Кузьмичев Сергей Дмитриевич

Кузьмичев Сергей Дмитриевич
2
СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ №8
Движение относительно
неинерциальных систем отсчета
1. Неинерциальные системы отсчёта (НСО). Силы
инерции.
2. Поступательно движущиеся (НСО). Принцип
эквивалентности. Примеры.
3. Равномерно вращающаяся система отсчёта.
Центробежная сила инерции. Сила Кориолиса.
4. Примеры решения задач о движении в НСО.
3
1.1. Неинерциальные системы
отсчёта (НСО). Силы инерции.
Системы отсчета, в которых все свободные
тела движутся прямолинейно и равномерно или
покоятся, называются инерциальными системами
отсчета (ИСО).
Второй закон Ньютона в ИСО
ma
F , maотн
F , aотн
a
Относительное и переносное движения.
4
Кинематические соотношения
(поступательное движение системы отсчета)
R
R0 r , R
R0 r , R
v
R0 , vотн
R, v0
R0 r ,
r,
v = v0 vотн
a
R, a0
R0 , aотн
a = a0 aотн
r,
5
Динамические соотношения (уравнение
относительного движения материальной точки)
maотн
F
m a0
Fинерции
maотн
F
m a0
m a0
F
Fинерции
Силы инерции зависят от характера движения НСО
и от положения и скорости точки относительно НСО
6
2. Поступательно движущиеся
(НСО). Принцип эквивалентности.
Примеры.
2.1. Пример 1. Лифт.
maотн mg N Fпси , Fпси
maлифта
а) Пусть тела находятся в лифте, который бесконечно
удалён от гравитирующих тел и двигается с ускорением. Тогда
на все тела, находящиеся в лифте действует сила инерции , а
тела под действием этих сил будут давить на опору или
подвес. То есть тела будут обладать весом.
Если лифт не движется, а висит над какой-то
гравитирующей массой в однородном поле, то все тела также
будут обладать весом. Находясь в лифте, невозможно
отличить эти две силы. Поэтому все механические явления
будут в обоих лифтах происходить одинаково.
7
Принцип эквивалентности (формулировка
Эйнштейна). Все явления в гравитационном поле
происходят точно так же как в соответствующем
поле сил инерции, если совпадают напряжённости
этих полей и одинаковы начальные условия для
тел системы.
б) В состоянии невесомости
покоится относительно лифта)
N
0, aотн
0, mg Fпси
(предмет
0,
Fпси
mg , aлифта g
maотн mg N Fпси , Fпси
maлифта
т.е. сила тяжести уравновешивается силой инерции.
8
в) Математический маятник в лифте.
maотн
mg F
Fпси
mg эфф
F , g эфф
g aлифта
Если вектор ускорения лифта направлен
вертикально вверх, то период колебаний
T
2
l
g эфф
2
l
g а лифта
l - длина маятника.
T0
2
l
g
9
2.2. Пример 2. Математический маятник на
тележке.
Тележка движется по горизонтальной поверхности
с постоянным ускорением.
maотн
mg F
Fпси
mg эфф
F , g эфф
g aтел
Период колебаний
T
2
l
g эфф
l
2
g
2
2
тел
a
T0
2
l
g
10
2.3. Пример 3. Аквариум на тележке.
Тележка движется по горизонтальной
поверхности с постоянным ускорением. Свободная
поверхность
жидкости
перпендикулярна
постоянному вектору
g эфф
g aтел
т.е. представляет собой плоскость, наклоненную к
горизонту под углом
arctg( aтел / g )
11
3. Равномерно вращающаяся
система отсчёта. Центробежная
сила инерции. Сила Кориолиса.
3.1. Кинематические соотношения для равномерно
вращающейся системы отсчета (начало координат
неподвижно относительно инерциальной системы
отсчета)
a = aотн aкор aпер ,
aкор
2 ω, vотн ,
aпер
ω, ω,r
12
3.2. Динамические соотношения. Силы инерции в
равномерно вращающейся системе отсчета
maотн
F
F
maкор
2m vотн ,ω
сила Кориолиса
Fкор
2m vотн ,ω ,
центробежная
сила
Fцб
m ω, ω,r
maотн
F
Fкор
Fцб
maпер
m ω, ω,r
mω2r
,
13
3.3. Свойства сил инерции
а) Силы инерции существуют только в НСО.
б) Силы инерции обусловлены не
взаимодействием тел, а свойствами НСО.
в) Третий закон Ньютона для сил инерции не
работает.
г) Все силы инерции пропорциональны массе
тела
д) Сила Кориолиса перпендикулярна скорости и
не производит работы!
14
4. Примеры решения задач о
движении в НСО.
Пример 1. Вес тела на Земле.
Весом тела называется приложенная к нему
сила P , равная и противоположная силе, с которой это
тело действует на подставку , на которой оно лежит,
или тянет за подвес, к которому оно подвешено. При
этом предполагается, что тело, подставка и подвес
покоятся в той системе отсчета, в которой
производится взвешивание
P mg mω2 r ,
gЗ
Направление
вектора P .
отвеса
g ω2 r
определяется
направлением
15
Для сферически симметричной Земли:
а) На полюсе и на экваторе
gП
g
gЭ
gп
983, 2 см / с 2
2
RЗ
979,8 см / с 2
Б) Отклонение от «вертикали» на широте Долгопрудного
sin α
ω2 RЗ
sin 2θ
2g
2 , 6 10
3
рад
16
Пример 2. Центробежный потенциал. Скамья
Жуковского.
Fцб ,r
U цб
r
, U цб
1
mω2 r 2 C
2
Работа по перемещению гантелей к оси
вращения (масса гантели 4 кг, частота вращения 4
об/с, длина руки 1 м)
A 2 U цб ,0 U цб ,R
mω2 R2
2500 Дж
Центрифуга ЦФ-18 позволяет проводить физиологические
исследования и тренировки космонавтов в условиях регулируемых по
величине и направлению перегрузок и изменяемого микроклимата
(давление, температура, влажность и газовый состав) в кабине, а также
проводить испытания на функционирование образцов техники при
воздействии перегрузок. Максимальное значение перегрузки, которое
можно достичь на ЦФ-18 - 30 единиц. При отборе и подготовке
космонавтов используются перегрузки величиной от 2 до 8 единиц.
Общий вес вращающейся части центрифуги составляет 305 тонн.
17
Пример 3. Из трубы на волю (из жизни шариков).
С какой скоростью вылетит шарик, помещенный в
гладкую трубку? Угловая скорость вращения трубки
,
радиус трубки R , трубка вращается в горизонтальной
плоскости. В начальный момент шарик находился
вблизи оси вращения.
2
m vотн
1
Aцб
mω2 R 2 ,
2
2
vотн ωR,
v
ωR
2
vотн
2
ωR 2
18
Пример 4. Скамья Жуковского и сила Кориолиса.
Почему изменяется угловая скорость вращения
демонстратора при перемещении гирь?
Fкор
2m vотн ,ω
Пример 5. Стрельба на карусели и сила Кориолиса.
Радиус карусели R 10 м , период вращения T 10 с ,
скорость пули v 300 м / с , мишень на краю карусели,
стрелок в центре. Угол прицеливания?
Fкор
2
m vотн
ρ
sinα
2m vотн ,ω
2m vотнω,
R/2
ρ
Rω
vотн
vотн
ρ
vотн
,
2ω
2 10
3
рад
19
Пример 6. Куда упадет банан? Отклонение
падающих тел от вертикали.
13 апреля 2013 года. Полдень. Район экватора.
Последний банан висит на высоте 20 м. Определить
направление и величину смещения точки падения от
вертикали.
Отклонение – на восток.
aкор
vв
sв
2ωv, v
ωgt 2 , sв
1
2h
ωg
3
g
3/ 2
gt , aкор 2ωgt
1/ 2
1
2h
3
ωgt , Tп
,
3
g
1/ 2
2
2h
ωh
4 мм
3
g
1883 год, Фрейбургские шахты, Фердинанд Райх.
Высота 158 м, 106 опытов,
смещение при падении составило 28,3 мм
20
Пример 7. Пока пассажиры спали.
Вагон с отдохнувшими пассажирами катил с юга
на север со скоростью 72 км/ч по железнодорожному
пути, проложенному по меридиану. Найти величину и
направление силы, с которой вагон действует на рельсы
в направлении перпендикулярном движению. Масса
вагона 100 т, широта места 60⁰ с.ш.
а) сила действует на правый рельс
б) величина силы
F
Fкор
2mωvsinφ
250 Н
в) В северном полушарии правый берег рек
размывается сильнее.
21
Пример 8. О величине бокового отклонения
снаряда, движущегося по настильной траектории.
б) величина бокового ускорения
Fбок
Fкор
2mωvsinφ, a
2ωvsinφ const
в) величина бокового смещения
Sбок
aбок t
2
2
2ωvsinφ
2
L
v
2
24 м
Скорость снаряда 900 м/с, расстояние до цели – 18 км,
географическая широта 60⁰ с.ш. .