Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра
Лекция 9. Прямая линия на плоскости
Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости.
Геометрическое место точек (ГМТ)
Определение. Уравнением линии на плоскости Оху называется уравнение, которому
удовлетворяют координаты x и y текущей точки M ( x, y ) данной линии и не удовлетворяют
координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Уравнение линии может быть записано в
неявном виде F ( x, y ) = 0 или в явном y = f (x) .
Пример 1. Найти уравнение геометрического места точек (ГМТ), равноудаленных от точек
A(− 4,2) и B(− 2,− 6) .
Решение. В геометрии этому условию удовлетворяет серединный перпендикуляр к отрезку.
Значит, ГМТ будет прямая. Найдем ее уравнение. Расстояние между
двумя точками определяется по формуле
AM =
( x − (− 4)) 2 + ( y − 2) 2 =
BM =
( x − (− 2)) 2 + ( y − (− 6)) 2 =
Эти расстояния должны быть равны, то есть
( x + 4) 2 + ( y − 2) 2
( x + 2) 2 + ( y + 6) 2
( x + 4) 2 + ( y − 2) 2 = ( x + 2) 2 + ( y + 6) 2 .
( x + 4) 2 + ( y − 2) 2 = ( x + 2) 2 + ( y + 6) 2 или
x 2 + 8 x + 16 + y 2 − 4 y + 4 = x 2 + 4 x + 4 + y 2 + 12 y + 36 . Окончательно имеем x − 4 y − 5 = 0 .
Упростим
это
выражение,
получим
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
y = kx + b
В декартовой системе
Oxy
координат
на
прямой
возьмем
l
текущую точку M ( x, y ) .
Прямая l наклонена к оси
Ox под углом α . Из
прямоугольного треугольника ВАМ получим tgα =
y− b
.
x
y− b
= k называется угловым коэффициентом прямой. Значит, tgα = k и
x
уравнение прямой имеет вид y = kx + b . При значении k > 0 прямая линия образует с осью Ox
острый угол, при отрицательных значениях k - тупой.
Рассмотрим частные случаи. Пусть b = 0 , тогда y = kx . Этим уравнением описываются
Отношение
прямые линии, проходящие через начало координат.
Пусть k =0. Тогда y = b - это уравнение прямой, параллельной оси Ox и
проходящей через точку с координатами (0, b) . Если еще и b = 0 , то
получим y = 0 - уравнение оси Ox .
Если прямая перпендикулярна оси Ox , то k = tg 90 0 = ∞ и уравнение этой
прямой имеет вид x = a . При a = 0 получим уравнение оси Oy x = 0 .
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (2,0) и образующей с
осью Ox угол 600.
1
Решение. Вычислим угловой коэффициент прямой k = tg 60 0 =
3 . Подставим координаты
данной точки и угловой коэффициент в уравнение y = kx + b , получим 0 =
b = − 2 3 . Тогда искомое уравнение имеет вид y =
3 ⋅ 2 + b . Отсюда
3x − 2 3 .
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении
(уравнение пучка прямых) y − y1 = k ( x − x1 )
Прямая l наклонена к оси Ox под углом α , тангенс
которого равен k , и проходит через точку M 1 ( x1 , y1 ) . Это
означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению
прямой y = kx + b , то есть y1 = kx1 + b . Выполним вычитание
y = kx + b
. Меняя значение углового коэффициента,
− y1 = kx1 + b
y − y1 = k ( x − x1 )
будем получать всевозможные прямые, проходящие через заданную точку. То есть, полученное
уравнение прямой, одновременно будет являться и уравнением пучка прямых.
Пример 3. Из пучка прямых, проходящих через точку M (− 2,3) , выбрать прямые,
параллельные осям координат и прямую, проходящую через начало координат.
Решение. Составим уравнение пучка прямых линий, проходящих через заданную точку
y − 3 = k ( x + 2) . При значении k = 0 получаем прямую линию, параллельную оси Ox , ее
уравнение y − 3 = 0 или y = 3 . Прямая, параллельная оси Oy , перпендикулярна оси Ox , ее
уравнение x = a . Подставим в него координаты точки M (− 2,3) , получим x = − 2 .
Теперь найдем прямую из этого пучка, которая проходит через начало координат.
Подставим координаты (0,0) в уравнение пучка, 0 − 3 = k (0 + 2) , или k = − 3 / 2 . Тогда
уравнение искомой прямой имеет вид y − 3 = −
3
( x + 2) .
2
y − y1
x − x1
=
y 2 − y1 x 2 − x1
Прямая проходит через две заданные точки M 1 ( x1 , y1 ) и
M 2 ( x2 , y 2 ) . Следовательно, их координаты удовлетворяют
уравнению прямой y = kx + b . Подставим координаты точек в
y 2 = kx2 + b
−
y
уравнение и выполним вычитание
. Отсюда
1 = kx1 + b
y 2 − y1 = k ( x2 − x1 )
y 2 − y1
найдем угловой коэффициент k =
. Причем совершенно неважно, какая из точек будет
x2 − x1
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
первой, а какая второй. Важно, чтобы и в числители дроби, и в знаменатели были разности,
соответствующие выбранной последовательности точек. Вычисленное значение k подставим в
уравнение y − y1 = k ( x − x1 ) , получим y − y1 =
y 2 − y1
y − y1
x − x1
( x − x1 ) . Или
=
.
x2 − x1
y 2 − y1 x2 − x1
Пример 4. Будет ли точка Q (− 4,2) принадлежать прямой, проходящей через точку M ( 2,− 1)
и начало координат.
2
y − y1
x − x1
=
координаты точки M (2,− 1) и начала
y 2 − y1 x 2 − x1
1
y− 0 x− 0
=
координат, получим
. Упростим это выражение, y = − x - уравнение искомой
− 1− 0 2 − 0
2
1
прямой. Подставим в него координаты (-4,2), имеем 2 = − (− 4) . Получили верное равенство,
2
Q
(−
4
,
2
)
это значит, что точка
принадлежит искомой прямой.
x y
Уравнение прямой в отрезках на осях + = 1
a b
Прямая линия пересекает оси Ox и Oy в точках, координаты
y − y1
x − x1
=
которых (a,0) и (0, b) . Подставим их в уравнение
y 2 − y1 x 2 − x1
y− b x− 0
x y
=
,
получим
или + = 1 .
0− b a− 0
a b
Пример 5. Прямоугольный треугольник OAB , катеты которого
Решение. Подставим в уравнение
равные 3 и 4, имеет прямой угол во второй координатной четверти с вершиной в начале
координат. Найти уравнение прямой, на которой лежит гипотенуза данного треугольника.
Решение. Если катет длиною 3 располагается на оси Ox , а длиною 4 – на оси Oy , и
находятся во второй координатной четверти, то координаты вершин треугольника (-3,0) и (0,4).
x
y
+ = 1 . При другом
−3 4
расположении катетов, то есть катет длиною 3 лежит на оси Oy , а длиною 4 – на оси Ox , то
x
y
+ = 1.
искомое уравнение будет
− 4 3
Тогда уравнение прямой, совпадающей с данной гипотенузой, будет
Общее уравнение прямой Ax + By + C = 0
y − y1
x − x1
=
к виду ( x2 − x1 )( y − y1 ) = ( y 2 − y1 )( x − x1 ) . Далее
y 2 − y1 x 2 − x1
раскроем скобки, сгруппируем слагаемые, получим ( x2 − x1 ) y + ( y1 − y 2 ) x + x1 y 2 − y1 x2 = 0 .
Введем обозначения A = y1 − y 2 , B = x2 − x1 , C = x1 y 2 − x2 y1 , получим Ax + By + C = 0 Преобразуем уравнение
общее уравнение прямой.
Из условия A( x − x1 ) + B ( y − y1 ) = 0 следует, что векторы с
координатами ( x − x1 , y − y1 ) и ( A, B) перпендикулярны, так
как их скалярное произведение равно нулю. Первый вектор –
это вектор M 1 M , лежащий на прямой линии. Второй вектор
обозначим N ( A, B ) . Он называется нормальным вектором
прямой. Точка и нормальный вектор однозначно определяют положение прямой на плоскости.
Разрешив общее уравнение прямой относительно «у», придем к уравнению прямой с
угловым коэффициентом
k= −
y= −
A
−C
и величина b =
.
B
B
A
−C
x+
. Следовательно, угловой коэффициент прямой
B
B
3
A
x . Прямая линия проходит
B
через начало координат. Если еще и A = 0 , то By = 0 или y = 0 - уравнение оси Ox .
Если B = 0, C = 0 , то Ax = 0 или x = 0 - уравнение оси Oy .
Пусть C ≠ 0, A = 0, B ≠ 0 . Тогда получим уравнение прямой y = − C / B , параллельной оси
Ox . Если C ≠ 0, B = 0, A ≠ 0 , то x = − C / A - уравнение прямой, параллельной оси Oy .
Пример 6. Дано общее уравнение прямой 2 x + 5 y + 10 = 0 . Найти угловой коэффициент
Частные случаи. Пусть C = 0 . Тогда Ax + By = 0 или y = −
этой прямой, ее уравнение в отрезках на осях координат.
Решение. Угловой коэффициент найдем по формуле k = −
A
2
, он равен k = − . Его
B
5
отрицательное значение говорит, что прямая с осью Ox образует тупой угол. Уравнение в
отрезках на осях получается после следующих преобразований: 2 x + 5 y = − 10 ,
2x
5y
+
=1
− 10 − 10
x
y
+
= 1 . Эта прямая отсекает отрезки на осях, расположенных в третьей координатной
−5 − 2
четверти, длиною 5 единиц на оси Ox и 2 единицы на оси Oy .
,
Нормальное уравнение прямой x cos α + y sin α − p = 0
Пусть к данной прямой линии l проведен перпендикулярный
вектор OM 1 , образующий с осью Ox угол α . Длину вектора
OM 1 обозначим p . Она равна p = x12 + y12 . Его координаты
такие же, как и точки M 1 ( x1 , y1 ) , и равны они x1 = p cos α ,
y1 = p sin α . Вектор M 1 M лежит на прямой линии l . Значит,
векторы OM 1 и M 1 M перпендикулярны. Следовательно, их скалярное произведение равно
2
2
нулю, x1 ( x − x1 ) + y1 ( y − y1 ) = 0 . Раскроем скобки x1 x − x1 + y1 y − y1 = 0 . Подставим в это
выражение ранее найденные связи между x1 , y1, p , получим xp cos α + yp sin α − p 2 = 0 или
x cos α + y sin α − p = 0 - нормальное уравнение прямой. Величина p есть расстояние от
начала координат до прямой, заданной нормальным уравнением.
Пусть прямая задана общим уравнением Ax + By + C = 0 , умножим его на множитель λ .
Поскольку нормальное уравнение и общее уравнение описывают одну и туже прямую, то
cos α = λ A , sin α = λ B и − p = λ C . Следовательно, 1 = cos 2 α + sin 2 α = λ 2 ( A 2 + B 2 ) . Откуда
λ =
p=
1
±
A2 + B 2
−C
±
- нормирующий множитель. Значит, cos α =
A2 + B 2
A
±
A2 + B 2
, sin α =
B
±
A2 + B 2
и
> 0 , если прямая не проходит через начало координат. Следовательно, знак
нормирующего множителя надо выбирать противоположный знаку свободного члена в общем
уравнении прямой.
Пример 7. Прямая линия проходит через точки M (1,− 2), Q(4,2) . Найти ее нормальное
уравнение.
Решение. Составим уравнение прямой, проходящей через заданные точки, получим
y+ 2 x− 1
или 3 y = 4 x − 10 - уравнение с угловым коэффициентом. Тогда общее уравнение
=
2+ 2 4− 1
4
прямой имеет вид 4 x − 3 y − 10 = 0 . Найдем множитель
двух
p=
знаков
−C
выбираем
плюс,
так
как
1
±
свободный
A2 + B 2
=
член
1
1
= ± . Из
5
± 16 + 9
равен
-10.
Тогда
1
= − ( − 10) = 2 . Значит, искомое уравнение будет 4 x − 3 y − 2 = 0 .
5
5
5
A2 + B 2
Угол между прямыми линиями
Пусть
заданы две прямые линии своими уравнениями,
l1 : y = k1 x + b1 и l 2 : y = k 2 x + b2 . Они наклонены к оси Ox под
углом α 1 , α 2 соответственно. Две пересекающиеся прямые
образуют два разных угла с точностью до слагаемых 2π . За угол
между прямыми линиями примем тот угол, плоскость которого
содержит точку, лежащую вместе с началом координат
относительно одной прямой по одну сторону и относительно
другой прямой по разные стороны. Обозначим через ϕ этот угол
между прямыми линиями. Первой прямой выберем ту прямую, которая поворачивается ко
второй прямой на угол ϕ против хода часовой стрелки вокруг точки пересечения прямых.
Тогда ϕ = α
2
− α 1 и tgϕ = tg (α 2 − α 1 ) =
tgα 2 − tgα 1
. Учитывая, что k1 = tgα 1 и k 2 = tgα 2 ,
1 + tgα 1tgα 2
k 2 − k1
. При вычислении другого угла между прямыми линиями получим
1 + k1k 2
k 2 − k1
k − k
tg (180 0 − ϕ ) = − tgϕ = 1 2 . Объединяя эти две формулы, имеем tgϕ =
.
1 + k1 k 2
1 + k1k 2
получим tgϕ =
Пример 8. Найти угол между прямыми
x y
+
= 1 и − x + 5 y + 10 = 0 .
2 −3
Решение. Построим эти прямые. Найдем угловые
коэффициенты этих прямых. Для этого уравнение в отрезках
на осях приведем к уравнению с угловым коэффициентом,
y=
3
x − 3.
2
Значит,
k = 3/ 2 .
Из
общего
уравнения
определяем угловой коэффициент этой прямой k = 1 / 5 .
tgϕ =
3 / 2 − 1/ 5
1 + (3 / 2)(1 / 5)
0
0
= ± 1 . Один из углов 45 , другой 135 .
Условие параллельности и перпендикулярности прямых
Если прямые параллельны, то ϕ = 0 , значит k1 = k 2 . И наоборот, если k1 = k 2 , то прямые
A
, получим условие параллельности прямых, выраженное
B
A1 B1
=
через коэффициенты из общего уравнения, то есть
.
A2 B2
Если прямые перпендикулярны, то ϕ = 90 0 , значит, 1 + k1k 2 = 0 . И наоборот, если
1 + k1k 2 = 0 , то прямые перпендикулярны. Условие перпендикулярности, выраженное через
коэффициенты общего уравнения прямых, A1 A2 + B1 B2 = 0 .
параллельны. Учитывая, что k = −
5
Пример 9. Выяснить взаимное расположение прямых 3 x − 5 y = 1 , 6 x − 10 y + 1 = 0 ,
− 6 x + 10 y + 2 = 0 , 5 x + 3 y + 15 = 0 .
Решение. Проверим первую и вторую прямые на параллельность. Составим отношения
3 −5 −1
=
≠
, действительно коэффициенты пропорциональны, а свободные
6 − 10 1
коэффициентов
члены не пропорциональны, значит, эти прямые параллельны. Первая и третья прямые
совпадают,
так
как
3
−5 −1
=
=
,
− 6 10
2
то
есть
коэффициенты
и
свободные
члены
пропорциональны. Значит вторая и третья прямые параллельные. Первая и четвертая прямая
линии перпендикулярные, так как 3 ⋅ 5 + (− 5) ⋅ 3 = 0 , значит, четвертая прямая перпендикулярна
и ко второй и третей прямым линиям.
Точка пересечения прямых
Пусть M 0 ( x0 , y 0 ) точка пересечения прямых, то есть M 0 ( x0 , y 0 ) ∈ l1 и M 0 ( x0 , y 0 ) ∈ l 2 .
Ax + B y + C = 0
Значит, ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых  A1 x0 + B1 y0 + C1 = 0 . Чтобы
2 0
2
 2 0
найти координаты этой точки, надо решить данную систему уравнений.
Расстояние от точки до прямой линии
Если точка M 0 ( x0 , y 0 ) ∉ l , то она отклонена от прямой на некоторое расстояние.
Отклонение точки от прямой обозначим δ . Отклонение
будет положительным, если точка и начало координат
лежат по разные стороны от прямой линии. И
отрицательным, если точка и начало координат лежат по
одну сторону от прямой линии. Расстоянием d от точки
до прямой назовем длину перпендикулярного отрезка,
проведенного из этой точки к данной прямой линии. Оно
рано d = δ .
Через точку M 0 ( x0 , y 0 ) проведем прямую, параллельную прямой l . Продолжим ОМ1 до
пересечения с построенной прямой в точке F. Пусть прямая l задана нормальным уравнением
x cos α + y sin α − p = 0 и OM 1 = p . Из параллельности прямых следует, что уравнение
прямой FM0 будет x cos α + y sin α − ( p + δ ) = 0 . Следовательно, δ = x 0 cos α + y 0 sin α − p .
Если прямая задана общим уравнением Ax + By + C = 0 , то преобразуем его к нормальному
уравнению
A
±
A2 + B2
x+
B
±
A2 + B 2
y+
C
±
A2 + B 2
= 0 . Из двух знаков (± ) выбираем
знак противоположный свободному члену С. Тогда отклонение точки от прямой равно
δ =
Ax0 + By0 + C
±
A2 + B 2
, расстояние равно d = δ =
Ax0 + By0 + C
.
A + B
Пример 10. Найти отклонение и расстояние точки M (− 2,1) от прямой
линии 3 x − 4 y + 16 = 0 .
3 ⋅ (− 2) − 4 ⋅ 1 + 16
= − 1,2 .
Решение. Отклонение точки от прямой δ =
− 3 2 + (− 4) 2
2
2
Знак минус говорит о том, что данная точка и начало координат лежат по одну сторону от
прямой линии. Расстояние точки до прямой равно d = δ = 1,2.
6
Векторное, параметрическое и каноническое уравнение прямой
Пусть к точке M 0 ( x0 , y 0 ) приложен вектор M 0 M 1 ( x1 − x0 , y1 − y 0 ) . Эти данные
определяют прямую как геометрическое место точек концов вектора M 0 M ( x − x0 , y − y 0 ) . То
есть M 0 M = t ⋅ M 0 M 1 - векторное уравнение прямой линии. Вектор M 0 M 1 ( x1 − x0 , y1 − y 0 )
называется направляющим вектором прямой. Векторное уравнение прямой удобно тем, что
таким образом прямую можно задать не только на плоскости, но и в пространстве.
Если вектор M 0 M 1 имеет координаты (a, b) , то векторное уравнение равносильно системе
 x − x = ta,
уравнений  y − y0 = tb , которое называется параметрическим уравнением прямой. Выражая из
0

него параметр t, получим каноническое уравнение прямой
y − y 0 x − x0
=
= t.
b
a
http://www.matematika5.com/
7