент падения
последнего на землю?
5.17. Через время t0 = 3 c после начала движения первого тела
из того же пункта стало двигаться в том же направлении второе
тело с постоянной скоростью υ = 4 м/с. Найти минимальное расстояние b между движущимися телами, если первое тело двигалось
2
с ускорением а = 1 м/с без начальной скорости.
5.18. На высоте H вертикально вверх бросили тело с начальной
скоростью υ0. Через время τ = 3υ0/(2g) с той же высоты без начальной скорости стало падать другое тело. Найти время и место встречи тел.
38
6. КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ
Если угол между векторами начальной скорости υ0 и ускорения а не равен 0 или 180°, то тело движется по криволинейной траектории.
Если при этом ускорение не изменяет своего направления
и величины, то такое криволинейное движение является движением с постоянным ускорением. Для такого движения зависимость скорости и перемещения тела от времени дается
стандартными соотношениями:
в векторной форме:
υ (t ) = υ0 + at ,
1
r (t ) = r0 + υ (t ) + at 2 ;
2
в проекциях на оси координат:
υх(t) = υ0х + aхt;
υу(t) = υ0 + aуt;
х(t) = х0 + υ0 t + aхt2/2;
у(t) = у0 + υ0 t + aуt2/2.
Координатные оси 0х и 0у можно выбирать произвольно.
Пример подобного движения – движение тел вблизи поверхности Земли с ускорением, равным ускорению свободного падения g .
Движение тела, брошенного под углом к горизонту,
вблизи поверхности Земли
Рассмотрим движение тела, брошенного со скоростью υ0
под углом α к горизонтальной поверхности. С момента, когда
тело отделяется от механизма, сообщившего ему скорость υ0
под углом α к горизонту, оно начинает свободное падение, то
есть движение с ускорением g .
39
Траектория движения такого тела лежит в плоскости, проходящей через векторы υ0 и g . Выберем систему отсчета, в
которой ось 0х горизонтальна, ось 0у направлена вертикально
вверх, и обе они лежат в плоскости, в которой движется тело.
Начало координат совместим с точкой, откуда началось
самостоятельное движение, а отсчет времени начнем с момента, когда началось это движение (свободное падение).
При таком выборе системы отсчета начальный радиус-вектор
r0 = 0, а закон движения примет вид:
1
r = υ0 t + gt 2 .
2
Характер изменения скорости будет определен выражением:
υ = υ0 + gt .
Запишем оба уравнения в проекции на оси координат, учитывая, что х0 = у0 = 0, υ0x = υ0cosα, υ0y = υ0sinα, gx = 0,
gy = − g:
х = υ0 t cosα,
(1)
у = υ0 t sinα − gt2/2, (2)
υх = υ0 cosα,
(3)
υy = υ0 sinα − gt.
(4)
Получим еще некоторые характеристики этого движения.
1. Определим уравнение траектории движения у = у(х), т.е.
связь непосредственно между координатами х и у. Для этого
достаточно исключить из уравнений (1) и (2) время t.
Из уравнения (1) получаем, что t = x/(υ0 cos α). Подставив
это выражение в уравнение (2) вместо t, получим окончательно уравнение траектории:
⎞ 2
⎛
g
⎟⎟ x .
y = x tgα − ⎜⎜ 2
2
2
υ
cos
α
0
⎠
⎝
Графиком этой функции у(х) является парабола (рис. 6.1) .
40
y
A υА
υ0
g
H
α
B
0
x
L
Рис. 6.1
2. Определим время полета τ0. В момент падения при t = τ0
координата y = 0. Из уравнения (2) следует:
0 = υ0 τ0 sinα − gτ02/2;
откуда
τ0 = 2υ0 sin α /g.
3. Определим дальность полета L. В момент падения τ0
координата х = L (см. рис. 6.1). Подставим значение τ0 в уравнение (1), получим
L = υ0 τ0 cos α.
Используя полученное выражение для τ0, окончательно
имеем
L = 2υ02sin α cos α /g.
4. Определим максимального высоту подъема Н (точка А
на рис. 6.1).
Тело достигает максимальной высоты в момент τА, когда
проекция скорости υ0y(τА) = 0. Так как парабола симметрична,
то
τА = τ0/ 2 = 2υ0 sin α /g.
41
Подставляя значение τА в уравнение (2), находим:
Н = υ02sin2α / 2g.
5. Определим изменение модуля скорости со временем.
Воспользуемся уравнениями (3) и (4):
υх = υ0 cos α, υy = υ0 sin α – gt
и используем тот факт, что модуль любого вектора равен
корню квадратному из суммы квадратов его проекций:
υ = υx2 + υ 2y = υ02 − 2υ0 sin α ⋅ gt + g 2t 2 .
6. Определим изменение угла наклона скорости к горизонту в зависимости от времени полета. Тангенс этого угла (в
начальный момент он равен α0) равен (рис. 6.2):
υ
υ sin α − gt
gt
.
tgα = y = 0
= tgα 0 −
υx
υ0 cos α
υ0 cos α
Рис. 6.2
Такое криволинейное движение можно представлять в виде наложения двух прямолинейных – равномерное с постоянной скоростью υ0 cos α по оси 0х и равноускоренное с ускорением g и начальной скоростью υ0 sin α по оси 0у.
42
В качестве иллюстрации применения уравнений движения
в векторной форме на рис. 6.2 приведены векторные диаграммы r ( t ) для момента времени t1 и υ (t ) для момента времени t2.
ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 6
Сложение движений. Траектория
6.1. Сидя в кузове машины, движущейся со скоростью υ1 =
= 6 м/с, мальчик подбрасывает вверх мяч со скоростью υ1 = 8 м/с
относительно машины и ловит его. Описать движение мяча в системе отсчета, связанной с дорогой. Изобразить (качественно) траекторию мяча в этой системе. Определить величину и направление
его начальной скорости υ0 в системе отсчета, связанной с дорогой.
6.2. Буксир тянет баржу против течения со скоростью υ0х =
= 3 м/с. Из-за обрыва троса баржа начала двигаться с ускорением
2
ах = –1 м/c . В этот же момент человек на барже побежал к её борту
со скоростью υ0у = 4 м/с. Выбрав удобную систему отсчета, связанную с берегом, записать выражения для определения положения
человека x (t), y (t) в произвольный момент времени t.
6.3. В вагоне, движущемся горизонтально со скоростью υ0, с
полки высотой Н упал предмет. Найти уравнение траектории, по
которой двигался предмет относительно земли.
6.4. Вылетев из пускового устройства, ракета движется вдоль
поверхности Земли и одновременно поднимается вертикально
вверх. Эти движения описываются уравнениями: x (t ) = 3t + 5t 2 ;
y (t ) = 6t + 10t 2 . Записать уравнение траектории ракеты y (x).
6.5. По условию задачи 6.4 получить уравнение траектории х(у),
если движение по вертикали описывается соотношением y (t ) = 6 t .
Изобразить начальную скорость ракеты и её траекторию.
6.6. Закон движения материальной точки задан соотношениями
x (t ) = 2 t ; y (t ) = 5 − 4 t 2 (координаты в метрах, время в секундах).
43
Найти уравнение траектории y (x), а также начальную скорость υ0 и
ускорение а точки.
6.7. Скорость течения воды в реке равномерно нарастает от нуля
у берега до u = 10 м/с посередине реки. Переплывая реку, рыбак в
лодке держит курс перпендикулярно берегу, удаляясь от него со
скоростью υ = 1 м/с. Ширина реки d = 100 м, течение полностью
увлекает лодку. Определив ускорение лодки, записать закон ее
движения и вычислить расстояние l, на которое ее снесет, когда
рыбак окажется посередине реки.
Движение тела,
брошенного горизонтально
6.8. Тело брошено горизонтально в направлении оси 0x из точки
с координатами (0, Н). Начальная скорость тела v0 . Найти:
1) зависимости x(t), y(t), υх(t), υу(t) до момента падения тела на
землю;
2) уравнение траектории тела y(x), изобразить её;
3) зависимость модуля скорости тела от времени υ(t);
4) зависимость от времени tg α, где α – угол между скоростью
тела и горизонтом.
6.9. Тело брошено в горизонтальном направлении со скоростью
υ0 = 10 м/с. Дальность его полета (горизонтальная) оказалась равной начальной высоте Н. Определить эту высоту.
6.10. Пуля с горизонтальной скоростью υ0 пробивает первый
лист бумаги, а затем – второй, расположенный на расстоянии
d = 30 м от первого. При этом пробоина на втором листе оказалась
на h = 2 мм ниже, чем на первом. Определить υ0.
6.11. Самолет летит горизонтально на высоте Н = 180 м со скоростью υ0 = 50 м/с. Под каким углом к горизонту летчик должен
видеть цель в момент сбрасывания бомбы, чтобы попасть в эту
цель?
6.12. Камень брошен горизонтально. Через τ = 5 с после броска
угол между скоростью и ускорением стал равным β = 45°. Какова
скорость тела υ в этот момент и скорость υ0 в начальный момент?
44
Через какое время после броска скорость тела будет в 1,5 раза
больше его начальной скорости?
6.13. Из пушки, установленной на холме с уклоном α = 15°, вылетает горизонтально снаряд со скоростью υ0 = 200 м/с. На каком
расстоянии l от пушки вдоль ската холма упадет снаряд?
6.14. Тело, брошенное горизонтально с высоты h = 80 м, упало
на землю, пролетев в горизонтальном направлении b = 100 м. Каково перемещение тела l за время, в течение которого скорость увеличивается в n = 2 раза? Какой угол α составляет это перемещение
с горизонтом?
Движение тела, брошенного
под углом к горизонту
6.15. Тело бросили со скоростью υ0 под углом α к горизонту.
Выбрав удобную систему отсчета, записать уравнения движения
тела x(t), y(t). Получить уравнение траектории и найти из него горизонтальную дальность полета тела L.
6.16. Тело бросили со скоростью υ0 под углом α к горизонту.
Используя уравнения движения, определить время его полета τ,
дальность полета L и максимальную высоту подъема H. Убедиться,
что время подъема тела равно времени его спуска.
6.17. Два тела брошены с одинаковой начальной скоростью под
углами α и 90° – α к горизонту. Определить отношения наибольших высот подъема и дальностей полета этих тел.
6.18. Под каким углом к горизонту нужно бросить с земли тело,
чтобы его дальность полета оказалась в два раза больше максимальной высоты подъема?
6.19. Камень, брошенный под углом к горизонту, упал на землю
через τ = 4 с. Чему равна его максимальная высота подъема?
6.20. Из пушки, установленной у основания холма с уклоном
β = 15°, вылетает снаряд со скоростью υ0 = 600 м/с под углом
α = 20° к горизонту. На каком расстоянии L от пушки вдоль ската
холма упадет снаряд?
45
6.21. С вышки бросают вверх под углом α = 45° камень с начальной скоростью υ0 = 9,8 м/с. Высота вышки Н = 9,8 м. На каком
расстоянии b от основания вышки он упадет на горизонтальную
поверхность земли?
6.22. На стальную плиту, образующую угол α = 30° с горизонтом, падает шарик с высоты Н = 80 см и испытывает абсолютно
упругий удар. Определить расстояние s от места первого до места
второго удара шарика о плиту.
6.23. Написать зависимость от времени модуля скорости υ(t) тела, брошенного под углом α к горизонту со скоростью υ0. Как меняется со временем тангенс угла β между скоростью и горизонтальной поверхностью?
6.24. За время всего полета тела, брошенного под углом α к горизонту, абсолютная величина изменения его скорости составила
| Δυ |= 50 м/с. Сколько времени Δ t тело находилось в полете? Изо-
бразить векторный треугольник суммы υ = υ0 + Δυ , указав угол α
( υ0 и υ – начальная и конечная скорости).
6.25. Тело брошено со скоростью υ0 = 20 м/с под углом α = 60° к
горизонту. Через сколько времени t1 оно будет двигаться под уг-
лом α1 = 45° к горизонту? Через сколько времени t2 оно будет
двигаться под углом α 2 = −45° к горизонту?
6.26. Тело брошено с поверхности под углом α = 75° к горизонту. Какую часть η времени всего полета оно движется со скоростью, не превышающей половину начальной?
6.27. Начальная скорость камня, брошенного под углом к горизонту, υ0 = 10 м/с, а спустя время t1 = 0,5 с скорость составила
υ1 = 7 м/с. На какую максимальную высоту поднимется камень?
6.28. Как изменяется скорость частицы по модулю (увеличивается, уменьшается), а также изменяется ли её направление, если в
данный момент между векторами скорости и ускорения угол равен:
1) 180°; 2) 45°; 3) 90°; 4) 120°?
46
7. ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ
ДВИЖЕНИЕ
Равномерное движение по окружности.
Угловая скорость
Если материальная точка
у
движется по окружности радиуса R, то для описания
А
уА
этого движения удобно, хотя
r (t )
и не обязательно, выбрать
систему координат х0у так,
х
хА
чтобы начало координат
совпало с центром окружности (рис. 7.1). В этом случае
координаты некоторой точки А связаны с радиусом окРис. 7.1
ружности выражением:
х А2 + у А2 = R2.
Поскольку это выражение годится для любой точки, лежащей на окружности, оно является в данном случае уравнением траектории:
x2 y2
+
= 1.
R2 R2
Можно записать его в явном виде:
R2 − x2 .
y = ±
Определим равномерное движение по криволинейной
траектории как движение с постоянной по модулю скоростью.
Пусть в начальный момент времени t0 начальный радиусвектор r0 , а угол с осью 0х равен φ0 (рис. 7.2). При равномерном движении по окружности радиус-вектор за любые равные
47
промежутки времени поворачивается на одинаковый угол.
Следовательно,
отношение
r (t )
υ0
Δϕ
остается постоянным.
ω=
φ(t) r0
Δt
φ0
х Оно называется угловой скоростью.
Угловая скорость – физическая величина, равная отношению изменения угла повороРис. 7.2
та радиус-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел.
Угловая скорость измеряется в радианах в секунду (рад/с).
Так как Δφ = φ(t) – φ0, Δt = t – t0, то
ϕ(t ) − ϕ0
ω=
.
t − t0
Полагая t0 = 0, получим
φ(t) = φ0 + ω·t.
Эта зависимость аналогична зависимости координаты от
времени при равномерном прямолинейном движении:
х(t) = х0 + υxt,
только вместо координат – углы, вместо проекции скорости –
угловая скорость.
у
υ
Связь между линейной и угловой скоростями
При движении по окружности модуль скорости υ называют
линейной скоростью, чтобы отличать от угловой скорости ω.
При равномерном движении по окружности не изменяется
модуль скорости υ, не изменяется и модуль радиуса-вектора
точки – он равен радиусу окружности R. При повороте радиуса-вектора на угол 2π (полный оборот) пройденный путь ра48
вен длине окружности s = 2πR. Время Т, за который этот путь
пройден,
Т = 2πR/υ
Это время прохождения полной окружности (время одного оборота) называют периодом обращения.
С периодом связана частота обращения по окружности.
Частота обращения – число оборотов радиуса-вектора в
единицу времени.
Период Т и частота n – величины взаимно обратные:
Т = 1/n;
n = 1/Т.
Угловая скорость
ω = 2π/Т = 2πn.
Так как линейная скорость υ = 2πR/Т, а угловая ω = 2π/Т, то
между ними существует простая связь:
υ = ωR.
Ускорение при равномерном движении
по окружности
При равномерном движении по окружности скорость тела
не изменяется по модулю, но изменяется по направлению, так
как она направлена по касательной в любой точке траектории. Таким образом, скорость как вектор изменяется, следовательно, тело движется с ускорением.
Определим величину и направление этого ускорения.
Пусть тело, равномерно двигаясь по окружности, в момент
времени t0 находится в точке А, имея скорость υА (рис. 7.3).
Спустя небольшой промежуток времени Δt = t – t0 тело будет
находится в точке В, имея скорость υВ , причем модуль скорости не изменяется, т.е. υA = υB = υ. За это время скорость изменится на величину Δ υ = υВ – υА .
По определению ускорение a равно:
49
a=
υB − υA Δυ
=
.
t − t0
Δt
у
А
В
rA
υA
υB Δυ
rB
υB
х
0
Рис. 7.3
Ясно, что вектор а направлен так же, как и вектор Δ υ ,
внутрь окружности. И, если точка В будет приближаться к
точке А, то вектор Δ υ , перенесенный в точку А, будет стремиться по направлению к центру окружности. Так же будет
направлен и вектор ускорения а .
Таким образом, при равномерном движении тела по окружности его ускорение направлено к центру окружности.
Его называют центростремительным или нормальным
(нормаль – это перпендикуляр к касательной). В данном случае нормальное ускорение перпендикулярно скорости.
Для определения модуля нормального ускорения рассмотрим треугольник, составленный из векторов υA , υB и Δ υ .
Этот треугольник равнобедренный, так как υA = υB = υ. Треугольник ОАВ тоже равнобедренный, так как ОА и ОВ – радиусы окружности. Углы при вершинах этих треугольников
равны, так как образованы взаимно перпендикулярными сторонами: ОА⊥ υA , ОВ⊥ υB . Поэтому треугольники подобны как
равнобедренные с одинаковыми углами при вершинах.
50
Из подобия следует:
Δυ
υ
= ,
АВ R
где |Δ υ | – модуль изменения вектора скорости, |АВ| – длина
∩
хорды AB , которая почти неотличима от длины дуги AB .
∩
Длина дуги AB равна пути, пройденному телом за время Δt
с постоянной по модулю скоростью υ. Путь равен υΔt. Поэтому можно записать:
| Δυ | υ
| Δυ | υ 2
или
= .
=
Δt
υΔt
R
R
υ2
| Δυ |
Модуль ускорения а равен отношению
или
, то
Δt
R
есть
υ2
а=
.
R
Этому ускорению присваивается индекс "n" – нормальное,
и оно обозначается обычно как аn.
Таким образом, при равномерном движении по окружности во всех ее точках ускорение аn по модулю одно и то же,
но направлено оно всегда по радиусу к центру. Такое движение нельзя назвать равноускоренным, поскольку ускорение,
хотя и неизменно по модулю, изменяется по направлению.
Вращательное движение
Вращательное движение – движение, при котором все
точки тела движутся по окружностям, центры которых
лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскостям этих
окружностей. Эта прямая называется осью вращения. Ось
вращения может проходить через тело, а может и не проходить через него (рис. 7.4).
51
Рассмотрим движение точек
тела вокруг оси ОО'. Проведем
мысленно плоскость перпендикулярно оси так, чтобы она пересекала тело в интересующей нас
точке А. Точка А движется по окружности
вокруг оси ОО'. Любая
Рис. 7.4
другая точка (например, В), лежащая в этой плоскости также
движется по окружности вокруг
этой же оси (рис. 7.5). Их радиусы соответственно равны RA и RB.
За некоторый промежуток времени Δt радиусы повернутся на некоторый одинаковый угол Δφ,
Рис. 7.5
следовательно, угловые скорости
Δϕ
у точек А и В одинаковы и равны ω =
.
Δt
Линейные скорости точек υA = ω·RA и υВ = ω·RВ. Разделив
одно выражение на другое, получим:
υВ/υA = RВ/ RA.
Чем дальше точка от оси вращения, тем больше ее линейная скорость.
Движение колеса
Рассмотрим движение колеса по горизонтальной поверхности (рис. 7.6). Пусть колесо перемещается со скоростью υ
вправо. Рассмотрим движение колеса в двух системах отсчета: в "неподвижной" (связанной с дорогой) и в "подвижной"
(связанной с колесом). Последняя движется вправо относительно первой со скоростью υ , равной скорости центра колеса относительно дороги.
52
В
С
О
А
В
υ
υВ
υС
D
С
О
D
υD
А
L
Рис. 7.6
В "подвижной" системе центр колеса неподвижен и само
колесо вращается по часовой стрелке вокруг центра с некоторой угловой скоростью ω, а все точки поверхности будут
иметь одинаковую по модулю линейную скорость u = ωR, которая направлена по касательной. За один оборот нижняя
точка А пройдет путь, равный длине окружности s = 2πR. Это
произойдет за время, равное периоду вращения:
Т = 2π/ω = 2πR/u.
В "неподвижной" системе за это же время Т колесо сместится на расстояние L = 2πR, при этом Т = 2πR/υ. Следовательно, u = υ.
В соответствии с законом сложения скоростей, скорость
некоторой точки в "неподвижной" системе отсчета υ равна
скорости этой же точки в "подвижной" системе υ ' плюс скорости самой "подвижной" системы относительно "неподвижной" υ0 :
υ = υ ' + υ0 .
В данном случае υ0 = υ и направлена вправо, υ' = u и направлена влево, причем u = υ. Следовательно, υА = 0, т.е. точка А неподвижна относительно дороги.
53
Нижняя точка колеса неподвижна в любой момент относительно дороги (хорошей дороги, когда нет проскальзывания, и абсолютно твердого колеса).
Аналогично можно рассмотреть другие точки В, С, D.
Например, вычислим скорость точки В относительно дороги. В этом случае по-прежнему υ0 = υ и направлена вправо.
υ' = u и направлена тоже вправо, причем u = υ. Следовательно, υВ = 2 υ , т.е. скорость верхней точки колеса относительно
дороги по модулю вдвое больше скорости центра и совпадает
с ней по направлению.
Ускорение при произвольном движении
Если материальная точка движется по криволинейной траектории с переменным ускорением, то вектор ускорения а и
вектор скорости υ образуют некоторый угол α в определенный момент времени. (Лишь
иногда он может быть равен
нулю). В этой точке можно
разложить вектор ускорения
на две составляющие: одну
− вдоль направления скорости, другую − перпендикулярно скорости (рис. 7.6).
Рис. 7.6
Составляющая ускорения
вдоль скорости аτ называется тангенциальной (касательной) составляющей вектора ускорения а (кратко − тангенциальным (касательным) ускорением).
Модуль тангенциального ускорения показывает быстроту
изменения модуля скорости.
Составляющая перпендикулярно скорости ап называется
нормальной составляющей вектора ускорения а (кратко −
нормальным ускорением).
54
Модуль нормального ускорения показывает быстроту изменения направления скорости.
Полное ускорение а = аτ + ап , а его модуль а = аτ2 + ап2 .
ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 7
7.1. За какое время τ колесо, имеющее угловую скорость
ω = 10 рад/с, сделает N = 100 оборотов? Чему равен период вращения Т колеса?
7.2. Найти угловую скорость ω и частоту вращения n барабана
лебедки диаметром D = 16 см при подъем е груза со скоростью
υ = 40 см/с.
7.3. Вычислить угловые скорости вращения минутной ωм и часовой ωч стрелок часов.
7.4. Конец минутной стрелки часов на Спасской башне Кремля
за τ = 60 с прошел путь s = 37 см. Какова длина l стрелки?
7.5. Стержень длиной l = 50 см вращается с частотой
n = 30 об/мин вокруг проходящей через стержень и перпендикулярной к нему оси. При этом один его конец движется со скоростью υ1 = 57 см/с. Какова скорость υ2 другого его конца?
7.6. Используя закон вращения ϕ(t) минутной и часовой стрелок,
определить интервал времени τ, через который они встречаются.
На какой угол Δϕ за это время поворачивается часовая стрелка?
7.7. Диск равномерно вращается относительно своей оси. Линейная скорость точек края диска υ1 = 3 м/с, а расположенных на
а = 10 см ближе к оси – υ2 = 2 м/с. Каковы радиус R и частота вращения n диска?
7.8. Обруч радиусом R катится по дороге со скоростью υ0. Определить угловую скорость ω вращения обруча и линейную скорость
v′ , с которой точки обруча движутся вокруг его оси. Найти скорость v относительно земли той точки обруча, которая в данный
момент находится на высоте R от дороги.
55
7.9. Велосипедист движется по окружности радиусом R = 50 м и
проходит её за время τ = 30 с. Каковы линейная υ и угловая ω скорости велосипедиста?
7.10. Стержень длиной l = 500 мм вращается вокруг перпендикулярной к нему оси, проходящей через его конечную точку. За
некоторое время другая его конечная точка прошла путь s = 500 м.
На какой угол ϕ повернулся стержень?
7.11. Частица движется по окружности с постоянной по модулю
скоростью υ = 57,3 м/с. При этом вектор ее скорости за время
Δt = 10 мс поворачивается на угол Δφ = 1°. Изобразив в виде треугольника соотношение υк = υн = Δυ ( υк = υн = υ ), найти из него
модуль вектора Δυ , угол между υн и Δυ , а затем определить модуль и направление среднего за Δt ускорения аср = Δυ / Δt частицы. Определить модуль центростремительного ускорения ацс.
7.12. По краю платформы радиусом R = 2 м идет человек со скоростью υ′ = 1 м/с относительно платформы. Платформа вращается
вокруг центра с угловой скоростью ω = 0,5 рад/с. Найти ускорение
человека а относительно земли при его движении в направлении и
против направления вращения платформы.
7.13. Искусственный спутник движется вокруг Земли по круговой орбите на высоте H, равной радиусу планеты R = 6400 км, совершая один оборот за время τ = 4 ч. Определить скорость υ и ускорение а спутника.
7.14. Две точки движутся равномерно по окружности в противоположных направлениях. Периоды их движения T1 и T2 . Найти
время между двумя последовательными встречами точек.
7.15. Радиус рабочего колеса гидротурбины в 8 раз больше, а
частота вращения в 40 раз меньше, чем паровой. Найти отношения
ускорений и линейных скоростей точек обода колес (введите свои
обозначения известных и неизвестных величин).
7.16. Во сколько раз должна бы увеличиться угловая скорость
вращения Земли, чтобы тела, лежащие на экваторе, имели ускоре2
ние 9,8 м/с ? Радиус Земли равен 6400 км, длительность суток 24 ч.
56
8. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
Инерциальная система отсчета.
Первый закон Ньютона
На первый взгляд кажется, что при отсутствии внешнего
воздействия или если внешние воздействия скомпенсированы, тело находится в покое. Для его движения с постоянной
скоростью нужно дополнительное постоянное воздействие.
Такой взгляд разделяли и древние греки (Аристотель).
Лишь трудами Галилея и Ньютона установлено, что для
поддержания движения с постоянной скоростью не нужно
дополнительных воздействий.
Такое заключение не является очевидным. Дело в том, что
есть такие воздействия, как сопротивление (воздуха, воды),
трение о поверхность, которые проявляются только при движении тела. Поэтому для их компенсации приходится применять дополнительные воздействия, чтобы скорость тела сохранялась.
Соответствующее утверждение в наше время формулируется в виде первого закона Ньютона:
существуют такие системы отсчета, относительно которых тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, если на него не действуют другие тела.
Системы отсчета, в которых выполняется этот закон,
называют инерциальными.
Само явление сохранения скорости постоянной (в частности, нулевой) называется инерцией.
Сколько их, инерциальных систем отсчета? Если есть одна,
в которой выполняется первый закон Ньютона, то любая система отсчета, движущаяся относительно этой одной с постоянной скоростью, также будет инерциальной. И таких систем
бесконечно много. Характерная черта всех инерциальных
57
систем отсчёта – то, что ускорение тела с точки зрения любой
из этих систем одинаково (в отличие от скорости).
Так как от внешних воздействий избавится в реальных условиях невозможно, то наилучшим приближением к идеальным инерциальным системам будут системы отсчета. связанные с далекими звездами.
А есть ли системы отсчета, в которых не выполняется первый закон Ньютона? Такими будут системы отсчета, движущиеся относительно инерциальных систем с ускорением. Их
называются неинерциальными.
В дальнейшем мы будем выбирать только инерциальные
системы отсчета.
Взаимодействия тел. Масса
Если на тело действуют другие тела, то скорость тела может изменяться, то есть оно может двигаться с ускорением.
Таким образом, причина ускорения тела – это действие других тел. При рассмотрении любого действия всегда приходится рассматривать как минимум два тела.
И, если первое тело действует на второе, то и второе действует на первое. Происходит взаимное действие тел друг на
друга или взаимодействие.
Пусть взаимодействуют два тела А и В. Время взаимодействия τ. За это время скорости взаимодействующих тел изменятся: у тела А на величину ΔυА , у тела В − на величину Δ υВ .
Разделив изменение скоростей на время взаимодействия τ,
получим величины ускорений взаимодействующих тел а А и
аВ .
В общем случае обнаружим, что ускорение одного из тел
меньше. Оно менее податливо к изменению скорости, или как
говорят, оно более инертно. Ускорение другого тела больше.
58
Следовательно, оно более податливо к изменению скорости –
оно менее инертно.
Для характеристики инертных свойств тел вводится скалярная физическая величина, называемая массой.
Масса – мера инертности тела.
Чем больше масса тела, тем оно более инертно. Следовательно, ускорение обратно пропорционально массе тела:
аА/аВ = mВ/mА.
Масса тела равна сумме масс его частей − это свойство
называется аддитивностью.
Плотностью ρ однородных тел называют отношение массы m тела к его объему V:
m
ρ= .
V
Плотность в международной системе единиц измеряется в
кг/м3.
Сила. Второй закон Ньютона
Ускорение тела, т.е. изменение скорости в инерциальной
системе отсчета, может возникать только при действии других тел. Действие другого тела на рассматриваемое характеризуют силой.
Сила - векторная физическая величина, характеризующая
действие одного тела на другое.
Силы считаются одинаковыми, независимо от природы,
если одному и тому же телу они сообщают одинаковое (по
модулю и направлению) ускорение.
У тела меньшей массы такая же сила вызовет большее ускорение.
Если на тела разных масс действует одна и та же сила, то
величина, равная произведению массы тела на его ускорение,
остается постоянной.
59


Таким образом, между силой F , массой m и ускорением а
можно установить связь. Эта связь впервые была установлена
Ньютоном и носит название второго закона Ньютона:
сила, действующая на тело, равна произведению массы
тела на сообщаемое этой силой ускорение, или


F  mа .
Если выбрать единицу измерения силы так, чтобы телу
массы 1 кг сила сообщала ускорение 1 м/с2, то эту единицу
кг  м
называют 1 ньютон (Н): 1 Н = 1 2 .
с
На тело (материальную точку) может действовать несколь 
ко сил F1 , F2 , …

Сила F , сообщающая телу такое же ускорение, как и ука 
занные силы F1 , F2 , … одновременно, называется равнодействующей этих сил.
Равнодействующая сил равна их векторной сумме:
  
F = F1 + F2 +…
Записанный для случая одновременного действия нескольких сил второй закон Ньютона носит название основного
уравнения динамики материальной точки:
  
m а = F1 + F2 +…
или в проекциях на оси координат:
max = F1x + F2x +… ,
may = F1y + F2y +…
Третий закон Ньютона
Действие тел друг на друга носит взаимный характер. Это
общее свойство взаимодействия любых тел. Если тело массы
m1 взаимодействует с телом массы m2, то их ускорения будут


равны а1 и а2 соответственно. Причем сила, с которой на пер60
вое тело действует второе тело, F12 = m1 а1 . Аналогично, сила, с
которой на второе тело действует первое тело F21 = m2 а2 . Но
при взаимодействии двух тел ускорения, как показывает опыт,
направлены противоположно, поэтому m1 а1 = − m2 а2 , следовательно F12 = − F21 .
Это соотношение выражает третий закон Ньютона: силы
одной природы, с которыми два взаимодействующих тела
действуют друг на друга, равны по величине, противоположны по направлению и направлены по прямой, соединяющей тела (материальные точки).
Принцип относительности Галилея
Если рассмотреть взаимодействие одних и тех же тел в
различных инерциальных системах отсчета (например, относительно поверхности Земли и относительно равномерно
движущегося вагона), то скорости тел могут отличаться, но
ускорения будут одинаковы в различных системах отсчета.
Таким образом, все инерциальные системы отсчета (ИСО)
равноправны относительно причин ускорений, то есть взаимодействий. Все механические явления в замкнутой физической системе протекают одинаково, причем независимо от
того, покоится ли она в некоторой ИСО, или движется в ней
равномерно и прямолинейно.
В этом суть принципа относительности Галилея (механического принципа относительности): никакими механическими опытами, поставленными внутри инерциальной
системы отсчета, невозможно установить, покоится эта
система или движется равномерно и прямолинейно.
Следствием принципа относительности Галилея, помимо
равноправия ИСО, является тот факт, что все законы Ньютона во всех ИСО имеют одну и ту же формулировку.
61
Для электромагнитных явлений принцип относительности
Галилея недостаточен.
Границы применимости законов Ньютона
1. Законы Ньютона справедливы только в инерциальных
системах отсчёта.
Поскольку Земля не является идеальной ИСО, то считать
системы отсчета, связанные с поверхностью Земли, инерциальными можно в случае, когда времена взаимодействий значительно меньше периода суточного вращения Земли (не
влияет ускорение поверхности).
2. Законы Ньютона применимы только при скоростях, малых по сравнению со скоростью света.
3. Законы Ньютона применяются для тел, которые можно
рассматривать как материальные точки.
Однако для тел очень малой массы – микрочастиц законы
Ньютона становятся несправедливыми.
ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 8
Первый закон Ньютона
8.1. В какой системе отсчёта Солнце движется вокруг Земли?
Является ли система отсчета, связанная с Землей, инерциальной?
8.2. На некоторое тело не действуют другие тела. Может ли это
тело двигаться? Может ли такое тело двигаться по криволинейной
траектории?
8.3. Самолет летит горизонтально с постоянной скоростью. Почему груз, сброшенный с самолета, не падает вертикально вниз?
Можно ли в этом случае систему отсчета, связанную с самолетом,
считать инерциальной?
8.4. а) Покоящуюся доску стали перемещать по горизонтальной поверхности
(рис. 8.1). Будет ли двигаться расположенРис. 8.1
ный на ней брусок?
62
б) Доска и брусок двигались вместе. Как поведет себя брусок
при торможении доски?
Трение пренебрежимо мало в обоих случаях.
8.5. Можно ли автобус или диск считать телами отсчета инерциальной системы, если:
1) по горизонтальному полу тормозящего автобуса катится мяч
с возрастающей скоростью;
2) на диске, вращающемся с постоянной скоростью, лежит
предмет?
8.6. Мяч, лежавший на полу вагона, вдруг покатился:
а) вперед по направлению движения вагона;
б) перпендикулярно направлению движения вагона.
Как изменилось в указанных случаях движение вагона?
Масса, плотность. Сила.
Второй закон Ньютона
8.7. Массивный груз подвешен на нити 1, а
снизу к нему прикреплена такая же нить 2 (рис.
8.2). Если резко дернуть за нить 2, то она оборвется. Почему же не обрывается уже натянутая
грузом нить 1?
8.8. Шарик подвешен на нити к движущеРис. 8.2
муся телу. Будет ли нить вертикальной, когда
тело движется:
а) горизонтально с постоянной скоростью;
б) ускоренно вертикально вверх;
в) замедленно в горизонтальном направлении;
г) со скоростью v = const под углом 45° к горизонту?
Сопротивлением воздуха пренебречь. В каком из перечисленных случаев систему отсчета, связанную с телом, можно считать
инерциальной?
8.9. Под действием силы F1 = 5 H первое тело движется с ускорением a1 = 2 м/с2, а при действии силы F2 = 10 H второе тело движется с ускорением а2 = 5 м/с2. Какое тело и во сколько раз n
инертнее другого?
63
8.10. Масса сплошного куба m0 = 8 кг. Какую массу m будет
иметь куб из того же вещества, длина ребер которого в n = 2 раза
меньше?
8.11. Один литр воды (V = 1 дм3) имеет массу m = 1 кг. Вычислить плотность ρ воды в единицах СИ. Какова масса воды в полной
бочке диаметром d = 65 см и высотой Н = 95 см?
8.12. Золото можно расплющить до толщины d = 0,1 мкм. Поверхность какой площади S можно покрыть листом золота, масса
которого m = 2 г? Плотность золота ρ = 19,3·103 кг/м3.
8.13. Сплав золота (ρ з = 19,3 г/см3) и серебра (ρc = 10,5 г/см3)
имеет массу m = 400 г и плотность ρ = 14 г/см3. Определить процентное содержание по массе и массу золота в сплаве, считая объем сплава равным сумме объемов его частей.
8.14. На столе лежит книга. С какими телами она взаимодействует? Почему в задачах обычно не учитываются сила её притяжения к Луне или выталкивающая сила Архимеда в воздухе? На основании второго закона Ньютона найти соотношение между силой
тяжести mg и силой реакции стола N .
8.15. Висящий на нити шарик отвели в сторону и толкнули так,
что он стал двигаться по окружности в горизонтальной плоскости.
Модуль его скорости можно считать постоянным. С какими телами
взаимодействует шарик? Изобразите действующие на него силы и
его ускорение. Запишите в векторной форме второй закон Ньютона. Куда направлена равнодействующая всех сил, приложенных к
шарику? Почему нить остается не вертикальной?
8.16. Мальчик бросает мяч вертикально вверх. Мяч летит вверх
с ускорением a1 , причем g < a1 < 2 g , затем он падает вниз с уско-
рением a2 < g . Указать силы, действующие на мяч, и сравнить их в
процессе: а) броска; б) полета вверх; в) полета вниз.
8.17. С наклонной плоскости соскальзывает груз массы m = 4 кг
с ускорением а = 2 м/с2. Указать силы, действующие на груз, и найти величину и направление их равнодействующей.
64
Взаимодействие тел. Третий закон Ньютона
8.18. Будут ли одинаковыми по модулю силы, действующие на
муху и на поезд при их столкновении?
8.19. Равны ли по модулю силы взаимодействия лифта и человека, стоящего в нем, если лифт движется с ускорением?
8.20. Можно ли считать применимым третий закон Ньютона,
рассматривая взаимодействие Земли и Солнца?
8.21. На книгу, лежащую на столе, действует сила тяжести m g
и сила реакции стола N . На основании какого закона Ньютона делается вывод, что N = − m g ?
8.22. Книга лежит на столе. На основании какого закона Ньютона можно сделать вывод, что сила давления книги на стол Р и сила
реакции стола N равны по абсолютной величине?
8.23. Падая с большой высоты, тело движется с постоянной скоростью. Рассмотреть силы взаимодействия тела с землей и воздухом и указать соотношения между силами на основании второго и
третьего законов Ньютона.
8.24. На рис. 8.3 изображены: сжатая пружина, два бруска массами m и М, горизонтальная поверхность стола. Изобразить отдельно
каждое из тел и силы, действующие на них.
Указать на основании третьего закона Ньютона соотношения между векторами и модулями
сил взаимодействия пружины и брусков.
Рис. 8.3
Применение законов Ньютона
8.25. Брусок массой m движется вверх по шероховатой наклонной плоскости. Записать в векторном виде второй закон Ньютона
для бруска. Чему равна и куда направлена равнодействующая всех
сил, приложенных к бруску, если его ускорение равно а?
8.26. С какой силой P давит человек массой m на пол лифта,
движущегося с ускорением а ? Задачу решить в векторном виде,
применив второй и третий законы Ньютона.
65
8.27. По гладкой горизонтальной поверхности движется груз
массой m = 10 кг под действием силы F = 50 Н, направленной вверх
под углом α = 60° к поверхности. Записать второй закон Ньютона
для груза в векторной форме. Выбрать удобную систему координат
и записать второй закон Ньютона в проекциях на выбранные оси.
Добавив уравнение третьего закона Ньютона, определить из полученной системы силу давления груза на поверхность Р и ускорение
груза а. Вычислить Р и а.
8.28. Два бруска массами m1 = 200 г и m2 = 300 г связаны нитью
и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. Какой будет сила
натяжения нити Т, когда на легкий брусок подействуют горизонтальной силой F = 1,5 Н вдоль нити?
8.29. По выпуклому мосту радиусом R = 50 м движется машина.
Её скорость v = 72 км/ч. Во сколько раз n сила тяжести машины
больше силы ее давления на асфальт в верхней точке моста?
8.30. На вершине наклонной плоскости с углом наклона α = 30°
укреплен легкий блок, через который перекинута нить с грузами на
концах. Масса груза на свисающей части нити m1 = 150 г, масса
груза, движущегося по плоскости, m2 = 200 г. Определить величину ускорения грузов а и силу натяжения нити Т. Трением пренебречь.
9. СИЛЫ УПРУГОСТИ
Рассмотрим стержень длиной l0
и сечением площадью S, который
закреплен одним концом в массивной стене (рис. 9.1).
В состоянии равновесия без
внешней нагрузки атомные слои
Рис. 9.1
стержня находятся на некотором
равновесном расстоянии а друг от друга (рис. 9.2). Под действием силы F слои стержня разойдутся до расстояния а + х
и между ними возникнут силы притяжения из-за взаимодей66
ствия атомов. Если такую же силу
приложить в противоположном направлении, то есть сжимать стержень, то расстояние между слоями
уменьшится до а – х, а между слоями
слоях возникнут силы отталкивания.
В любом поперечном сечении упруго деформированного стержня между атомными слоями действуют силы, которые называют силами упруРис. 9.2
гости.
Под действием силы F , приложенной к 1-му слою, все
слои отодвигаются друг от друга на расстояние а + х и в новом положении равновесия внешняя сила F компенсируется
силой притяжения F12 со стороны атомов второго слоя. На
второй слой в соответствии с третьим законом Ньютона будет
действовать сила F21 = – F12 = F , поэтому он окажется на
таком же равновесном расстоянии а+х от третьего слоя.
Таким образом, в любом поперечном сечении упруго деформированного стержня между атомными слоями, прилегающими к этому сечению, действуют силы, которые и являются силами упругости.
Для горизонтального покоящегося стержня сила упругости
Fупр = F12 = F23 = … = F .
Сила упругости, как ясно из предыдущего, зависит от величины деформации.
Деформацию можно характеризовать разными величинами. Величину ∆l = l – l0 называют абсолютной деформацией
стержня. При удлинении стержня ∆l > 0 и равна Nx, где N –
число слоев, а х – смещение каждого слоя. При сжатии ∆l < 0
и равна (– Nx).
67
Δl
называют относительной деформацией.
l0
F
Величину σ =
называют напряжением. Размерность
S
напряжения – ньютон на кв. метр (Н/м2).
Опыт показывает, что при малых деформациях величина
относительной деформации прямо пропорциональна величине напряжения:
ε = σ/ Е.
Здесь Е – модуль Юнга – справочная величина, характеризующая упругие свойства материала.
Подставив выражения для σ и ε, получим соотношение
F = k |∆l|,
SE
– коэффициент упругости (жесткость) зависит не
где k =
l0
только от свойств материала, но и от размеров (начальная
длина и сечение) стержня, в СИ единицей жесткости является
ньютон, деленный на метр (Н/м).
Это соотношение было установлено английским ученым
Робертом Гуком и называется законом Гука: сила упругости,
возникающая при упругой деформации тела, прямо пропорциональна величине деформации и направлена в сторону,
противоположную деформации.
Упругой называют деформацию, которая исчезает после
снятия нагрузки
В большинстве материалов величины упругих деформаций
малы. При значительном увеличении нагрузки в материале
происходят необратимые изменения, сопровождающиеся неупругими (или пластическими) деформациями, при которых
форма тела после снятия нагрузки уже не восстанавливается.
Дальнейшее увеличение нагрузки ведет к разрушению материала.
Величину ε =
68
Вместе с тем существуют материалы – резины, которые
дают значительные упругие деформации. Кроме того, можно, создав тела определенной геометрии, добиться значительной упругой деформации этих конструкций. Известными примерами являются стальные пружины, длинные стальные линейки.
В качестве упруго деформируемого тела рассмотрим пружину (рис. 9.3, а). В пружине, растянутой или сжатой в осевом направлении, возникают силы упругости. Силой упругости называют ту силу, которая действует со стороны пружины на контактирующее с ней тело. Рассмотрим тело массой
m, подвешенное на пружине. На него действуют сила тяжести
mg и сила упругости пружины Fупр . Если тело покоится, то
из второго закона Ньютона следует, что Fупр = mg.
Fупр х
l0
Δl
а
Fупр
0
0
х
б
mg
Рис. 9.3
х
Сила упругости пропорциональна модулю деформации
|∆l|, коэффициент пропорциональности k – жесткость пружины:
Fупр = k|∆l|.
Характерной особенностью силы упругости является то,
что ее направление противоположно направлению деформации.
69
Введем ось 0х в направлении растяжения пружины. Пусть
начало координат совпадает с концом недеформированной
пружины. Тогда координата конца деформированной пружины равна х, а величина деформации ∆l = х. Следовательно,
Fупр х = – kх.
Графическая зависимость показана на рис. 9.3, б.
Имея график для конкретной пружины, по величине деформации х легко определить величину силы тяжести, действующей на тело, подвешенное на пружине.
К упругим силам относятся силы натяжения
нити и силы реакции поверхности.
Рассмотрим шарик, висящий на нити (рис. 9.4).
На него действуют две силы: сила тяжести mg и
сила упругости нити, которая образуется в результате упругой деформации нити. При этом деформация нити очень мала и практически незаметна.
Силу упругости нити называют силой натяжеРис. 9.4
ния и обозначают обычно T .
Рассмотрим брусок, лежащий на столе
(рис. 9.5). На брусок действуют две силы:
сила тяжести mg и сила упругости стола,
которая образуется в результате упругой
деформации стола. При этом деформация
Рис. 9.5
стола мала и практически незаметна.
Силу упругости стола (опоры) называют нормальной реакцией опоры и обозначают обычно как N .
ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 9
9.1. Пружину длиной l0 = 10 см и жесткостью k = 100 Н/м растянули, приложив к её концам две одинаковые силы F = 10 Н. Определить силу упругости Fупр и длину l растянутой пружины.
70
9.2. На стальном тросе длиной l = 5 м подвесили груз массой
m = 500 кг. При этом трос удлинился на Δl = 10 мм. Вычислить жесткость троса k и его относительное удлинение ε.
9.3. Груз массой m подвесили на пружине. Затем точку подвеса
пружины опустили так, что груз оказался на столе, а удлинение
пружины уменьшилось в n раз. Определить силу давления F груза
на стол.
9.4. Во сколько раз n жесткость резинового жгута меньше жесткости этого же жгута, сложенного вдвое?
9.5. Определить жесткость: а) последовательного и б) параллельного соединения двух пружин, жесткости которых k1 и k2.
9.6. Пружина длиной l0 имеет жесткость k0. От неё отрезали кусок длиной l. Какова жесткость k этого куска?
9.7. На гладкой наклонной плоскости лежат пружина и прикрепленный к ней брусок. Брусок покоится, так как второй конец пружины закреплен на плоскости. Определить длину пружины l, если
её жесткость k = 200 Н/м, недеформированная длина l0 = 15 см,
масса бруска m = 400 г, а угол наклона плоскости α = 30°.
9.8. При растяжении пружины один её конец удаляется от другого с ускорением а (x0 = 0, υ0 = 0). Построить графики зависимости
силы упругости от удлинения пружины x и от времени t. Массой
пружины пренебречь.
9.9. На пружине жесткостью k = 100 Н/м подвесили тело массой
m = 0,4 кг и отпустили его. В некоторые моменты ускорение тела
а = ± g . Каково удлинение пружины Δl в эти моменты?
9.10. Пружину с недеформированной длиной l0 = 10 см сжали вдвое, связали нитью и
положили между двумя грузами m1 = 1 кг и
Рис. 9.6
m2 = 2 кг (рис. 9.6). В момент пережигания нити первый груз стал двигаться с ускорением а1 = 6 м/с2. Найти ускорение а2 второго груза в этот момент и жесткость пружины k.
Трением пренебречь.
9.11. На гладкий горизонтальный стержень надеты пружина жесткостью k = 200 Н/м и связанная с нею муфта массой m = 1 кг.
Муфта может двигаться по стержню без трения. Второй конец
пружины прикреплен к вертикальной оси (рис. 9.7). Длина неде71
формированной пружины l0 = 10 см. Какова длина
l пружины, когда штанга вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью ω = 10 рад/с?
9.12. Для установки, рассмотренной в задаче
9.11 (см. рис. 9.7) задана длина пружины l1 при
скорости муфты υ1. При другой скорости υ2 длина
пружины равна l2. Какова длина l0 недеформироРис. 9.7
ванной пружины?
9.13. На пружине жесткостью k = 50 Н/м подвесили тело массой
m = 100 г. Затем тело отвели в сторону и толкнули так, что оно стало двигаться по горизонтальной окружности. При этом ось пружины образовала с вертикалью неизменный угол α = 60°. Определить
скорость тела υ. Длина недеформированной пружины l0 = 11 см.
9.14. Концы пружины шарнирно прикреплены к стене и бруску
массой m = 0,25 кг, лежащему на горизонтальной поверхности.
Растянув пружину вдвое по сравнению с недеформированной длиной l0 = 10 см, брусок удерживают на поверхности. В этом положении ось пружины образует угол α = 30° с горизонтом. Найти ускорение бруска сразу после того, как он будет отпущен. Жесткость
пружины k = 80 Н/м.
10. СИЛЫ ТРЕНИЯ И СОПРОТИВЛЕНИЯ
Силы трения
Силы, действующие вдоль поверхностей соприкасающихся
твердых тел, называют силами трения.
Силы трения возникают, вообще говоря, из-за шероховатости соприкасающихся тел, так как идеально ровных поверхностей не бывает.
Рассмотрим брусок, лежащий на горизонтальной поверхности (рис. 10.1). Сила нормальной реакции поверхности N ,
вообще говоря, приложена к нижней грани бруска, а не к центру, как сила тяжести mg . Так как брусок не движется, то в
72
силу второго закона Ньютона N = mg . Силы трения в этом
случае нет.
Q
N
N
F
Fтр
mg
mg
Рис. 10.2
N′
Рис. 10.1
Сила N в соответствии с третьим законом Ньютона равна
силе N ′ , с которой брусок действует на поверхность – это
сила давления бруска на поверхность.
Приложим к бруску горизонтальную силу F (рис. 10.2).
Если при этом брусок еще не движется, то сила, действующая
со стороны поверхности на брусок, должна измениться (обозначим ее Q ), чтобы выполнялся второй закон Ньютона:
F + mg + Q = 0.
Сила Q является полной реакцией поверхности. Ее можно
разложить на две составляющих: нормальную реакцию поверхности N , перпендикулярную поверхности, и силу трения
Fтр , направленную вдоль поверхности.
Сила нормальной реакции N = mg по-прежнему.
Сила трения Fтр = − F , как следует из вышеприведенной
записи второго закона Ньютона.
Силу трения в этом случае называют силой трения покоя Fтр .
Если брусок перемещается относительно поверхности, то
силу трения, действующую на него, называют силой трения
скольжения Fтр.ск .
73
Опыт показывает: для того чтобы брусок двигался вдоль
поверхности, необходимо приложить некоторую силу
F ≥ F0. Ясно, что силами, изменяющимися от 0 до F0 , сдвинуть брусок нельзя.
Так как сила трения покоя Fтр принимает различные значения, равные силе F по модулю и противоположно ей направленные, то существует максимальная сила трения покоя
Fтр max , равная по величине силе F0 и противоположно ей направленная.
Опыт показывает, что Fтр max не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, но всегда пропорциональна
силе, с которой прижаты тела, то есть пропорциональна
силе нормальной реакции опоры N:
Fтр max = μN.
Это утверждение иногда называют законом Кулона −
Амонтона.
Коэффициент μ называют коэффициентом трения.
Его величина безразмерна и зависит от материалов, из которых изготовлены соприкасающиеся тела, а также от качества обработки соприкасающихся поверхностей. В справочниках по физике приводятся величины коэффициента трения
для различных пар материалов.
Таким образом, для силы трения покоя можно записать:
0 ≤ Fтр ≤ μN .
В достаточно большом интервале скоростей бруска при
скольжении его по плоскости зависимость силы трения
скольжения от его скорости незначительна. Поэтому в дальнейшем будем считать, что сила трения скольжения не зависит от скорости
Поскольку движение бруска вдоль поверхности начинается
при достижении приложенной силой F0 значения Fтр max = μN,
то сила трения скольжения Fтр.ск равна максимальной силе
трения покоя Fтр max:
74
Fтр.ск = Fтр max
или
Fтр.ск = μN.
Рассмотрим зависимость модуля силы трения от величины
приложеннй к бруску горизонтальной силы F (рис. 10.3).
При увеличении силы F от 0
до F0 брусок находится в покое,
а сила трения покоя Fтр = F и
возрастает от 0 до μN. При
дальнейшем увеличении силы F
брусок движется, а сила трения
скольжения неизменна и равна
Рис. 10.3
μN.
Качественно возникновение сил трения объясняется следующим образом. Поверхности тел состоят из микроскопических выступов и впадин. Чем сильнее прижаты тела, тем
больше вдавливаются выступы одной поверхности во впадины другой. При попытке сдвинуть одно тело относительно
другого выступы упруго деформируются, от чего возникает
сила трения покоя. При относительном движении тел выступы постоянно проваливаются во впадины, создавая постоянную силу трения, равную μN. Трение можно уменьшить, используя смазочные материалы.
Сила трения Fтр и сила нормальной реакции опоры N являются составляющими вектора силы реакции опоры Q . Сила трения Fтр перпендикулярна вектору N .
Сила трения покоя Fтр и сила трения скольжения Fтр.ск
направлены по касательной к поверхности в сторону, противоположную скорости тела относительно опоры (для трения
скольжения), или в сторону, противоположную направлению
возможного движения тела, если бы трение отсутствовало
(для трения покоя).
75
Тело и опора – понятия условные. На опору со стороны тела действуют такие же силы (согласно третьему закону Ньютона), как и на тело со стороны опоры.
Силы сопротивления в жидкостях и газах
Силы, возникающие при движении тел в газообразной или
жидкой среде, называют силами вязкого трения или силами сопротивления Они возникают при взаимодействии поверхности тела с частицами (атомами и молекулами) среды.
При движении тела ближайшие к телу частиц вовлекаются в
движение. Их движение относительно соседних слоев порождает в среде внутренние силы трения. Они зависят от скорости,
формы и размеров тела, а также от свойств самой среды.
Если тело имеет симметFc
ричную форму относительно
F
Fc
направления движения, то
сила сопротивления противоположна направлению скорости (рис. 10.4, а).
υ
Вообще сила взаимодейстMg
вия со средой не параллельна
а
б
скорости, хотя и зависит от
Рис. 10.4
Mg
симметрии тела (рис. 10.4, б).
В общем случае силой сопротивления Fс называют составляющую силы F взаимодействия тела со средой, направленную в сторону, противоположную скорости движения тела.
При малых скоростях сила сопротивления пропорциональна скорости:
Fc = k1υ
или в векторной форме
Fc = −k1υ .
76
При больших скоростях сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости:
Fc = k2υ2
или в векторной форме
Fc = − k2υυ .
Здесь k1 и k2 – коэффициенты сопротивления. Они размерны и
определяются экспериментально. Для простых форм тел (шар, цилиндр) коэффициенты сопротивления приведены в справочниках.
ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 10
Силы трения
10.1. На горизонтальной поверхности находится тело массой
m = 2 кг. На тело начали действовать горизонтальной силой F.
Найти возникшую силу трения Fтр, если: а) F = 1 Н; б) F = 3 Н;
в) F = 5 Н. Коэффициент трения μ = 0,1.
10.2. Брусок массой m движется вдоль горизонтальной поверхности стола с коэффициентом трения μ. С какой силой Q брусок
действует на поверхность стола?
10.3. Тело массой m = 3 кг движется по горизонтальной поверхности с ускорением а = 6 м/с2 под действием силы F, направленной
под углом α = 30º к горизонту: а) вверх; б) вниз. Определить силу
F, если коэффициент трения μ = 0,2.
10.4. С каким ускорением соскальзывает тело с наклонной плоскости, образующей угол α = 60º с горизонтом, если при угле наклона β = 30º тело соскальзывает с постоянной скоростью?
10.5. С каким ускорением а1 соскальзывает тело с наклонной
плоскости, образующей угол α с горизонтом, если коэффициент
трения равен μ? Найти также ускорение а2 при движении тела
вверх по наклонной плоскости после мгновенного толчка.
10.6. На доске лежит груз. Коэффициент трения между доской и
грузом μ = 0,2. С каким минимальным ускорением аmin надо двигать доску в горизонтальном направлении, чтобы груз с нее соскользнул?
77
10.7. На расстоянии l = 10 см от оси вращения горизонтального
диска положена монета. Коэффициент трения монеты о диск
μ = 0,1. Построить график зависимости силы трения от угловой
скорости ω вращения диска. При какой угловой скорости ω0 монета
начнет скользить?
10.8. На гладкой горизонтальной поверхности лежит доска массой М = 1,5 кг, а на ней брусок массой m = 3 кг. Коэффициент трения бруска о доску μ = 0,3. Какую минимальную горизонтальную
силу F0 нужно приложить к бруску, чтобы он стал скользить относительно доски? Построить графики зависимости ускорений бруска
и доски от величины горизонтальной силы F, приложенной к бруску.
Силы сопротивления (вязкого трения)
10.9. Шар падает с большой высоты. Учитывая сопротивление
воздуха, изобразить (качественно) графики зависимости от времени
скорости и ускорения шара.
10.10. Падая с большой высоты, тело массой m = 4 кг достигло
максимальной скорости υмакс = 50 м/с. Вычислить силу сопротивления воздуха Fс в тот момент, когда тело двигалось со скоростью
υ = 20 м/с. Каково ускорение а тела в этот момент? Сила сопротивления пропорциональна скорости тела.
10.11. На парашют действует сила сопротивления, пропорциональная скорости снижения парашютиста. Каким должен быть коэффициент пропорциональности k, чтобы обеспечить безопасную
скорость приземления υ ≤ 10 м/с? Масса человека с парашютом
m = 100 кг.
10.12. Автомобиль начал двигаться с ускорением а1 = 2 м/с2.
При скорости υ = 7 км/ч ускорение стало равным а2 = 1 м/с2. До какой максимальной скорости υмакс разгонится автомобиль? Силу
взаимодействия с дорогой считать постоянной, а силу сопротивления – пропорциональной скорости.
10.13. В атмосферу Земли влетел с большой скоростью метеорит. В некоторый момент на него действует сила сопротивления F1.
.Какая сила F2 действовала бы на подобный метеорит, размеры и
78
скорость которого в n раз больше? Сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости и площади поперечного сечения тела.
10.14. Брошенный в воду шарик радиуса R1 погружается на дно
со скоростью υ1. С какой скоростью υ2 погружается шарик радиуса R2 из того же материала? Сила сопротивления пропорциональна
скорости и квадрату радиуса шарика.
10.15. Тело массой m = 100 г брошено под углом к горизонту.
Из-за сопротивления воздуха в верхней точке траектории его ускорение а = 11 м/с2. Чему равна сила сопротивления Fс в этой точке?
Считать g = 9,8 м/с2.
Силы трения и силы упругости
10.16. Какова начальная скорость υ0 шайбы, если она, двигаясь
вверх по ледяной горке с углом наклона α = 30º, остановилась через
τ = 2 с? Коэффициент трения μ = 0,1.
10.17. Найти удлинение троса при буксировке автомобиля на
горизонтальном шоссе, если движение происходит с ускорением
а = 0,25 м/с2. Масса автомобиля m = 2 т, жесткость троса
k = 100 кН/м, а коэффициент сопротивления k = 0,01 (k = Fс /mg,
где Fс – полная сила сопротивления движению тела массы m).
10.18. Если на вертикальную пружину положить сверху груз
массой m1, она сожмется до длины l1. Если же подвесить на ней тело массой m2, она растянется до длины l2. Какова длина пружины l0
в недеформированном состоянии?
10.19. Нить с грузами на концах перекинута через легкий блок,
укрепленный на краю стола и вращающийся без трения. Масса
свисающего груза m1 = 200 г, масса груза, лежащего на столе,
m2 = 800 г. Если систему отпустить, то грузы проходят расстояние
s = 1 м за время τ = 2 с. Определить коэффициент трения груза о
стол μ и силу давления на ось блока F во время движения грузов.
10.20. Один конец легкой пружины надет на вертикальную ось,
проходящую через центр горизонтального диска, другой прикреплен к бруску массой m = 0,4 кг, лежащему на диске. Растягивая
пружину, брусок отодвигают на максимальное расстояние l = 15 см
от центра диска, на котором он ещё удерживается силой трения.
79
Брусок начинает скользить, если диск после этого раскрутить очень
медленно до угловой скорости ω0 = 6 рад/с. Определить коэффициент трения μ и жесткость пружины k. Длина недеформированной
пружины l0 = 10 см.
10.21. Капли дождя радиуса R1 падают со скоростью υ1 = 3 м/с.
С какой скоростью υ2 падают капли, радиус которых R2=2R1? Силу
сопротивления считать пропорциональной скорости капель и площади их поперечного сечения (т.е. квадрату радиуса).
10.22. После удара два бруска массами m и 2m движутся по горизонтальной поверхности вдоль оси соединяющей их легкой пружины. В некоторый момент легкий брусок движется вслед за тяжелым и имеет ускорение а1 = 2 м/с2, направленное в сторону его
движения. Каково ускорение а2 тяжелого бруска в этот момент?
Коэффициент трения μ = 0,2.
10.23. Определить минимальную скорость υмин, с которой должен двигаться мотоциклист по вертикальной цилиндрической стене, чтобы не соскользнуть с неё. Диаметр цилиндра D = 16 м, коэффициент трения μ = 0,8.
11. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ
Сила гравитации
Между любыми телами, обладающими массой, действуют
силы гравитационного притяжения.
Их величину и зависимость от массы и расстояния между
телами определяет закон всемирного тяготения, открытый
Ньютоном:
Две материальные точки притягиваются друг к другу с
силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Сила направлена вдоль прямой, соединяющей точки.
Для модуля силы F можно написать выражение:
80
m1 ⋅ m2
.
r2
Здесь m1, m2 – массы материальных точек, r – расстояние
между ними.
Закон в данной форме справедлив и для тел, имеющих
сферическую симметрию распределения масс (шары, сферические оболочки). Для таких тел в качестве r берется расстояние между их центрами.
Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной. Он определен экспериментально и равен 6,67·10 – 11м3/кг⋅с2.
Массу мы определили как меру инертности тела, то есть
как свойство тела быстрее или медленнее изменять скорость
при воздействии другого тела.
Это выражено во втором законе Ньютона
m a = F1 + F 2 + …
Массу m, входящую в это выражение, называют инертной
массой. В законе всемирного тяготения масса проявляет другое свойство – способность притягивать к себе другую массу:
m ⋅m
F =G 1 2 2 .
r
Массы, входящие в этот закон, называют гравитационными массами.
Практические эксперименты не улавливают различий между инертной и гравитационной массами. Поэтому в дальнейшем они считаются одинаковыми. При определении силы гравитации это учтено в значении гравитационной постоянной.
F =G
Сила гравитации и сила тяжести
Вблизи поверхности Земли (радиус Земли RЗ = 6378 км,
масса Земли МЗ = 5,96·1024 кг) сила гравитации, действующая
на тело массой m,
81
FG  G
M Зm
RЗ2
сообщает телу ускорение (в отсутствие других тел)
gG 
FG
M m
2
 G З2  9,805 м/с .
m
RЗ
Строго говоря, это ускорение не совпадает с ускорением
свободного падения, так как система отсчета, связанная с поверхностью Земли, не является инерциальной из-за вращения
Земли вокруг своей оси. Однако простые расчеты показывают, что различие составляет доли процента.
Поэтому в дальнейшем будем принимать, что ускорение
свободного падения
gG  G
M Зm
2
 9,81 м/с .
2
RЗ
Будем называть силой тяжести силу, сообщающую телам
ускорение свободного падения (в отсутствие других тел).
Зависимость ускорения свободного падения
от высоты
У поверхности Земли ускорение свободного падения
gG  G
M Зm
2
 9,81 м/с .
RЗ2
На некоторой высоте h ускорение свободного падения
FG
MЗ
RЗ2
.
gh 
G
g
m
( RЗ  h)2
( RЗ  h)2
Последнее выражение позволяет определить ускорение
свободного падения на любой высоте. Так, ускорение свободного падения уменьшается в два раза на высоте
h = 0,41RЗ = 2600 км. Таким образом, до высот порядка
100 км изменением величины ускорения можно пренебречь.
82
Сила тяжести и вес
Весом тела называется сила, с которой тело действует на
опору или подвес, по отношению к которым тело покоится.
Сама опора или подвес могут покоиться, а могут и двигаться, в том числе с любым ускорением.
Рассмотрим тело (шарик) на неподвижном подвесе
(рис. 11.1, а). На тело действуют сила тяжести mg и сила натяжения нити T . Так как шарик неподвижен, то в соответствии со вторым законом Ньютона
0 = mg + T .
N
T
mg
N′ = P
mg
T′ = P
б
а
Рис. 11.1
Со стороны шарика на нить (на подвес) действует сила T ′ ,
которая в соответствии с третьим законом Ньютона равна
− T . С другой стороны, сила T ′ по определению и есть вес
тела (шарика) P . Итак, P = T ′ , T ′ = − T , − T = mg , откуда
P = mg . Таким образом, при неподвижном подвесе вес тела
равен силе тяжести.
Аналогично определим вес тела на неподвижной опоре
(рис. 11.1, б). На тело действуют сила тяжести mg и нормальная реакция опоры N . На опору со стороны тела дейст83
вует сила N ′ , которая и есть вес тела. Не трудно показать,
что P = mg .
Пусть тело находится на опоре, движущейся с ускорением
а (рис. 11.2). Поскольку тело неподвижно относительно опоры, то оно движется с таким же ускорением.
В соответствии со вторым законом
Ньютона ma = mg + N .
Вес P = − N , поэтому P = mg − ma
Рис. 11.2
и P = m( g − a ) .
Таким образом, вес тела зависит
от ускорения опоры.
Если а = 0 , то P = mg , что совпадает с предыдущим выводом.
Невесомость и перегрузка
Пусть ускорение тела (и опоры) а направлено вертикально
вниз. Запишем соотношение P = m( g − a ) в проекции на ось
0у, направленную вертикально вниз:
P = m( g − a ) .
Таким образом, вес тела уменьшается при увеличении а .
При а = g вес тела точно станет равным нулю – тело
находится в состоянии невесомости.
В состоянии невесомости тело не действует на опору.
Любое тело, на которое действует только сила тяжести (и
других сил нет), тело движется с ускорением свободного падения.
Пусть ускорение тела и опоры а направлено вертикально
вверх. Запишем соотношение P = m( g − a ) в проекции на ось
0у, направленную вертикально вниз:
84
P = m( g − (− a)) = m( g + a) .
В этом случае вес тела увеличивается при увеличении а.
Пусть а = −kg . Тогда P = (k + 1)mg , т.е. вес тела в (k + 1)
раз больше веса при неподвижной опоре, равного mg.
Коэффициент (k + 1) показывает кратность перегрузки. Вес
превышает силу тяжести в (k + 1) раз. Тренированные летчики и космонавты выдерживают кратковременные перегрузки
величиной до 10mg .
Спутники. Первая космическая скорость
Если пустить тело с горизонтальной скоростью υ0 с башни
высотой h (рис. 11.3), то оно будет двигаться по параболической траектории 1, если пренебрегать сопротивлением воздуха и считать поверхность Земли плоской.
Рис. 11.3
Однако при значительном увеличении начальной скорости
необходимо уже учитывать шарообразность поверхности
Земли. Тело в этом случае будет двигаться по траектории, которая называется эллиптической (2). Повышая скорость,
можно добиться того, что тело будет двигаться по окружности радиуса r = RЗ + h вокруг Земли (3).
Минимальную скорость V1, позволяющую реализовать
движение тела по круговой орбите вокруг Земли, называют
первой космической скоростью.
Оценим величину V1.
85
При движении тела массы m по круговой траектории на
него действует сила гравитационного притяжения
M Зm
FG = G
.
( RЗ + h) 2
Она обеспечивает нормальное ускорение
V12
F
= G .
aн =
( RЗ + h) m
Следовательно,
V12
GM З
,
=
( RЗ + h) ( RЗ + h) 2
откуда
GM З
.
V1 =
( RЗ + h)
Оценим высоту h, на которой тело может двигаться достаточно долго (несколько лет), став искусственным спутником
Земли. Это возможно там, где практически нет сопротивления воздуха. С этой точки зрения можно считать высоту воздушной прослойки над поверхностью Земли равной 150 км,
что существенно меньше радиуса Земли RЗ = 6400 км. Поэтому высотой h можно пренебречь. В этом случае
GM З
.
V1 =
RЗ
Вблизи поверхности Земли mg = G
mM З
, откуда
RЗ2
GM З
= gRЗ
RЗ
(кстати, очень полезное соотношение). Поэтому
V1 = gRЗ = 7,9 км/с
– это величина первой космической скорости.
86
Если сообщить телу скорость

большую, чем V1 , оно будет
двигаться по эллиптической
3

траектории 4 вокруг Земли (рис.

V1
11.4). При некоторой скорости 5
V2

V2 эллипс превратится в гипер4
болу 5 (как бы разорвется) и теРис. 11.4
ло покинет пределы Земли и уйдет в Солнечную систему. Эта скорость называется второй
космической.
Стационарный спутник
Стационарным называется спутник, висящий над некоторой точкой на поверхности Земли. Если бы Земля не вращалась вокруг своей оси, такое осуществить было бы невозможно. Следовательно, стационарный спутник должен перемещаться в плоскости экватора, и период его обращения вокруг
Земли должен быть равен периоду обращения Земли вокруг
своей оси. Такой спутник будет постоянно висеть над некоторой точкой экватора. Определим высоту h такого спутника.
Он должен двигаться с ускорением
FG
MЗ
RЗ2
,
gh 
G
g
m
( RЗ  h)2
( RЗ  h)2
которое обеспечивает движение по окружности радиуса RЗ+h.
Ускорение gh является нормальным, оно связано с периодом
4 2
обращения соотношением gh = аn = ω2(RЗ+h) = 2 ( RЗ  h) .
Т
2
2
RЗ
4
Таким образом, g
 2 ( RЗ  h) .
2
 RЗ  h  Т
Из этого выражения окончательно получаем:
87
gRЗ2T 2
− RЗ .
4π 2
Подставив значения RЗ = 6380 км, Т = 86,4·103 с, g = 9,81 м/с2,
получим значение h = 35900 км. Примерно на такой высоте и
летают стационарные спутники.
h=3
ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 11
Закон всемирного тяготения
11.1. Найти экспериментальное значение гравитационной постоянной, если в опыте установлено, что шары массами m1 = 10 кг
и m2 = 5 кг притягиваются друг к другу с силой F = 0,17 мкН? Расстояние между центрами шаров r = 14 см.
11.2. Найти силу притяжения между Землей и Луной. Масса
Земли МЗ = 5,98·1024 кг, масса Луны МЛ = 7,36·1022 кг. Среднее расстояние между их центрами r = 3,8·105 км.
11.3. Каково отношение средних значений сил притяжения Луны к Земле и к Солнцу? Масса Солнца МС = 1,99·1030 кг, расстояние
от Земли до Солнца r = 1,5·108 км.
11.4. Вычислить отношение средней плотности Солнца к средней плотности Земли. Радиус Солнца RС = 6,95·105 км, радиус Земли RЗ = 6,37·103 км.
11.5. На какой высоте h тело притягивается к Земле в n = 4 раза
слабее, чем на её поверхности?
11.6. На каком расстоянии l от центра Земли вдоль прямой, соединяющей её с Луной, силы притяжения космического корабля к
Земле и Луне будут одинаковы?
11.7. Изучая приливы и отливы морской воды, нужно знать силу
притяжения 1 м3 воды к Луне. Во сколько раз n эта сила меньше,
чем сила притяжения 1 м3 воды к Земле?
11.8. Оценить, во сколько раз n сила притяжения воды, содержащейся в Черном море, к Земле больше, чем сила её притяжения к
Солнцу?
88
Ускорение свободного падения
11.9. Пренебрегая вращением Земли, вычислить ускорение свободного падения тел вблизи её поверхности g0. Гравитационная
постоянная G = 6,67·10-11м3/кг·с2. Масса Земли МЗ = 5,98·1024 кг,
радиус Земли RЗ = 6,37·103 км.
11.10. Определить ускорение свободного падения g на высоте h.
Функцию g(h) выразить через радиус Земли R и ускорение вблизи
её поверхности g0. Вычислить g при h = R (принять g0 = 9,8 м/с2,
R = 6400 км).
11.11. Средняя плотность Венеры ρ = 5,2 г/см3, а ее радиус
R = 6100 км. Найти ускорение свободного падения g на поверхности Венеры, пренебрегая её вращением.
11.12. На каком расстоянии r от центра Земли тело за τ = 1 с
своего падения (υ0 = 0) приблизится к ней на s = 0,55 м?
11.13. Радиус Солнца примерно в n = 110 раз больше радиуса
Земли, а средняя плотность Солнца примерно в k = 4 раза меньше
плотности Земли. Определить ускорение свободного падения у поверхности Солнца, считая ускорение у поверхности Земли
g0 = 9,81 м/с2.
11.14. Во сколько раз n сила тяжести, действующая на космонавта на Луне, меньше, чем на Земле? Масса и радиус Земли соответственно в k1 = 81 и k2 = 3,6 раз больше, чем у Луны.
11.15. Считая Землю идеальным шаром, найти разность Δg ускорений свободного падения на её полюсе gп и на экваторе gэ из-за
вращения Земли.
Вес тела. Невесомость и перегрузка
11.16. В какой стадии полета космического корабля космонавт
испытывает состояние невесомости? Рассмотреть три стадии:
а) взлет; б) движение на орбите с выключенными двигателями;
в) падение на Землю в атмосфере.
11.17. На сколько процентов η вес тела на полюсе отличен от его
веса на экваторе Земли? Даны длительность суток τ, радиус Земли
R и ускорение свободного падения g0 вблизи полюса планеты.
89
11.18. Получить выражение в векторном виде для веса Р тела
массой m, расположенного на опоре, движущейся с ускорением а .
Направление вектора а произвольно. Получить условие обращения веса в нуль.
11.19. Отвес с шариком массой m = 100 г укреплен на тележке.
Каков вес шарика Р, когда тележка движется с горизонтальным ускорением а = 7 м/с2?
11.20. Космонавт находится в ракете, стартующей вертикально
вверх с ускорением а = 19,6 м/с2. Во сколько раз k вес космонавта
больше действующей на него силы тяжести (k – кратность перегрузки)?
11.21. Какой кратности k перегрузку испытывает летчик истребителя при посадке на авианосец со скоростью υ = 360 км/ч при
длине посадочной полосы L = 150 м?
11.22. Автомобиль движется по выпуклому мосту радиуса
R = 90 м. При какой скорости υ он будет невесомым в самой верхней точке моста?
11.23. Какова средняя плотность планеты, у которой вес тела на
экваторе на η = 10% меньше, чем на полюсе? Продолжительность
суток на планете Т = 25 ч.
Движение искусственных спутников
11.24. Какую горизонтальную скорость υ1 нужно сообщить телу
вблизи поверхности Земли, чтобы оно смогло облететь вокруг планеты?
11.25. Какую скорость υ и какой период обращения Т будет
иметь спутник, движущийся на высоте h = 600 км от поверхности
Земли? Принять радиус Земли R = 6400 км, ускорение свободного
падения на ее поверхности g0 = 9,8 м/с2.
11.26. Найти радиус r круговой орбиты спутника Земли, имеющего период обращения Т = 1 сутки. Считать известными также радиус
Земли R и ускорение свободного падения на её поверхности g0.
11.27. Вычислить высоту полета h и скорость υ стационарного
спутника Земли (спутник неподвижен относительно Земли). Из90
вестны длительность суток Т, радиус Земли R и ускорение g0.
Можно ли такой спутник "повесить" над Москвой?
11.28. Найти период обращения Луны вокруг Земли (в земных
сутках). Считать, что Луна движется вокруг Земли по круговой орбите радиуса r = 3,8·105 км.
11.29. Во сколько раз n первая космическая скорость для Луны
меньше, чем для Земли? Масса и радиус Земли соответственно в
k1 = 81 и k2 = 3,6 раз больше, чем у Луны.
11.30. Период обращения искусственного спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности планеты, равен Т. Определить среднюю плотность планеты ρ.
11.31. Шарообразный астероид имеет диаметр D = 10 км и массу
М = 2,5·1015 кг. На астероиде находится космонавт. До какой скорости υ должен разогнаться космонавт перед прыжком, чтобы облететь астероид? Сколько времени Т будет длиться этот полет?
12. ИМПУЛЬС ТЕЛА И СИСТЕМЫ ТЕЛ
Импульс тела
Импульсом p материальной точки (часто для краткости
− тела) называется векторная физическая величина, равная
произведению ее массы m на его скорость υ :
р = тυ .
Импульс направлен так же, как и скорость, так как масса
всегда положительна. Размерность импульса [p] = кг⋅м/с.
Импульс в еще большей степени, чем масса, характеризует
инертные свойства тела. При малой массе и большой скорости изменить состояние тела так же трудно, как и при большой массе и малой скорости. Изменить импульс можно силой, причем, чем больше сила, тем больше изменение импульса. Вторым фактором является время: чем больше время
действия силы, тем выше эффект ее действия.
91
Закон изменения импульса
Пусть на тело массой m в течение небольшого промежутка
времени Δt действуют несколько сил, равнодействующую которых обозначим как F = F1 + F2 + … Под действием сил тело
будет двигаться с ускорением, которое находиться из второго
закона Ньютона: ma = F .
Δυ
Так как ускорение a =
, то
Δt
mΔυ mυ2 − mυ1 p2 − p1
p
=
=
.
ma =
=
Δt
Δt
Δt
Δt
Поэтому второй закон Ньютона можно записать в виде:
Δp
= F = F1 + F2 + …
Δt
Это – второй закон Ньютона в импульсной форме, который иногда называют законом изменения импульса: изменение импульса в единицу времени равно сумме всех сил,
действующих на материальную точку.
Последнее выражение можно записать в виде:
Δ p = ( F1 + F2 + …)Δt
или
p2 − p1 = ( F 1 + F 2 + …)Δt .
Произведение F Δt называют импульсом силы.
В проекциях на оси координат последнее соотношение
можно записать как
p1x – p2x = (F1x + F2x + …)Δt,
p1y – p2y = (F1y + F2y + …)Δt.
Импульс системы материальных точек
Если две или более материальных точек взаимодействуют
между собой, то их нужно рассматривать вместе – они, как
92
говорят, образуют систему материальных точек (кратко:
систему тел).
Одно тело, размерами которого пренебречь нельзя, можно
разбить на такие части, которые можно считать материальными точками, и рассматривать его как систему материальных точек.
Тела, образующие механическую систему, могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не принадлежащими этой системе. Этим вызвано разделение сил на внутренние и внешние.
Внутренние силы – это силы взаимодействия между телами, входящими в систему.
Внешние силы – это силы взаимодействия с телами, не
входящими в данную систему.
Замкнутой механической системой тел называется такая система, в которой взаимодействуют между собой
только тела, входящие в эту систему.
Рассмотрим систему, состоящую из нескольких материальных точек. Пусть они имеют импульсы p1 , p 2 и так далее.
Импульс системы Р равен сумме импульсов материальных точек, образующих эту систему:
Р = p1 + p2 + ⋅⋅⋅ .
В проекциях на оси координат:
Рх = р1х + р2х + …,
Ру = р1у + р2у + …,
Посмотрим, как изменяется импульс системы. Для простоты возьмем систему, состоящую из двух материальных точек.
Импульсы материальных точек, составляющих систему,
равны р1 = mυ1 и р2 = mυ2 .
Пусть в течение времени Δt на систему действуют как
внутренние, так и внешние силы. Так, на тело m1 действует
результирующая внешняя сила F1 , а также внутренние силы
93
f 12 со стороны второго тела. На тело m2 действует результи-
рующая внешняя сила F2 , а также внутренние силы f 21 со
стороны первого тела.
Импульс первого тела изменится на
(
)
Δp1 = F1 + f12 ⋅ Δt .
Импульс второго тела изменится на
(
)
Δp2 = F2 + f 21 ⋅ Δt .
Сложим почленно эти выражения:
(
)
Δ ( p1 + p2 ) = F1 + F2 + f12 + f 21 ⋅ Δt .
В соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия тел m1 и m2 равны, то есть f 12 = – f 21 . Следовательно, в правой части равенства сумма всех внутренних сил равна нулю:
f 12 + f 21 = 0.
В левой части равенства стоит изменение импульса системы, так как p1 + p2 = P , где P − импульс системы.
Обобщая, для произвольной системы материальных точек
можно записать:
(
Δ P = F1 + F2 +
) ⋅ Δt ,
или: изменение импульса системы материальных точек за
некоторый промежуток времени равно сумме импульсов
внешних сил, действующих в течение этого промежутка
времени.
Другая форма записи закона изменения импульса системы материальных точек:
ΔP
= F1 + F2 + ,
Δt
где F1 , F2 ,... − внешние силы.
94
Поскольку сумма внутренних сил в системе всегда равна
нулю, внутренние силы изменяют импульсы тел, входящих в
систему, но импульс всей системы под действием только
внутренних сил не изменяется.
Закон сохранения импульса
Понятие импульса важно тем, что для него в определенных, достаточно широких условиях справедлив закон сохранения, то есть при выполнении этих условий импульс не изменяется. Суть этих условий ясна из предыдущего параграфа.
Общая формулировка закона сохранения импульса системы материальных точек: импульс замкнутой системы
сохраняется, то есть
Р1 = Р 2 ,
где 1 и 2 – состояния системы в разные моменты времени.
Если система не замкнута, то ее импульс, тем не менее, в
некоторых случаях сохраняется – точно или приближенно.
1. Если внешние силы действуют, но их сумма остается
равной нулю, то импульс системы сохраняется.
Например, на гладком биллиардном столе сталкиваются
шары. Механическая система состоит только из шаров.
Внешние силы – это силы тяжести и силы реакции стола. В
сумме они равны нулю. При ударах шаров импульс сохраняется.
2. Приближенно импульс системы сохраняется, если процесс кратковременный (время взаимодействия тел системы
мало). В этом случае внешние силы мало изменяют импульс
системы по сравнению с внутренними.
Например, при ударе тел или разрыве снаряда процессы
настолько кратковременны, что внешние силы (это в основном – силы тяжести) не успевают существенно изменить импульс системы. В этих случаях импульс системы тел непо95
средственно перед ударом (разрывом) равен импульсу системы тел непосредственно после удара (разрыва).
3. Если внешние силы действуют, но сумма их проекций на
некоторую ось (для определенности – ось 0х) остается равной нулю, то проекция импульса системы на ось 0х не изменяется:
Р1х = Р2х.
Именно это выражение находит широкое применение в
решении ряда задач. Замечательной особенностью последнего выражения является то, что в него входят значения импульсов системы в двух состояниях – это могут быть начальное и конечное состояния. Зависимость импульсов тел, входящих в систему, и импульса системы в целом от времени
может быть очень сложной, а решение задачи с помощью
второго закона Ньютона практически невозможным.
ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 12
Импульс тела и системы тел (материальных точек)
12.1. Импульс пули р = 6 Н·с, её масса m = 10 г. Чему равна
скорость пули?
12.2. Шарик массой m брошен со скоростью υ0 вертикально
вверх. Пренебрегая сопротивлением воздуха, написать зависимость от времени для импульса p шарика и для его проекции ру на
вертикально вверх направленную ось 0у. Каково изменение Δp
импульса за время подъема на максимальную высоту?
12.3. Скорость тела массой m = 0,5 кг при прямолинейном движении уменьшилась от υ1 = 7 м/с до υ2 = 3 м/с. Найти модуль и направление изменения импульса Δp этого тела.
12.4. Тело массой m = 50 кг движется равномерно по окружности со скоростью υ = 10 м/с. Определить модуль изменения
импульса тела | Δp | при прохождении им: а) четверти окружности;
б) половины окружности.
96
12.5. Шарик массой m = 50 г ударяется о горизонтальную плиту.
Его скорости до и после удара одинаковы по модулю (υ = 10 м/с) и
направлены под углами α = 60° к поверхности плиты. Вычислить
модуль изменения импульса тела | Δp | в процессе удара.
12.6. Два тела массами m1 = 2 кг и m2 = 3 кг движутся во взаимно
перпендикулярных направлениях со скоростями υ1 = 2 м/с и
υ2 = 1 м/с соответственно. Определить проекции импульса системы
этих тел px, py на оси координат, совпадающие по направлению с
векторами скоростей. Вычислить модуль импульса этой системы и
его направление (угол между p и υ ).
12.7. Три велосипедиста движутся по круговой трассе с одинаковой скоростью υ = 10 м/с. Масса каждого вместе с велосипедом
m = 100 кг. Угловое расстояние между ними α = 45°. Найти модуль
импульса данной системы тел.
12.8. Рассматривая тонкий обруч как систему малых его частей
(материальных точек), определить его импульс: 1) когда он вращается вокруг своей неподвижной оси, и все его точки движутся со
скоростью υ0; 2) когда он катится по дороге со скоростью υ0. Масса
обруча М.
12.9. Мяч массой m = 200 г бросили вертикально вверх с начальной скоростью υ0 = 10 м/с. С какой средней силой ‹F› действовали на мяч в момент броска, длящийся τ = 0,2 с?
12.10. На тело массой m = 1 кг, движущееся со скоростью
υ1 = 3 м/с, стала действовать постоянная сила F . Через τ = 2 с тело
двигалось со скоростью υ2 = 4 м/с в направлении, перпендикулярном первоначальному. Написать связь начального p1 и конечного
p2 импульсов тела с силой F и временем ее действия τ. Отразить
на рисунке связь этих векторов. Найти из рисунка величину и направление силы.
12.11. При движении тела, брошенного под углом к горизонту,
модуль изменения его импульса Δp = 3 Н·с. Найти массу m тела,
если время полета τ = 3 с.
12.12. Перед ударом о борт шайба массой m = 200 г скользила
по льду со скоростью υ = 10 м/с. После удара она стала двигаться в
97
обратном направлении с той же скоростью. Найти среднее значение ‹F› силы, действующей на шайбу со стороны борта, за время
удара, длящегося τ = 5 мс.
12.13. Брошенный вертикально вверх пластилиновый шарик
массой m = 100 г перед ударом о потолок имел скорость υ = 16 м/с.
Шарик прилипает к потолку, деформируясь при ударе в течение
времени τ = 0,2 с. Определить среднюю силу давления шарика на
потолок ‹F› во время удара.
12.14. Шарик массой m = 0,10 кг упруго ударяется о горизонтальную плиту, подлетая к ней со скоростью υ = 15 м/с под углом
α = 30º. Найти среднюю силу N давления плиты на шарик во время
удара, длящегося τ = 0,1 с.
12.15. Оттолкнувшись от горизонтальной площадки, мальчик
прыгнул под углом α = 45º к ней. Средняя сила нормального давления мальчика на площадку N′ = 700 Н, его масса m = 50 кг, время
отталкивания τ = 0,5 с. Перед прыжком мальчик покоился. Какую
скорость υ0 приобрёл мальчик, и какая средняя сила трения Fтр действовала на него во время отталкивания?
12.16. Спортсмен бросил копье со скоростью υ0 = 15 м/с под углом α = 45º к горизонту. Под каким углом β к горизонту действовала на копье сила F со стороны его руки во время броска, длящегося τ = 0,5 с? Силу, действовавшую на копье со стороны спортсмена, считать постоянной.
12.17. Два бруска массами m1 = 1 кг и m2 = 2 кг соединили легкой пружиной и положили на гладкую горизонтальную поверхность. Затем к легкому бруску привязали нить и потянули ее в направлении оси пружины с постоянной силой F = 1 Н. Через τ = 5 с
легкий брусок двигался со скоростью υ1 = 2 м/с, а тяжелый – со
скоростью υ2. Написать уравнение, связывающее начальный p1 ,
конечный p2 импульсы системы и импульс внешних сил. Записать
это уравнение в проекциях на горизонтальную ось и найти υ2 .
12.18. Ящик с песком массой М стоит на горизонтальной поверхности. В песок упал шар массой m со скоростью υ, составляющей угол α с вертикалью. Время движения шара в песке τ. Записав
основное уравнение (см. задачу 12.17) в проекции на вертикальную
98
ось, найти среднее значение нормальной реакции N, действовавшей
на ящик в процессе удара.
12.19. На горизонтальной поверхности лежит доска массой
М = 1 кг, а на ней брусок массой m = 0,5 кг. К бруску приложили
горизонтальную силу F = 10 Н и через τ = 1 с он соскользнул с доски со скоростью υ = 10 м/с относительно поверхности. Какую скорость u имела в этот момент доска? Коэффициент трения между
доской и поверхностью μ = 0,2.
12.20. Тележка с человеком массой m = 70 кг катится по рельсам
без трения. Человек разбежался и спрыгнул с тележки с горизонтальной скоростью υ = 10 м/с под углом α = 30° к направлению
движения. Время разбега τ = 1 с. Определить изменение импульса
Δp системы – человек и тележка за время τ. Вычислить среднее
значение горизонтальной силы F, действовавшей на тележку со
стороны рельс в процессе разбега.
12.21. На тележку массой М = 40 кг, катившуюся без трения по
горизонтальным рельсам со скоростью u0 = 5 м/c, упал с вертикальной скоростью υ = 10 м/с груз массой m = 60 кг. Время скольжения груза по тележке (время удара) τ = 1,2 с. Найти скорость u
тележки с грузом и среднюю силу трения Fтр, действовавшую на
груз.
12.22. Из игрушечной пушки массой М = 0,7 кг, двигавшейся по
гладкой горизонтальной поверхности со скоростью u = 1 м/с, произведен выстрел шарика массой m = 50 г, после которого пушка
остановилась. С какой скоростью υ0 шарик вылетел из ствола, наклоненного под углом α = 30° к горизонту? Найти среднюю силу
N′ давления пушки на поверхность во время выстрела, длившегося
τ = 0,1 с.
Закон сохранения импульса
12.23. Чтобы сцепить три железнодорожных вагона, стоящих на
одном пути на небольшом расстоянии друг от друга, первому
сообщают скорость υ0 = 3 м/с. Какую скорость υ будут иметь вагоны после сцепления?
99
12.24. На первоначально покоящийся протон (ядро атома водорода) налетает другой протон с начальной скоростью υ0 = 10 Мм/с,
направленной вдоль линии, соединяющей обе частицы. В результате отталкивания один протон движется ускоренно, а другой замедленно. Каковы скорости протонов в тот момент, когда расстояние
между ними стало минимальным?
12.25. Снаряд, вылетевший из пушки со скоростью υ0 = 400 м/с
под углом α = 60º к горизонту, в верхней точке траектории разорвался на два осколка равной массы. Один из осколков упал под
местом взрыва (υ1 = 0). Определить скорость υ2 второго осколка
сразу после взрыва. Сопротивлением воздуха пренебречь.
12.26. Конькобежец, стоявший на льду, бросил вдоль поверхности льда камень массой m = 0,5 кг. За время τ = 2 с камень прошел
до остановки расстояние ѕ = 20 м. С какой скоростью u после броска камня стал двигаться конькобежец, если его масса М = 60 кг?
12.27. Шайба массой m, скользившая по льду со скоростью υ0 ,
после удара о покоившуюся шайбу стала двигаться со скоростью υ
в направлении, перпендикулярном первоначальному. Найти величину и направление скорости и покоившейся шайбы, масса которой равна М.
12.28. Тележка (М = 100 кг) с человеком (m = 70 кг) катится без
трения по горизонтальным рельсам со скоростью u0 = 2 м/с. Человек разбежался и спрыгнул с тележки. Его начальная скорость υ0
направлена под углом α = 30º к горизонту, а горизонтальная составляющая этой скорости под углом β = 45º к рельсам. Тележка
стала двигаться со скоростью u = 5 м/с. Определить υ0.
12.29. По наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, начинает скользить без трения ящик с песком массой М. В тот
момент, когда ящик прошел путь ѕ, в него попало тело массой m,
летевшее горизонтально. При этом ящик остановился. С какой скоростью υ двигалось тело до удара?
12.30. Покоившееся радиоактивное ядро распадается на три частицы. Импульсы двух частиц равны по модулю (р1 = р2 = p) и образуют между собой угол α. Определить импульс р3 третьей частицы.
100
13. ЭНЕРГИЯ И РАБОТА
Энергия
Энергия – это наиболее общая характеристика различных
физических процессов. Слово "энергия" практически всегда
употребляется с определениями: кинетическая, механическая,
тепловая, химическая, ядерная и др. Это – различные виды
энергии. В процессе взаимодействия может происходить передача энергии от одних тел к другим, либо превращение
энергии из одного вида в другой. Но дать общее, причем количественное определение энергии невозможно.
Будем считать, что энергия – это единая мера различных
форм движения материи.
Мерой механического движения может быть наряду со
скоростью, импульсом и энергия – ее называют механической энергией. К механической энергии относят кинетическую и потенциальную.
Механическая работа
При взаимодействии тел кинетическая энергия может превращаться в потенциальную, механическая энергия – в другие
виды энергии. Энергия одного тела может уменьшаться, другого – увеличиваться.
Количественной мерой передачи или превращения энергии
в механике является механическая работа.
Механическая работа А постоянной силы F – это скалярная физическая величина, равная произведению модуля силы F на модуль перемещения
l материальной точки и на косинус угла между ними (рис. 13.1):
А = Flсоsα.
Рис. 13.1
101
Из определения следует, что работа – величина алгебраическая. Ее знак зависит от угла α между направлением силы
F и направлением перемещения l .
Если сила и перемещение образуют острый угол (cosα > 0),
то работа положительна.
Если сила и перемещение образуют тупой угол (cosα < 0),
то работа отрицательна.
При α = 90° работа равна нулю.
Можно записать выражение для работы по-другому.
Так как lcosα – это проекция перемещения на направление
силы lF, то работа
А = F·lF.
Аналогично, Fl = Fcosα – это проекция силы на направление перемещения, и
А = Fl·l.
Работа может быть выражена через проекции силы и перемещения на оси координат:
А = Fх·lх.+ Fу·lу.
Понятие "механическая работа" отличается от обыденного
представления о работе.
П р и м е р 1 . Если человек переносит груз в горизонтальном направлении с постоянной скоростью, то сила со стороны человека на груз действует вертикально вверх. Мускулы
человека напряжены, человек затрачивает энергию, но механическая работа силы действия человека на груз равна нулю.
П р и м е р 2 . Человек прикладывает некоторую силу, пытаясь безуспешно сдвинуть неподвижное массивное тело, но
механическая работа равна нулю, поскольку перемещение
тела l = 0.
За единицу механической работы в СИ принимается джоуль (Дж).
Работа в 1 джоуль равна работе силы в 1 ньютон на перемещении в 1 метр при угле α = 0.
102
Далее механическую работу силы будем называть просто
работой.
Механическая мощность
Средней механической мощностью называется скалярная физическая величина, равная отношению работы A, произведенной за некоторое время, к промежутку времени t, за
который эта работа совершена:
A
N= .
t
В СИ за единицу мощности принимают 1 Вт (ватт).
Мощность в 1 Вт соответствует работе в 1 Дж, совершенной за 1 с.
Мгновенной механической мощностью называют отношение работы А, произведенной за некоторое время, к малому промежутку времени Δt, за который эта работа совершена, в пределе, когда Δt стремится к нулю:
A
N= .
Δt
Рассчитаем мощность силы F в некоторый момент.
Работа А этой силы за малый промежуток времени Δt равна F | Δl | cos α , где Δl – перемещение тела за промежу-ток
Δt. В течение этого малого промежутка силу будем считать
постоянной.
Мощность силы F будет равна:
A F | Δl | cos α
N=
=
= Fυ cos α .
Δt
Δt
Так как направление малого перемещения совпадает с направлением скорости, то α – это и угол между F и υ .
Мгновенная мощность силы равна произведению модуля
силы на величину скорости тела и косинус угла между силой
и скоростью.
103
Работа силы тяжести
Рассмотрим движение тела вблизи поверхности Земли из
точки 1 в точку 2 по произвольной криволинейной траектории (рис. 13.2). Определим работу силы тяжести mg при перемещении тела из точки 1 в точку 2.
2
l
Δli
h2
1
h1
mg
Рис. 13.2
Может возникнуть вопрос, почему тело под действием силы mg будет двигаться по такой сложной траектории. Надо
иметь в виду, что на тело в процессе его движения могут действовать и другие силы. Траектория движения определяется
действием всех сил, а поставленная задача – определить работу одной из них – силы тяжести.
Разобьем траекторию на множество ма|Δhi|
Δl i
лых участков. Перемещение на одном из них
α
обозначим Δli .Так как на малом участке
mg
траектория практически совпадает с перемещением (рис. 13.3), то работа силы тяжести на этом участке
Рис. 13.3
Ai = mg| Δli |cosαi = – mg |Δhi|,
где Δhi – изменение высоты на малом участке, а знак "минус"
в данном случае обусловлен тем, что угол αi > 90º и cos αi < 0.
Работа на всем перемещении от точки 1 до точки 2 (см.
рис. 13.2) получается сложением всех работ на малых участ104
ках. Так как сумма высот Δhi равна общему изменению высоты, то
А = – mg |Δh| = – mg (h2 – h1).
Окончательно для работы силы тяжести получаем выражение:
Аmg = mg (h1 – h2).
Аналогично можно показать, что такое же выражение получается при h1 > h2 .
Таким образом, работа силы тяжести определяется только
начальной и конечной высотой тела и не зависит от вида траектории, по которой перемещается тело из одной точки в другую. При перемещении тела по замкнутой траектории
( h1 = h2 ) работа силы тяжести равна нулю.
Работа силы упругости
Найдем работу упругой силы, действующей на тело со
стороны пружины.
Fy пр ( x1 )
υ
Fyпр ( x2 )
х1
0
х2
х
Рис. 13.4
Пусть тело движется в направлении оси 0х (рис. 13.4). Начало координат выберем совпадающим с положением конца
недеформированной пружины. При перемещении тела длина
пружины l = l0 + x, где l0 – длина недеформированной пружи105
ны, а x – координата тела (конца пружины). Поскольку тело –
материальная точка, будем полагать, что координаты тела и
конца пружины совпадают. Координата x в этом случае равна
деформации пружины.
Возникающая сила упругости пружины прямо пропорциональна величине деформации Fх = –kx и направлена в сторону, противоположную оси 0х, k – жесткость пружины. Так как
сила упругости при перемещении тела линейно изменяется с
координатой, то для вычисления работы этой силы при изменении положения тела от х1 до х2 можно взять среднюю силу
F + F2 kx1 + kx2 k ( x1 + x2 )
.
⟨F⟩ = 1
=
=
2
2
2
Модуль перемещения l = x2 – x1, и работа силы упругости
(с учетом того, что угол между силой и перемещением 180º и
соsα = – 1) равна
( x + x )( x − x )
Аупр = – <F> l = – k 1 2 2 1
2
или окончательно
kx12 kx22
.
Ayпр =
−
2
2
Потенциальная энергия
Работа силы тяжести
Amg = mgh1 – mgh2
и работа силы упругости
kx12 kx22
,
−
2
2
как видно из полученных выражений, определяются только
начальным и конечным положением тела.
Силы, работа которых зависит только от начального и
конечного положения тела, называют потенциальными.
Ayпр =
106
Такие силы называют также консервативными.
Таким образом, сила тяжести и сила упругости являются
потенциальными силами.
Указанное свойство этих сил позволяет выразить работу
таких сил через величину, называемую потенциальной энергией.
Потенциальной энергией называется скалярная физическая величина, определяемая взаимным расположением тел
или частей тела.
Выражения для работы силы тяжести и силы упругости
наталкивают на мысль, что связь между работой потенциальной силы Апот и потенциальной энергией П должна быть такая:
Апот = П1 – П2.
Работа потенциальной силы равна разности соответствующей потенциальной энергии в начальном и конечном положении.
Единица измерения потенциальной энергии такая же, как и
у работы − Дж (джоуль). Иногда вместо символа П используются символы U, Еp или Wp.
Потенциальная энергия для разных взаимодействий и разных систем тел различна. Из проведенного выше анализа можно получить вид потенциальной энергии для двух случаев.
Потенциальная энергия материальной точки вблизи
поверхности Земли. Эту энергию называют еще потенциальной энергией тела в поле тяжести.
Из сравнения выражений
Amg = mgh1 – mgh2 и Апот = П1 – П2
следует, что ее можно определить с точностью до произвольной постоянной С так:
Пmg = mgh + C.
Значение постоянной С определяется из соображений
удобства. В дальнейшем будем полагать С = 0.
107
Таким образом, потенциальная энергия тела массой m, находящегося вблизи поверхности Земли на высоте h,
Пmg = mgh.
Выбирать уровень отсчета высоты h можно из соображений удобства, при этом имея в виду, что при рассмотрении
одной задачи отсчет высоты должен производиться от одного
уровня.
Потенциальная энергия упругой пружины. Эта энергия
определяется взаимным расположением частей пружины относительно друг друга – витки сближаются или удаляются
при сжатии или растяжении, что вызывает силы упругости.
Аналогично предыдущему, из сравнения выражений
kx 2 kx 2
Ayпр = 1 − 2 и Апот = П1 – П2
2
2
получаем, что потенциальная энергия упругой пружины
kx 2 k (l − l0 ) 2
.
П yпр =
=
2
2
Здесь l и l0 – длина пружины в деформированном и недеформированном состоянии.
Произвольная постоянная определена из естественного
физического условия, что потенциальная энергия в недеформированном состоянии пружины равна нулю.
Кинетическая энергия
Любое движущее тело обладает энергией – это ясно из наглядного примера: движущийся автомобиль при столкновении с препятствием испытывает иногда большую(!) деформацию.
Выясним, как можно придти к понятию кинетической
энергии и какова ее связь с работой.
Рассмотрим случай, когда к материальной точке массой m
приложены постоянные силы, а F является их равнодейст108
вующей. Пусть тело перемещается в ту же сторону, куда направлена равнодействующая F , и в начальный момент времени скорость тела равна υ1 .
Спустя некоторое время тело переместится на l , а сила F
совершит работу А = Fl, так как угол между l и F равен нулю. Скорость тела станет равной υ2 .
В соответствии со вторым законом Ньютона F = ma, а
υ2 − υ2
υ2 − υ2
l = 2 1 . Тогда A = ma 2 1 , и окончательно
2a
2a
mυ22 − mυ12
.
A=
2
Работа А равна сумме работ всех сил, так как F – равнодействующая сила. Эту работу можно представить в виде
разности двух величин, характеризующих состояния 1 и 2 и
зависящих от скорости:
mυ 2
mυ 2
А = K2 – K1, K 2 = 2 K1 = 1 .
2
2
Скалярная неотрицательная величина, равная половине
произведения массы материальной точки на квадрат ее скорости называется кинетической энергией материальной
точки:
mυ 2
.
K=
2
Иногда вместо символа K используются символы Ек или Wк.
Таким образом, работа всех сил, приложенных к материальной точке, равна изменению кинетической энергии:
А = K2 – K1.
Приведенное утверждение часто называют теоремой о
кинетической энергии. Она получена в предположении постоянства сил, однако можно показать ее справедливость и в
общем случае.
109
Кинетическая энергия
системы материальных точек
Кинетическая энергия системы материальных точек –
это сумма кинетических энергий материальных точек, составляющих систему:
m υ2 m υ2
K c = 1 1 + 2 2 + ...
2
2
Для системы материальных точек также справедлива теорема о кинетической энергии, которую можно сформулировать так: изменение кинетической энергии системы материальных точек в некотором процессе равно работе всех сил,
действовавших на все точки системы в течение этого процесса.
Работа силы трения
Работу сил трения рассмотрим на примере системы двух
тел, одно из которых протяженное – доска (тело 1), другое
может двигаться по поверхности первого – брусок (тело 2)
(рис. 13.5).
l
F1
2
F2
1
υ0
2
l 1
Рис. 13.5
Работа силы трения покоя. Предположим, что скорость
второго тела относительно первого υ ′ = 0 и на первое тело со
стороны второго действует сила трения покоя F1 , а на второе
со стороны первого сила трения покоя F2 . По третьему закону Ньютона F1 = − F2 , а по модулю F1 = F2 = Fтр , где Fт р − си110
ла трения покоя. Оба тела перемещаются с одинаковой скоростью υ0 , которая может и не быть постоянной. За некоторый промежуток времени тела 1 и 2 совершат одинаковые перемещения l .
Работы этих сил А1 = F1lcos180° = –Fтрl − работа бруска
над доской; А2 = F2lcos0° = Fтрl − работа доски над бруском.
Работа всех сил трения покоя A = A1 + A2 = 0 .
Таким образом, силы трения покоя, действующие в системе тел, совершают над одними телами положительную работу, над другими – отрицательную. Работа всех сил трения покоя равна нулю. Силы трения покоя не изменяют кинетическую энергию системы тел.
Работа силы трения скольжения. Предположим, что
скорость второго тела относительно первого υ ′ ≠ 0 и на тела
действуют силы трения скольжения. Как и в первом случае
F1 = − F2 , а по модулю F1 = F2 = Fтр.ск , где Fтр.ск – модуль силы
трения скольжения.
За некоторый промежуток времени первое тело совершит
перемещение l 0 (рис. 13.6), а второе – перемещение l , причем l = l ' + l 0 , где l ' – перемещение второго тела относительно первого.
l
l'
F1
2
F2
1
υ0
2
1
l0
Рис. 13.6
Работы этих сил А1 = − F1 l0 < 0, А2 = F2 l = F2 l0 − F2 l' > 0.
Работа всех сил трения скольжения
A = А1 + А2 = − F1 l0 + F2 l0 − F2 l' = − Fтр.ск l' < 0.
111
Таким образом, силы трения скольжения, действующие в
системе тел, совершают над одними телами положительную
работу, над другими – отрицательную. Работа всех сил трения скольжения всегда отрицательна и зависит только от относительного перемещения тел.
Силы трения скольжения уменьшают кинетическую энергию системы тел. Она превращается во внутреннюю энергию
трущихся тел (тела нагреваются).
Аналогичными свойствами обладают силы сопротивления
(вязкого трения), силы пластической деформации. Все эти
силы называют неконсервативными или диссипативными.
Закон сохранения механической энергии
Сумму кинетической K и потенциальной П энергий называют механической энергией Е системы материальных точек:
Е = K + П.
Посмотрим, как она связана с работой всех сил А. Согласно теореме о кинетической энергии
А = K2 – K1.
Так как
K1 = Е1 – П1, K2 = Е2 – П2,
то
А = Е2 – П2 – Е1 + П1.
Разность потенциальных энергий П1 – П2 равна работе потенциальных сил Апот:
П1 – П2 = Aпот ,
поэтому
А – Aпот = Е2 – Е1,
то есть: работа всех сил за исключением потенциальных равна изменению механической энергии системы.
При решении задач после исключения потенциальных сил
необходимо учесть обычно работу сил трения, если трение не
112
мало, и работу таких внешних сил, как сила Архимеда, силы
реакции опоры и некоторые другие, исходя из условия задачи. Если на тела системы действуют только потенциальные
силы, то
А – Aпот = 0,
и
Е1 = Е2,
то есть в этом случае механическая энергия одинакова в любом состоянии.
В этом суть закона сохранения механической энергии:
механическая энергия системы материальных точек, на которые действуют только потенциальные силы, сохраняется.
Закон сохранения полной энергии
Различные виды энергии связаны между собой и могут
превращаться из одного вида в другой. Механическое движение и механическая энергия также не являются чем-то обособленным.
Так, при механическом движении кинетическая энергия
уменьшается за счет сил трения и превращается во внутреннюю энергию трущихся тел (тела нагреваются). При взрыве
даже неподвижный снаряд разрывается на движущиеся осколки за счет химической энергии взрывчатого вещества, и
тому подобное.
Но если учитывать все существенные в тех или иных процессах виды энергии – полную энергию, то для нее, как показывает опыт, также справедлив закон сохранения.
Закон сохранения полной энергии: полная энергия изолированной (замкнутой) системы тел сохраняется при любых взаимодействиях.
Если полную энергию обозначить W, механическую энергию Е, сумму всех остальных видов энергии (в том числе и
113
внутреннюю) U, то можно записать для изолированной системы:
W1 = W2
или Е1 + U1 = Е2 + U2.
Соударение тел
При столкновении тел происходит значительное изменение скоростей тел за малый промежуток времени. Это быстропротекающий процесс, когда действием внешних сил
можно пренебречь. Следовательно, при этом справедлив закон сохранения импульса.
С точки зрения сохранения механической энергии соударения разделяют на упругие и неупругие.
Абсолютно упругим (или просто упругим) называют
удар, при котором механическая энергия сохраняется.
При таком ударе справедливы законы сохранения механической энергии и импульса.
В случае столкновения двух материальных точек законы
сохранения можно записать в виде:
m1υ12 m2υ22 m1и12 m2и22
,
+
=
+
2
2
2
2
т1 υ1 + т2 υ2 = т1и1 + т2и2 .
Здесь m1, m2 – массы, υ1 , υ2 – скорости до удара, u1 , u2 –
скорости после удара.
Соударения, при которых механическая энергия не сохраняется, называют неупругими. При неупругих соударениях
механическая энергия частично превращается в другие виды,
в основном, во внутреннюю.
Среди неупругих выделяют один вид соударения, называемый абсолютно неупругим ударом.
Абсолютно неупругим является удар, при котором скорости тел после столкновения одинаковы (как по величине, так
114
и по направлению). В этом случае при столкновении двух материальных точек законы сохранения можно записать в виде:
m1υ12 m2υ22 m1и12 m2и22
+
=
+
+Q,
2
2
2
2
т1 υ1 + т2 υ2 = (т1 + т2 )и .
Здесь по сравнению с предыдущими формулами новые
обозначения следующие: Q − тепловая (внутренняя) энергия,
u − скорость после удара (она одна).
Коэффициент полезного действия
Полезная работа – это работа, ради которой создана и используется машина. Но в любой машине полезная работа всегда меньше полной работы, так как всегда существуют силы
трения, отрицательная работа которых всегда приводит к нагреванию частей механизмов машины.
Эффективность любой машины определяется коэффициентом полезного действия (КПД).
КПД равен отношению полезной работы Аполез к полной
Аполн:
А
η = полез .
Аполн
А
Часто КПД выражают в процентах: η = полез ⋅100 %.
Аполн
КПД можно выразить через отношение полезной Nполез и
N
полной Nполн мощностей: η = полез , или через отношение
N полн
полезной Wполез и полной Wполн энергий, выделенных или затраченных в некотором процессе:
W
η = полез .
Wполн
115
ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 13
Механическая работа. Мощность
13.1. Действуя на груз горизонтальной силой F = 100 Н, его
медленно переместили на расстояние ѕ = 2 м вверх по наклонной
плоскости с углом наклона α = 60°. Найти работу силы F.
13.2. Натягивая веревку, привязанную к ящику, грузчик передвинул его с постоянной скоростью на расстояние s = 10 м по горизонтальному полу. Масса ящика m = 100 кг, сила натяжения веревки T = 350 Н, угол между веревкой и полом α = 37º. Найти работу
каждой из сил, действовавших на ящик. Какую работу А совершил
грузчик?
13.3. По горке сложного профиля с высоты Н = 50 м съехал
лыжник массой m = 70 кг. Какую работу совершила сила тяжести,
действовавшая на лыжника?
13.4. Тело массой m = 5 кг начинает двигаться по горизонтальной поверхности под действием постоянной горизонтальной силы
F = 20 Н. Коэффициент трения μ = 0,2. Какую работу совершает
сила F за время τ = 5 с? Определить среднюю мощность ‹N› этой
силы за указанный промежуток времени, а также ее мгновенные
мощности N0 и N в начальный и конечный моменты.
13.5. Мяч массой m = 0,2 кг, брошенный со скоростью υ0 =
= 10 м/с под углом α = 30º к горизонту, через τ = 0,4 с поднялся на
максимальную высоту Н = 1 м. Определить среднюю мощность ‹N›
силы тяжести мяча за время подъема, а также ее мгновенные мощности в начале полета N0 и на максимальной высоте N.
13.6. Какую мощность развивает человек, поднимая в гору со
скоростью υ = 0,5 м/с сани массой m = 12 кг за веревку, натянутую
под углом β = 40º к поверхности склона. Склон образует угол
α = 30º с горизонтом, коэффициент трения μ = 0,1.
13.7. Сила тяги, созданная двигателями сверхзвукового самолета, F = 220 кН при скорости полета υ = 2340 км/ч. Найти мощность
двигателей этого самолета в режиме полета.
116
Потенциальная энергия
13.8. По условию задачи 13.3 найти разность потенциальной
энергии лыжника П1 – П2 и сравнить её с работой силы тяжести,
действовавшей на него в процессе спуска.
13.9. Тело массой m пущено вверх по плоскости с углом наклона
α. Пройдя расстояние l вдоль линии наибольшего ската, тело остановилось. Найти работу силы тяжести, действовавшей на тело в
процессе подъёма: 1) по основной формуле А = Flcosα; 2) как работу потенциальной силы Ап = П1 – П2. Сравнить результаты.
13.10. К концу сжатия пружины на х = 3 см сжимающая сила
F = 20 Н. Найти работу сжатия А, потенциальную энергию сжатой
пружины П и работу пружины Апр в процессе её сжатия.
13.11. На гладком полу лежит пружина в контакте со стеной и
перпендикулярно ей. На пружину вдоль её оси налетает брусок
массой m и сжимает её на максимальную величину хмакс. Определить работу пружины: 1) в процессе её сжатия – А1; 2) в последующем процессе удлинения до момента, когда её деформация уменьшится вдвое – А2. Какова скорость бруска υ в этот момент, если жесткость пружины k?
13.12. К недеформированной пружине, прикрепленной к потолку, подвешивают груз массой m = 2 кг и отпускают его без толчка.
Максимальное удлинение пружины хмакс = 10 см. Определить работу силы тяжести Атяж и силы упругости Ауп в процессе растяжения
пружины, а также её жесткость k.
13.13. К бруску массой m = 3 кг, находящемуся на горизонтальной плоскости, прикреплена легкая пружина жесткостью
k = 20 Н/м. Какую работу А нужно совершить, чтобы лишь сдвинуть с места брусок, растягивая пружину в горизонтальном направлении? Коэффициент трения μ = 0,25.
13.14. На вертикальную пружину, стоящую на полу, упал груз
массой m с высоты Н относительно её верхнего края. Максимальное сжатие пружины Δl. Найти её жесткость k.
117
Кинетическая энергия
13.15. Чему равна кинетическая энергия K автомашины массой
m = 1,5 т при её скорости υ = 100 км/ч?
13.16. Тело массой m = 50 кг движется поступательно. Найти
скорость υ тела, если его кинетическая энергия K = 400 Дж?
13.17. Определить массу m тела, если при поступательном движении его кинетическая энергия K = 10 Дж, а импульс р = 2 Н·с.
13.18. Шарик массой m = 100 г, подвешенный на нити длиной
l = 40 см, движется по окружности в горизонтальной плоскости.
Какова его кинетическая энергия, если во время движения нить образует с вертикалью постоянный угол α = 60º?
13.19. Какую работу А надо совершить, чтобы бросить камень
массой m со скоростью υ?
13.20. Скорость тела, свободно падающего по вертикали, увеличилась от υ1 = 2 м/с до υ2 = 8 м/с. Найти путь, пройденный телом.
13.21. С наклонной плоскости высотой Н соскользнуло тело
массой m. Угол наклона α, коэффициент трения μ. Зная ускорение,
определить скорость тела υ в конце спуска. Сравнить приращение
кинетической энергии тела ΔK с работой А всех сил, действовавших на него во время спуска.
13.22. Шарик массой m подвешен к потолку на нити длиной l.
Шарику резким ударом сообщили горизонтальную скорость υ0.
Определить работу всех сил, действовавших на шарик, за время
движения до удара в потолок и его скорость υ перед ударом.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
13.23. Тело массой m брошено вертикально вверх со скоростью
υ0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимости от
времени кинетической K(t), потенциальной П(t) и механической
W(t) энергий тела. Построить на одном чертеже графики этих
функций.
Механическая энергия и работа
13.24. Ракета массой m = 1 кг стартует вертикально вверх под
действием реактивной силы F = 20 Н. Найти механическую энер118
гию ракеты W и её скорость υ на высоте h = 20 м. Сопротивлением
воздуха и изменением массы ракеты пренебречь.
13.25. Самолет массой m = 500 кг, летит на высоте Н = 100 м со
скоростью υ0 = 40 м/с. Летчик выключает мотор, и самолет в планирующем полете достигает земли, касаясь её со скоростью
υ = 20 м/с. Определить работу силы сопротивления воздуха Ас, действовавшей на самолет во время спуска.
13.26. Шар массой m, подвешенный на легкой пружине жесткостью k, начинает двигаться по вертикали из начального положения,
в котором пружина не деформирована. Совершив несколько колебаний, шар остановился. Рассмотрев систему «шар – пружина»,
указать все силы внешние и внутренние, консервативные и неконсервативные, действовавшие на тела. Какие виды энергии образуют
механическую энергию W системы? Найти работу сил сопротивления Ас в процессе колебаний шара.
13.27. Доску вместе с неподвижно лежащим на ней бруском
массой m = 2 кг переместили по горизонтальной поверхности с постоянным ускорением а = 2 м/с2 на расстояние s = 2 м. Определить
работы доски над бруском А1, бруска над доской А2 и общую работу сил трения Атр = А1 + А2. Являются ли силы трения покоя для системы тел неконсервативными?
13.28. На горизонтальной поверхности лежит доска, а на ней –
брусок. К бруску приложили силу и сдвинули его с доски, при этом
брусок прошёл относительно неё путь s′, а доска за счет силы трения о брусок Fтр переместилась на расстояние L. Определить работы бруска над доской А1, доски над бруском А2 и общую работу сил
трения Атр = А1 + А2. Сделать вывод о работе сил трения скольжения.
13.29. На гладкой горизонтальной поверхности лежит доска
длиной l и массой M, а на её краю – небольшой брусок массой m.
Какую горизонтальную скорость υ0 нужно сообщить бруску, чтобы
он переместился на противоположный край доски? Коэффициент
трения между доской и бруском μ.
13.30. Тело, брошенное с высоты Н = 5,0 м вертикально вниз со
скоростью υ0 = 20 м/с, погрузилось в грунт на глубину h = 20 см.
Определить работу силы сопротивления грунта, если масса тела
m = 2 кг.
119
13.31. Мяч массой m падает без начальной скорости с высоты Н
и после неупругого удара о горизонтальную поверхность поднимается на максимальную высоту h. Найти работу сил трения Атр в
процессе удара и долю η механической энергии, потерянной мячом
при ударе. Сопротивление воздуха мало.
Закон сохранения энергии
13.32. После удара шайба массой m = 0,2 кг стала двигаться по
льду со скоростью υ0 = 10 м/с. Какую работу А совершили при ударе? Сколько энергии Е израсходовано на нагревание шайбы и льда
на пути s = 20 м, если коэффициент трения μ = 0,1? Найти кинетическую энергию шайбы K в конце этого пути.
13.33. Тело брошено со скоростью υ0 под углом к горизонту.
Определить его скорость υ на высоте h. Сопротивлением воздуха
пренебречь.
13.34. По условию задачи 13.29 брусок (m = 0,5 кг) прошел по
доске путь s′ = 1 м. Найти приращения механической ΔW и внутренней ΔU энергий бруска и доски при их трении, если μ = 0,2.
13.35. На легкой веревке длиной l = 2,5 м подвешен груз. Какую
горизонтальную скорость υ нужно сообщить грузу, чтобы он поднялся до высоты, на которой расположена точка подвеса?
13.36. К концам легкого стержня длиной l прикреплены два шарика массами m и 2m. Стержень может вращаться без трения в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через его середину. В начальный момент стержень вертикален, и тяжелый шарик находится сверху. До какой максимальной скорости
υ разгонятся шарики, если стержень отпустить?
13.37. По условию задачи 13.12 определить максимальную скорость груза υмакс.
13.38. Легкий стержень с шариком на конце может вращаться
без трения в вертикальной плоскости вокруг другого своего конца.
Стержень начинает движение без толчка из верхнего положения.
Найти зависимость скорости шарика υ от угла поворота стержня φ.
Длина стержня l.
120
13.39. Мощность гидроэлектростанции N = 75 МВт, коэффициент полезного действия станции η = 0,75. Какова высота плотины h,
если расход воды V0 = 103 м3/с? Плотность воды ρ = 103 кг/м3.
Применение законов сохранения энергии и импульса
13.40. На покоящуюся шайбу массой М налетает со скоростью υ0
другая шайба массой m < М. Определить скорости легкой υ и тяжелой u шайб после центрального упругого удара. Из аналитического
ответа найти υ и u при m = М.
13.41. При центральном и абсолютно неупругом ударе двух
шаров массами m1 = 1 кг и m2 = 2 кг, двигавшимися навстречу
друг другу с одинаковыми скоростями υ0, кинетическая энергия
системы уменьшилась на ΔU = 160 Дж. Определить скорость υ0.
13.42. Бруску массой m = 1 кг, лежащему на незакрепленной горке массой
М = 2 кг, сообщили горизонтальную скорость υ0 = 3 м/с (рис. 13.1). На какую максимальную высоту Н он поднимется,
скользя по горке, если трение везде отРис. 13.1
сутствует?
13.43. В деревянный куб массой М = 0,5 кг, висящий на длинной
нити, попадает с горизонтальной скоростью υ0 = 100 м/с пуля массой m = 10 г и застревает в нем. На какую максимальную высоту H,
откачнувшись, поднимется куб с пулей? Какая часть η кинетической энергии пули превратилась во внутреннюю энергию тел?
13.44. Два бруска массами m1 = 1 кг и m2 = 2 кг связаны нитью,
продетой через пружину жесткостью k = 600 Н/м и расположены
на гладкой горизонтальной поверхности. Нить в два раза короче
длины l0 = 10 см свободной пружины, зажатой между брусками.
Определить максимальные скорости брусков после пережигания
нити.
13.45. Шар массой m, движущийся со скоростью υ0 = 4 м/с,
сталкивается с покоившимся шаром массой М и после упругого
удара движется со скоростью υ = 3 м/с в направлении, перпендикулярном первоначальному. Найти отношение масс шаров М/m и
скорость u покоившегося шара.
121
13.46. Клин массой М = 1 кг лежит на гладком горизонтальном
столе. Одна из граней клина образует наклонную плоскость. На эту
грань с высоты h = 50 см падает шарик массой m = 10 г и отскакивает под углом α = 30° к горизонту. Найти скорость клина u после
упругого удара.
13.47. С высоты Н = 0,45 м по гладкой поверхности, переходящей в горизонтальный участок (рис. 13.2), соскальзывает тело массой m = 2 кг и попадает на длинную
доску массой М = 3 кг, лежащую на
гладком столе. Коэффициент трения тела о доску μ = 0,3. Какой путь s′ пройдет
тело по доске?
Рис. 13.2
Применение основных законов механики
13.48. Шарик массой m вылетает из игрушечной пушки массой
М, стоящей на полу. Скорость шарика относительно пушки в момент вылета из ствола равна υ′ и направлена горизонтально. Пренебрегая трением, определить работу А выстреливающего устройства.
13.49. В центр плиты массой М = 1 кг, лежащей на подставках,
попадает снизу пуля массой m = 10 г с вертикальной скоростью
υ0 = 600 м/с. Плита подпрыгнула на высоту h = 20 см. Через какое
время τ после вылета из плиты пуля упадет на неё? Сопротивлением воздуха пренебречь.
13.50. Шарик массой m, подвешенный на нити длиной l, совершает колебания в вертикальной плоскости. Его максимальная скорость υмакс. Определить силу натяжения нити Т в самой нижней (T1)
и самой верхней (T2) точках траектории.
13.51. Какую минимальную горизонтальную скорость υ0 нужно
сообщить телу, висящему: а) на легком стержне, верхний конец
которого закреплен в шарнире; б) на тонкой нерастяжимой нити,
чтобы оно, описав половину окружности, оказалось над точкой
подвеса? Длины нити и стержня l.
13.52. На легкую гладкую штангу надеты пружина и тяжелая
муфта, скрепленная с пружиной. Система может вращаться в гори122
зонтальной плоскости вокруг вертикальной оси,
к которой припаяны штанга и второй конец
пружины (рис. 13.3). Какую работу А нужно совершить, раскрутив систему, чтобы муфта двигалась по окружности, радиус которой вдвое
больше длины l0 = 10 см нерастянутой пружиРис. 13.3
ны? Ее жесткость k = 480 Н/м.
13.53. На легком стержне, верхний конец которого закреплен в
шарнире, подвешен шарик. Систему переводят в неустойчивое положение (стержень вертикален, шарик над шарниром) и отпускают.
Вычислить ускорение шарика в тот момент, когда стержень горизонтален.
13.54. С вершины гладкой сферы радиуса R = 0,6 м соскальзывает копейка. С какой скоростью υ0 начнётся свободное падение
копейки?
13.55. По условию задачи 13.47 (см. рис. 13.2) тело попадает на
доску и упирается в пружину, закрепленную на ней. Определить
ускорение тела относительно доски а′ в момент максимального
сжатия пружины, если её жесткость k = 270 Н/м, а трение везде отсутствует.
14. РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ
Тела находятся в состоянии равновесия, если они движутся
с постоянной линейной и угловой скоростями или покоятся
при действии на них сил.
Равновесие материальной точки
Пусть на материальную точку действует несколько сил. В
соответствии со вторым законом Ньютона
ma = F 1 + F 2 + .
При равновесии a = 0 , поэтому должно выполняться условие
123
F1 + F 2 + = 0 .
Следовательно, необходимое и достаточное условие для
равновесия материальной точки таково: векторная сумма вех
сил, действующих на материальную точку, равна нулю.
Момент силы относительно оси
Для твердого тела одного такого
F2
условия недостаточно. Например,
тело находится на гладкой поверхF1
ности (рис. 14.1). К нему приложены
две силы F1 и F2 , такие, что не лежат на одной прямой, причем
Рис. 14.1
F1 = − F2 , а F1 = F2 . В этом случае,
хотя сумма сил равна нулю, тело покоиться не
будет, оно будет вращаться с изменением угловой скорости.
Рассмотрим пример с дверью (рис. 14.2). Из
опыта ясно: чем дальше от оси вращения ОО'
находится точка приложения силы при открытии двери, тем легче открыть дверь.
Рис. 14.2
Вращающее действие силы характеризуется
моментом силы.
Рассмотрим тело, которое может вращаться относительно закрепленной оси OO'
(рис.14.3). В точке А тела приложена сила
F ; линия аа' – линия действия силы; r –
радиус-вектор точки А; α – угол между векторами F и r ; d = rsinα – плечо силы F .
Плечом силы относительно оси вращения называется кратчайшее расстояние от
Рис. 14.3
оси вращения до линии действия силы.
124
Моментом силы относительно оси называется алгебраическая физическая величина, равная произведению силы на
плечо. Момент силы, стремящийся вращать тело против часовой стрелки, считают положительным, а момент силы, стремящийся вращать тело по часовой стрелке, – отрицательным.
Момент силы обозначается обычно буквой М, единица измерения – Н·м (ньютон-метр).
Условия равновесия твердого тела
Необходимым условием равновесия тела является равенство нулю суммы всех внешних сил, действующих на тело:
F1 + F 2 + = 0 .
Если тело закреплено на оси, то оно не может перемещаться поступательно, но может вращаться вокруг оси, в которой
возникает сила реакции R , компенсирующая действие всех
остальных сил, и указанное выше условие выполняется.
Однако в этом случае для равновесия нужно, чтобы выполнялось условие равенства нулю алгебраической суммы
моментов всех сил относительно закрепленной оси (правило
моментов):
М1 + М2 + … = 0
В более общем случае, когда закрепленная ось вращения
отсутствует, необходимо, чтобы выполнялись оба эти условия.
Таким образом, условия равновесия твердого тела таковы:
1) сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю:
F1 + F 2 + = 0 ;
2) алгебраическая сумма моментов всех сил относительно
любой оси, перпендикулярной плоскости действия сил, равна
нулю:
М1 + М2 + … = 0
125
Эти условия справедливы, если на тело действуют силы,
лежащие в одной плоскости.
При практическом применении необходимо представлять,
что на основе этих условий можно составить три алгебраически уравнения, например:
два уравнения проекций первого условия на оси 0х и 0y;
правило моментов относительно выбранной оси.
Другие уравнения будут следствием указанных трех.
Равнодействующая
Равнодействующей нескольких сил, действующих на
тело, называется сила, оказывающая на тело такое же действие, как и все данные силы.
Для материальной точки точки
приложения всех сил совпадают,
следовательно, равнодействующая
R равна векторной сумме этих сил
(рис. 14.4).
Рис. 14.4
R = F1 + F 2 +
Для твердого тела точки приложения сил не совпадают (рис. 14.5).
Поэтому при параллельным переносе векторов сил момент сил может
меняться и правило моментов нарушаться.
Для правильного сложения сил,
действующих на твердое тело, правила переноса должны быть слеРис. 14.5
дующие:
1) силу и точку ее приложения можно переносить только
вдоль линии ее действия. При этом характер ее действия на
126
тело не изменится. Действительно, момент этой силы при таком переносе не изменится, так как плечо силы относительно
произвольной оси останется прежним.
2) в любой точке тела можно приложить две равные по величине и противоположные по направлению силы, не изменяя общего характера движения тела. Действительно, эти силы дадут нулевой вклад в сумму всех сил и нулевой вклад в
сумму всех моментов.
Допустим, у нас есть две силы F1 и F2 , действующие на
тело (рис. 14.6). Сложим эти силы.
1. Проведем линии действия сил
до их пересечения. Точка пересечения сил может не принадлежать телу.
2. Перенесем точки приложения
сил вдоль линий их действия в точку
пересечения.
3. Для сложения сил воспользуемся правилом параллелограмма.
Рис. 14.6
4. Полученную равнодействующую R переносим вдоль линии ее действия в любую точку,
принадлежащую телу.
Подобным образом можно сложить и более двух сил.
В случае твердого тела сила R является равнодействующей нескольких сил F1 , F2 ,…, если она оказывает такое же
действие по отношению к поступательному и вращательному
движениям, как и все эти силы, действуя совместно.
Поэтому равнодействующая равна сумме этих сил:
R = F1 + F 2 + .
Момент равнодействующей относительно любой оси должен быть равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно этой же оси:
127
МR = М1 + М2 + …
Второе уравнение позволяет найти плечо силы R .
Центр тяжести
Центр тяжести тела – это точка, обладающая следующим
свойством: алгебраическая сумма моментов сил тяжести,
действующих на отдельные части тела или тела системы,
равна нулю относительно произвольной оси, проходящей через центр тяжести.
Рассмотрим плоское тело (рис. 14.7). Оно находится в
плоскости, параллельной поверхности Земли. Разобьем его на
n малых частей, которые можно считать материальными точками. Введем оси координат 0х, 0у, 0z. Плоскость х0у лежит в
плоскости тела.
Рис. 14.7
На каждую точку с координатами хi, уi действует сила тяжести mi g . Модуль равнодействующей силы тяжести
Mg = m1g + m2g + …
и направлен вертикально вниз. Силы тяжести mi g вращают
тело вокруг оси 0у. Сумма моментов этих сил равна:
m1 g ⋅ x1 + m2 g ⋅ x2 + ... = g ⋅ (m1 ⋅ x1 + m2 ⋅ x2 + ...) ,
где хi – плечо силы mi g относительно оси 0у.
В центре тяжести (точка С) приложенная равнодействующая должна создать такой же момент:
128
Мg ⋅ xC = g ⋅ (m1 x1 + m2 x2 +
),
т1 х1 + т2 х2 + ...
.
М
Таким образом, определяется координата хС линии действия равнодействующей силы тяжести.
Аналогично, рассматривая момент сил относительно оси
0х, найдем формулу для координаты уС:
т у + т2 у2 + ...
уС = 1 1
.
М
Аналогичное выражение справедливо в общем случае и
для координаты z.
откуда
хС =
Устойчивость равновесия тел
На рис. 14.8 изображена
поверхность сложного профиля. Поместим в разных
точках этого профиля (где
можно) шарик так, чтобы он
Рис. 14.8
находился в покое.
Во всех трех предложенных вариантах шарик находится в
равновесии. Если шарик вывести из положения равновесия,
сместив его в сторону, получим разные результаты:
1) шарик не вернется в положение равновесия – равновесие неустойчивое;
2) шарик вернется в положение равновесия – равновесие
устойчивое;
3) шарик не вернется в положение равновесия, но, сместившись, останется в положении равновесия – равновесие
безразличное.
Общее правило – любая система стремится занять состояние равновесия, отвечающее минимуму потенциальной
энергии.
129
ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 14
Равновесие материальной точки
14.1. Груз массой m = 48 кг подвешен с
помощью двух тросов 1 и 2, соединенных
кольцом А (рис. 14.9). Первый трос горизонтален, а второй образует угол α = 37º с вертикалью. Найти силы натяжения тросов Т1 и Т2.
14.2. Две силы F1 = 5 Н каждая приложены
Рис. 14.9
к материальной точке под углом α = 90° друг
к другу. Каким должен быть угол β между
двумя одинаковыми силами F2 = 4 Н, чтобы они уравновесили первые?
14.3. Брусок массой m находится на горизонтальной поверхности. К его центру масс приложена сила F, под углом α к горизонту.
При каких значениях силы F брусок будет оставаться в равновесии? Коэффициент трения равен μ.
14.4. В центре легкой натянутой струны
приложили силу F = 50 Н, в результате чего
отрезки струны образовали угол α = 150º (рис.
14.10). Определить силу натяжения струны в
этом
положении.
Рис. 14.10
14.5. Люстра подвешена к потолку с помощью трех шнуров одинаковой длины. Каждый шнур образует
угол α = 45º с вертикалью и натянут с силой Т = 200 Н. Какова масса m люстры?
14.6. На концах нити, перекинутой через
блок, укреплены грузы массами m1 = 4 кг и
m2 = 1 кг (рис. 14.11). Первый груз покоится
на наклонной плоскости, образующей угол
α = 30º с горизонтом, а отрезок нити, прикрепленный к нему, перпендикулярен этой плоскости. При каком минимальном коэффициенте трения μ0 груза о плоскость система остаРис.14.11
нется в равновесии?
130
14.7. Намагниченный брусок массой m = 0,5 кг прижимается к
вертикальной стальной стене магнитной силой Fм = 30 Н. Какой
максимальной массы М груз можно подвесить к бруску, чтобы он
не соскользнул вниз? Коэффициент трения μ = 0,3.
14.8. Фонарь массой m подвешен с помощью двух легких стержней (рис. 14.12). Длины стержней l1, l2 и расстояние h между точками их крепления к стене известны. Определить силы натяжения или сжатия стержней F1
и F2.
Рис. 14.12
Момент силы. Равнодействующая
14.9. Прилагая к концу бруса длиной l = 2,5 м вертикальную
силу F = 100 Н, рабочий удерживает его в наклонном положении.
Угол наклона бруса α = 37°. Вычислить момент силы F относительно центра бруса Мс и относительно каждого из его концов М1,
М2.
14.10. Балка прикреплена к стене шарнирно и
удерживается в горизонтальном положении тросом, образующим угол α = 60° со стеной (рис.
14.13). Длина балки l = 1 м, масса подвешенного
груза m = 50 кг, сила натяжения троса Т = 2·103 Н.
Определить моменты относительно шарнира силы тяжести груза Мг и силы натяжения троса Мт.
Рис. 14.13
Учесть знаки моментов.
14.11. К середине ребра куба и перпендикулярно ребру приложена сила F = 50 Н под углом
α = 30º к горизонту (рис. 14.14). Момент этой силы относительно оси, проходящей через диагонально противоположное ребро, М = –68,5 Н·м.
Чему равна длина l ребра куба?
14.12. Слесарь откручивает гайку, действуя на
Рис. 14.14
ключ силой F на расстоянии R = 20 см от оси
вращения. Сила перпендикулярна ключу и оси вращения. При этом
131
гайка вращается равномерно, так как на неё действует момент сил
трения Мтр= 10 Н·м. Найти силу F и механическую работу А слесаря при повороте гайки на угол φ = 2,5 рад.
14.13. Могут ли силы F1 = 10 Н и
F2 = 14 Н иметь равнодействующую
F = 2; 4; 10; 24; 30 Н?
14.14. К телу приложены три силы
(рис. 14.15): F1 = 4 H, F2 = 8 H,
F3 = 2 H; l1 = 20 см, l2 = 10 см. На каРис. 14.15
ком расстоянии x от точки А проходит
равнодействующая этих сил?
14.15. К концам тонкого стержня длиной l = 25 см приложены
две силы, лежащие в одной плоскости F1 = 15 Н и F2 = 20 Н (рис.
14.16). Сила F2 составляет угол α = 30° с осью стержня. Найти величину, направление и точку приложения равнодействующей этих
сил (неизвестные величины F, β, x указаны на рисунке).
Рис. 14.16
Рис. 14.17
14.16. По горизонтальной поверхности движется равномерно
брусок массой m = 2 кг под действием силы, приложенной в центре
его передней грани (рис. 14.17). Найти модуль равнодействующей
силы Q , действующей на брусок со стороны поверхности, и расстояние x от основания передней грани до точки приложения этой
силы. Размеры бруска: а = 18 см, b = 12 cм. Коэффициент трения
μ = 0,5. Равнодействующая сил тяжести приложена в центре бруска.
Равновесие твердого тела
14.17. Рабочий удерживает за один конец однородный брус массой m = 40 кг так, что противоположный его конец упирается в
грунт и он образует угол α = 60º с горизонтом. Какую силу F, перпендикулярную к брусу, прикладывает рабочий?
132
14.18. Труба массой m = 100 кг и длиной L = 12 м лежит на двух
подставках, одна из которых находится на расстоянии l1 = 2 м от
одного конца трубы, а другая – на расстоянии l2 = 4 м от противоположного. Определить реакции подставок N1 и N2.
14.19. Бетонный куб массой m = 1,0 т переворачивают вокруг
его ребра, прилагая силу к противоположному ребру под углом
α = 30º к горизонту (см. рис. 14.14). Какую минимальную силу F
нужно приложить в начале этого процесса?
14.20. Однородная балка массы М = 100 кг прикреплена к стене
шарнирно и удерживается в горизонтальном положении тросом,
образующим угол α = 60º со стеной (см. рис. 14.13). К концу балки
подвешен груз массой m = 50 кг. Какова сила натяжения троса Т?
14.21. По условию задачи 14.20 найти величину и направление
силы Q , действующей на балку со стороны шарнира (вычислить
сначала проекции Qx, Qy).
14.22. Лестница стоит на полу, опираясь верхним концом на
гладкую стенку. Под каким минимальным углом наклона αмин к полу можно поставить лестницу, если коэффициент ее трения о пол
μ = 0,5? Центр тяжести находится посередине лестницы.
14.23. На какой максимальной высоте Н можно приложить горизонтальную силу к шкафу, чтобы он не переворачивался, а
скользил вдоль стены по полу? Ширина шкафа а, коэффициент
трения μ.
14.24 Однородный тонкий стержень длиной l подвесили за один
конец на вертикальной стенке с помощью нити длиной 2l. Оставляя
натянутой нить, стержень перевели в горизонтальное положение
так, что второй его конец упёрся в стенку под точкой подвеса, и
отпустили. При каких значениях коэффициента трения μ стержень
останется в горизонтальном положении?
Центр тяжести
14.25. Кусок какой длины l нужно отрезать с одного конца однородного стержня, чтобы его центр тяжести сместился к другому
концу на Δl = 10 см?
133
14.26. Три шара массами m, 2m и 3m соединены легкими стержнями (рис. 14.18). Расстояние между центрами соседних шаров а.
Определить расстояние xc центра тяжести этой системы тел от центра наибольшего шара.
Рис. 14.18
Рис. 14.19
Рис. 14.20
14.27. Проволоку постоянного сечения согнули под прямым углом. Длины сторон образовавшегося уголка (рис. 14.19) l1 = 40 см,
l2 = 60 см. Найти координаты центра тяжести уголка. Толщиной
проволоки пренебречь.
14.28. Найти положение центра тяжести однородного плоского
уголка, размеры которого указаны на рис. 14.20.
14.29. В однородном диске радиуса R вырезали круг вдвое
меньшего радиуса (рис. 14.21). На какую величину x сместился
при этом центр тяжести диска?
Рис. 14.21
Рис. 14.22
Рис. 14.23
14.30. Определить координаты центра тяжести однородного куба с ребром а, из которого вырезан куб с ребром а/2 (рис. 14.22).
14.31. По рисунку 14.23 найти геометрическим построением
центр тяжести неоднородного стержня, подвешенного на двух нитях.
14.32. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы
лежащий на земле столб массой М = 100 кг перевести из горизонтального положения в вертикальное? Длина столба l = 1 м, его
диаметр D = 0,3м.
134
15. РАВНОВЕСИЕ В ЖИДКОСТИ И ГАЗЕ
Давление
Жидкости и газы отличаются от твердого тела – они не сохраняют свою форму и принимают форму сосуда, куда они
помещены (обладают свойством текучести);
Газообразные вещества сравнительно легко сжимаются,
тогда как твердые и жидкие практически не сжимаемы.
При сжатии тел (в т.ч. газообразных) в них возникают силы, уравновешивающие внешние силы.
Важным свойством внутренних сил в жидкости и газе является их независимость от направления. Поэтому для характеристики этих сил вводят понятие давления.
Давлением называется скалярная физическая величина,
равная отношению модуля силы F, действующей перпендикулярно к некоторой площадке в жидкости и газе к величине
площади S этой площадки:
F
p= .
S
Давление обычно обозначается латинской буквой p.
Единица измерения давления в СИ – 1 Н/м2, называемая
паскалем (Па): 1Па = 1Н/м2.
Существуют и другие единицы измерения давления:
1 ат (техническая атмосфера) равна давлению груза массой
1 кг на площадку в 1 см2:
1кг⋅ 9,8м/ с 2
= 98000 Па = 0,98·105 Па.
1 ат =
2
−4
10 м
Следует отличать давление и силу давления.
Сила давления – это сила, действующая по перпендикуляру
(нормали) к поверхности на всю поверхность.
Вообще говоря, сила – это вектор, давление – скаляр.
Как они связаны?
135
Рассмотрим плоскую площадку площадью S,
и проведем единичный вектор по нормали (перn
пендикуляру) к площадке. Введем вектор плоРис. 15.1
щадки S = S ⋅ n .
При таком определении сила давления F = p ⋅ S = p ⋅ S ⋅ n .
Для измерения давления есть разнообразные приборы.
Простейший прибор для измерения давления в жидкости и газе –
манометр. Манометр состоит из следующих элементов (рис. 15.2): 1 –
манометрическая капсула с гибкой
мембраной; 2 – гибкий тонкий шлаг
(внутри шланга находится воздух);
Рис. 15.2
3 – U-образный стеклянный сосуд,
частично заполненный жидкостью (ртуть, вода, масло).
При надавливании на мембрану капсулы воздух в системе
сжимается, заставляя опускаться жидкость в левом колене
манометра и подниматься в правом. По разнице уровней
жидкости h можно определить величину давления.
S
Давление в жидкости и газе. Закон Паскаля
Поместим жидкость или газ в небольшой замкнутый объем, расположим в нем манометрическую капсулу, а с помощью поршня будем сжимать жидкость или
газ (газ можно и расширять) (рис. 15.3).
В результате простых экспериментов получим определенные закономерности.
1. В любой точке объема величина давления одинакова независимо от ориентации
площадки мембраны.
Следовательно, давление – скалярная
Рис. 15.3
величина.
136
2. Если поршнем сжать жидкость или газ, то давление во
всех точках объема увеличится на одинаковую величину.
Эти свойства отражены в законе Паскаля: жидкость или
газ, заключенные в замкнутый объем и находящиеся в равновесии, передают производимое на них поверхностное давление во все точки занимаемого ими объема без изменения.
Одно из прямых применений закона Паскаля в технике – гидравлический пресс. Два сообщающихся F
2
S2 S1 F1
сосуда заполнены жидкостью (водой или маслом) и плотно закрыты
поршнями различной площади S1 и
S2. Стенки сосудов толстые и прочные. Сила F1, приложенная к поРис. 15.4
верхности жидкости у малого сечения S1 передается по всем направлениям (в каждую точку) без изменения. Давление p от правого поршня полностью передается к левому поршню и одинаково по всей жидкости:
F
F
p= 1 = 2 ,
S1 S 2
откуда
S
F2 = F1 ⋅ 2 .
S1
Сила давления 2-го поршня больше силы давления 1-го
поршня во столько раз, во сколько площадь второго поршня
больше площади первого.
Гидростатическое давление
Возьмем глубокий сосуд с жидкостью и будем погружать в
него манометрическую капсулу, наблюдая, как изменится
давление в зависимости от глубины погружения (рис. 15.5).
137
Опыт показывает, что внутри жидкости давление будет увеличиваться с ростом глубины погружения, но на каждой глубине давление не зависит от ориентации площадки

мембраны.
F0
p0
Выделим мысленно цилиндрический
столб жидкости высотой h так, чтобы боковая поверхность была перпендикулярна поверхности жидкости. Столб жидкости находится в равновесии, следовательно, сумма
ph
действующих на него сил равна нулю. Си
R
лы, действующие на боковую поверхность
выделенного цилиндра, компенсируют друг
друга.
По вертикали на цилиндр действуют сиРис. 15.5
лы:
mg – сила тяжести – направлена вниз;
F0 – сила давления сверху, определяемая давлением p0 на
поверхности жидкости и величиной площади торцевой поверхности цилиндра S; она равна p0∙S и направлена вниз;
Fh – сила давления снизу, определяемая давлением ph жидкости на глубине h и величиной площади торцевой поверхности цилиндра S;она равна phS и направлена вверх.
Условие равновесия для выделенного цилиндра дает:
Fh = F0 + mg,
phS = p0S + mg.
где p0 –атмосферное давление столба воздуха над поверхностью жидкости.
Если плотность жидкости ρ, то масса m = ρhS и
ph= p0∙+ ρgh.
Если вычесть внешнее давление p0, получим выражение
для гидростатического давления – это давление, обусловленное весом вертикального столба жидкости:
pгс = ρgh.
138
Гидростатическое давление в любой точке жидкости зависит от глубины h этой точки под поверхностью и плотности
самой жидкости.
Внешнее давление р0 – это атмосферное давление столба
воздуха над поверхностью жидкости (аэростатическое давление). Попробуем определить эту величину. Такой эксперимент, как с жидкостью, не пройдет, так как плотность воздуха
слишком мала и понадобится сосуд высотой несколько километров, чтобы почувствовать разницу в давлениях. Можно
взять аэростат и, поднимая его над поверхностью Земли, измерять давление на различной высоте.
Можно сделать проще: возьмем стеклянную трубку длиной около метра, закрытую с
одной стороны, заполним ее ртутью и, прикрывая свободное отверстие трубки, перевернем ее, опустив свободный конец трубки
h
в сосуд с ртутью. Предоставив возможность
ртути вылиться в сосуд, обнаружим, что
часть ртути осталась в трубке (рис.15.6).
В этом эксперименте высота столба ртути
h удерживается силой атмосферного давлеРис. 15.6
ния p0∙S = mg, где S – площадь поперечного
сечения трубки.
Если плотность ртути ρрт, то масса m =
=ρртhS, следовательно, давление p0 = ρртgh. В
таких экспериментах высота столба примерно
равна 760 мм и зависит от высоты местности
над уровнем моря и состояния атмосферы.
h
Такой же результат получим, если попытаемся с помощью поршня поднять жидкость в
открытой трубке, опущенной в сосуд, на максимальную высоту (рис. 15.7). Начиная с некоторой высоты (для ртути – примерно 760 мм),
Рис. 15.7
жидкость выше этого уровня подниматься не
будет.
139
Определим величину атмосферного давления:
p0 = 13,6·103кг/м3·9,8м/с2·0,76м = 1,013·105Н/м2 =
= 1,013·105Па.
Эту величину называют также физической атмосферой,
cокращенное обозначение – атм:
1 атм = 1,013·105 Па.
Теперь должно быть понятно, почему давление измеряют в
миллиметрах ртутного столба.
Закон Архимеда для жидкости и газа
Погрузим в жидкость прямоугольный
параллелепипед так, что его верхняя
грань находится на глубине h1, а нижняя
р1S
– на глубине h2 (рис. 15.8). Пусть высота
параллелепипеда равна Н, а площадь сечения – S. При этом Н = h2 – h1. На глубине h1 давление p1 = ρgh1+p0, на глубине h2
p2S
давление p2 = ρgh2+p0.
Силы гидростатического давления,
действующие на стенки параллелепипеда,
Рис. 15.8
компенсируют друг друга, а силы, действующие на нижнюю и верхнюю грани, не равны. На верхнюю
грань действует сила F1 = p1S = (ρgh1+p0) S, а на нижнюю –
сила F2 = p2S = (ρgh2+p0) S. Поскольку сила, действующая на
нижнюю грань, больше, на тело действует выталкивающая
сила
FА = (ρgh2 – ρgh1) S = ρgHS = ρgV = Мg,
где V – объем, а М – масса жидкости, вытесненной погруженным телом.
Выталкивающую силу называют силой Архимеда.
Закон Архимеда: на любое тело, погруженное в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила (сила Архи140
меда), равная весу жидкости (или газа), вытесненной телом,
и приложенная в центре тяжести вытесненного телом объема жидкости (или газа).
Особенности выталкивающей силы.
1. Выталкивающая сила – это равнодействующая всех сил давления, действуюFвыт
щих на тело со стороны жидкости или газа
(рис. 15.9).
2. В условиях невесомости сила Архимеда не действует, так как гидростатическое давление обусловлено весом столба
жидкости, а в невесомости вес отсутствует.
3. Если тело погружено в жидкость и
Рис. 15.9
нижняя часть тела покоится на дне сосуда
(водоема) так, что жидкость не проникает
под это тело, то выталкивающая сила не будет действовать или
будет действовать частично в зависимости от формы тела.
4. Точка приложения выталкивающей силы для тела, частично погруженного в жидкость, не совпадет с точкой приложения силы тяжести тела.
Условия плавания тел
Пусть тело имеет плотность ρт и объем Vт, а жидкость имеет плотность ρж. Для того чтобы тело плавало, необходимо,
чтобы сила тяжести mg ≤ FА или ρ тVт ≤ ρ жVж , где Vж − объем
вытесненной телом жидкости. Когда тело плавает необходимо, чтобы объем вытесненной жидкости был меньше или равен объему тела Vт ≥ Vж , следовательно ρ т ≤ ρ ж – это условие
плавания тел.
Если ρ т > ρ ж , то даже при полном погружении тела
ρ тVт > ρ жVж или mg > FА . Следовательно, тело тонет.
141
При плавании на тело действуют
сила тяжести и сила Архимеда (рис.
15.10). Эти силы имеют не совпадающие точки приложения. Сила
тяжести приложена в центре масс
тела, при этом тело может быть суРис. 15.10
щественно неоднородным. Сила Архимеда приложена в центре масс вытесненного телом объема
жидкости, при этом жидкость, как правило, однородна.
Устойчивость положения при плавании тел
Если плавающее тело однородно (деревянный брусок), то
центр тяжести будет всегда выше центра приложения силы АрРис. 15.11
химеда (рис. 15.11). В случае отклонения тела от положения равновесия возникает момент,
который стремится перевернуть тело. В этом случае наиболее
устойчивым будет такое положение тела, когда расстояние
между точками приложения силы тяжести и силы Архимеда
минимально.
Для устойчивости плавания
судов, особенно морских,
центр тяжести судна опускают
как можно ниже с помощью
загрузки балласта на самое дно
судна. При этом добиваются
того, чтобы центр тяжести был
ниже центра приложения силы
Рис. 15.12
Архимеда (рис. 15.12).
В этом случае при выведении судна из положения равновесия возникающий момент стремится вернуть судно в ис142
ходное состояние. Таким образом, судно находится в устойчивом положении.
ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 15
Закон Паскаля. Гидростатическое давление
15.1. В сосуде с водой (рис.
15.1) имеется гладкий поршень
массой m и площадью S. На поршень действует сила F под углом
α к вертикали. Определить давление p0 под поршнем. Выразить через p0 давления pk внутри воды в
Рис. 15.13
точках 1, 2, 3. Атмосферное давление pа, плотность воды ρ и размеры, указанные на рисунке, считать известными. Найти также давление в воздушном пузыре pв,
если уровень воды под ним на h4 выше дна.
15.2. На какую величину Δр атмосферное давление на 16-м этаже (h ≈ 50 м) меньше, чем на 1-м? Выразить Δр в мм рт.ст. Плотности воздуха ρ0 = 1,3 кг/м3, ртути ρ = 13,6·103 кг/м3.
15.3. В полый куб с ребром а = 1 м налита доверху вода
(ρ = 1 г/см3). Найти силу гидростатического давления воды на дно
F1 и на боковую грань F2 куба. Выразить гидростатическое давление у дна в различных единицах (Па, ат, мм рт.ст.).
15.4. В одно из открытых колен U-образной вертикальной трубки с ртутью налили воду, столбик которой составил высоту
h = 68 см. Найти возникшую при этом разность уровней ртути в
коленах x и приращение Δp давления в изгибе трубки. Плотность
воды ρ0 = 1 г/см3, плотность ртути ρ = 13,6 г/см3.
15.5. В колбу конической формы с площадью дна S = 400 см2
налит слой воды высотой h = 20 см. Масса воды М = 6 кг, ее плотность ρ = 1 г/см3. Пренебрегая массой колбы, определить силы давления: а) воды на дно колбы F1; б) колбы на стол F2. Сравнить эти
силы и объяснить парадокс.
143
15.6. На какую величину Δр изменится давление у дна цилиндрического сосуда с водой, если: 1) поместить в воду плавающий
деревянный брусок массой m = 0,5 кг; 2) погрузить этот брусок целиком под воду, привязав его нитью ко дну? Плотность воды ρ0 =
= 1 г/см3, плотность дерева ρ = 0,8 г/см3, площадь дна S = 5 дм2.
15.7. Гидростатический пресс состоит из двух цилиндров площадью S1 = 10 см2 и S2 = 4 дм2, соединенных снизу трубкой. В цилиндрах находится масло плотностью ρ = 0,8 г/см3, а сверху –
поршни массами m1 = 200 г и m2 = 3 кг соответственно. Найти разность уровней масла в цилиндрах h при равновесии поршней. Какую силу F2 разовьет пресс, если на малый поршень надавить силой F1 = 100 Н?
15.8. Поршень массой m = 1 кг и сечением S = 10 см2 силой атмосферного давления р0 = 0,1 МПа прижат ко
дну открытого снизу закрепленного цилиндра
высотой h = 20 см (рис. 15.14). Поршень герметично прилегает к гладким стенкам цилиндра.
Какую работу А нужно совершить, чтобы удаРис. 15.14
лить поршень из цилиндра?
Сила Архимеда
15.9. Доска площадью S = 0,2 м2 плавает в воде, погрузившись
на h = 5 см. Найти силу взаимодействия доски с водой FА и массу
доски m.
15.10. Определить наименьшую площадь льдины толщиной
h = 40 см, способной удержать на воде человека массой m = 75 кг.
Плотность льда ρ = 0,9 г/см3.
15.11. Айсберг произвольной формы плавает в воде. Какая часть
η объема айсберга находится над водой?
15.12. Полый железный шар массой m = 39 г плавает в воде,
погрузившись ровно наполовину. Определить объем полости Vп в
шаре. Плотность железа ρ = 7,8 г/см3.
15.13. Вес тела в воздухе Р1 = 2,8 Н, а в воде Р2 = 1,8 Н. Найти
плотность тела ρ.
15.14. Воздушный шар массой m = 100 кг, поднимаясь в атмосфере, достиг максимальной высоты. Во сколько раз n плотность
144
воздуха на этой высоте больше плотности газа в шаре? Масса оболочки шара m0 = 75 кг, её объем мал.
15.15 Тело плотностью ρ плавает на границе двух несмешивающихся жидкостей плотностями ρ1 и ρ2. Найти отношение объемов
тела V1/V2, находящихся выше и ниже границы жидкостей.
15.16. В сосуде с водой плавает деревянный брусок. Сосуд приводят в движение с ускорением a = −5 g . Найти давление воды
(без учета атмосферного) на глубине h. Изменится ли глубина погружения бруска?
145
ОТВЕТЫ
1.1. l = 8,4 м, tg β = H/b.
1.3. α = 37°.
1.6. 50 мкм, 53°.
1.7. 120°.
1.9. 60°.
1.11. F = 4 Н,. β = 83°.
1.12. | Δυ |= 2υ0 , Δυ = 0.
tg α = υ0 τ/d, α = 53°.
3.5. υ12 = 20 м/c, α = 53°.
3.6. υ = υ0/tg α = 8,4 м/с,
υ′ = υ0/sinα = 13 м/с.
3.7. v = l / τ + (l / τ) 2 + u 2 = 25км/ч.
3.8. v′ = v2 + v02 + 2vv0 cosα = 2,9м/с,
1.13. Δυ = 0; | Δυ |= 2υ0
1.14. Р1 = 1,7 Н , Р2 = 2 Н.
1.15. υт = υsin (α + β)/sin α =
= 540 км/ч.
β = 48°.
3.9. υ0 = b/2τ = 1 км/ч.
3.10. ⟨υ⟩ = 12 м/с.
3.11. 0,5 м/с, 0,33 м/с.
3.12. υ1υ2/(0,65υ1 + 0,35υ2).
3.13. υ1 = 6 км/ч, υ2 = 2 км/ч.
2.1. Поступательное
2.2. Может.
4.1. υ = 25 м/с.
4.2. аx = – 10 м/с2.
4.3. υх(t) = (– 3 + t) м/c
при (1 < t < 3) с.
4.4. а = 2l/τ2 = 60 км/с2,
υ = 0,6 км/с.
4.5. υ = 10 м/с, s = 41 м.
4.6. s = (υ1 +υ2 )τ/2.
2.3. а) S = πR/2, l = R 2 .
2.4. S = 5 м.
2.5. l = ( d − b )( d + 3 b ) .
2.6. Нет.
2.7. y (x) = y0 + (x0 – x) tg α.
2.13. tв = 4 с, xв = 0,48 м.
2.14. τ = l/(υ1 –υ2), s = υ2l/(υ1 –υ2).
2.15. τ = b(υ2 − υ1 )/υ1 υ2 ) .
4.7. s = (v12 − v 22 ) / 2a .
2.16. tв = d / 2v , xв = d / 2 .
2.17. В 10 ч 30 мин, 60 км.
2.18. d = 5 км, υ‫ = ׳‬20 км/ч.
2.19. τ = 0,5 ч, d = 45 км.
3.1. l = 0,5b,
4.8. n = 2 .
4.9. 3 м/с, 1,5 м/с, 2 м/с.
4.10. υ0 = 36 км/ч, υ = 72 км/ч.
4.11. υс = 1,6 м/с.
4.13. lx = – 3 м, s = 3 м.
4.17. 9 м.
l ′ = b, l0 = 1,5b.
4.18. τ = 2t0 (1 + 2 ).
4.20. x (t) = l – υ0t + at2/2,
υх(t) = –υ0 + at.
4.21. x (t) = 0,75t2 (м), где t в секундах.
4.22. t1 = 10 c, x1 = – 23 м.
2
2hb
⎛ h ⎞
2
=
3.2 l = ⎜
⎟ +b −
α
sin
tgα
⎝
⎠
= 28 см, β = 46°.
3.3. υ′ = 14 м/с.
3.4. v ′ = ( d / τ ) 2 + v 02 = 1 м/с,
146
6.5. x (y) = 0,5y + 0,14y2.
6.6. υ0 = 2 м/с , а = 8 м/с2.
6.7. l = 250 м.
4.23. x (t) = – d + υ0(t – t0 ) +
+ a (t – t 0 ) 2 /2.
4.24. υ = 10 м/c.
4.25. τ = (
v 02
6.8. υ2 (t) = υ02 + g2t2, tg α = gt/ υ0.
+ 2 ad − v 0 ) / a .
6.9. H = 2 υ02 /g = 20 м.
4.26. a = 2b/t1t2 υ0= b (t1+t2)/t1t2.
4.27. n = 18, tn = 1,3 c.
6.10. υ0 = 1,5 км/с.
6.11. tg2α = gH/2 υ02 , α = 31°.
6.12. υх = υу = υ0= 50 м/c, t1 = 5,6 c.
5.2. υ0 = gτ/2 = 30 м/c,
H = gτ2/8 = 45 м.
5.3. υ0= Н/t0 – gt0/2 = 15 м/с.
5.4. τ = h/gΔt + Δt/2.
5.5. H = 28 м.
5.6. tn= υ0 (n ± 1)/ng,
hn =
υ02
2
6.13. l = 2 υ02 tg α/gcos α= 1,9 км.
6.14. l = 21 b2/4h.
6.15. y(x) = tgαx – (g/2 υ02 cos2α)x2.
6.16. τ = 2 υ0sinα/g ,
L = υ02 2sinαcosα/g,
2
(n – 1)/2gn .
5.7. H = h + υ02 /2g.
H = υ02 sin2α/2g .
6.17. H1/H2 = tg2α , L1/L2 = 1.
6.18. tg α = 2.
6.19. H = gτ2/8.
5.8. υ = υ02 + 2 gH .
5.9. τ = 2,5 c, H= 31 м, υ =25м/с.
5.10. τ = 2 с, b = 20 м.
5.11. υ0 = 30 м/с.
6.20. L = 2 υ02 cos2α(tg α –
– tg β)/g cos β.
6.21. b = 16 м.
5.12. h = g ( 2H/ g – τ)2/2 = 20 м.
5.13. t1 = 4H/5 υ0.
5.14.
5.15.
5.16.
5.17.
6.22. s = 2 υ02 sin22α (ctg 2α +
+ tg α)/g cos α = 3,2 м.
2
6.23. υ = υx2 + υ y2 ,
3 υ02
/8g = 15м.
h=
tc = 4 c, yc = – 60 м.
230 м.
b = 4,0 м.
tg β(t) = tg α – (g/ υ0cos α)t.
6.24. Δt = Δv /g = 5 c.
5.18. tв = 9 υ0/4g, hв = H – 9 υ02 /32g.
6.25. t2,1 = ( 3 ± 1) c.
6.26. η2= 1 – 3/4 sin2α .
6.1. υ0= 10 м/с, x (t) = υ1t ,
y (t) = υ2t – gt2/2 (x0 = y0 = 0).
6.2. x(t) = 3t – 0,5t2, y(t) = 4t
(x0 = y0 = 0).
6.27. H =
(υ02 − υ12 + g 2t12 ) 2
=2,9 м.
8 g 3t12
6.28. 3) υ = const, изменяется;
4) υ уменьш., измен.
6.3. y (x) = H – gx2/2 υ02
(x0 = 0, y0 = H).
6.4. y = 2x.
147
7.1. τ = 2π N/ω.
7.2. 2πn = ω = 2υ/D.
7.3. ωм = 2π/Tм = 1,7·10–3 рад/с.
7.4. l = sTм /2π τ = 3,5 м.
7.5. υ2 = 1 м/с.
7.6. τ = (12/11) ч , Δφ = 2π/11.
7.7. n = (υ1 – υ2)/2πa,
R = аυ1/(υ1 – υ2).
8.21. Второго ( mg + N = 0 ).
8.22. Третьего ( P = − N ).
8.25. Fр = ma .
8.26. P = m( g − a ) .
8.27. Р = 57 Н, а = 2,5 м/с2.
8.28. T = Fm2 /(m1 + m2 ) .
8.29. n = 5.
8.30. a=g(m1–m2 sin α)/(m1–m2),
T = m1m2 g(1 + sin α)/(m1 + m2).
7.8. ω = υ0/R, υ' = υ0 ,υ = υ0 2 .
7.9. υ = 2πR/τ , ω = 2π/τ .
7.10. φ = s/l =103 рад = 57,3°·103.
7.11. а = υΔφ/Δt = 100 м/c2,
Fуп= 10 Н, l = 20 см.
k = 5·105 H/м, ε = 2·10–3.
F = mg(1 – 1/n).
n = 4.
a) 1/k = 1/k1 + 1/k2,
б) k = k1 + k2.
9.6. k = k0l0/l.
9.7. l = 16 см.
9.8. Fуп= kx = kat2/2.
9.9. Δl=0, Δl = 2mg/k.
9.10. a2 = 3 м/с2, k = 120 H/м.
9.11. l = l0/(1–mω2/k).
⎛ l 2υ 2 ⎞ ⎛ l υ 2 ⎞
9.12. l0 = l1 ⎜⎜1 − 22 12 ⎟⎟ : ⎜⎜1 − 2 12 ⎟⎟ .
⎝ l1 υ2 ⎠ ⎝ l1 υ2 ⎠
9.13. υ= (l0 + mg / k cos α) g sin α ⋅ tgα .
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
∠ v , a = 89 ,5 ° .
7.12.
7.13.
7.14.
7.15.
7.16.
2
a = (ωR ± υ′) /R.
υ = 5,6 км/с, а = 2,4 м/с2.
τ = Т1Т2/(Т1 + Т2).
ап/аг = 200, υп/ υг = 5.
ω/ω0 = 17.
8.1. В С.О., связ. с Землей. Нет.
8.2. Может. Может.
8.3. Из-за инерции. Да.
8.5. 1), 2) нет.
8.6. а) торможение, б) поворот с
v = const.
8.7. Из-за инертности груза.
8.8. а), б), г) да; в) нет.
8.9. n = m1/m2 = 1,25.
8.10. m = m0/n3.
8.11. ρ = 103 кг/м3, m = 315 кг.
8.12. S = 1 м2.
8.13. 55%, 220 г.
8.14. mg + N = 0 .
9.14. ax= kl0cosα/m = 28 м/с2,
ay= kl0sinα/m – g = 6 м/с2.
10.1. a) Fтр= 1 Н, б) и в) Fтр= 2Н.
10.2. F = mg 1 + μ2 .
10.3. F = m(a + μg)/(cosα ± μsinα).
10.4. a = g(sinα – tgβcosα).
10.5. a2,1 = g(sinα ± μcosα), a1 = 0
при μ = tgα.
10.6. aмин = μg.
8.15. С Землей ( mg ), нитью ( T ).
ma = mg + T .
8.17. Fр = 8 Н.
8.18. Да.
8.19. Да.
148
10.7. ω0 = μg / l .
10.8. F0 = μmg(1 + m/M).
10.10. Fc = mgυ/υмакс,
a = g(1– υ/υмакс).
10.11. k = 100 кг/с.
10.12. υмакс = υa1/(a1 – a2).
10.13. F2 = F1n4.
10.14. υ2 = υ1R2/R1.
10.15. Fc = 0,5 H.
10.16. υ0= gτ(sinα+μcosα)=12 м/с.
10.17. Δl = m(a + Kg)/k = 7 мм.
10.18. l0 = (l1m2 + l2m1)/(m1 + m2).
m 2 s (m1 + m2 )
10.19. μ = 1 −
.
m2
m2 g τ2
11.19. P = m a 2 + g 2 .
11.20. k =3.
11.21. k = 1 + (υ2 / 2gL)2 = 3,5.
11.22. υ = 30 м/с.
11.23. ρ = 3π/ηGT2.
11.24. υ1 = gRЗ .
11.25. υ = g 0 R 2 / ( R + h ) .
11.26. r3 = g0R2T2/4π2.
11.27. h = 3 g 0 R 2T 2 / 4 π 2 – R,
υ = 2π(R + h)/T.
3
2
11.28. T = 2π r / g 0 R З = 27 cут.
11.29. n = k1 / k 2 = 4,7.
10.20. μ = ω02 l/2g,
11.30. ρ = 3π/GT2.
11.31. υ = 5,8 м/с, Т = 1,5 ч.
k = m ω02 l/2(l – l0).
10.21. υ2 = 2υ1.
10.23. υмакс = gD / 2μ .
10.22. a2 = (a1 + 3μg)/2.
12.1. υ = 600 м/с.
12.2. Δp = − mυ0 .
12.3. | Δ p | = m| υ 2 − υ1 | = 2 Hc.
12.4. а ) | Δ p | = mυ 2 ;
б) | Δ p | = 2mυ.
12.5. | Δ p | = 2mυsinα.
12.6. p = 5 Hc.
12.7. p = mυ(1 + 2 ).
12.8. a) p = 0; б) p = Mυ0.
12.9. ‹F› = mg + mυ0/τ.
12.10. F = m υ12 + υ22 /τ.
11.1. G = 6,66·10–11 Hм2/кг2.
11.2. F = 2,0·1020 H.
11.3. FЗ/FС = 2,9·105.
11.4. ρС/ρЗ = 0,26.
11.5. h = RЗ( n – 1).
11.6. l ≈ 3,4·105 км.
11.7. n ≈ 5000.
11.8. n ≈ 1600.
11.9. g = 9,83 м/с2.
11.10. g(h) = g0R2/(R + h)2.
11.11. g = 8,9 м/с2.
12.11. m = | Δ p |/gτ = 0,1 кг.
12.12. ‹F› = 2mυ/τ = 800 H.
12.13. N΄= N = mg(υ/gτ – 1).
12.14. N = mg(2υsinα/gτ + 1).
12.15. υ0 = (N΄– mg)τ/msinα,
Fтр= (N΄– mg)сtgα.
12.16. tgβ = tgα + gτ/υ0cosα.
12.17. υ2 = (Fτ – m1υ1)/m2.
12.18. N = (M + m)g + mυcosα/τ.
11.12. r = RЗ g0τ2 / 2s .
11.13. gc = g0n/k.
11.14. n = 6,2.
11.15. Δg = 0,034 м/с2.
11.17. η = 4π2R/g0T2.
11.18. Р = m( g − a).
149
13.21. ΔK = A = mgH(1 – µtgα).
13.22. A = –mgl, υ = υ02 − 2 gl .
12.19. u = 2 м/с.
12.20. | Δ p | = mυsinα, F=mυsinα/τ.
12.21. u = u0M/(M + m), Fтр = mu/τ.
12.22. N΄ = (M + m)g(1+utgα/gτ).
12.23. υ = 1 м/с.
12.24. υ = υ0/2.
12.25. υ2 = 2υ0cosα.
12.26. u = 2ms/Mτ.
12.27. u = m υ12 + υ22 /M.
12.28. υ0 =
13.24. W = Fh,
υ = 2h( F − mg ) / m .
13.25. Ас = – 5,3 МДж.
13.26. W=K+П1+П2, где П1 – пот.
эн. взаимодействия тел системы, П2 – пот. эн. системы во
внешнем поле.
13.27. Aтр = 0.
13.28. Атр = – Fтрs΄.
13.29. υ = 2μgl (1 + m / M ) .
Mu − ( M + m)u0
.
m cos α cos β
12.29. υ = M 2 sg sin α /mcosα.
12.30. p3 = 2pcos(α/2).
13.30. Ac = – m υ02 /2 – mg(H + h).
13.31. Aнк= mg(h – H), η =1 – h/H.
13.32. A = mυ02/2, E = µmgs.
13.1. А = 100 Дж.
13.2. А = Тscosα, Атр= –А.
13.3. A = mgH.
13.4. N = 2‹N› = F(F – µmg)τ/m.
13.5. ‹N› = –mgH/τ,
N0 = – mgυ0sinα.
mgυ(sin + μcosα)
13.6. N =
.
1 + μtgβ
13.7. N = 14 МВт.
13.8. Атяж= П1 – П2.
13.9. mglcosα = П1 – П2.
13.10. A = Fx/2, А = П = – Апр.
13.11 А1 = – kxm2/2,
A2 = 3kxмакс2/8 = mυ2/2.
13.12. Aуп = – Aтяж = – mgxмакс,
k = 2mg/xмакс.
13.13. A = (µmg)2/2k.
13.14. k = 2mg(H + Δl)/Δl2.
13.15. K = 580 кДж.
13.16. υ = 4 м/с.
13.17. m = p2/2K.
13.18. K = mglsinα tgα/2.
13.19. A = mυ2/2.
13.20. s = (υ22– υ12)/2g.
13.33. υ = υ02 − 2gh .
13.34. ΔU = – ΔW = µmgs′.
13.35. υ ≥ 2gl .
13.36. υ = 2gl / 3 .
13.37. υмакс = gxm / 2 .
13.38. υ = 2gl(1− cosϕ) .
13.39. h = N/ρQgη.
13.40. υ = υ0(M–m)/(M+m),
u = υ02m/(M + m).
13.41. υ0 = ΔU (m1 + m2 ) / 2mm
1 2 .
13.42. H = M υ02 /2g(M + m).
13.43. H = m2 υ02 /2g(M + m)2,
η = m/(M + m).
13.44. υ1 = kl02m2 / 4m1 (m1 + m2 ) ,
υ2 = υ1m1/m2.
13.45. M/m = (υ02 + υ2)/(υ02 – υ2),
u=(υ02 – υ2)/ υ02 + υ2 .
13.46. u2=2mgh/M(1+M/mcos2α).
13.47. s′ = HM/µ(M + m).
150
13.48. A = Mm(υ′)2/2(M + m).
13.49. τ = 2(mυ0 – M 2 gh )/mg.
2
13.50. T1 = m(g + υмакс
/l),
2
T2 = m(g – υмакс /2l).
14.21.
Q=
2
2
⎛ Mg ⎞ ⎛ Mg
⎞
+ mg ⎟ tg 2 α
⎜
⎟ +⎜
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
⎠
.
14.22. tgαмин = 1/2µ.
14.23. H = a/2µ.
14.24. µ ≥ 3 .
14.25. l = 2Δl.
14.26. xc = 2a/3.
14.27. xc = l22/2(l1 + l2),
yc = l12/2(l1 + l2).
14.28. xc = 5a/4, yc = 3a/4
14.29 x = R/6.
14.30. xc = yc = zc = 13a/28.
14.32. A = Mg(l – D)/2.
13.51. a) υ0 = 4gl ; б) υ0 = 5gl .
13.52. А = 3kl02/2.
13.53. a = g 5 .
13.54. υ0 = 2 gR / 3 .
13.55. a′ = 2k (M + m) gH / Mm .
14.1. T1 = mgtgα, T2 = mg/cosα.
14.2. cos(β/2) = cos(α/2)T1/T2.
14.3. F ≤ µmg/(cosα + µsinα).
14.4. T = F/2cos(α/2).
14.5. m = 3Tcosα/g.
14.6. µ0 = m1sinα/(m1cosα – m2).
14.7. M = (µFм/g – m).
14.8. Fk = mglk/h, (k = 1; 2).1
14.9. Мс = Flcosα/2.
14.10. Mт = Тlcosα, Мг = – mgl.
14.11. l = – M/F(sinα + cosα).
14.12. F = Mтр/R, A = Mтрφ.
F l − F (l + l )
14.14. x = = 2 1 3 1 2 .
F1 + F2 − F3
15.1. p0 = pа + (mg + Fcosα)/S,
рв = р0 + ρg(h2 – h4).
15.2. Δp = ρ0gh = ρgH.
15.3. F1 = ρga, F2 = F1/2.
15.4. x = hρ0/ρ, Δp = ρgx/2.
15.5. F1 = 80 H, F2 = 60 H.
15.6. 1) Δp = mg/S,
2) Δp = mgρ0/Sρ.
15.7. h=|m1/S1–m2/S2|/ρ, F2=4 кН.
15.8. А = (p0S – mg)h.
15.9. FA = 100 H, m = 10 кг.
15.10. S = m/h(ρ0 – ρ).
15.11. η = 1 – ρ/ρ0 = 0,1.
15.12. Vп = m(2/ρ0 – 1/ρ).
15.13. ρ = ρ0P1/(P1 – P2).
15.14. n = m/(m –m0).
15.15. V1/V2 = (ρ2 – ρ)/(ρ – ρ1).
15.16. p = 6ρ0gh. Нет.
14.15. F = 30 H, β = 55°,
x = 10 см.
14.16. Q=mg 1+ μ 2 , x=(a – µb)/2.
14.17. F = mgcosα/2.
14.18. N1,2 = mg(L/2–l2,1)/(L–l1–l2).
14.19. F = mg/2(sinα + cosα).
14.20. T = (Mg + 2mg)/2cosα.
151
Геннадий Михайлович Горбаченко,
Виталий Викторович Грушин,
Николай Александрович Добродеев,
Юрий Владимирович Самоварщиков
Пособие по физике
«Ускорение и сила, импульс и энергия»
В помощь учащимся 9 класса
Редактор Е. Н. Кочубей
Подписано в печать 24.11.2009 Формат 60×84 1/16
экз. Заказ
Изд. № 095-1. Печ. л 9,5. Тираж
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ».
Типография НИЯУ МИФИ. 115409, Москва, Каширское шоссе, 31.