Лекция 15 Файл

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электромагнитные волны
Лекция 15
ЛЕКЦИЯ 15
Интерференционная картина в далеком поле. Интерференция между двумя независимыми источниками. Опыт Брауна и
Твисса. Максимальная длина когерентности.
Интерференционная картина в далеком поле
Рассмотрим два точечных источника испускающих электромагнитные
волны, которые регистрируются в удаленной точке P . Если расстояния
r1 и r2 от источников до точки поля P велики по сравнению c расстоянием d между источниками, то можно считать, что два луча, соединяющих
источники с точкой P , параллельны и составляют практически один и
тот же угол θ с осью z — рис. 1. В этом случае разность хода обоих
P
r1
Ltgq Lq
q
1
r2
d
2
q
inq
s
d
L
Рис. 1: Интерференция от двух точечных источников.
лучей ∆r = r2 − r1 до точки P равна d sin θ. Поэтому, если источники
колеблются в фазе, то условие конструктивной интерференции в точке
P имеет вид
d sin θ = 0, ±λ, ±2λ....
(1)
Интерференционный максимум при угле θ = 0 называется главным
максимумом или максимумом нулевого порядка. Первый максимум с любой стороны от главного максимума (d sin θ = ±λ) называется
максимумом первого порядка и т. д. Области деструктивной интерференции, где суперпозиция двух волн всегда равна нулю, называется
1
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электромагнитные волны
Лекция 15
узлами. Узлы возникают в тех точках, где разность хода лучей
d sin θ = ±λ/2, ±3λ/2, ...
(2)
см. рис. 2.
x=Ltgq
dsinq
1
l
l/2
I(q)
d
-l/2
-l
2
L
Рис. 2: Интерференционная картина от двух точечных источников.
Нетрудно написать математическую формулу, которая бы отражала
картину распределения интенсивности, изображенную на рис. 2. Для
этого сложим две сферические волны (одинаковой амплитуды), распространяющиеся из точек 1 и 2 и интерферирующие в точке P
E0 cos(kr1 − ωt + ϕ1 ) + E0 cos(kr2 − ωt + ϕ2 ).
Сумму двух косинусов можно преобразовать в произведение
·
¸
·
¸
k(r1 + r2 )
ϕ1 + ϕ2
k(r2 − r1 ) ϕ2 − ϕ1
2E0 cos
− ωt +
cos
+
=
2
2
2
2
µ
¶
·
¸
ϕ1 + ϕ2
k(r2 − r1 ) ϕ2 − ϕ1
= 2E0 cos kr − ωt +
+
cos
,
2
2
2
(3)
(4)
(5)
где r1 ≈ r2 ≈ r. Отсюда, учитывая что r2 − r1 = d sin θ и k = 2π/λ, для
амплитуды поля на экране получаем 1
µ
¶
ϕ2 − ϕ1 πd sin θ
+
E = 2E0 cos
,
(6)
2
λ
1
Строго говоря эта формула применима только для малых углов, когда sin θ ≈ θ.
2
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электромагнитные волны
Лекция 15
где E0 — амплитуда волн от каждого источника в отдельности (считаем,
что они поляризованы одинаково).
Действительно, при θ = 0 и ϕ2 − ϕ1 = 0 имеем в центре экрана максимум (косинус равен +1). При θ = 0, a ϕ2 − ϕ1 = π (источники испускают свет в противофазе) в центре экрана расположен минимум (косинус равен нулю). Далее, при ϕ1 = ϕ2 (источники колеблются в фазе) и
d sin θ = λ имеем здесь максимум (косинус равен -1) и т. д. Интенсивность
освещения определяется квадратом амплитуды. Поэтому
·
¸
πd sin θ
2 ϕ2 − ϕ1
+
I = Imax cos
.
(7)
2
λ
Отсюда следует, что интенсивность изменяется как квадрат косинуса половины полной разности фаз, определяемой разностью фаз источников и разностью фаз, возникающей вследствие зависимости разности
хода лучей от угла θ
ϕ2 − ϕ1 kd sin θ
2π
+
, k=
.
(8)
2
2
λ
Расстояние между двумя последовательными максимумами x0 равно
x0 = L tg θ0 ≈ L θ0 ,
но
d sin θ0 = λ
В итоге получаем
Lλ
x0 =
=
d
⇒
θ0 =
(9)
λ
.
d
µ ¶
L
λ À λ.
d
(10)
(11)
Интерференция между двумя независимыми источниками. Опыт
Брауна и Твисса (1956 г.)
Предположим, что каждый из источников имеет полосу частот ∆ω и
основную частоту ω0 . Предположим также, что источники независимы.
Это значит, что на источники не действует одна и та же внешняя сила.
Таким образом, ничто принудительно не фиксирует их разность фаз.
Для видимого света такая ситуация реализуется, когда излучение от двух
источников определяется возбуждениями различных атомов — рис. 3.
Будем считать, что частотный диапазон ∆ω мал по сравнению с основной частотой ω0 . В этом случае за время 2π/∆ω произойдет много
3
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электромагнитные волны
Лекция 15
лампочка
экран
Рис. 3: Излучение от двух разных атомов.
циклов колебаний с частотой ω0 . Интервал времени 2π/∆ω называется
временем когерентности τког . За это время частотные компоненты по
краям частотного диапазона приобретают разность фаз 2π
∆ω τког ≈ 2π.
(12)
Для интервалов времени ∆t ¿ τког можно считать, что разность фаз
двух источников остается практически постоянной. Однако, поскольку
∆t À 2π/ω0 , в таких интервалах времени может быть заключено много
циклов колебаний.
Ограничимся рассмотрением случая, когда расстояние между источниками d значительно больше длины волны λ. На следующих двух рисунках показаны интерференционные картины для моментов времени,
когда разность фаз двух источников равна 0 и π — рис. 4. Если разность
1
1
2
2
Dj=0
Dj=p
Рис. 4: Интерференционная картина от двух точечных источников.
фаз принимает значение между 0 и π, то интерференционная картина
лежит между двумя изображенными на рисунке.
4
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электромагнитные волны
Лекция 15
Предположим, что для определения интенсивности применяется детектор с большим временем детектирования (например глаз, разрешающее время которого около 1/20 сек). В этом случае средняя по времени
интенсивность не будет зависеть от угла θ
¿
·
¸À
ϕ
−
ϕ
πd
sin
θ
1
2
= Imax /2.
(13)
I = Imax cos2
+
2
λ
ϕ1 −ϕ2
Действительно, если время детектирования велико по сравнению с 2π/∆ω,
то интерференционная картина будет принимать все возможные значения между кратными значениями соответственно ϕ1 −ϕ2 = 0 и ϕ1 −ϕ2 =
π на рис. 4. В этом случае говорят, что два источника некогерентны
и усредненный по времени поток энергии (поток фотонов) будет равен
сумме потоков от каждого источника
Imax = 4E02 ,
I = Imax /2 = 2E02 = E02 + E02 = 2I1 .
(14)
Таким образом, из-за большого времени усреднения интерференционная
картина окажется размытой.
Итак, некогерентность является результатом несовершенства измерительного процесса. В результате измерений теряется информация об интерференционной картине. Ее можно наблюдать лишь в том случае, если время детектирования сравнимо или меньше, чем τког . Для видимого
света время когерентности имеет порядок 10−9 − 10−8 сек. Поэтому, для
регистрации интерференционной картины до того, как она измениться,
необходимо большое экспериментальное искусство. Такая задача была
решена в очень красивом опыте Брауна и Твисса (1956 г.) 2 . Идея их
опыта была следующей. Имелись два фотоумножителя, местоположение
которых определялось координатой x. Для малых углов θ
x = Lθ.
(15)
Расстояние x1 − x2 между фотоумножителями можно было менять. Выходной ток первого фотоумножителя I1 умножался на выходной ток второго фотоумножителя I2 . Токи перемножались в быстрой электронной
схеме, постоянная времени которой была не больше 10−8 сек. Таким образом, произведение I1 I2 измерялось мгновенно, т. е. в течение интервала
времени короче чем 10−8 сек. Однако, для определения среднего значения этого произведения hI1 I2 i брался интервал равный многим минутам.
Это среднее значение было измерено фотоумножителями. В результате
можно было построить график зависимости hI1 I2 i от расстояния x1 − x2 .
2
R. Brown, R. Twiss, Nature, 178, 1447 (1956).
5
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электромагнитные волны
Лекция 15
Мгновенное значение тока на выходе фотоумножителя пропорционально потоку световой энергии I(θ), падающему на него. Поэтому, электрические токи I1 и I2
µ
¶
2πdx1
µ
¶
1 + cos ϕ1 − ϕ2 +
ϕ
−
ϕ
πdx
λL
1
2
1
2
I1 ∼ cos
+
=
, (16)
2
λL
2
¶
µ
2πdx2
µ
¶
1 + cos ϕ1 − ϕ2 +
ϕ
−
ϕ
πdx
λL
1
2
2
2
I2 ∼ cos
+
=
. (17)
2
λL
2
Перемножим теперь оба тока и усредним результат по разности фаз ϕ1 −
ϕ2 . Очевидно, что отличный от нуля результат даст произведение единиц
и двух косинусов
µ
¶
¶À
¿ µ
2πdx2
2πdx1
cos ϕ1 − ϕ2 +
=
hI1 I2 iϕ1 −ϕ2 ∼ 1 + cos ϕ1 − ϕ2 +
λL
λL
ϕ1 −ϕ2
·
¸
2πd(x1 − x2 )
= 1 + (1/2) cos
.
λL
(18)
При этом мы воспользовались формулой
2 cos α cos β = cos(α − β) + cos(α + β).
(19)
Таким образом, измерения hI1 I2 iϕ1 −ϕ2 от x1 − x2 фактически воспро-
I1 I 2
j1 - j2
x 0 =lL/d
2
1
x1 - x2
x0
-x 0
Рис. 5: Интерференционная картина в опыте Брауна и Твисса.
изводили мгновенную интерференционную картину (как функцию x) —
рис. 5.
6
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электромагнитные волны
Лекция 15
Максимальная длина когерентности
Мы уже говорили о том, как получить два когерентных источника света
(т. е. источника, у которых разность фаз постоянна). Для этого надо, например, освещать точечным источником света две щели в непрозрачном
экране. Если источник света настолько велик, что первая щель освещается одной группой атомов, а вторая — другой группой, то источники
некогерентны, т. е. их фазы некоррелированы.
Ближе всего понятию точечный источник отвечает отдельный атом.
В соответствии с классическими представлениями он испускает электромагнитные волны во всех направлениях и воздействует на щели с одинаковой фазой. Реальный источник света состоит из огромного числа
излучающих атомов. Если все они находятся в одной точке, то мы имеем
точечный источник. Однако, в любом реальном источнике атомы занимают объем конечных размеров. Нас интересует насколько большим может быть источник света, оставаясь при этом точечным (имеется в виду,
что токи, возникающие в обеих щелях в результате действия точечного
источника, сохраняют постоянную разность фаз).
Рассмотрим два случая не точечного источника. Случай I: Источники
щель 1
S1
S2
щель 2
Рис. 6: Пример точечного источника I.
расположены на перпендикуляре, проведенном из центра отрезка соединяющего две щели — рис. 6. В этом случае воздействие каждого из источников в отдельности на щели 1 и 2 имеют одинаковую фазовую постоянную. Т. е. разность фаз между излучением щелей за счет одного
источника всегда равна нулю (это мы уже отмечали ранее). Теперь очевидно, что токи смещения в щелях могут рассматриваться как суперпо7
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электромагнитные волны
Лекция 15
зиция токов, вызванных двумя источниками, и если каждый источник
дает нулевую разность фаз между излучением щелей, то то же даст и
суперпозиция. Таким образом, мы видим, что точечный источник может иметь протяженность вдоль линии, соединяющей S1 и S2 и это не
нарушит когерентности щелей 1 и 2.
Случай II — рис. 7. В этом случае экран с двумя щелями будет осве-
S2
щель 1
d
D
S1
щель 2
L
Рис. 7: Пример точечного источника II.
щаться интерференционной картиной от двух источников. Местоположение максимумов и минимумов в этой картине зависит от разности фаз
источников 1 и 2. Мы знаем, что амплитуда интерференционной картины меняет знак при переходе от одного интерференционного максимума
к соседнему
·
¸
ϕ1 − ϕ2 πd sin θ
∼ cos
+
,
(20)
2
λ
т. е. амплитуда меняет знак, когда d sin θ возрастает на λ. Таким образом,
мы видим, что разность фаз для обоих щелей большую часть времени
будет равна нулю, если расстояние между ними D много меньше, чем
расстояние x0 между двумя соседними интерференционными максимумами в интерференционной картине от двух источников. Итак, необходимо, чтобы
D ¿ x0 .
(21)
Вспоминая, что x0 = Lλ/d, получаем условие, при котором два источника 1 и 2, расположенные на расстоянии d, могут рассматриваться как
один точечный источник
Lλ
.
(22)
D¿
d
8
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Электромагнитные волны
Лекция 15
Или для поперечных размеров источника
d¿
Lλ
,
D
(23)
или
dD ¿ Lλ.
(24)
Таким образом, произведение двух поперечных длин d и D должно быть
мало по сравнению с произведением двух продольных длин L и λ.
Задачи
1. Выведите формулу для интерференционной картины от трех независимых точечных источников расположенных на одной прямой с
одинаковым расстоянием между соседними источниками в направлении перпендикулярном к этой прямой. Сравните эту интерференционную картину с интерференционной картиной от двух точечных
источников, считая, что источники имеют одну и ту же начальную
фазу колебаний. Постройте необходимые графики. Обобщите этот
результат на одномерную решетку из N точечных источников с расстоянием d между ближайшими соседями.
Ответ: Если для двух источников
I = 4I0 cos2
µ
kd sin θ
2
¶
,
(25)
то для 3 источников аналогичная формула выглядит так:
I = I0 [1 + 2 cos (kd sin θ)]2 .
9
(26)