Document 2536813

Àýðîäèíàìè÷åñêèé ïàðàäîêñ
ñïóòíèêà
À.ÌÈÒÐÎÔÀÍÎÂ
Íåîæèäàííîå ñëó÷àåòñÿ â æèçíè ÷àùå, ÷åì îæèäàåìîå.
Òèò Ìàêöèé Ïëàâò
Ïàðàäîêñû – âîò åäèíñòâåííàÿ ïðàâäà.
Áåðíàðä Øîó
Èëëþñòðàöèÿ À.Áàëäèíà
Ï
ÎÏÐÎÁÓÅÌ îòâåòèòü íà âîï-
ðîñ, ìîæåò ëè òåëî, äâèãàÿñü
â ñðåäå è èñïûòûâàÿ äåéñòâèå
ñèëû ñî ñòîðîíû ñðåäû, óâåëè÷èòü
ñâîþ ñêîðîñòü. Íà ïåðâûé âçãëÿä,
òàêîå ñîáûòèå êàæåòñÿ íå áîëåå ïðàâäîïîäîáíûì, ÷åì èçâåñòíîå ïðåäëîæåíèå áàðîíà Ìþíõãàóçåíà òàùèòü
ñåáÿ çà âîëîñû. Êàçàëîñü áû, ñêîðîñòü òåëà â ñðåäå äîëæíà òîëüêî
óìåíüøàòüñÿ, îäíàêî íå òîðîïèòåñü ñ
âûâîäàìè. Òàêèå ñëó÷àè âïîëíå âîçìîæíû è â òîé èëè èíîé ñòåïåíè
íàáëþäàþòñÿ ïðè äâèæåíèè èñêóññòâåííûõ ñïóòíèêîâ è ìåòåîðèòîâ âîêðóã ïëàíåò â ðàçðåæåííîé àòìîñôåðå. Ðå÷ü èäåò îá èçâåñòíîì àýðîäèíàìè÷åñêîì ïàðàäîêñå ñïóòíèêà – ïîïàäàÿ â âåðõíèå ñëîè àòìîñôåðû, êîñìè÷åñêèé àïïàðàò, èñïûòûâàÿ òîðìîæåíèå â ðàçðåæåííîì ãàçå, óâåëè÷èâàåò ïðè ýòîì ñêîðîñòü ñâîåãî äâèæåíèÿ.
Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê îïèñàíèþ
ïðîèñõîäÿùåãî íà îðáèòå, ðàññìîòðèì áîëåå ïðîñòîé ïðèìåð èç ìåõàíèêè. Ïóñòü íåáîëüøîå òåëî çàêðåïëåíî
íà êîíöå ðàñòÿæèìîé óïðóãîé íèòè,
ïðóæèíû, ðåçèíîâîãî øíóðà èëè êàêîãî-òî äðóãîãî ïîäâåñà è äâèæåòñÿ ñ
ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ â ïëîñêîñòè ïî
îêðóæíîñòè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ
ïîäâåñà ñïðàâåäëèâ çàêîí Ãóêà, ò.å.
ñèëà íàòÿæåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà
óäëèíåíèþ ïîäâåñà. Îêàçûâàåòñÿ,
åñëè òåëî êàêèì-ëèáî îáðàçîì íà÷àòü
òîðìîçèòü, åãî äâèæåíèå èçìåíèòñÿ.
 ÷àñòíîñòè, åñëè òåëî ìãíîâåííî
îñòàíîâèòü, à ïîòîì îòïóñòèòü, òî
ðàñòÿíóòûé ïîäâåñ ñîîáùèò òåëó íåêîòîðóþ ñêîðîñòü â íàïðàâëåíèè ïðåæíåãî öåíòðà âðàùåíèÿ. Ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü, êîòîðóþ ïðèîáðåòåò
òåëî, ìîæíî íàéòè èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû òåëî – óïðóãèé ïîäâåñ.  ñëó÷àå, êîãäà ðàñòÿæå1*
íèå ïîäâåñà çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò
åãî íà÷àëüíóþ äëèíó, ìàêñèìàëüíàÿ
êîíå÷íàÿ ñêîðîñòü òåëà áóäåò ïî÷òè
ðàâíà íà÷àëüíîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ
ïî îêðóæíîñòè.
Íàø ïðèìåð – óïðîùåííàÿ àíàëîãèÿ çàäà÷è î òîðìîæåíèè ñïóòíèêà â
àòìîñôåðå: òåëî – ýòî ñïóòíèê, à
óïðóãèé ïîäâåñ – ìîäåëü ïðèòÿæåíèÿ
Çåìëè. Êîíå÷íî, ýòà àíàëîãèÿ ãðóáàÿ, òàê êàê çàêîí Ãóêà âîâñå íå
îïèñûâàåò ãðàâèòàöèîííûå ñèëû,
êîòîðûå (êàê è êóëîíîâñêèå ñèëû,
äåéñòâóþùèå ìåæäó çàðÿäàìè) îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû êâàäðàòó
ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òåëàìè, à â íàøåì
ñëó÷àå — êâàäðàòó ðàäèóñà îðáèòû.
Äâèæåíèå ñïóòíèêà â âåðõíèõ ñëîÿõ
àòìîñôåðû ïëàíåòû ïðîèñõîäèò ñëîæíåé è èíòåðåñíåé, ÷åì äâèæåíèå øàðèêà íà ðåçèíîâîì ïîäâåñå.
Äëÿ èçó÷åíèÿ ýâîëþöèè îðáèòû
ñïóòíèêà, äâèãàþùåãîñÿ â ðàçðåæåííîì ãàçå, íàì ïîòðåáóþòñÿ íåêîòîðûå
ôîðìóëû. Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ñïóòíèêà ìàññîé m ïî êðóãîâîé îðáèòå
ðàäèóñîì R âîêðóã Çåìëè, ìàññà êîòîðîé Ì. Äëÿ âûñîêèõ îðáèò, êîãäà
ïðèòÿæåíèå Çåìëè ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé ñèëîé, îêàçûâàþùåé âëèÿíèå íà
äâèæåíèå ñïóòíèêà, åãî ñêîðîñòü îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì
2
v =
GM
R
, èëè v = v0
R0
,
R
(1)
ãäå G – ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ,
R0 — ðàäèóñ Çåìëè, ðàâíûé ïðèìåðíî 6400 êì, à v0 = g0 R0 — ïåðâàÿ êîñìè÷åñêàÿ ñêîðîñòü ñïóòíèêà,
ðàâíàÿ 7,9 êì/ñ äëÿ íàøåé ïëàíåòû
( g0 = 9,8 ì ñ2 — óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ âáëèçè ïîâåðõíîñòè
Çåìëè).
Ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ
ñî ñòîðîíû ðàçðåæåííîãî ãàçà íà ñïóò-
íèê â âåðõíèõ ñëîÿõ àòìîñôåðû, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
Fñîïð = Cx
ρv2
S .
2 x
(2)
Çäåñü ρ — ïëîòíîñòü àòìîñôåðû íà
îðáèòå, êîòîðàÿ ñèëüíî çàâèñèò îò
âûñîòû ïîëåòà ñïóòíèêà; Sx — ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñïóòíèêà,
òî÷íåå – ïëîùàäü ìàêñèìàëüíîãî ñå÷åíèÿ ñïóòíèêà ïëîñêîñòüþ, ïåðïåí→
äèêóëÿðíîé âåêòîðó ñêîðîñòè v ïîëåòà ñïóòíèêà îòíîñèòåëüíî ñðåäû
(èëè, êàê ãîâîðÿò, ïëîùàäü ìèäåëÿ);
Cx — òàê íàçûâàåìûé êîýôôèöèåíò
ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, çàâèñÿùèé,
âîîáùå ãîâîðÿ, îò ñêîðîñòè, íî äëÿ
ðåàëüíûõ óñëîâèé ïîëåòà ñïóòíèêà
íà áîëüøîé âûñîòå åãî ìîæíî ñ÷èòàòü
ïðèìåðíî ðàâíûì 2. Ïîñëåäíåå ïðîñòî îçíà÷àåò, ÷òî ñîóäàðåíèÿ ìîëåêóë è àòîìîâ ñ îáøèâêîé ñïóòíèêà
íåóïðóãèå, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ñïóòíèêó â åäèíèöó âðåìåíè ïåðåäàåòñÿ
èìïóëüñ, ðàâíûé ρv2 íà åäèíèöó
ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Íàïîìíèì, ÷òî îðáèòàëüíàÿ ñêîðîñòü
ñïóòíèêà âî ìíîãî ðàç ïðåâûøàåò
ñðåäíþþ òåïëîâóþ ñêîðîñòü ìîëåêóë
è àòîìîâ àòìîñôåðíîãî ãàçà. (Åñëè
áû áûëî èíà÷å, òî, êàê íåòðóäíî
äîãàäàòüñÿ, Çåìëÿ î÷åíü áûñòðî ïîòåðÿëà áû ñâîþ àòìîñôåðó!) Ïîýòîìó
ñîáñòâåííîå äâèæåíèå ÷àñòèö ñðåäû â
ðàññìàòðèâàåìûõ ïðèìåðàõ ïðè ðàñ÷åòàõ ñèë òîðìîæåíèÿ ìîæíî íå ó÷èòûâàòü.
Ê êàêèì æå ñëåäñòâèÿì ïðèâîäèò
íàëè÷èå ðàçðåæåííîãî ãàçà (èëè, êàê
ãîâîðÿò, àòìîñôåðíîãî «õâîñòà») íà
îðáèòå ñïóòíèêà? Äëÿ âûñîêèõ îðáèò
ó÷åò ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìàëûå âîçìóùåíèÿ, ïðèâîäÿùèå ê íåáîëüøèì
èçìåíåíèÿì ïàðàìåòðîâ îðáèòû.
4
Ïëàâíî òîðìîçÿñü â ðàçðåæåííîì ãàçå,
ñïóòíèê ïåðåõîäèò íà áîëåå íèçêóþ
îðáèòó. Íî ïðè ìåíüøèõ R, êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû (1), ñêîðîñòü îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ ñïóòíèêà äîëæíà
áûòü áîëüøå, ÷åì íà ïåðâîíà÷àëüíîé
áîëåå âûñîêîé îðáèòå. Ïîëó÷àåòñÿ,
÷òî ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ, íàïðàâëåííàÿ ïðîòèâ äâèæåíèÿ, ìîæåò óñêîðèòü ñïóòíèê â íàïðàâëåíèè ýòîãî æå
äâèæåíèÿ! Áîëåå òîãî, îêàçûâàåòñÿ
(êàê ìû óâèäèì äàëüøå èç ðàñ÷åòîâ),
÷òî òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå, ò.å.
óñêîðåíèå âäîëü òðàåêòîðèè, òî÷íî
ðàâíî ñèëå ñîïðîòèâëåíèÿ, äåëåííîé
íà ìàññó ñïóòíèêà. Ýòîò èíòåðåñíûé
ôàêò è íàçûâàåòñÿ àýðîäèíàìè÷åñêèì ïàðàäîêñîì ñïóòíèêà, ê îáúÿñíåíèþ êîòîðîãî ìû ñåé÷àñ ïåðåéäåì.
Çàìåòèì, ÷òî ñ ýòîé, êàçàëîñü áû,
íåïðîñòîé çàäà÷åé ìîæíî ñïðàâèòüñÿ, èñïîëüçóÿ òîëüêî çàêîíû ñîõðàíåíèÿ è ïðîâîäÿ ýëåìåíòàðíûå âû÷èñëåíèÿ.
Óâåëè÷åíèå ñêîðîñòè ñïóòíèêà ïðè
åãî òîðìîæåíèè â âåðõíèõ ñëîÿõ àòìîñôåðû èìååò ïðîñòóþ ïðè÷èíó.
Ñïóòíèê, òåðÿÿ ïåðâîíà÷àëüíóþ êðóãîâóþ ñêîðîñòü, ïîïðîñòó ãîâîðÿ,
ïàäàåò â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå Çåìëè, ïðèáëèæàÿñü ê íåé, òàê êàê ñèëà
ïðèòÿæåíèÿ F = GMm R2 ñòàíîâèòñÿ áîëüøå ñèëû mv 2 R , íåîáõîäèìîé
äëÿ òîãî, ÷òîáû óäåðæàòü ñïóòíèê íà
ïðåæíåé îðáèòå. Íî ïàäàåò êîñìè÷åñêèé àïïàðàò íå îòâåñíî (êàê êèðïè÷ ñ
êðûøè âûñîêîãî äîìà), à ïî ïëàâíîé
êðèâîé – ñïèðàëè, âèòîê çà âèòêîì
ìåäëåííî ïðèáëèæàÿñü ê çåìíîé ïîâåðõíîñòè, ïðè÷åì êàæäûé âèòîê
ñïèðàëè ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò îêðóæíîñòè. À â ïîëå òÿæåñòè, êàê ìû
çíàåì, ïðè ïàäåíèè òåë èõ ñêîðîñòü
óâåëè÷èâàåòñÿ. Äëÿ òàêîãî äâèæåíèÿ
êîñìè÷åñêîãî àïïàðàòà óìåíüøåíèå
åãî ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè íå òîëüêî
êîìïåíñèðóåò ðàáîòó ñèë òðåíèÿ íà
îðáèòå, ò.å. ñèë ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû, íî è ñëóæèò ïðè÷èíîé óâåëè÷åíèÿ åãî ñêîðîñòè v è êèíåòè÷åñêîé
ýíåðãèè mv2 2 . Òàê ÷òî óñêîðÿåò ïàäàþùèé ñïóòíèê çåìíîå ïðèòÿæåíèå,
à âîâñå íå ñèëû òðåíèÿ ñïóòíèêà íà
îðáèòå. Ïîñëåäíèå ëèøü ïîìîãàþò
«ñáðîñèòü» êîñìè÷åñêèé àïïàðàò ñ
áîëåå âûñîêîé îðáèòû íà áîëåå íèçêóþ. (Âñïîìíèòå ïðîñòåíüêèé ïðèìåð ñ øàðèêîì íà óïðóãîì ïîäâåñå, î
êîòîðîì øëà ðå÷ü â íà÷àëå ñòàòüè.)
Îáðàòèìñÿ ê ðèñóíêó 1, ãäå ïîêàçàíû òðàåêòîðèÿ èñêóññòâåííîãî ñïóòíèêà â ðàçðåæåííîé àòìîñôåðå è ñèëû,
äåéñòâóþùèå íà íåãî. Äâèæåíèå ïðî-
ÊÂÀÍÒ $
1998/¹3
Îòêóäà, ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ ∆v?v ,
ñëåäóåò
Fñîïð
m
Fò
∆v =
v
Fí
Fïîë
2πFñîïð R
=
mv
2πFñîïð R
m g
,
èëè
∆v 2πFñîïð
=
.
v
mg
Fãðàâ
O
Ðèñ. 1
èñõîäèò â ïëîñêîñòè ïðè ìåäëåííîì
óìåíüøåíèè ðàäèóñà îðáèòû, ò.å. ïî
ïëàâíî çàêðó÷èâàþùåéñÿ ê Çåìëå
ñïèðàëè ñ ìàëûì øàãîì ïî ñðàâíåíèþ ñ âûñîòîé ïîëåòà ñïóòíèêà h =
→
= R – R0 . Çäåñü Fãðà⠗ ñèëà ãðàâèòàöèîííîãî ïðèòÿæåíèÿ ñïóòíèêà ê Çåì→
ëå, Fñîïð — ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ñî
→
ñòîðîíû àòìîñôåðû è Fïîë — âåêòîð→
→
íàÿ ñóììà ñèë Fãðàâ è Fñîïð . Ïîñêîëüêó òðàåêòîðèåé äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ
ñïèðàëü, êàæäûé âèòîê êîòîðîé õîòÿ
è ìàëî, íî âñå æå îòëè÷àåòñÿ îò
→
îêðóæíîñòè, ñèëó Fïîë ìîæíî ðàçëî→
→
æèòü íà äâå ñîñòàâëÿþùèå: Fí è Fò ,
ò.å. íîðìàëüíóþ è òàíãåíöèàëüíóþ
(êàñàòåëüíóþ) ê òðàåêòîðèè êîñìè→
÷åñêîãî àïïàðàòà. Ñèëà Fò , äåéñòâóþùàÿ âäîëü òðàåêòîðèè ñïóòíèêà,
óâåëè÷èâàåò åãî ñêîðîñòü òàêèì îáðàçîì, ÷òî â äàííîé òî÷êå òðàåêòîðèè
ìãíîâåííîå óñêîðåíèå â íàïðàâëåíèè
→
âåêòîðà v ðàâíî ïî ìîäóëþ Fò m .
Ïîêàæåì, ÷òî Fò = Fñîïð .
Ïóñòü íà íåêîòîðîé îðáèòå ðàäèóñîì R íà ñïóòíèê äåéñòâóåò ñèëà
òîðìîæåíèÿ Fñîïð , îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìóëîé (2), â êîòîðîé ïëîòíîñòü ρ R
íà âñåì âèòêå ñ÷èòàåòñÿ ìàëîé è ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé. Îïðåäåëèì óâåëè÷åíèå ñêîðîñòè ñïóòíèêà ∆v è
óìåíüøåíèå ðàäèóñà åãî îðáèòû ∆R
íà îäíîì âèòêå ïîëåòà. Âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñ ó÷åòîì ðàáîòû ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ.
Íàïîìíèì, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñïóòíèêà íà îðáèòå ðàâíà W1 =
= −GMm R = −mv2 , êèíåòè÷åñêàÿ
ýíåðãèÿ ðàâíà W2 = mv2 2 = −W1 2 ,
à ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñîñòàâëÿåò W1 +
+ W2 = − mv 2 2 . Çàïèøåì áàëàíñ ïîëíîé ýíåðãèè ñïóòíèêà â íà÷àëå è â
êîíöå âèòêà:
>C
>
m v + ∆v
mv2
−
− 2πRFñîïð = −
2
2
C
Ïîñêîëüêó ïðîäîëæèòåëüíîñòü âèòêà ñîñòàâëÿåò ∆t = 2πR v , òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå ïðîëåòàþùåãî â
ðàçðåæåííîé àòìîñôåðå ñïóòíèêà
ðàâíî
Fñîïð
∆v 2 πFñîïð R v
aò =
=
=
. (5)
∆t
mv
m
2 πR
Îòñþäà
Fò = maò = m
Fñîïð
m
= Fñîïð ,
÷òî è òðåáîâàëîñü óñòàíîâèòü.
Èòàê, ÷åì áîëüøå ñîïðîòèâëåíèå,
êîòîðîå îêàçûâàåò ðàçðåæåííûé ãàç
íà ñïóòíèê ïðè åãî äâèæåíèè, òåì
áûñòðåå óâåëè÷èâàåòñÿ ñêîðîñòü ñïóòíèêà! (Êîãäà êàòàåøüñÿ íà ñàíêàõ ñ
ãîðêè, òàêîå è íå ïðèñíèòñÿ. Êñòàòè,
ïîäóìàéòå, ïî÷åìó. Âåäü ñàíêè è
ñïóòíèê äâèãàþòñÿ â îäíîì è òîì æå
ïîëå ãðàâèòàöèè Çåìëè.)
Íàéäåì òåïåðü óìåíüøåíèå ðàäèóñà îðáèòû ∆R íà îäíîì âèòêå. Ñâÿçü
ìåæäó ∆R è ∆v ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ èç
ôîðìóëû (1):
∆v = −
v
∆R ,
2R
à âåëè÷èíó ∆v ìû óæå îïðåäåëèëè.
Ïîýòîìó ïîëó÷àåì
4πFñîïð
∆R
.
=−
R
mg
(6)
Çàìåòèì, ÷òî îòíîñèòåëüíîå óìåíüøåíèå âûñîòû ïîëåòà òî÷íî â äâà ðàçà
ïðåâûøàåò ñîîòâåòñòâóþùåå óâåëè÷åíèå îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè ñïóòíèêà.
Îáðàòèì âíèìàíèå íà ôîðìóëó (6).
Åñëè ìûñëåííî ðàçâåðíóòü îêðóæíîñòü ðàäèóñîì R è òðàåêòîðèþ ñïóòíèêà íà îäíîì âèòêå ïîëåòà â ïðÿìûå
îòðåçêè ÀÂ è ÀÑ (ðèñ.2), ðàñïîëîæèâ èõ òàê, ÷òîáû îòðåçîê ÂÑ
áûë ðàâåí ïî âåëè÷èíå ∆R =
= 4πFñîïð R mg , òî ñòàíåò ÿñíî, ÷òî
> C
A
α
B
∆R
2
. (3)
(4)
Ðèñ. 2
C
ÀÝÐÎÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÉ
â ðàçðåæåííîé àòìîñôåðå â êàæäîé
òî÷êå îðáèòû êàñàòåëüíàÿ ê òðàåêòîðèè ïîëåòà ñïóòíèêà îáðàçóåò ñ ìåñòíîé ãîðèçîíòàëüþ ìàëûé, íî îòëè÷íûé îò íóëÿ óãîë
α ≈ arctg
2Fñîïð
4 πFñîïð R
=
.
mg ⋅ 2 πR
mg
Óãîë ýòîò íå ïîñòîÿííûé, à çàâèñèò
îò ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû è, ñëåäîâàòåëüíî, îò âûñîòû ïîëåòà ñïóòíèêà. ×åì ñèëüíåå òîðìîçèòñÿ òåëî,
òåì áîëüøå ýòîò óãîë. Ôîðìàëüíî
ñïóòíèê äâèãàåòñÿ êàê òåëî, ñîñêàëüçûâàþùåå ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè,
ïðè÷åì ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû òÿæåñòè
âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè ðàâíà
mg sin α J 2Fñîïð , ò.å. óäâîåííîé ñèëå
ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû. Åñëè âåêòîðíî ñëîæèòü ýòó ñèëó ñ ñèëîé ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû, íàïðàâëåííîé ïðîòèâ äâèæåíèÿ ñïóòíèêà, òî ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà îêàæåòñÿ ðàâíîé ïî
âåëè÷èíå Fñîïð è óñêîðÿþùåé ñïóòíèê â íàïðàâëåíèè âïåðåä. Âîò âàì
è îáúÿñíåíèå àýðîäèíàìè÷åñêîãî ïàðàäîêñà.
Âíèìàòåëüíûé ÷èòàòåëü, íàâåðíîå,
óæå çàìåòèë, ÷òî àýðîäèíàìè÷åñêèé
ïàðàäîêñ, â òîì âèäå, êàê îí áûë
ñôîðìóëèðîâàí, îáÿçàí çàìå÷àòåëüíîé îñîáåííîñòè, êîòîðàÿ åñòü ó ãðàâèòàöèîííîãî (è êóëîíîâñêîãî) ïîëÿ,
ãäå ïîëíàÿ ýíåðãèÿ òåëà ðàâíà êèíåòè÷åñêîé, âçÿòîé ñî çíàêîì «ìèíóñ».
Ê ïðèìåðó, åñëè áû ñèëà ïðèòÿæåíèÿ ñïóòíèêà ê Çåìëå çàâèñåëà îò R
êàê 1 R3 , òî â ðàçðåæåííîé àòìîñôåðå òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå ñïóòíèêà ðàâíÿëîñü áû Fñîïð 3m . (Äâèæåíèå ñïóòíèêà â îáùåì ñëó÷àå ñòåïåííîé çàâèñèìîñòè ñèëû ïðèòÿæåíèÿ îò ðàäèóñà â ðàçðåæåííîé àòìîñôåðå ðàññìàòðèâàåòñÿ â óïðàæíåíèè 4.)
Ðàñ÷åòû óñêîðåíèÿ ñïóòíèêà áûëè
âûïîëíåíû íà îñíîâå áàëàíñà ýíåðãèè ñïóòíèêà â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå
ñ ó÷åòîì ðàáîòû âíåøíåé ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ. Ýòîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî
ïîëó÷èòü äðóãèì ïóòåì, íå ïðèáåãàÿ
ê çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, à èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå äëÿ ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà L = mvR
ñïóòíèêà íà êðóãîâîé îðáèòå:
> C
∆L
= M,
∆t
(7)
ãäå Ì = −Fñîïð R — ìîìåíò âíåøíåé
ñèëû (ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû),
óìåíüøàþùèé ìîìåíò èìïóëüñà ñïóòíèêà ïðè åãî òîðìîæåíèè â àòìîñôå2 Êâàíò ¹ 3
ÏÀÐÀÄÎÊÑ
ðå è ñïóñêå ñ âûñîêîé îðáèòû íà
íèçêóþ. Ïóñòü ∆L — èçìåíåíèå ìîìåíòà èìïóëüñà ñïóòíèêà çà îäèí
âèòîê îðáèòû. Êàê è ðàíüøå, ñ÷èòàåì, ÷òî ïëîòíîñòü ãàçà íà îðáèòå
ñòîëü ìàëà, ÷òî ñèëà Fñîïð ïðèâîäèò ê
ìàëîìó âîçìóùåíèþ îðáèòû íà îäíîì âèòêå. Èìååì: ∆L = mv∆R +
+ mR∆v , îòêóäà èç óðàâíåíèÿ (7) è
âûðàæåíèÿ ∆v = −v∆R 2R , ñïðàâåäëèâîãî â ñëó÷àå íüþòîíîâñêîãî
ïîëÿ òÿãîòåíèÿ, ñðàçó æå ïîëó÷àþòñÿ
òå æå ñàìûå ðåçóëüòàòû äëÿ ∆v , ∆R
è aò .
Óðàâíåíèå ìîìåíòîâ (7) ïîçâîëÿåò
óïðîñòèòü ðåøåíèå ìíîãèõ çàäà÷ î
äâèæåíèè ñïóòíèêà â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå ñ öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé,
ïîòîìó ÷òî â ýòîì ñëó÷àå íå íàäî
ó÷èòûâàòü ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè –
âåêòîð ýòîé ñèëû ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòðû ìàññ ñïóòíèêà è Çåìëè è åå
ìîìåíò ðàâåí íóëþ.
Àýðîäèíàìè÷åñêèé ïàðàäîêñ ñïóòíèêà è ñâÿçàííûå ñ ýòèì ÿâëåíèåì
âîïðîñû èìåþò âàæíîå ïðèêëàäíîå
çíà÷åíèå. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.
Ïðèìåð 1. Ïëîòíîñòü àòìîñôåðû
íà áîëüøèõ âûñîòàõ.
Íàáëþäåíèÿ çà òîðìîæåíèåì ñïóòíèêîâ ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü ïðîôèëü
ïëîòíîñòè àòìîñôåðû íà òàêèõ âûñîòàõ, êóäà íå ìîãóò ïîäíÿòüñÿ ñàìîëåòû è âîçäóøíûå øàðû-çîíäû.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè åäèíñòâåííàÿ
ñèëà, èçìåíÿþùàÿ ìîìåíò èìïóëüñà
ñïóòíèêà, – ýòî ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ
Fñîïð = Cxρv2 Sx 2 , ãäå ρ = ρ R —
íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ ðàäèóñà îðáèòû R èëè âûñîòû ïîëåòà h = R – R0 ,
òî èç óðàâíåíèÿ ìîìåíòîâ (ïóòåì
íåñëîæíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé, ñ êîòîðûìè âû ñìîæåòå ñïðàâèòüñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî) ïîëó÷àþòñÿ
óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
ρ R ïî íàáëþäåíèÿì çà ñêîðîñòüþ
óìåíüøåíèÿ ðàäèóñà îðáèòû dR/dt
èëè ïåðèîäà îáðàùåíèÿ ñïóòíèêà
dT/dt íà ðàçíûõ âûñîòàõ:
> C
>C
>C
> C
1 dR
,
2CvR dt
(8)
> C
1 dT
,
6πCR dt
(9)
ρR =−
ρR =−
> C
5
ÑÏÓÒÍÈÊÀ
ãäå Ñ = Cx Sx 2m — ïîñòîÿííûé
ìíîæèòåëü, êîòîðûé íàçûâàþò áàëëèñòè÷åñêèì êîýôôèöèåíòîì ñïóòíèêà (îí èìååò ðàçìåðíîñòü ì2 ⋅ êã−1 ).
Ôîðìóëû (8) è (9) ñïðàâåäëèâû äëÿ
êðóãîâûõ îðáèò íà áîëüøèõ âûñîòàõ,
êîãäà âçàèìîäåéñòâèå ñïóòíèêà ñ ìîëåêóëàìè ãàçà ëèøü ñëåãêà âîçìóùàåò îðáèòó.
Äî çàïóñêà èñêóññòâåííûõ ñïóòíèêîâ Çåìëè ñâåäåíèÿ îá àòìîñôåðå íà
áîëüøèõ âûñîòàõ äîáûâàëèñü òîëüêî
íà îñíîâå àñòðîíîìè÷åñêèõ è (êàêîåòî âðåìÿ) ñ ïîìîùüþ ðàäèîëîêàöèîííûõ íàáëþäåíèé çà äâèæåíèåì
ìåòåîðèòîâ è ìåòåîðàêåò. Íàâèãàöèîííûå âîçìîæíîñòè ñïóòíèêîâ, è
ïðåæäå âñåãî íàëè÷èå íà ñïóòíèêå
ðàäèîïåðåäàò÷èêà è àâòîíîìíûõ íàâèãàöèîííûõ ïðèáîðîâ, à òàêæå èñïîëüçîâàíèå íàçåìíûõ ÝÂÌ êà÷åñòâåííî èçìåíèëè çàäà÷ó ñëåæåíèÿ çà
ïàðàìåòðàìè îðáèòû òåëà â îêðåñòíîñòÿõ Çåìëè. Áëàãîäàðÿ ìíîãî÷èñëåííûì íàáëþäåíèÿì çà ïîëåòàìè èñêóññòâåííûõ ñïóòíèêîâ íà ðàçíûõ âûñîòàõ, âõîæäåíèåì àïïàðàòîâ â ïëîòíûå ñëîè àòìîñôåðû, ñåé÷àñ èìååòñÿ
îáøèðíàÿ èíôîðìàöèÿ î ïëîòíîñòè
ãàçà âåðõíåé àòìîñôåðû, åå çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ãîäà, ñóòîê, øèðîòû, ñîëíå÷íîé àêòèâíîñòè è ò.ä.
Î÷åâèäíî, ÷òî ýêñïåðèìåíòû ïî
îïðåäåëåíèþ ïëîòíîñòè ãàçà àòìîñôåðíîãî «õâîñòà» ïëàíåòû óäîáíåå
ïðîâîäèòü íà ñïóòíèêàõ øàðîîáðàçíîé ôîðìû, êîãäà ïëîùàäü ñå÷åíèÿ
Sx , è ñëåäîâàòåëüíî, áàëëèñòè÷åñêèé
êîýôôèöèåíò Ñ, íå çàâèñèò îò îðèåíòàöèè ñïóòíèêà. Èìåííî òàêóþ ôîðìó èìåëè àìåðèêàíñêèå ñïóòíèêèçîíäû ñåðèè «Ýêñïëîðåð». Ê òîìó
æå, îíè áûëè ñäåëàíû ñïåöèàëüíî
ïóñòîòåëûìè, ÷òî óâåëè÷èâàëî ýôôåêòèâíîñòü èõ òîðìîæåíèÿ â ðàçðåæåííîì ãàçå ïðè çîíäèðîâàíèè çåìíîé àòìîñôåðû, êîòîðîå ïðîâîäèëîñü
â øèðîêîì äèàïàçîíå âûñîò — âïëîòü
äî 1000 êì, ãäå ïëîòíîñòü ãàçà ìåíüøå 10−13 — 10 −15 êã ì 3 .
Ïðèìåð 2. Ïîñëåäíèé âèòîê.
Îöåíèì, íà êàêóþ âûñîòó ∆h = ∆R
ñíèæàåòñÿ ñïóòíèê â ðàçðåæåííîé
àòìîñôåðå çà îäèí âèòîê ïîëåòà. Ïóñòü
ñïóòíèê èìååò ìàññó 103 êã è ïëîùàäü
ìèäåëåâîãî ñå÷åíèÿ 1 ì2 , à íà âûñîòå
200 êì ïëîòíîñòü âîçäóõà â ñðåäíåì
ñîñòàâëÿåò 4 ⋅ 10 −10 êã ì 3 . Èç ôîðìóëû (6) ïîëó÷àåì
∆R =
4 πρ v2 Sx R
J 2 êì .
mg
Íà ïåðâûé âçãëÿä, ∆R âðîäå áû
ìàëàÿ âåëè÷èíà, è âåêòîð ñêîðîñòè
ñïóòíèêà â êàæäîé òî÷êå òðàåêòîðèè
ïîëåòà íà ýòîé âûñîòå îòêëîíÿåòñÿ îò
ìåñòíîé ãîðèçîíòàëè íà íè÷òîæíî
6
ÊÂÀÍÒ $
ìàëûé óãîë
> C
αJ 2ρv2 Sx mg J 5 ⋅ 10 −6 ðàä J 1′′ .
Îäíàêî çà ñóòêè ñïóòíèê ñîâåðøàåò
áîëåå 16 îáîðîòîâ, è, ñïóñêàÿñü âñå
íèæå è íèæå, ãäå ïëîòíîñòü àòìîñôåðû î÷åíü ðåçêî âîçðàñòàåò, îí âñå
êðó÷å è êðó÷å «çàðûâàåòñÿ» â àòìîñôåðó Çåìëè. Íà âûñîòå 150 êì,
ãäå ρJ 4 ⋅ 10 −9 êã ì 3 , çà îäèí âèòîê
ýòîò æå ñïóòíèê ñíèçèòñÿ íà 20 êì!
Åùå îäèí-äâà âèòêà, è ñïóòíèê ïîïàäàåò â ñòîëü ïëîòíóþ âîçäóøíóþ
ñðåäó, ÷òî íå ìîæåò çàâåðøèòü î÷åðåäíîé âèòîê è, âìåñòî òîãî ÷òîáû
äâèãàòüñÿ ïî ñïèðàëè, íà÷èíàåò ïàäàòü ïî÷òè îòâåñíî, èñïûòûâàÿ ïðè
ýòîì áîëüøèå ìåõàíè÷åñêèå íàãðóçêè è òåïëîâîé óäàð. Íàñòóïàåò íåìèíóåìûé êîíåö åãî îðáèòàëüíîãî
Têð,ìèí
hê
ð
T
êð
hêð,êì
Ðèñ. 3
ïóòåøåñòâèÿ. Ëåãêèå, ïóñòîòåëûå
ñïóòíèêè ïàäàþò ðàíüøå, ñõîäÿò ñ
îðáèòû íà áóëüøèõ âûñîòàõ, òÿæåëûì óäàåòñÿ âðàùàòüñÿ âîêðóã Çåìëè áëèæå ê åå ïîâåðõíîñòè.
Íà ðèñóíêå 3 ïîêàçàíî, êàê êðèòè÷åñêàÿ âûñîòà è, ñîîòâåòñòâåííî, êðèòè÷åñêîå âðåìÿ îáðàùåíèÿ ñïóòíèêà
âîêðóã Çåìëè çàâèñÿò îò åãî áàëëèñòè÷åñêîãî ïàðàìåòðà Ñ. Íàïðèìåð,
êîðàáëü «Âîñòîê», íà êîòîðîì ëåòàë
Þðèé Ãàãàðèí, èìåë ìàññó 2,4 ò è
äèàìåòð 2,3 ì, ò.å. áàëëèñòè÷åñêèé
êîýôôèöèåíò
êîðàáëÿ áûë ðàâåí
1
Ñ = 1,7 ⋅ 10 −3 ì2 ⋅ êã −1 . Êàê âèäíî èç
ãðàôèêà, êðèòè÷åñêàÿ âûñîòà ïîëåòà ñîñòàâëÿåò hêðJ 130 êì, à êðèòè÷åñêîå âðåìÿ îáðàùåíèÿ — TêðJ
¾ 86 ìèí 54 ñ. Ñïóòíèê, î êîòîðîì
øëà ðå÷ü âûøå, èìååò ïðèìåðíî òàêîå æå îòíîøåíèå Sx m , êàê êîðàáëü
«Âîñòîê», è áëèçêèå êðèòè÷åñêèå ïàðàìåòðû îðáèòû, â ÷àñòíîñòè — êðèòè÷åñêàÿ âûñîòà ïîëåòà ñïóòíèêà
1998/¹3
ñîñòàâëÿåò îêîëî 125 êì. Çàìåòèì,
÷òî äëÿ ëåäÿíîãî øàðèêà äèàìåòðîì
1 ñì êðèòè÷åñêàÿ âûñîòà ïðåâûøàåò
200 êì, à äëÿ ìåíüøèõ ÷àñòèö îíà
åùå áîëüøå! Àòìîñôåðà è Çåìëÿ ðàáîòàþò êàê ïûëåñîñ, èñïðàâíî óäàëÿÿ ìåëêèé êîñìè÷åñêèé ìóñîð ñ îêîëîçåìíûõ îðáèò.
È åùå îäíî. Êîãäà ñïóòíèê, ñïóñêàÿñü, ïðèáëèæàåòñÿ ê êðèòè÷åñêîé
âûñîòå, ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû
âñå åùå íå òàê âåëèêà ïî ñðàâíåíèþ ñ
ñèëîé òÿæåñòè ñïóòíèêà. Îíà ïðèìåðíî âî ñòîëüêî æå ðàç ìåíüøå íåå,
âî ñêîëüêî ýôôåêòèâíàÿ òîëùèíà
àòìîñôåðû ìåíüøå ðàäèóñà Çåìëè,
óìíîæåííîãî íà 4π (ñì. ôîðìóëó
(6)), ò.å. ñîñòàâëÿåò ïðèìåðíî äåñÿòèòûñÿ÷íóþ ÷àñòü îò ñèëû òÿæåñòè.
Ìàëî? Íî ýòîãî óæå äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñïóòíèê î÷åíü ñêîðî èñ÷åç.
Ïðèìåð 3. Âðåìÿ æèçíè ñïóòíèêà
â îðáèòàëüíîì ïîëåòå.
Ïðîòÿæåííûé
àòìîñôåðíûé
«õâîñò» óêîðà÷èâàåò æèçíü ñïóòíèêà. Ôîðìóëû, êîòîðûå åñòü â íàøåé
ñòàòüå, ïîçâîëÿþò ñäåëàòü îöåíêó
âðåìåíè æèçíè ñïóòíèêà, åñëè èçâåñòíû íà÷àëüíàÿ âûñîòà ïîëåòà è âûñîòíûé ïðîôèëü ïëîòíîñòè àòìîñôåðû. Õîòÿ ïðîâåäåíèå òî÷íûõ ðàñ÷åòî⠖ äîñòàòî÷íî òðóäîåìêàÿ îïåðàöèÿ, â ïðèáëèæåííûõ îöåíêàõ ìîæíî ó÷èòûâàòü, ÷òî îñíîâíîå âðåìÿ
æèçíè ñïóòíèêà ñâÿçàíî ñ íàõîæäåíèåì åãî íà ñàìûõ âåðõíèõ îðáèòàõ,
ãäå ïëîòíîñòü âîçäóõà íàèìåíüøàÿ.
Ðåçóëüòàòû îöåíîê çàâèñÿò îò òèïà
ñïóòíèêà, òî÷íåå – îò åãî áàëëèñòè÷åñêîãî ïàðàìåòðà Ñ. Íå áóäåì çäåñü
ðàññìàòðèâàòü ñàìî ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è (òåì áîëåå ÷òî îäèí èç åå âàðèàíòîâ îïóáëèêîâàí â æóðíàëå «Êâàíò»
¹2 çà 1996 ãîä â ñòàòüå «V Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí» – ñì. çàäà÷ó 3 ïî
ôèçèêå), à òîëüêî ïðèâåäåì â ôîðìå
òàáëèöû ðåçóëüòàòû îöåíî÷íûõ âåëè÷èí âðåìåíè æèçíè îáû÷íûõ èññëåäîâàòåëüñêèõ ñïóòíèêîâ íà îðáèòàõ ñ ðàçíûìè íà÷àëüíûìè âûñîòàìè
Âûñîòà ïîëåòà (êì)
Âðåìÿ æèçíè
150
190
210
230
400
500
650
850
1300
2000
1 ñóòêè
2 ñóòîê
1 íåäåëÿ
1 ìåñÿö
1 ãîä
10 ëåò
100 ëåò
1000 ëåò
10 òûñ.ëåò
100 òûñ.ëåò
ïîëåòà:
Ýòà òàáëèöà èëëþñòðèðóåò, ïðåæäå
âñåãî, ñêîëü ðåçêî óáûâàåò ïëîòíîñòü
âîçäóõà íà áîëüøèõ âûñîòàõ ïðè
óäàëåíèè îò çåìíîé ïîâåðõíîñòè.
Òàáëèöà ïîìîãàåò òàêæå îòâåòèòü íà
âîïðîñ, ïî÷åìó ñïóòíèê, íà áîðòó
êîòîðîãî óñòàíàâëèâàåòñÿ àïïàðàòóðà, ðàññ÷èòàííàÿ íà ìíîãîëåòíþþ
ïðîãðàììó èññëåäîâàíèé, âûâîäèòñÿ íà îðáèòó âûñîòîé íå ìåíåå
500 êì.
 çàêëþ÷åíèå ïðåäëàãàåì íåñêîëüêî çàäà÷ è âîïðîñîâ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû.
Óïðàæíåíèÿ
1. Ïåðâûå çàïóñêè ñïóòíèêîâ ïðîäåìîíñòðèðîâàëè íå÷òî ëþáîïûòíîå. Ïðè
âûâîäå íà îðáèòó è îòäåëåíèè ñïóòíèêà
îò ïîñëåäíåé ñòóïåíè ðàêåòû-íîñèòåëÿ
ðàêåòà ñ óæå âûêëþ÷åííûìè äâèãàòåëÿìè
îáãîíÿëà ñïóòíèê è âûðûâàëàñü âïåðåä.
Êàê îáúÿñíèòü ýòî ÿâëåíèå? Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî â ìîìåíò îòäåëåíèÿ ñêîðîñòè
ðàêåòû è ñïóòíèêà îäèíàêîâûå.
2. Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó èç-çà òîðìîæåíèÿ ñïóòíèêà â âåðõíèõ ñëîÿõ àòìîñôåðû
åãî ïåðâîíà÷àëüíî ýëëèïòè÷åñêàÿ îðáèòà
ñòðåìèòñÿ ñòàòü êðóãîâîé.
3. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè áû ïëîòíîñòü
âîçäóõà óáûâàëà ñ âûñîòîé ïî çàêîíó
ρ; R −1 2 , ãäå R – ðàññòîÿíèå îò öåíòðà
ïëàíåòû, òî ñêîðîñòü óìåíüøåíèÿ ðàäèóñà îðáèòû ñïóòíèêà áûëà áû ïîñòîÿííîé.
4. Ñïóòíèê âðàùàåòñÿ ïî îêðóæíîñòè â
ïîëå ïëàíåòû ñ ðàçðåæåííîé àòìîñôåðîé.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèëà ïðèòÿæåíèÿ ê
ïëàíåòå ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó F ; R− n , ãäå
n – ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî
(ñëó÷àé n = 2, êàê èçâåñòíî, ñîîòâåòñòâóåò
íüþòîíîâñêîìó òÿãîòåíèþ). Ïðè êàêèõ n
âîçìîæåí àýðîäèíàìè÷åñêèé ïàðàäîêñ
ñïóòíèêà?
5. Çàâèñèò ëè òîðìîæåíèå ñïóòíèêà íà
áîëüøèõ âûñîòàõ îò òåìïåðàòóðû âîçäóõà?
6. Äîïóñòèì, ÷òî â ðåçóëüòàòå ñèëüíîãî íàãðåâà Çåìëè âñÿ âîäà â îêåàíàõ
èñïàðèëàñü, à ïëàíåòà ïîêðûëàñü ïëîòíîé è ãîðÿ÷åé àòìîñôåðîé èç âîäÿíîãî
ïàðà. Êàê ýòî ñêàæåòñÿ íà äâèæåíèè
ñóùåñòâóþùèõ íûíå èñêóññòâåííûõ ñïóòíèêîâ Çåìëè è åå åñòåñòâåííîãî ñïóòíèêà Ëóíû?