Билет №1. 1. Криволинейные координаты в R3. Базис. Кобазис

Билет №1.
1. Криволинейные координаты в R3 . Базис. Кобазис (взаимный базис).
2. Закон сохранения полной энергии
ρ
dE
+ div ~q = P · D,
dt
P ·D =
∂vj
1X
∂vi
+
)
pji (
2
∂xj
∂xi
i,j
привести к дивергентному виду
∂(ρε)
+ div [(ρε + P)~v + ~q ] = 0,
∂t
ε=E+
1
| ~v |2 .
2
Билет №2.
1. Вектор. Ковариантные и контравариантные компоненты вектора. Инвариантное
определение вектора.
2. Закон сохранения импульса
ρ
d~v
= div P
dt
привести к дивергентному виду
∂(ρ~v )
= div (P − ρ ~v ⊗ ~v )
∂t
.
Билет №3.
1. Определение тензора ранга два. Компоненты тензора. Диадное произведение
векторов. Свойства диадного произведения. Диадный базис.
2. Какие условия обеспечивают симметричность (P = P ∗ ) тензора истинных напряжений в законе сохранения импульса
ρ
d~v
= div P ?
dt
Билет №4.
1. Фундаментальный (метрический) тензор, его свойства. Формулы жонглирования индексами. Длина вектора, угол между векторами.
2. Пусть скалярное, векторное или тензорное свойство представлено следующим
образом
Z
Aij (t) =
Bij (~x, t) dV,
V (t)
где V (t) - объем в момент времени t. Доказать, что
Z d Aij
∂Bij
∂
=
+
(vm Bij ) dV.
dt
∂t
∂xm
V (t)
Билет №5.
1. Эквивалентное определение тензора ранга два как линейного отображения (оператора) R3 → R3 . Матрица линейного оператора (тензора).
2. Пусть εij компоненты линейного тензора деформаций в декартовой системе координат (i, k = 1, 2). Доказать, что условие совместности деформаций
∂ 2 ε11
∂ 2 ε22
∂ 2 ε12
+
=
2
∂x1 ∂x2
∂x22
∂x21
является необходимым и достаточным для существования вектора перемещений
~u. С каким произволом определяется этот вектор в данном случае?
Билет №6.
1. Композиция тензоров. Тензор обратный к данному . Матрица тензора в новом
базисе. Тензор, сопряженный данному. След тензора.
2. Пусть f (~x(t), t) - дифференцируемая функция, ρ(~x, t) - плотность. Доказать, что
Z
Z
d
df
f (~x, t) ρ dV =
ρ dV.
dt
dt
V (t)
V (t)
Билет №7.
1. Построение тензора по тензорам L и M посредством умножения каждой компоненты L на каждую компоненту M . Операция свертки (примеры). Теорема о
делении тензоров. Доказательство для любого конкретного случая по Вашему
усмотрению.
2. Закон сохранения массы (уравнение неразрывности):
dρ
+ ρ div ~v = 0
dt
привести к дивергентному виду
∂ρ
+ div (ρ ~v ) = 0.
∂t
Билет №8.
1. Ковариантная производная конравариантных и ковариантных компонент вектора. Тензорный характер величин ∇i um , ∇i um .
∂ui ∂uk
2. Доказать, что если пренебречь величинами
≈ o(δ 2 ), (декартова система
∂xj ∂xl
координат) то закон сохранения массы записывается в виде ρ = ρ0 (1 − J1 (ε)),
где
∂u1
∂u2
∂u3
J1 (ε) = ε11 + ε22 + ε33 =
+
+
∂x1
∂x2
∂x3
первый инвариант тензора деформаций ε.
Билет №9.
1. Векторное поле. Дифференцирование векторного поля. Градиент. Градиент векторного поля ϕ : Rn −→ Rm , m = 1.
2. Пусть f (~x(t), t) - дифференцируемая функция. Показать, что
Z
Z
Z
d
∂
d ~x
f (~x, t) dV =
f (~x, t) dV +
f
· ~n dS,
dt
∂t
dt
V (t)
V (t)
S(t)
где S(t) -граница области V (t), ~n - вектор внешней нормали к S(t).
Билет №10.
1. Векторное поле. Дифференцирование векторного поля. Градиент. Градиент векторного поля ϕ : Rn −→ Rm , m = n.
2. Пусть f (~x(t), t) - дифференцируемая функция. Показать, что
Z
Z
d f (~x, t)
d
f (~x, t) dV =
(
+ f div ~v ) dV.
dt
dt
V (t)
V (t)
Билет №11.
1. Ковариантная производная конравариантных компонент тензоpа pанга два. Коваpиантная производная суммы ∇j (αum + βv m ), произведения ∇j (um v m ).
2. Доказать, что
q
ε123 = ~e1 · (~e2 × ~e3 ) = ± det(gij ),
где ~ei , i = 1, 2, 3 - вектора базиса, gij , i, j = 1, 2, 3 - ковариантные компоненты
метрического тензора.
Билет №12.
1. Дивергенция вектора, тензора ранга два. Ротор вектора.
2. Доказать, что
∂J
= Jdiv ~v ,
∂t
где J - якобиан отображения V0 → V : dV = JdV0 .
Билет №13.
1. Закон сохранения массы (уравнение неразрывности) в эйлеровом описании. Замкнутая модель фильтрации в однородной пористой среде.
2. Пусть f~, ~u - векторные функции векторного аргумента, причем ~u постоянная.
Доказать, что
(∇ f~)~u = div(f~ ⊗ ~u).
Билет №14.
1. Закон сохранения массы в лагранжевом описании. Эквивалентность лагранжева
и эйлерова описаний в данном конкретном случае.
2. Пусть f - скалярная, а ~g - векторная функции векторного аргумента. Доказать,
что
∇(f ~g ) = ~g ⊗ ∇ f + f ∇ ~g .
1. Закон сохранения массы в лагранжевом описании. Эквивалентность лагранжева
и эйлерова описаний в данном конкретном случае.
2. Пусть f - скалярная, а ~g - векторная функции векторного аргумента. Доказать,
что
∇(f ~g ) = ~g ⊗ ∇ f + f ∇ ~g .
Билет №15.
1. Тензор истинных напряжений Коши (эйлерово описание). Закон сохранения импульса (дифференциальная форма).
2. Записать закон сохранения массы (уравнение неразрывности) в цилиндрической
системе координат:
x1 = rcosϕ, x2 = rsinϕ, x3 = z.
Билет №16.
1. Закон сохранения момента импульса (интегральная форма). Симметричность
тензора истинных напряжений.
2. Пусть u - скалярная функция векторного аргумента. Записать уравнение Лапласа: div grad u = 0 в цилиндрической системе координат:
x1 = rcosϕ, x2 = rsinϕ, x3 = z.
Билет №17.
1. Дивергентная дифференциальная форма закона сохранения массы и закона сохранения импульса.
2. Пусть u - скалярная функция векторного аргумента. Записать уравнение Лапласа: div grad u = 0 в полярной системе координат
x1 = r cos ϕ, x2 = r sin ϕ.
Билет №18.
1. Замкнутая математическая модель идеальной жидкости, основанная на законе
сохранения массы и законе сохранения импульса. Закон Дарси как приближение
закона сохранения импульса.
2. Компонентная запись уравнения div P = 0, P = P ∗ в полярной системе координат:
x1 = r cos ϕ, x2 = r sin ϕ.
Здесь P - тензор ранга два.
Билет №19.
1. Тензор деформации Грина (лагранжево описание).
2. Пусть T - тензорная, а f~ - векторная функции векторного аргумента. Доказать,
что
div(T f~) = (div T ∗ ) · f~ + tr(T grad f ).
Билет №20.
1. Тензор деформации Альманси (эйлерово описание).
2. Пусть f~, ~u - векторные функции векторного аргумента. Доказать, что
∇ (f~ · ~u) = [∇ f~]∗ ~u + [∇~u]∗ f~.
Билет №21.
1. Линейная упругая среда. Соотношения "деформации - напряжения". Закон Гука. Описание экспериментов, позволяющих определить константы Ламе.
2. Записать закон сохранения массы (уравнение неразрывности) в сферической системе координат:
x1 = rcosϕsinθ, 0 ≤ θ < π,
x2 = rsinϕsinθ, 0 ≤ ϕ < 2π,
x3 = rcosθ.
Билет №22.
1. Замкнутая модель линейной теории упругости, основанная на линеаризации закона сохранения массы, закона сохранения импульса, тензора деформаций Альманси и законе Гука (нестационарный случай).
2. Компонентная запись уравнения div P = 0, P = P ∗ в декартовой системе координат. Здесь P - тензор ранга два.
Билет №23.
1. Замкнутая модель линейной теории упругости (стационарный случай). Для двумерного случая (плоской деформации) постановки: в перемещениях, напряжениях (условия совместности) и в терминах функции Эри.
2. Пусть u - скалярная функция векторного аргумента. Записать уравнение Лапласа: div grad u = 0 в сферической системе координат:
x1 = rcosϕsinθ,
x2 = rsinϕsinθ,
x3 = rcosθ.
0 ≤ θ < π,
0 ≤ ϕ < 2π,
Билет №24.
1. Закон сохранения полной энергии (дифференциальная форма).
2. Пусть u - скалярная функция векторного аргумента. Записать уравнение Лапласа: div grad u = 0 в декартовой системе координат.
Билет №25.
1. Дивергентная дифференциальная форма закона сохранения полной энергии.
2. Пусть f , g – скалярные функции векторного аргумента. Доказать, что
∇(f g) = f ∇ g + g ∇ f.
Билет №26.
1. Идеальная двухпараметрическая сплошная среда (газ, жидкость).
2. Пусть ϕ - скалярная, а f~ - векторная функции векторного аргумента. Доказать,
что
div(ϕ f~) = f~ · grad ϕ + ϕ div f~.
Билет №27.
1. Пусть u - скалярная функция векторного аргумента. Записать уравнение Лапласа: div grad u = 0 в цилиндрической системе координат:
x1 = rcosϕ, x2 = rsinϕ, x3 = z.
2. Пусть f , g – скалярные функции векторного аргумента. Доказать, что
∇(f g) = f ∇ g + g ∇ f.
Билет №28.
1. В осесимметричном потоке в направлении оси x3 скорость является функцией
x3 и r, где r2 = x21 + x22 . Найти, какой вид принимает уравнение неразрывности
(закон сохранения массы), если
~v = k e~r + v3 e~3 .
2. Пусть T ϕi = λi ϕi и все λi - различны. Доказать, что если ϕi - базис в R3 , то за
кобазис в R3 можно принять систему векторов ψi : T ∗ ψi = µi ψi .
Билет №29.
1. Дивергенция (вектора, тензора ранга два).
2. Пусть u - скалярная функция векторного аргумента. Записать уравнение Лапласа: div grad u = 0 в сферической системе координат:
x1 = rcosϕsinθ,
x2 = rsinϕsinθ,
x3 = rcosθ.
0 ≤ θ < π,
0 ≤ ϕ < 2π,
Билет №30.
1. Пусть f (~x(t), t) - дифференцируемая функция, ρ(~x, t) - плотность. Доказать, что
Z
Z
d
df
f (~x, t) ρ dV =
ρ dV.
dt
dt
V (t)
V (t)
2. Пусть все собственные числа λi тензора T ранга два - различны (T ϕi = λi ϕi ).
Найти матрицу (T ) в базисах ϕi и ψi (T ∗ ψi = µi ψi ).
Билет №31.
1. Тензор ранга два как линейное отображение R3 → R3 . Оператор. Матрица оператора.
2. Пусть f (~x(t), t) - дифференцируемая функция. Показать, что
Z
Z
Z
d
∂
d ~x
f (~x, t) ρ dV =
f (~x, t) dV +
f
· ~n dS,
dt
∂t
dt
V (t)
V (t)
S(t)
где S(t) -граница области V (t), ~n - вектор внешней нормали к S(t).
Задачи.
1. Доказать, что
ε123 = ~e1 · (~e2 × ~e3 ) =
q
det(gij ),
где ~ei , i = 1, 2, 3 - вектора базиса, gij , i, j = 1, 2, 3 - ковариантные компоненты
метрического тензора.
2. Пусть f (~x(t), t) - дифференцируемая функция. Показать, что
Z
Z
d
∂ f (~x, t)
f (~x, t) dV =
(
+ f div ~v ) dV.
dt
∂t
V (t)
V (t)
3. Выписать формулу для вычисления ∇i ∇j um и ∇j ∇i um .
4. По аналогии с определением ковариантной производной ∇j от контравариантной
компоненты тензора T αβ дать определение для ∇j Tαβ .
5. По аналогии с определением ковариантной производной ∇j от контравариантной
α· .
компоненты тензора T αβ дать определение для ∇j T·β
∂ui ∂uk
≈ o(δ 2 ), (декартова система
∂xj ∂xl
координат) то закон сохранения массы записывается в виде ρ = ρ0 (1 − J1 (ε)),
где
∂u1
∂u2
∂u3
J1 (ε) = ε11 + ε22 + ε33 =
+
+
∂x1
∂x2
∂x3
6. Доказать, что если пренебречь величинами
первый инвариант тензора деформаций ε.