ПЗ№9

Занятие 9
Приложения
определенного интеграла
к геометрии-2
9.1
Вычисление объёма тела вращения
Вычисление объема тела по известным площадям поперечных
сечений. Пусть тело T находится между двумя плоскостями x =
a и x = b. Тогда его объем вычисляется по формуле
b
V =
S(x)dx ,
a
где S(c) — площадь сечения тела плоскостью x = c, перпендикулярной оси Ox и проходящей через точку c ∈ [a; b] на этой
оси. В частности, отсюда получаются формулы для объема тел
вращения.
Объем тела вращения. Объём тела, полученного, при вращении криволинейной трапеции, ограниченной кривыми y = y(x),
x = a, x = b и y = 0, вокруг оси Ox (рис. 59),
65
находится по формуле
b
V =π
y 2 (x)dx .
a
Аналогично, объём тела, полученного, при вращении криволинейной трапеции, ограниченной кривыми x = x(y), y = c, y = d
и x = 0, вокруг оси Oy, находится по формуле
d
V =π
x2 (y)dy .
c
Задача 9.1. Найти объём тела, полученного при вращении фигуры, ограниченной кривыми:
a) y = x2 , y = 0 , x = 1 , вокруг оси Ox;
b) y = (x − 2)2 , y = 0 , x = 0 , x = 4 вокруг оси Ox.
66
♥ a) Тело изображено на рис. 60 слева.
1
V =π
2
0
Ответ: a)
π
5;
1
y dx = π
x4 dx =
0
π 5 1 π
x = . ♠
5
5
0
64
5 π.
b)
Задача 9.2. Найти объём тела, полученного при вращении фигуры, ограниченной кривыми:
a) y = x2 , y = 1 , x = 0 , вокруг оси Oy;
b)y = x3 , x = 0 , y = 2 , y = 4 вокруг оси Oy.
♥ a) Тело изображено на рис. 60 в центре. В этом случае ;
y2
1
2
x (y) dy = π
V =π
0
y1
Ответ: a)
π
2;
6
5π
b)
π
√
( y)2 dy = . ♠
2
√
√
3
4(2 3 4 − 1).
Задача 9.3. Найти объём тела, полученного при вращении фигуры, ограниченной кривыми:
a) y = x2 , y = x , вокруг оси Ox;
b) y = x3 , y = x2 , вокруг оси Ox.
♥ a) Тело изображено на рис. 60 справа. Представим искомый объём как разность объёмов V1 − V2 , где V1 — объём
тела, полученного при вращении фнгуры, ограниченной кривыми y = x , y = 0 , x = 1 вокруг оси Ox, а V2 — объём тела, полученного при вращении фигуры, ограниченной кривыми
y = x2 , y = 0 , x = 1 вокруг оси Ox. Тогда
1
V = V1 −V2 = π
1
2
x dx−π
0
Ответ: a)
2π
15 ;
x
2 2
0
b)
2π
35 .
67
x3 1
x5 1 2π
. ♠
dx = π −π =
3 0
5 0
15
Задача 9.4. Найти объём тела, полученного при вращении фигуры, ограниченной кривыми:
√
a) y = x, y = 0, x = 1, вокруг Ox ;
b) y = x2 , y = 2 − x, y = 0, вокруг Oy ;
c) yx = 6, x = 1, x = 4, y = 0, вокруг Ox ;
d) yx = 6, x = 1, x = 4, y = 0, вокруг Oy ;
2
e) y = 1+x
2 , y = 0, x = 0, x = 1, вокруг Ox ;
f ) y = 5 sin x, y = 2 sin x, x = π2 ;
g) 2y = x2 , 2x + 2y − 3 = 0, вокруг Ox ;
h) y = 12 x2 , y = 2, вокруг Oy .
Ответ: a)
272π
15 ; h) 4π.
9.2
π
2;
b)
11π
6 ;
c) 27π; d) 36π; e)
π(π+2)
;
2
f)
21π 2
4 ;
g)
Вычисление площади поверхности вращения
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox
дуги кривой, являющейся графиком функции y = f (x), x ∈
[ a, b ], вычисляется по формуле
b
S = 2π
|f (x)|
1 + (f (x))2 dx .
a
Задача 9.5. Найти площадь поверхности, полученной при вращении вокруг оси Ox кривой:
√
a) y = ex , 0 ≤ x ≤ 1; b) y = a2 − x2 .
♥ a)
x
e
1 x 0 1
e = t,
ex 1 + e2x dx =
1 + t2 dt .
=
2π
S = 2π
ex dx = dt , t 1 e
0
1
Применяя формулу Ньютона-Лейбница к этому табличному интегралу,
получим
S =
√ выполнить самостоятельно):
√
√ (выкладки
√
2
2
π(e 1 + e − 2) + ln(e + 1 + e ) − ln(1 − 2)). ♠
68
√
√
√
√
Ответ: a) π(e 1 + e2 − 2) + ln(e + 1 + e2 ) − ln(1 − 2));
b) 4πa2 .
Задача 9.6. Найти площадь поверхности, полученной при вращении кривой y = f (x), a ≤ x ≤ b, вокруг оси Ox:
a) y = x3 , 0 ≤ x ≤ 1; b) y = 12 chx, 0 ≤ x ≤ 3;
c) y 2 = 2x, 0 ≤ x ≤ 4; d) y = sin 3x, 0 ≤ x ≤ π3 .
√
π
Ответ: a) 27
(10 10−1)); b) π2 (3+ 14 sh12)); c)
√
1
3 ln( 10 − 3))).
52π
3 );
d)
√
2π
3 (
10−
Контрольные вопросы
1. Формула для вычисления объема по площадям поперечных
сечений.
2. Формулы для вычисления объема тела вращения.
3. Формула для вычисления площади поверхности вращения.
Дополнительные вопросы и задачи
D1. С помощью формулы для вычисления объема по площадям поперечных сечений вывести формулы: a) для объема пи2
2
2
рамиды; b) для объема эллипсоида xa2 + yb2 + zc2 = 1.
D2. Вывести формулы для вычисления объема: a) прямого
кругового конуса; b) шара.
D3. Вывести формулу для вычисления площади поверхности
сферы.
69