9 - Квант

ÎÁÙÀß ÒÅÎÐÈß ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÎÑÒÈ
ÎÁÙÀß
ñÿ íà ïðîèçâîëüíóþ ãëàäêóþ ïîâåðõíîñòü:
bg
K x = lim
S→ 0
α+β+γ −π
S
.
(4)
Çäåñü óãëû è ïëîùàäü îòíîñÿòñÿ ê
ìàëîìó òðåóãîëüíèêó íà ïîâåðõíîñòè, îãðàíè÷åííîìó ëèíèÿìè êðàò÷àéøèõ ðàññòîÿíèé íà íåé, à êðèâèçíà,
âîîáùå ãîâîðÿ, ìåíÿåòñÿ îò òî÷êè ê
òî÷êå, ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ëîêàëüíîé. È â îáùåì ñëó÷àå, òàê æå êàê è
äëÿ ñôåðû, K ñëóæèò âíóòðåííåé
õàðàêòåðèñòèêîé ïîâåðõíîñòè, íå çàâèñÿùåé îò åå ïîãðóæåíèÿ â òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî. Ãàóññîâà êðèâèçíà
íå ìåíÿåòñÿ ïðè èçãèáàíèè ïîâåðõíîñòè áåç åå ðàçðûâà è ðàñòÿæåíèÿ.
Òàê, íàïðèìåð, êîíóñ èëè öèëèíäð
ìîæíî ðàçîãíóòü â ïëîñêîñòü, è ïîýòîìó äëÿ íèõ, òàê æå êàê äëÿ ïëîñêîñòè, K = 0.
Íà ñîîòíîøåíèÿ (3), (4) ïîëåçíî
âçãëÿíóòü íåñêîëüêî èíà÷å. Âåðíåìñÿ ê ðèñóíêó 1. Âîçüìåì íà ïîëþñå
âåêòîð, íàïðàâëåííûé âäîëü îäíîãî
èç ìåðèäèàíîâ, è ïåðåíåñåì åãî âäîëü
ýòîãî ìåðèäèàíà, íå ìåíÿÿ óãëà ìåæäó íèìè (â äàííîì ñëó÷àå íóëåâîãî), íà ýêâàòîð. Äàëåå, ïåðåíåñåì
åãî âäîëü ýêâàòîðà, ñíîâà íå ìåíÿÿ
óãëà ìåæäó íèìè (íà ñåé ðàç π 2 ),
íà âòîðîé ìåðèäèàí. È íàêîíåö, òàêèì æå îáðàçîì âåðíåìñÿ âäîëü âòîðîãî ìåðèäèàíà íà ïîëþñ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî, â îòëè÷èå îò òàêîãî æå
ïåðåíîñà ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó íà
ïëîñêîñòè, âåêòîð îêàæåòñÿ â êîíå÷íîì ñ÷åòå ïîâåðíóòûì îòíîñèòåëüíî
ñâîåãî èñõîäíîãî íàïðàâëåíèÿ íà
π 2 , èëè íà
α + β + γ − π = KS .
(5)
Ýòîò ðåçóëüòàò, ïîâîðîò âåêòîðà ïðè
åãî ïåðåíîñå âäîëü çàìêíóòîãî êîíòóðà íà óãîë, ïðîïîðöèîíàëüíûé îõâà÷åííîé ïëîùàäè, åñòåñòâåííûì îáðàçîì îáîáùàåòñÿ íå òîëüêî íà ïðîèçâîëüíóþ äâóìåðíóþ ïîâåðõíîñòü, íî
è íà ìíîãîìåðíûå íååâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà. Îäíàêî â îáùåì ñëó÷àå
n-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà êðèâèçíà íå
ñâîäèòñÿ ê îäíîé ñêàëÿðíîé âåëè÷èíå K(x). Ýòî áîëåå ñëîæíûé ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò, èìåþùèé
2
2
n n − 1 12 êîìïîíåíòîâ. Åãî íàçûâàþò òåíçîðîì êðèâèçíû, èëè òåíçîðîì Ðèìàíà, à ñàìè ýòè ïðîñòðàíñòâà
– ðèìàíîâûìè.  ÷åòûðåõìåðíîì
ðèìàíîâîì ïðîñòðàíñòâå–âðåìåíè
îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè òåíçîð êðèâèçíû èìååò 20 êîìïîíåíòîâ.
e
j
3 Êâàíò ¹ 4
ÒÅÎÐÈß
9
ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÎÑÒÈ
Êëàññè÷åñêèå îïûòû ïî
ïðîâåðêå ÎÒÎ
 íà÷àëå ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà óæå
îòìå÷àëîñü, ÷òî ãðàâèòàöèîííîå ïîëå
âëèÿåò íà äâèæåíèå íå òîëüêî ìàññèâíûõ òåë, íî è ñâåòà.  ÷àñòíîñòè,
ôîòîí, ðàñïðîñòðàíÿÿñü â ïîëå Çåìëè ââåðõ, ñîâåðøàåò ðàáîòó ïðîòèâ
ñèëû òÿæåñòè è ïîýòîìó òåðÿåò ýíåðãèþ. Êàê èçâåñòíî, ýíåðãèÿ ôîòîíà
ïðîïîðöèîíàëüíà åãî ÷àñòîòå, êîòîðàÿ, åñòåñòâåííî, òîæå ïàäàåò. Ýòîò
ýôôåêò – êðàñíîå ñìåùåíèå – áûë
ïðåäñêàçàí Ýéíøòåéíîì åùå â 1907
ãîäó. Íåòðóäíî îöåíèòü åãî âåëè÷èíó. Ðàáîòà ïðîòèâ ñèëû òÿæåñòè, î÷åâèäíî, ïðîïîðöèîíàëüíà gh, ãäå g –
óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, à h –
âûñîòà ïîäúåìà. Ïðîèçâåäåíèå gh
èìååò ðàçìåðíîñòü êâàäðàòà ñêîðîñòè. Ïîýòîìó ðåçóëüòàò äëÿ îòíîñèòåëüíîãî ñìåùåíèÿ ÷àñòîòû âûãëÿäèò
èç ñîîáðàæåíèé ðàçìåðíîñòè òàê:
∆ω
gh
=
ω
c
2
,
(6)
10
ãäå c = 3 ⋅ 10 ñì ñ – ñêîðîñòü ñâåòà.
3
3
2
Ïðè g ≈ 10 ñì ñ , h ; 10 ñì îòíîñèòåëüíîå ñìåùåíèå íè÷òîæíî
−15
ìàëó ;10 . Íåóäèâèòåëüíî, ÷òî ýêñïåðèìåíòàëüíî êðàñíîå ñìåùåíèå
óäàëîñü íàáëþäàòü ëèøü ñïóñòÿ ïîëâåêà, ñ ïîÿâëåíèåì òåõíèêè, èñïîëüçóþùåé ýôôåêò ̸ññáàóýðà. Ýòî ñäåëàëè Ïàóíä è Ðåáêà.
Åùå îäèí ýôôåêò, ïðåäñêàçàííûé
Ýéíøòåéíîì íà çàðå ÎÒÎ, – îòêëîíåíèå ëó÷à ñâåòà â ïîëå Ñîëíöà. Åãî
âåëè÷èíó íåòðóäíî îöåíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè õàðàêòåðíîå, ïðèöåëüíîå, ðàññòîÿíèå ëó÷à îò Ñîëíöà
ðàâíî ρ , òî ðàäèàëüíîå óñêîðåíèå
2
ñîñòàâëÿåò GM ρ , ãäå G – íüþòîíîâñêàÿ ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ,
à M – ìàññà Ñîëíöà. Çà õàðàêòåðíîå
âðåìÿ ïðîëåòà ρ c ðàäèàëüíàÿ êîìïîíåíòà ñêîðîñòè ôîòîíà èçìåíèòñÿ
íà GM ρc è óãîë îòêëîíåíèÿ ñîñòàâèò ñîîòâåòñòâåííî
b g
θ;
GM
2
c ρ
.
Óäîáíî ââåñòè ÷àñòî èñïîëüçóåìóþ â
ÎÒÎ õàðàêòåðèñòèêó ìàññèâíîãî
òåëà, òàê íàçûâàåìûé ãðàâèòàöèîííûé ðàäèóñ:
rg =
2GM
.
(7)
2
c
Íàèâíîå èñïîëüçîâàíèå ïîëóêëàññè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé äåéñòâèòåëüíî
ïðèâîäèò ê îòâåòó
θ=
rg
.
ρ
Èìåííî ýòîò ðåçóëüòàò áûë ïîëó÷åí
Ýéíøòåéíîì â îäíîì èç ïåðâîíà÷àëüíûõ âàðèàíòîâ ÎÒÎ. Ïåðâàÿ
ìèðîâàÿ âîéíà âîñïðåïÿòñòâîâàëà
ïðîâåðêå, íåáëàãîïðèÿòíîé äëÿ òåîðèè. Îêîí÷àòåëüíûé, ïðàâèëüíûé
ðåçóëüòàò ÎÒÎ âäâîå áîëüøå:
rg
(8)
θ=2 .
ρ
Ãðàâèòàöèîííûé ðàäèóñ Ñîëíöà
rg ≈ 3 êì, à ïðèöåëüíûé ïàðàìåòð
åñòåñòâåííî ñäåëàòü êàê ìîæíî áëèæå ê îáû÷íîìó ðàäèóñó Ñîëíöà, êî5
òîðûé ñîñòàâëÿåò 7 ⋅ 10 êì. Òàêèì
îáðàçîì, äëÿ ëó÷à ñâåòà, ïðîõîäÿùåãî âáëèçè ïîâåðõíîñòè Ñîëíöà,
óãîë îòêëîíåíèÿ ðàâåí 1,75′′ . Èçìåðåíèÿ, ïðîâåäåííûå ãðóïïîé Ýääèíãòîíà âî âðåìÿ ñîëíå÷íîãî çàòìåíèÿ
1919 ãîäà, ïîäòâåðäèëè ïîñëåäíåå
ïðåäñêàçàíèå. Ýòî áûë ïîäëèííûé
òðèóìô ìîëîäîé îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè.
È íàêîíåö, ê ÷èñëó êëàññè÷åñêèõ
òåñòîâ ÎÒÎ îòíîñèòñÿ òàêæå âðàùåíèå ïåðèãåëèÿ îðáèòû Ìåðêóðèÿ.
Çàìêíóòûå ýëëèïòè÷åñêèå îðáèòû –
ýòî ñïåöèôèêà íåðåëÿòèâèñòñêîãî
äâèæåíèÿ â ïðèòÿãèâàþùåì ïîòåíöèàëå 1/r. Íåóäèâèòåëüíî, ÷òî â ÎÒÎ
îðáèòû ïëàíåò íåçàìêíóòû. Ìàëûé
ýôôåêò òàêîãî ðîäà óäîáíî îïèñûâàòü êàê âðàùåíèå ïåðèãåëèÿ ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòû. Çàäîëãî äî ïîÿâëåíèÿ ÎÒÎ àñòðîíîìû çíàëè, ÷òî ïåðèãåëèé îðáèòû Ìåðêóðèÿ ïîâîðà÷èâàåòñÿ çà ñòîëåòèå ïðèìåðíî íà 6000 ′′ .
Ïîâîðîò ýòîò â îñíîâíîì îáúÿñíÿëñÿ
ãðàâèòàöèîííûìè âîçìóùåíèÿìè äâèæåíèÿ Ìåðêóðèÿ ñî ñòîðîíû äðóãèõ
ïëàíåò Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû. Îñòàâàëñÿ, îäíàêî, íåóñòðàíèìûé îñòàòîê –
îêîëî 40 ′′ â ñòîëåòèå. Â 1915 ãîäó
Ýéíøòåéí îáúÿñíèë ýòî ðàñõîæäåíèå
â ðàìêàõ ÎÒÎ.
Èç ïðîñòûõ ñîîáðàæåíèé ðàçìåðíîñòè ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ïîâîðîò
ïåðèãåëèÿ çà îäèí îáîðîò ñîñòàâëÿåò
rg
δ; ,
R
ãäå R – ðàäèóñ îðáèòû. Àêêóðàòíûé
ðàñ÷åò â ðàìêàõ ÎÒÎ äëÿ îðáèòû,
áëèçêîé ê êðóãîâîé, äàåò
3 πrg
δ=
.
(9)
R
Ïðè ðàäèóñå îðáèòû Ìåðêóðèÿ