Я.С. Карпов, П.М. Гагауз ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОБОЛОЧЕК

Я.С. Карпов, П.М. Гагауз
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
2010
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского
«Харьковский авиационный институт»
Я.С. Карпов, П.М. Гагауз
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Учебное пособие
Харьков «ХАИ» 2010
УДК 629.735.33.023.01 : 620.22 (075.8)
Карпов Я.С. Проектирование оболочек вращения из композиционных
материалов: учеб. пособие / Я.С. Карпов, П.М. Гагауз. – Х.: Нац. аэрокосм. ун-т «Харьк. авиац. ин-т», 2010. – 64 с.
Изложены основные особенности проектирования оболочек
вращения из композиционных материалов. Описаны критерии и методы оптимального проектирования оболочек вращения, изготавливаемых намоткой тканями, лентами и жгутами. Приведен один из вариантов методики проектирования композитных оболочек при произвольном нагружении. Рассмотрены примеры с подробным анализом
результатов.
Для студентов, изучающих курс «Конструирование и проектирование изделий из композиционных материалов».
Ил. 10. Табл. 13. Библиогр.: 8 назв.
Рецензенты:
д-р техн. наук, проф. С.А. Бычков,
д-р техн. наук, проф. Г.И. Львов
 Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского
«Харьковский авиационный институт», 2010 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................. 4
1 ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ И КРИТЕРИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ......... 5
2 ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ......................................... 8
2.1 Исследование частных случаев структуры КМ........................... 15
2.2 Критерии выбора материалов для оболочек вращения
при осесимметричном нагружении.................................................... 23
2.3 Проектирование оболочек вращения, изготавливаемых
продольно-окружной намоткой.......................................................... 27
2.4 Проектирование оболочек вращения, изготавливаемых
намоткой нитями или жгутами ........................................................... 31
3 ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ ............................................... 36
3.1 Общая методика проектирования ............................................... 36
3.2. Численные эксперименты и анализ результатов ...................... 44
3.3 Методика проектирования намотанных нитями
или жгутами оболочек при произвольном нагружении .................... 57
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК....................................................... 63
3
ВВЕДЕНИЕ
Принципиальное отличие композиционных материалов (КМ) от
традиционных сплавов, применяемых в авиастроении, заключается в
том, что этапы получения непосредственно самого материала и изготовления из него конструкции представляют собой единый совмещенный технологический процесс. Это означает, что наряду с основными задачами формообразования деталей и сборки агрегатов производство изделий из КМ позволяет решить еще одну проблему: выбор компонентов КМ и схемы армирования, которыми можно целенаправленно изменять свойства будущей конструкции с учетом ее назначения и условий эксплуатации.
Оболочки самой разнообразной конфигурации широко применяют как в конструкциях авиационно-космической техники, так и в
других отраслях машиностроения (это всевозможные емкости, баки,
цистерны, трубы, баллоны давления, поплавки и т.п.). Наиболее целесообразно использовать для их изготовления высокотехнологичный автоматизированный процесс намотки нитями, жгутами, лентами,
тканями.
В процессе проектирования оболочек вращения, подверженных
осесимметричному нагружению (внутреннее или внешнее давление,
а также равномерное по контуру растяжение или сжатие), часто руководствуются критерием отсутствия касательных напряжений в слоях,
что позволяет учитывать низкую жесткость и прочность большинства
современных КМ на сдвиг в плоскости армирования. В случае произвольного нагружения целевой функцией и критерием оптимальности
традиционно служит условие минимума массы.
4
1 ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ И КРИТЕРИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Оболочки вращения широко применяют в конструкциях летательных аппаратов и во многих отраслях машиностроения, транспорта, строительства. К ним относятся баллоны давления, корпуса реактивных двигателей твердого топлива, различные емкости, баки, трубопроводы, отсеки фюзеляжа самолета и корпуса ракеты и др. С технологической точки зрения такие конструктивные элементы рациональнее изготавливать методом непрерывной намотки (нитями, лентами, тканями и т.п.), который позволяет:
- добиться высокого коэффициента реализации свойств КМ;
- повысить технологическую надежность посредством автоматизации процесса формирования структуры материала;
- обеспечить универсальность технологического процесса относительно применяемых компонентов КМ;
- варьировать в широких пределах габаритными размерами изделий.
Кроме того, в настоящее время техпроцесс намотки всесторонне апробирован на самых разных конструкциях и постоянно совершенствуется.
Оболочки вращения, изготавливаемые намоткой, конструктивно
осесимметричны, т.е. толщина и структура КМ постоянны по контуру.
Поэтому их целесообразно применять в качестве элементов конструкций с однородным напряженным состоянием, что обеспечило бы
минимальные запасы прочности по объему оболочки.
Вследствие непрерывности намотки материал стенки будет ортотропным в осях α , β (рис. 1.1). Тогда физический закон имеет вид
y
x
Nβ
z
Nα
β
α
q αβ
Рисунок 1.1 – Расчетная схема оболочки
5
Ν α = Β 11ε α + Β 12ε β ;
Ν β = Β 12ε α + Β 22ε β ;
qαβ = Β 33γ αβ ,
где
(1.1)
Ν α , Ν β , qαβ – погонные усилия;
Β 11 , Β 22 , Β 33 , Β 12 – коэффициенты жесткости пакета слоев:
n
Β 11 = ∑ δ i  Ε 1 i cos 4ϕ i + Ε 2 i sin4ϕ i + 2 Ε 1i µ 21i sin 2ϕ i cos 2ϕ i +
i=1
n
+ G12 i sin 2ϕ i  = ∑ δ i b11i ;
i =1
2
n
Β 22 = ∑ δ i  Ε 1i sin4ϕ i + Ε 2 i cos 4ϕ i + 2 Ε 1i µ 21i sin 2ϕ i cos 2ϕ i +
i =1
n
+ G12 i sin 2ϕ i  = ∑ δ i b22i ;
i=1
2
n
Β 33 = ∑ δ i ( Ε 1i + Ε 2 i − 2 Ε 1 i µ 21 i ) sin 2ϕ i cos 2ϕ i +
i =1
(1.2)
n
+ G12 i cos 2 2ϕ i  = ∑ δ i b33i ;
i =1
n
Β 12 = ∑ δ i ( Ε 1 i + Ε 2 i − 4G12 i ) sin 2ϕ i cos 2ϕ i +
i=1
+ Ε 1 i µ 21i
(
n
sin ϕ i + cos ϕ i  = ∑ δ i b12i ;
 i =1
4
4
)
δ i , ϕ i – толщина и угол укладки i-го слоя;
Ε 1i , Ε 2 i – приведенные модули упругости:
Ε 1i =
E1i
1 − µ 21i µ12i
; Ε 2i =
E 2i
1 − µ 21i µ12i
;
E1i , E 2 i , G12i , µ12i – упругие характеристики КМ i-го слоя.
Большинство полимерных КМ, армированных нитями, слабо сопротивляются сдвигу, т.е. предел прочности при сдвиге на порядок
меньше пределов прочности при растяжении/сжатии вдоль волокон.
Это приводит к тому, что при наличии касательных напряжений почти
6
невозможно реализовать высокую прочность волокон, поэтому эффективность использования КМ резко снижается. При намотке нитями или жгутами трудно гарантировать и обеспечивать однородную
связь между соседними волокнами, следствием чего является низкая
прочность при растяжении/сжатии поперек волокон, которая, кроме
того, характеризуется еще и большим коэффициентом вариации. Поэтому целесообразно изначально пренебречь несущей способностью
поперек волокон и сосредоточиться на более полном использовании
высокой жесткости и прочности вдоль волокон. Необходимо отметить, что формально это означает отказ от сохранения монолитности
материала, т.е. уровень нагрузок и напряжений, когда начинается
разрушение (растрескивание) матрицы, невозможно проанализировать и предусмотреть.
Применение при намотке тканых лент или тканей также не решает проблему сопротивляемости сдвигу в силу параллельности нитей основы и утка, хотя прочность КМ на основе тканей при сдвиге
несколько выше, чем для КМ с однонаправленной арматурой.
Поэтому на этапе проектирования структуры КМ для оболочек
вращения, изготавливаемых намоткой, часто руководствуются критерием отсутствия касательных напряжений во всех слоях пакета
τ 12 i = 0 ,
(1.3)
что в целом аналогично армированию по траекториям главных напряжений.
Запишем уравнение физического закона для i-го слоя КМ:
σ 1i = Ε 1 i ( ε 1i + µ 21i ε 2 i ) ;
σ 2 i = Ε 2 i ( ε 2 i + µ12 i ε 1i ) ;
τ 12 i = G12 i γ 12 i ,
где
(1.4)
ε 1i , ε 2i , γ 12 i – деформации слоя в местной системе координат.
Если приняты допущения о совместном деформировании слоев
в пакете, то
ε 1i = ε α cos 2ϕ i + ε β sin 2ϕ i + γ αβ sinϕ i cosϕ i ;
ε 2 i = ε α sin 2ϕ i + ε β cos 2ϕ i − γ αβ sinϕ i cosϕ i ;
(
(1.5)
)
γ 12 i = ε β − ε α sin2ϕ i + γ αβ cos2ϕ i .
Деформации пакета в целом ε α , ε β , γ αβ можно найти из физических соотношений (1.1)
7
εα =
Ν α Β 22 − Ν β Β 12
Β 11Β 22 − Β
2
12
; εβ =
Ν β Β 11 − Ν α Β 12
Β 11Β 22 − Β
2
12
; γ αβ =
qαβ
Β 33
. (1.6)
Из критерия (1.3) с учетом зависимостей (1.4) - (1.6) получаем
tg2ϕ i =
(
qαβ Β 11Β 22 − Β 122
)
Β 33  Ν α ( Β 22 + Β 12 ) − Ν β ( Β 11 + Β 12 ) 
.
(1.7)
δ i с углом армирования
+ ϕ i соответствует слой той же толщины с углом армирования − ϕ i .
Уравнение (1.7) имеет четные корни ± ϕ в двух случаях: если
qαβ = 0 или  Ν α ( Β 22 + Β 12 ) − Ν β ( Β 11 + Β 12 )  = 0 , что соответствует структурам [0 / 90 ] или [ ± 45 ] . Если ϕ = ± 45 , то
Β 22 + Β 12 = Β 11 + Β 12 и Ν α − Ν β = 0 . Таким образом, если qαβ ≠ 0 ,
то условия τ 12 i = 0 выполняются только при одинаковых нормальных
усилиях Ν α = Ν β и армировании ϕ = ± 45 . Так как в реальных конПри намотке каждому слою толщиной
струкциях такое соотношение усилий встречается редко, то армирование по траекториям главных напряжений целесообразно использовать для изделий, не нагруженных касательными усилиями, т.е. для
оболочек вращения, находящихся в условиях осесимметричного нагружения.
2 ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ
При осесимметричном нагружении qαβ = 0 , тогда условие оптимальности (1.3) можно упростить с учетом (1.5), (1.6):
( ε β − εα ) sin2ϕ i = 0 .
Возможны два решения уравнения (2.1)
ε β − εα = 0 ;
sin2ϕ i = 0 ,
(2.1)
(2.2)
(2.3)
что позволяет установить схемы намотки, характеризующиеся отсутствием касательных напряжений в слоях пакета (рис. 2.1).
Рассмотрим подробнее вариант (2.2), который с учетом (1.6)
можно записать как
8
Ν α ( Β 22 + Β 12 ) − Ν β ( Β 11 + Β 22 ) = 0 .
[0]
[0 / ±ϕ]
[90]
[90 / ±ϕ]
(2.4)
[0 / 90]
[±ϕ]
[0 / 90 / ±ϕ]
[±ϕ 1 / ±ϕ 2 ]
Рисунок 2.1 – Варианты оптимальных схем намотки
Отсюда следует, что усилия
Ν α и Ν β должны быть ненулевы-
ми и иметь один знак. В противном случае оптимальную структуру
определяют путем решения уравнения (2.3), т.е. независимо от соотношения усилий Ν α и Ν β для любого КМ со структурой [0 ] , [90 ]
или [0 / 90 ] касательные напряжения в слоях будут равны нулю.
Кроме того, из анализа условия (2.4) видно, что между структурой КМ и внешней нагрузкой существует жесткая связь и любое отклонение усилий от их расчетных значений приведет к появлению касательных напряжений в слоях. Например, если усилия Ν α изменить
на величину
где
∆Ν α , то деформации пакета будут равны:
∆Ν α Β 22
,
ε α∗ = ε α +
Β 11Β 22 − Β 122
∆Ν α Β 12
,
ε β∗ = ε β −
2
Β 11Β 22 − Β 12
ε α , ε β – расчетные значения деформаций, по которым соглас-
но условию (2.2) проектируют структуру КМ. После изменения нагрузки из последнего уравнения системы (1.5) найдем
9
(
)
(
)
γ 12 = ε β∗ − ε α∗ sin2ϕ i = ε β − ε α sin2ϕ i − ∆Ν α
Β 22 + Β 12
.
2
Β 11Β 22 − Β 12
Первое слагаемое в правой части равно нулю, а второе – подтверждает наличие касательных напряжений в слоях КМ.
Следовательно, критерий армирования по траекториям главных
напряжений (или τ 12 i = 0 ) приемлем только на этапе проектирования
композитных оболочек вращения, в которых соотношение усилий при
эксплуатации не меняется, т.е. Ν α / Ν β = const , как, например, для
баллонов давления, где
Ν β / Ν α = 2 (этот вывод не распространя-
ется на структуры КМ [0 ] , [90 ] и [0 / 90 ] , что отмечено выше).
Подставим формулы (1.2) в уравнение (2.4) и после некоторых
преобразований получим
n
Ν α ∑ δ i  Ε 1i ( 1 + µ 21 i ) sin 2ϕ i + Ε 2 i ( 1 + µ12 i ) cos 2ϕ i  −
i =1
n
− Ν β ∑ δ i  Ε 1i ( 1 + µ 21 i ) cos 2ϕ i + Ε 21i ( 1 + µ12 i ) sin 2ϕ i  = 0 (2.5)
i =1
или
n
∑ δ i  Ε 1i ( 1 + µ 21i ) Ν α sin 2ϕ i − Ν β cos 2ϕ i +
(
i =1
)
+ Ε 2 i ( 1 + µ12 i ) Ν α cos 2ϕ i − Ν β sin 2ϕ i  = 0.

(
)
(2.6)
В данной оптимизационной задаче необходимо найти n / 2 значений толщин и n / 2 значений углов армирования, т.е. всего n неизвестных. Одно уравнение с n неизвестными может иметь бесконечное количество решений.
Условия (2.5) и (2.6) отражают строго определенный характер
деформирования ( ε α = ε β ) и, естественно, содержат только упругие
константы материалов. Помимо условий τ 12 i = 0 проектируемая оболочка должна удовлетворять также условиям прочности, сформулированным в виде какого-либо критерия. Для оценки прочности найдем напряжения в слоях пакета. С учетом условия (2.2) физический
закон (1.1) примет вид
Ν β = ε α ( Β 22 + Β 12 ) .
Ν α = ε α ( Β 11 + Β 12 ) ;
10
(2.7)
Просуммируем два уравнения этой системы и после подстановки выражений (1.2) и некоторых преобразований получим
Να + Ν β
εα = ε β =
,
n
(2.8)
∑ δ i  Ε 1i ( 1 + µ 21i ) + Ε 2 i ( 1 + µ12 i ) 
i =1
т.е. углы укладки армирующего материала не влияют на осредненные деформации пакета.
Подставим формулы (2.8) в (1.4):
σ 1i =
(Ν α + Ν β ) Ε i (1 + µ i )
1
21
n
;
∑ δ i  Ε 1i ( 1 + µ 21i ) + Ε 2 i ( 1 + µ12 i ) 
i =1
σ 2i =
(Ν α + Ν β )Ε i (1 + µ i )
2
12
n
(2.9)
.
∑ δ i  Ε 1i ( 1 + µ 21i ) + Ε 2 i ( 1 + µ12 i ) 
i=1
Отсюда видно, что нормальные напряжения в слоях также не
зависят от углов намотки.
Оболочки, армированные по траекториям главных напряжений,
обладают следующими особенностями. Во-первых, при деформировании структура КМ (направления волокон) не меняется. Действительно, развернем участок оболочки длиной t , равной шагу намотки
(рис. 2.2). Предположим, что исходный угол армирования – ϕ , тогда
tgϕ = 2π R / t . В деформированном состоянии
∗
tgϕ =
(
2π R 1 + ε β
t ( 1 + εα )
) = tgϕ ,
так как ε α = ε β , что и требовалось доказать.
Во-вторых, в процессе деформирования структура КМ неоптимальных оболочек (для которых условие (2.4) не выполняется) приближается к оптимальной. Это можно показать на следующем примере. Выделим элемент оболочки (рис. 2.3), ограниченный точками пересечения двух соседних нитей, образующих с осью α углы ±ϕ * , которые по абсолютным значениям больше углов ±ϕ , найденных из
расчета согласно условию (2.4). Очевидно, что при нагружении такого
квазимеханизма усилиями Ν α и Ν β он будет стремиться принять
11
единственное возможное равновесное состояние, после которого
сдвиг станет невозможным. Это и есть оптимальное состояние.
2π R
2πRε β
β
ϕ
α
tε α
t
Рисунок 2.2 – Деформирование элемента оболочки
Nβ
+ϕ *
+ϕ
Nα
−ϕ
−ϕ *
Рисунок 2.3 – Устойчивость структуры намотанной оболочки
Если материал слоя при намотке не меняется, то формулы (2.9)
преобразуются к виду
(Να + Ν β )Ε
( 1 + µ21 )
;
δ Σ  Ε 1 ( 1 + µ 21 ) + Ε 2 ( 1 + µ12 ) 
Ν α + Ν β ) Ε 2 ( 1 + µ12 )
(
,
σ 2i =
δ Σ  Ε 1 ( 1 + µ21 ) + Ε 2 ( 1 + µ12 ) 
σ 1i =
где
1
δ Σ – суммарная толщина пакета слоев.
12
(2.10)
Из критерия максимальных напряжений
σ 1i ≤ F1i ;
σ 2 i ≤ F2 i
(2.11)
найдем требуемую по условиям прочности толщину оболочки
(Ν α + Ν β )Ε
Να + Ν β )
( 1 + µ21 )
(
=
;
δΣ ≥
F1 ( k + 1 )
F1  Ε 1 ( 1 + µ 21 ) + Ε 2 ( 1 + µ12 ) 
( Ν α + Ν β ) Ε 2 ( 1 + µ12 ) = k ( Ν α + Ν β )
δΣ ≥
F2 ( k + 1 )
F2  Ε 1 ( 1 + µ 21 ) + Ε 2 ( 1 + µ12 ) 
1
(2.12)
или
 Να + Ν β k Να + Ν β

;
δ Σ ≥ max 
+
F
k
1
F2 ( k + 1 )
(
)
 1
Ε 2 ( 1 + µ12 )
(
где
k=
Ε 1 ( 1 + µ 21 )
) (
.
)  ,


(2.13)
(2.14)
Анализ неравенств (2.12) показывает, что если
F1
F2
<
,
Ε 1 ( 1 + µ21 ) Ε 2 ( 1 + µ12 )
(2.15)
то прочность оболочки определяется прочностью КМ вдоль волокон.
В противном случае, когда
F1
F2
>
,
Ε 1 ( 1 + µ 21 ) Ε 2 ( 1 + µ12 )
(2.16)
ограничением является несущая способность КМ поперек волокон.
Условие (2.13) позволяет сформулировать следующий вывод:
если материал всех слоев одинаковый, то масса оболочки не зависит
от структуры КМ, т.е. от относительных толщин и углов укладки слоев. Таким образом, проектируя оболочки вращения, изготавливаемые
намоткой и эксплуатирующиеся в условиях осесимметричного нагружения, особое внимание следует уделять технологическим вопросам
(возможностям оборудования, наличию и доступности армирующих
материалов, качеству препрега, его толщине и т.п.).
К аналогичному результату приводит использование в расчете
других критериев прочности, например критерия Мизеса – Хилла
13
σ 1i2
F1i2
−
σ 1iσ 2i
+
F1i F2 i
σ 2i2
F22i
≤ 1.
(2.17)
Подставим в выражение (2.17) напряжения (2.10):
δΣ ≥
Να + Ν β
k+1
k
k2
−
+ 2 .
2
F
F
F1
F2
1 2
1
(2.18)
Формулы (2.13) и (2.18) получены при условии соответствия параметров структуры КМ критерию оптимальности (2.4), т.е. толщина
оболочки не зависит от типа структуры КМ только в том случае, когда
выполняется условие (2.4).
Определенный интерес представляет сравнение значений δ Σ ,
вычисленных на основе разных теорий прочности, например, максимальных напряжений и Мизеса – Хилла.
Пусть для некоторого КМ выполняется условие (2.15), означающее, что разрушение начинается в направлении армирования (по волокнам), а в поперечном направлении (или по утку ткани) имеется запас прочности. Найдем отношение толщин, определяемых согласно
первому неравенству (2.12) и условию (2.18):
(Ν α + Ν β )
F1 ( 1 + k )
k+1
(
Να + Ν β
)
2
> 1.
1
k
k
−
+
F12 F1 F2 F22
После ряда преобразований это условие приобретает вид
k  1
k 
−

 > 0.
F2  F1 F2 
Так как k / F2 > 0 , то с учетом (2.14) это неравенство примет
вид, аналогичный (2.15):
F1
F2
<
.
Ε 1 ( 1 + µ21 ) Ε 2 ( 1 + µ12 )
Таким образом, если выполняется условие (2.15), то толщина
δ Σ , найденная по критерию максимальных напряжений, будет больше, чем толщина, определенная по критерию Мизеса – Хилла. К абсолютно идентичному результату приводит сравнение второго неравенства (2.12) и условия (2.18). Следовательно, при любом соотношении прочностных и упругих свойств КМ расчет по критерию Мизеса – Хилла заведомо приводит к меньшим значениям толщины, чем
14
расчет по критерию максимальных напряжений. Это можно объяснить, если рассмотреть предельные кривые критериев прочности в
координатах σ 1 , σ 2 . На рис. 2.4 показан только квадрант
σ 1 > 0 , σ 2 > 0 , что соответствует Ν α > 0 и Ν β > 0 . При отрицательных усилиях Ν α и Ν β соотношение предельных кривых аналогичное. Расчет по критерию максимальных напряжений соответствует
точке А, а по критерию Мизеса – Хилла – точке В.
Это показывает, насколько важно на этапе проектирования
обоснованно выбирать критерий прочности. При этом целесообразность использования того или иного критерия в первую очередь следует оценивать не по значению расчетной массы (по принципу: чем
меньше – тем лучше), а по тому, насколько хорошо критерий согласуется с результатами испытаний КМ. Если экспериментальных данных
недостаточно для адекватной оценки точности критерия, то оболочку
проектируют в запас по прочности, т.е. выбирают тот критерий, по которому расчетное значение толщины оказывается наибольшим
(в данном случае это критерий максимальных напряжений).
σ2
F2p
F1p
σ1
Рисунок 2.4 – Сравнение критериев прочности
при определении толщины оболочки
2.1 Исследование частных случаев структуры КМ
Рассмотрим задачу проектирования оболочки вращения из КМ,
изготавливаемой спиральной намоткой. Так как при таком технологическом процессе материалы всех слоев одинаковые, то в качестве
исходных данных примем следующие:
15
δ 1 = δ 2 = δ ; δ Σ = 2δ ; ϕ 1 = −ϕ 2 = ϕ ; Ε 1i = Ε 1 ; Ε 2 i = Ε 2 ;
µ12i = µ12 ; µ21i = µ 21 ; F1i = F1 ; F2 i = F2 .
Условие оптимальности (2.6) запишем так:
(
)
) ( Ν α cos ϕ − Ν β sin ϕ ) = 0
Ε 1 ( 1 + µ 21 ) Ν α sin 2ϕ − Ν β cos 2ϕ +
+ Ε 2 ( 1 + µ12
2
2
(2.19)
или с учетом (2.14)
(
)
Ν α sin 2ϕ − Ν β cos 2ϕ + k Ν α cos 2ϕ − Ν β sin 2ϕ = 0 .
(2.20)
Разрешив это уравнение относительно угла армирования
найдем
tg 2ϕ =
Ν β − kΝ α
,
Ν α − kΝ β
ϕ,
(2.21)
т.е. в случае спиральной намотки угол армирования определяется из
условия оптимальности, а толщина оболочки – по формулам (2.13)
или (2.18) в зависимости от выбранного для расчета критерия прочности.
Найдем область существования решения (2.21). Так как левая
часть этого уравнения – величина неотрицательная, то правая –
должна удовлетворять неравенству
Ν β − kΝ α
≥ 0.
Ν α − kΝ β
(2.22)
Это равнозначно выполнению следующих условий:
 Ν β − k Ν α ≥ 0 ;

 Ν α − k Ν β ≥ 0
(2.23)
 Ν β − k Ν α ≤ 0 ;

 Ν α − k Ν β ≤ 0 .
(2.24)
или
Таким образом, решение (2.21) можно использовать для определения угла намотки только в том случае, если выполняется ограничение на соотношение усилий
k≤
Να 1
≤ .
Νβ k
16
(2.25)
Здесь принято во внимание, что для большинства современных
композиционных материалов k < 1 .
Если
Ν α / Ν β = k , то tg 2ϕ → ∞
и
ϕ = π / 2 , а если
Ν α / Ν β = 1 / k , то tg 2ϕ = 0 и ϕ = 0 . Такой результат можно объяснить особенностями деформирования структуры КМ при спиральной
намотке.
Теперь рассмотрим проектирование структуры [0 / ±ϕ ] . Будем
полагать, что все слои укладываются из одного и того же материала.
Тогда
δ 1 = δ 1 ; δ 2 = δ 3 = δ ; δ Σ = δ 1 + 2δ ; ϕ 1 = 0 ; ϕ 2 = −ϕ 3 = ϕ ;
Ε 1i = Ε 1 ; Ε 2 i = Ε 2 ; µ12i = µ12 ; µ21i = µ 21 ; F1i = F1 ; F2 i = F2 .
С учетом принятых допущений и обозначений условие (2.6)
можно привести к виду
(
)
(
)
2
2
δ 1 sin ϕ Ν α − k Ν β − cos ϕ Ν β − k Ν α
=
.
Ν β − kΝ α
2δ
(2.26)
Так как левая часть этого уравнения – величина неотрицательная, то
(
)
(
sin 2ϕ Ν α − k Ν β − cos 2ϕ Ν β − k Ν α
Ν β − kΝ α
) ≥ 0.
(2.27)
Для определения интервала угла намотки ϕ , на котором выполняется это условие, решим две системы неравенств:
 tg 2ϕ Ν α − k Ν β + k Ν α − Ν β > 0 ;

 Ν β − k Ν α > 0 ;
 tg 2ϕ Ν α − k Ν β + k Ν α − Ν β < 0 ;

 Ν β − k Ν α < 0 .
(
)
(
)
При любом одинаковом знаке усилий
(2.28)
(2.29)
Ν α и Ν β общим реше-
нием (2.28), (2.29) будет
Ν β − kΝ α
tg ϕ >
,
Ν α − kΝ β
2
если
17
(2.30)
k≤
Να 1
≤ .
Νβ k
При составлении соотношений (2.28) – (2.30) предполагалось,
что δ 1 ≠ 0 и δ ≠ 0 .
Подробный анализ интервалов существования решений необходимо проводить потому, что задачи проектирования в качестве ограничений содержат, как правило, неравенства, корректное обращение с которыми позволяет существенно уменьшить область поиска
оптимальных решений и, значит, сократить время расчета.
Исследование структуры [90 / ±ϕ ] приводит к аналогичным результатам: в интервале усилий k ≤ Ν α / Ν β ≤ 1 / k должно выполняться условие
tg 2ϕ <
Ν β − kΝ α
.
Ν α − kΝ β
(2.31)
Как показывает анализ формулы (2.21) и неравенств (2.30) и
(2.31), спиральную намотку можно рассматривать как своеобразную
границу между продольно-спиральной и спирально-окружной намотками (рис. 2.5).
ϕ0
Рисунок 2.5 – К анализу схем намотки КМ [ ±ϕ ] , [0 / ±ϕ ] и [90 / ±ϕ ] :
ϕ 0 – оптимальный угол спиральной намотки (согласно (2.21))
Суммарную толщину стенки оболочки для структур [0 / ±ϕ ] и
[90 / ±ϕ ] вычисляют по зависимостям (2.13) или (2.18).
18
Таким образом, для определения трех проектных параметров
оболочки с продольно-спиральной намоткой δ 1 , δ и ϕ имеются три
соотношения: условие оптимальности (условие отсутствия касательных напряжений в слоях пакета) (2.26), ограничение на угол намотки
ϕ (2.30) и одно из условий прочности (2.13) или (2.18). Кроме этого,
необходимо помнить о том, что толщина стенки складывается из целого числа монослоев и не может быть любой, поэтому условие (2.26) можно записать так:
(
)
(
)
2
2
m1 sin ϕ Ν α − k Ν β − cos ϕ Ν β − k Ν α
=
,
2m
Ν β − kΝ α
(2.32)
а условия прочности (2.13) и (2.18) в виде
Ν + Ν
 α
β k Να + Ν β
m1 + 2m = mΣ ≥ max 
;
F
1
+
k
F2 ( 1 + k )
δ0
(
)
 1
Να + Ν β 1
k
k2
m1 + 2m = mΣ ≥ δ 0
−
+
1+ k
F12 F1 F2 F22
(
1
где
)  ;


(2.33)
,
(2.34)
δ 0 – толщина монослоя КМ (ровинга, ленты, ткани и т.п.).
Такую задачу оптимизации целесообразно решать с помощью
численных экспериментов. Например, можно задать ряд значений угла спиральной намотки ϕ из допустимого интервала согласно (2.30)
и, решая систему уравнений (2.32), (2.33) или (2.32), (2.34), найти целые числа m1 и m . Если целочисленные величины m1 и m получить
невозможно, то из всех комбинаций m1 и m нужно выбрать ту, для
которой m1 + 2m → min , а угол намотки определить по формуле (2.32).
Для структуры [90 / ±ϕ ] , т.е. в случае спирально-окружной намотки,
δ 1 = δ 1 ; δ 2 = δ 3 = δ ; δ Σ = δ 1 + 2δ ; ϕ 1 = π / 2 ; ϕ 2 = −ϕ 3 = ϕ
и условие оптимальности (2.4) примет вид
(
)
(
)
2
2
δ 1 m1 cos ϕ N β − kNα − sin ϕ Nα − kN β
=
.
=
2δ 2m
Nα − kN β
(2.35)
В этом случае алгоритм определения структурных параметров m1 ,
m и ϕ принципиально не отличается от предложенного выше.
19
Следует обратить внимание на то, что все приведенные формулы и методики расчета справедливы только при точном выполнении
критерия оптимальности (2.6), отражающего отсутствие касательных
напряжений в слоях композитной оболочки. Особенно важно это учитывать при проектировании сложных схем намотки, когда необходимо
округлить количество монослоев до целочисленного значения (для
структуры [ ±ϕ ] округление не приводит к нарушению условия (2.6)).
Если найденные структурные параметры не удовлетворяют равенству (2.6), это означает, что касательные напряжения в слоях не равны
нулю, поэтому проверку на прочность нужно проводить с учетом трех
компонент напряжения σ 1i , σ 2i и τ 12i .
Аналогичным образом рассматривают другие структуры намотки: записывают в развернутом виде условие оптимальности (2.6),
анализируют условия прочности и из них выделяют наиболее жесткое, характеризующее начало разрушения оболочки (такое ограничение называется активным), а затем одним из численных методов рассчитывают толщины и углы укладки слоев в пакете.
Из конструктивных или технологических соображений может
быть принято решение об использовании различных армирующих
материалов для разных слоев, например, жгута или ровинга – для
спиральной намотки, ленты или ткани – для окружных слоев. В этом
случае количество слоев n = 3 , их толщины δ 1 = δ 1 , δ 2 = δ 3 = δ и
углы укладки
нимает вид
ϕ 1 = π / 2 , ϕ 2 = −ϕ 3 = ϕ ; условие оптимальности при-
δ 1  Ε 1( 1) ( 1 + µ21( 1) ) Nα − Ε 2 ( 1) ( 1 + µ12 ( 1) ) N β  +
+2δ  Ε 1( 2 ) 1 + µ 21( 1)

(
(
+ Ε 2 ( 2 ) 1 + µ12 ( 2 )
) ( Nα sin2ϕ − N β cos 2ϕ ) +
) ( Nα cos 2ϕ − N β sin2ϕ )  = 0.
(2.36)
Здесь и далее индексами 1 и 2 в скобках отмечены механические характеристики слоев с армированием π / 2 и ±ϕ соответственно.
Условия прочности по критерию максимальных напряжений:
- для окружных слоев
σ 1( 1) =
σ 2 (1) =
1
Nα + N β ) Ε ( 1 + µ
≤F
(
)
Α
1( 1)
1
Α
21( 1 )
1(1)
(2.37а)
( Nα + N β ) Ε ( 1 + µ ) ≤ F
2 ( 1)
20
12 ( 1)
;
2 ( 1)
;
- для слоев с армированием ±ϕ
σ 1( 2 ) =
1
Α
σ 2(2) =
1
Α
( Nα + N β ) Ε ( 1 + µ ) ≤ F
1( 2 )
21( 2 )
1( 2 )
;
(2.37б)
( Nα + N β ) Ε ( 1 + µ ) ≤ F
2(2)
12 ( 2 )
2(2)
.
В формулах (2.37)
Α = δ 1  Ε 1( 1) ( 1 + µ 21( 1) ) + Ε 2 ( 1) ( 1 + µ12 ( 1) )  +
+2δ  Ε 1( 2 ) 1 + µ 21( 2 ) + Ε 2 ( 2 ) 1 + µ12 ( 2 )  .


(
)
(
)
(2.38)
Запишем выражение (2.37) в таком виде:
1
Α
1
Α
1
Α
(
Nα + N β ≤
)
(
Nα + N β ≤
)
F1( 1)
Ε 1( 1) ( 1 + µ 21( 1) )
F2 ( 1)
Ε 2 ( 1) ( 1 + µ12 ( 1) )
( Nα + N β ) ≤ Ε
F1( 2 )
1( 2 )
21 ( 2 )
2(2)
(
1 + µ12 ( 2 )
;
(2.39)
)
;
)
.
F2 ( 2 )
1
( N + Nβ ) ≤ Ε
Α α
(1 + µ
;
Отсюда видно, что прочность оболочки и форма разрушения
определяются тем неравенством (2.39), в котором правая часть принимает наименьшее значение. Это ограничение используют для
дальнейшего анализа, а остальные – отбрасывают, как заведомо выполняемые. Конечно, идеальный вариант – равнопрочная структура,
в которой все слои разрушаются одновременно как вдоль, так и поперек волокон (или по основе и утку для тканых КМ). Для этого необходимо подобрать материалы так, чтобы
F1( 1)
Ε 1( 1) ( 1 + µ 21( 1) )
=
=
F1( 2 )
Ε 1( 2 ) ( 1 + µ 21( 2 ) )
F2 ( 1)
Ε 2 ( 1) ( 1 + µ12 ( 1) )
=
21
=
F2 ( 2 )
Ε 2 ( 2 ) ( 1 + µ12 ( 2 ) )
.
(2.40)
На практике добиться такого уникального сочетания механических характеристик КМ, как правило, невозможно, однако в любом
случае следует стремиться к минимальным запасам по прочности,
т.е. соотношения, входящие в выражение (2.40), должны быть как
можно более близкими.
Итак, для вычисления структурных параметров остается одно из
условий (2.39). Предположим, что это третье неравенство, т.е. первыми разрушаются слои с армированием ±ϕ в направлении вдоль
волокон:
1
Nα + N β ) Ε ( 1 + µ
≤F
(
)
Α
1( 2 )
1( 2 ) .
21( 2 )
(2.41)
Если условие целого числа монослоев обеспечивать не нужно,
то (2.41) можно записать в виде равенства, которое совместно с
(2.36) образует систему двух уравнений с тремя неизвестными.
Введем обозначения
k1 =
Ε 2 ( 1) ( 1 + µ12 ( 1) )
Ε 1( 1) ( 1 + µ 21( 1) )
k2 =
;
Ε 2 ( 2 ) ( 1 + µ12 ( 2 ) )
Ε 1( 2 ) ( 1 + µ 21( 2 ) )
(2.42)
и преобразуем условие (2.36) таким образом:
(
)
δ 1Ε 1( 1) ( 1 + µ 21( 1) ) Nα − k1 N β +
+2δΕ 1( 2 ) 1 + µ 21( 2 )  Nα sin 2ϕ − N β cos 2ϕ +

+ k 2 Nα cos 2ϕ − N β sin 2ϕ  = 0

)(
(
)
(
)
(2.43)
или
(
)
2
δ 1 Ε 1( 2 ) ( 1 + µ 21( 2 ) ) cos ϕ N β − k 2 Nα
=
−
2δ
Ε 1( 1) ( 1 + µ 21( 1) ) Nα − k1 N β
(
−
)
(
Ε 1( 2 ) ( 1 + µ 21( 2 ) ) sin 2ϕ Nα − k 2 N β
(
Ε 1( 1) ( 1 + µ 21( 1) ) Nα − k1 N β
)
).
(2.44)
Помимо соотношения толщин слоев уравнение (2.44) позволяет
установить диапазон допустимых углов спиральной намотки (правая
часть должна быть неотрицательной). Затем в пределах данного интервала на основе численных методов с учетом (2.41) и (2.44) подбирают такой угол армирования ϕ , чтобы толщина спиральных и окружных слоев состояла из целого числа монослоев.
22
Если расчет проводят по критерию Мизеса – Хилла, то условия
прочности принимают вид системы двух неравенств:
1
Α
( Nα + N β ) Ε ( 1 + µ )
1( 1 )
21( 1)
1
F12( 1)
1
( N + Nβ )Ε (1 + µ )
Α α
1( 2 )
21( 2 )
1
2
1( 2 )
F
k1
k12
−
≤ 1;
+
F1( 1) F2 ( 1) F22( 1)
−
2
2
2
2(2)
k2
k
+
F1( 2 ) F2 ( 2 ) F
. (2.45)
≤ 1.
В данном случае активным будет то из ограничений (2.45), в котором подкоренное выражение принимает наибольшее значение.
Примечание. Выше не учитывалось различие в пределах прочности КМ на растяжение и сжатие вдоль ( F1 p и F1c ) и поперек
( F2 p и F2c ) волокон. Это объясняется тем, что знаки напряжений
(
)
σ 1 i и σ 2 i определяются суммой усилий Nα + N β . Так как последние должны быть одного знака, то решение о величинах пределов
прочности можно принять до начала проектирования.
2.2 Критерии выбора материалов для оболочек вращения
при осесимметричном нагружении
При сложном напряженном состоянии выбор КМ, обеспечивающего минимальную массу конструкции, не столь очевиден, как при
одноосном растяжении или сжатии в направлении армирования, когда можно пользоваться традиционной оценкой материала по величине его удельной прочности. Рассмотрим задачу выбора КМ на примере оболочки вращения, изготавливаемой намоткой. Будем считать,
что оболочка находится в условиях осесимметричного нагружения и
проектируется по критерию отсутствия касательных напряжений в
слоях согласно формуле (2.2), т.е. предполагается равенство средних деформаций ε α = ε β .
Погонная масса оболочки
G = 2π Rδ Σ ρ ,
где
(2.46)
R – радиус оболочки, ρ – плотность КМ.
Если прочность оболочки оценивают по критерию максимальных напряжений, то с учетом зависимостей (2.13) и (2.14) погонная
масса
23


 1 1 
Nα + N β
G = 2π R
max  ;
.
F
F
k
+
1
(
)
2 
 1
 ρ ρ 
Таким образом, чем больше величина min { F1 ; F2
(
)
(2.47)
}/ ρ,
тем
меньше масса оболочки.
При расчете по критерию Мизеса – Хилла минимальная толщина оболочки, изготавливаемой спиральной намоткой, определяется
выражением (2.18). Тогда погонная масса
Nα + N β )
(
G = 2π R
1
( k + 1)
F12
−
k
F1 F2
ρ2
+
ρ2
k2
F22
(2.48)
ρ2
будет наименьшей при изготовлении из КМ, который характеризуется
минимальным значением подкоренного выражения в формуле (2.48).
Более сложной является проблема выбора материала для комбинированных схем намотки, например для структуры [90 / ±ϕ ] . Из
уравнения (2.35)
δ1
N β − kNα ) cos 2ϕ − ( Nα − kN β ) sin 2ϕ
(
= 2δ
.
Nα − kN β
(2.49)
Тогда
δ Σ = δ 1 + 2δ = 2δ cos 2ϕ
( Nα + N β ) ( 1 − k ) .
Nα − kN β
(2.50)
Приравнивая правые части выражений (2.50) или (2.18) (последнее представляет собой требуемую толщину оболочки по критерию Мизеса – Хилла), находим
δ1
N β − kNα ) cos 2ϕ − ( Nα − kN β ) sin 2ϕ
(
=
( 1 − k 2 ) cos 2ϕ
2δ =
k
k2
−
+ 2,
2
F
F
F1
F2
1 2
1
(2.51)
Nα − kN β
1
( 1 − k 2 ) cos 2ϕ
F12
2
−
k
k
+ 2.
F1 F2 F2
Заметим, что проверка существования решения (2.51) приводит
к полученным выше ограничениям (2.25) и (2.31).
24
Подставим толщины слоев (2.51) в уравнение для определения
погонной массы (2.46)
G = 2π R ρ
= 2π R
Nα + N β
k
k2
−
+ 2 =
2
F
F
F1
F2
1 2
1
1+ k
Nα + N β
1
1+ k
F12
−
ρ2
k
F1 F2
+
ρ2
k2
F22
.
(2.52)
ρ2
Соотношения (2.52) (структура [90 / ±ϕ ] ) и (2.48) (структура [ ±ϕ ] ) абсолютно идентичны, что подтверждает вывод об отсутствии влияния схемы намотки на массу оболочки при осесимметричном
нагружении. Следовательно, не зависит от схемы намотки и критерий
выбора материала (в случае проектирования по одному и тому же
критерию прочности).
Рассмотрим вариант спирально-окружной намотки [90 / ±ϕ ] из
различных материалов. Согласно условию оптимальности (2.43)
(2.53)
δ 1 = 2δ c ,
где
c=
Ε 1( 2 ) ( 1 + µ 21( 2 ) )  cos 2ϕ N β − k 2 Nα − sin 2ϕ Nα − k2 N β 
(
)
(
)
Ε 1( 1) ( 1 + µ 21( 1) )  Nα − k1 N β 
.
Обозначим в выражении (2.38)
Α = δ 1Ε 1( 1) ( 1 + µ 21( 1) ) ( 1 + k1 ) + 2δΕ 1( 2 ) ( 1 + µ 21( 2 ) ) ( 1 + k 2 ) =
(
= 2δΕ 1( 2 ) 1 + µ 21( 2 )
)

Ε 1( 1) 1 + µ 21( 1)
 1 + k2 + c

Ε 1( 2 ) 1 + µ 21( 2 )

(
(
) ( 1 + k )  = 2δ a .
1

)

Из критерия Мизеса – Хилла (2.45) найдем толщину спиральных
слоев
b b 
2δ = Nα + N β max  1 ; 2  ,
a a
(
)
(2.54)
где
(
b1 = Ε 1( 1) 1 + µ 21( 1)
)
1
2
F1( 1)
25
k1
k12
−
;
+
F1( 1) F2 ( 1) F22( 1)
(2.55а)
(
b2 = Ε 1( 2 ) 1 + µ 21( 2 )
Для определения
)
1
2
F1( 2 )
k2
k 22
−
+ 2 .
F1( 2 ) F2 ( 2 ) F2 ( 2 )
(2.55б)
δ 1 подставим выражение (2.54) в (2.53):
(
)
 b1 b2 
; .
a a
δ 1 = c Nα + N β max 
(2.56)
Погонная масса такой оболочки
G = 2π R ( δ 1 ρ 1 + 2δρ 2 ) =
(
= 2π R Nα + N β
) ( cρ
 b1 b2 
+
max
ρ
)
 ; .
1
2
a a
(2.57)
Полученная зависимость, даже после подстановки в нее выражений для c, b1 и b2 , не дает эффективного инструмента для рационального выбора КМ при намотке как окружных, так и спиральных
слоев. Это свидетельствует о неоднозначности традиционно используемых критериев выбора материалов по удельной прочности, удельной жесткости и т.д. в процессе проектирования композитных конструкций. Как было показано выше, следует учитывать не только принятый критерий прочности, но и соотношения между усилиями и деформациями в оболочке.
Предположим, что известны пределы прочности пакета
[90 / ±ϕ ] Fα и Fβ . Критерий максимальных напряжений при оценке
прочности пакета слоев в целом с учетом qαβ = 0 принимает вид
σα =
откуда
Nα
δΣ
σβ =
≤ Fα ;
Nβ
δΣ
≤ Fβ ,
(2.58)
 Nα N β 
;
.
 Fα Fβ 


δ Σ = max 
Погонная масса оболочки со слоями из одинакового материала
 Nα
Nβ 
G = 2π Rδ Σ ρ = 2π Rmax 
;
.
 Fα / ρ Fβ / ρ 


Следовательно, в этом случае материал выбирают по удельной
прочности Fα / ρ или Fβ / ρ . Однако выше неоднократно было от26
мечено, что масса такой оболочки при осесимметричном нагружении
не зависит от структуры КМ (см., например, (2.13)). Это означает, что
оптимальная оболочка характеризуется постоянными пределами
прочности Fα , Fβ во всем диапазоне допустимых углов спиральной
намотки, что можно объяснить строгой взаимосвязью структурных
параметров δ 1 , 2δ и ϕ . Таким ограничением является критерий оптимальности τ 12 i = 0 , а точнее – условие ε α = ε β .
2.3 Проектирование оболочек вращения,
изготавливаемых продольно-окружной намоткой
Выше был проанализирован случай, когда
ε α = ε β , и при его
детальном изучении выявлены дополнительные ограничения, например, усилия Nα и N β должны быть ненулевыми и иметь один знак,
их соотношение не может быть любым и зависит от упругих констант
КМ и от предполагаемой схемы намотки. Это в определенной степени
противоречит логике процесса проектирования, так как всегда можно
найти такую структуру КМ и ее параметры, чтобы воспринималась
любая комбинация нагрузок, даже при таком жестком ограничении,
как отсутствие касательных напряжений в слоях.
Поэтому рассмотрим еще один вариант решения уравнения
τ 12 i = 0 , а именно условие (2.3) (см. рис. 2.1, а, б, в).
Для записи условий прочности найдем напряжения в слоях ортогонально-армированного пакета [0 / 90 ] . Введем следующие обозначения для параметров структуры:
ϕ1 = 0 , δ 1 = δ 1 и ϕ 2 = π / 2 , δ 2 = δ 2 .
Будем также полагать, что материал продольных и окружных
слоев – одинаковый.
Деформации пакета согласно (1.6)
εα =
Nα ( δ 1Ε 2 + δ 2 Ε 1 ) − N β ( δ 1 + δ 2 ) Ε 1 µ 21
2
;
( δ 1Ε 1 + δ 2 Ε 2 ) ( δ 1 Ε 2 + δ 2 Ε 1 ) − ( δ 1 + δ 2 ) Ε µ
N β ( δ 1Ε 1 + δ 2 Ε 2 ) − Nα ( δ 1 + δ 2 ) Ε 1 µ 21
.
εβ =
2
2 2
( δ 1Ε 1 + δ 2 Ε 2 ) ( δ 1Ε 2 + δ 2 Ε 1 ) − ( δ 1 + δ 2 ) Ε 1 µ21
27
2
1
2
21
(2.59)
Из условий совместимости деформаций (1.5)
ε 1( 1) = ε α ; ε 2 ( 1 ) = ε β ;
(2.60)
ε 1( 2 ) = ε β ; ε 2 ( 2 ) = ε α .
Напряжения в слоях находим по формулам (1.4), которые с учетом (2.60) принимают такой вид:
(
= Ε (ε β + µ
= Ε (ε β + µ
= Ε ( εα + µ
)
εα ) ;
εα ) ;
ε β ).
σ 1( 1) = Ε 1 ε α + µ 21ε β ;
σ 2 (1)
σ 1( 2 )
σ 2(2)
2
12
1
21
2
12
(2.61)
Введем в качестве структурного параметра относительную толщину продольных слоев
ψ=
δ1
δ1 + δ2
=
δ1
.
δΣ
(2.62)
Соответственно
δ 1 = δ Σψ ; δ 2 = δ Σ ( 1 − ψ ) .
(2.63)
С учетом этих обозначений преобразуем формулы (2.59):
εα =
εβ =
1
Nα ψΕ 2 + ( 1 − ψ ) Ε 1  − N β Ε 1 µ 21
2
δ Σ ψΕ 1 + ( 1 − ψ ) Ε 2  ψΕ 2 + ( 1 − ψ ) Ε 1  − Ε 12 µ 21
;
N β ψΕ 1 + ( 1 − ψ ) Ε 2  − Nα Ε 1 µ 21
.
2
δ Σ ψΕ 1 + ( 1 − ψ ) Ε 2  ψΕ 2 + ( 1 − ψ ) Ε 1  − Ε 12 µ 21
(2.64)
1
После подстановки деформаций (2.64) в формулы (2.61) получим:
- для продольных слоев
σ 1( 1) =
(
)
Ε 1 ( 1 − ψ ) ( Ε 1 − Ε 2 ) Nα − N β µ 21 + Nα Ε 2 ( 1 − µ12 µ 21 )
;
2 2
δΣ
ψΕ 1 + ( 1 − ψ ) Ε 2  ψΕ 2 + ( 1 − ψ ) Ε 1  − Ε 1 µ 21
(2.65а)
σ 2 (1)
(
)
Ε 2 ( 1 − ψ ) ( Ε 1 − Ε 2 ) Nα µ12 − N β + N β Ε 1 ( 1 − µ12 µ 21 )
=
;
2
δΣ
ψΕ 1 + ( 1 − ψ ) Ε 2  ψΕ 2 + ( 1 − ψ ) Ε 1  − Ε 12 µ 21
28
- для окружных слоев
σ 1( 2 )
σ 2(2)
(
)
Ε 1 ψ ( Ε 1 − Ε 2 ) N β − Nα µ21 + N β Ε 2 ( 1 − µ12 µ 21 )
=
;
2
δ Σ ψΕ 1 + ( 1 − ψ ) Ε 2  ψΕ 2 + ( 1 − ψ ) Ε 1  − Ε 12 µ 21
(
)
Ε 2 ψ ( Ε 1 − Ε 2 ) N β µ12 − Nα + Nα Ε 1 ( 1 − µ12 µ 21 )
=
2
δ Σ ψΕ 1 + ( 1 − ψ ) Ε 2  ψΕ 2 + ( 1 − ψ ) Ε 1  − Ε 12 µ 21
(2.65б)
или
σ 1( 1) =
σ 1( 1)
σ 2 ( 1)
σ 1( 2 )
σ 2(2)
; σ 2 (1) =
; σ 1( 2 ) =
; σ 2(2) =
. (2.65в)
δΣ
δΣ
δΣ
δΣ
Условия прочности по критериям максимальных напряжений и
Мизеса – Хилла:
F1c ≤ σ 1( 1) ≤ F1 p ;
F1c ≤ σ 1( 2 ) ≤ F1 p ;
F2 c ≤ σ 2 ( 1) ≤ F2 p ;
F2 c ≤ σ 2 ( 2 ) ≤ F2 p ;
σ 12( 1)
F12( 1)
σ
2
1( 2 )
F12( 2 )
−
−
σ 1( 1)σ 2 ( 1)
+
F1( 1) F2 ( 1)
σ 1( 2 )σ 2 ( 2 )
F1( 2 ) F2 ( 2 )
+
σ 22( 1)
F22( 1)
σ
2
2( 2)
F22( 2 )
(2.66)
≤ 1;
(2.67)
≤ 1.
Следует обратить внимание на то, что в неравенствах (2.66)
пределы прочности на сжатие F1c и F2 c подставляют со знаком «минус». Учитывая, что в справочной литературе по КМ приведены абсолютные значения пределов прочности на растяжение и сжатие, записываем выражения (2.66) в виде
σ 1( 1) ≤ F1( 1) ;
σ 1( 2 ) ≤ F1( 2 ) ;
σ 2 ( 1) ≤ F2 ( 1) ;
σ 2 ( 2 ) ≤ F2 ( 2 ) .
(2.68)
Величины F1 и F2 в (2.67), (2.68) определяют по правилу
 F1 p , если σ 1i >0 ,
F1i = 
 F1c , если σ 1i <0 ;
 F2 p , если σ 2i >0 ,
F2 i = 
 F2c , если σ 2i <0 .
29
(2.69)
Учитывая, что δ Σ – величина неотрицательная, абсолютные
значения напряжений в выражении (2.69) можно заменить приведенными σ 1i , σ 2i согласно (2.65в).
Подставим напряжения (2.65) в условия прочности (2.68):
( 1 − ψ ) ( Ε 1 − Ε 2 ) ( Nα − N β µ 21 ) + Nα Ε 2 ( 1 − µ12 µ21 )
δΣ ≥
;
2
F1( 1)
ψΕ 1 + ( 1 − ψ ) Ε 2  ψΕ 2 + ( 1 − ψ ) Ε 1  − Ε 12 µ 21
Ε 2 ( 1 − ψ ) ( Ε 1 − Ε 2 ) ( Nα µ12 − N β ) + N β Ε 1 ( 1 − µ12 µ 21 )
δΣ ≥
;
2
F2 ( 1)
ψΕ 1 + ( 1 − ψ ) Ε 2  ψΕ 2 + ( 1 − ψ ) Ε 1  − Ε 12 µ 21
(2.70)
Ε 1 ψ ( Ε 1 − Ε 2 ) ( N β − Nα µ 21 ) + N β Ε 2 ( 1 − µ12 µ 21 )
δΣ ≥
;
2
F1( 2 ) ψΕ 1 + ( 1 − ψ ) Ε 2  ψΕ 2 + ( 1 − ψ ) Ε 1  − Ε 12 µ 21
Ε1
(
)
Ε 2 ψ ( Ε 1 − Ε 2 ) N β µ12 − Nα + Nα Ε 1 ( 1 − µ12 µ 21 )
δΣ ≥
.
2
F2 ( 2 ) ψΕ 1 + ( 1 − ψ ) Ε 2  ψΕ 2 + ( 1 − ψ ) Ε 1  − Ε 12 µ 21
Ограничения (2.70) определяют значения суммарной толщины
пакета, требуемые по условиям прочности того или иного слоя в том
или ином направлении. В частности, из первого неравенства следует
минимальная толщина δ Σ , необходимая для обеспечения несущей
способности первого слоя (армирование 0°) при растяжении или сжатии вдоль волокон (направление 1). Общее решение системы неравенств (2.70) – максимальная из четырех величин (критерий максимальных напряжений выполняется для всех слоев). Аналогично поступают с условиями (2.67), т.е. при расчете по критерию Мизеса –
Хилла
δΣ ≥
δΣ ≥
σ 12( 1)
2
1( 1)
F
σ 12( 2 )
F12( 2 )
−
−
σ 1( 1)σ 2 ( 1)
F1( 1) F2 ( 1)
σ 1( 2 )σ 2 ( 2 )
F1( 2 ) F2 ( 2 )
+
+
σ 22( 1)
2
2 ( 1)
;
F
σ 22( 2 )
F22( 2 )
.
Правые части неравенств (2.70) представляют собой гиперболические функции в интервале 0 ≤ ψ ≤ 1 . В отличие от варианта (2.2)
( ε α = ε β ), который был рассмотрен выше, в случае (2.3) ( sin2ϕ i = 0 )
30
необходимо уточнить задачу проектирования, например δ Σ → min ,
т.е. минимизировать массу. Очевидно, основной способ решения такой задачи – применение численных методов для поиска минимума
верхней огибающей функций δ Σ (ψ ) , которые определяются неравенствами (2.70) или (2.67). Это типичный пример неэффективности
теоретического (аналитического) решения. Конечно, можно было бы
найти точки пересечения графиков δ Σ (ψ ) , сравнить значения δ Σ в
этих точках, вычислить путем дифференцирования градиенты функций δ Σ (ψ ) и т.д. Однако для этого следует решить множество уравнений и неравенств, при этом возрастает вероятность ошибки, особенно учитывая необходимость контроля знаков напряжений для выбора пределов прочности согласно правилу (2.69).
Анализ соотношений (2.65), (2.67) и (2.70) показывает, что задача имеет решение при любом соотношении нагрузок. Конечно, нужно
будет сравнивать массы оболочек, проектируемых на основе разных
исходных положений (согласно (2.2) и (2.3)), или изначально учитывать возможности и ограничения конкретного производства.
2.4 Проектирование оболочек вращения, изготавливаемых
намоткой нитями или жгутами
При намотке нитями или жгутами сложно гарантировать однородную стабильную связь между двумя соседними элементами арматуры, поэтому в целях повышения надежности оболочки можно пренебречь упругими и прочностными свойствами КМ поперек волокон,
тем более, что на практике разрушение в поперечном армированию
направлении (разрушение матрицы) наступает при меньших деформациях, чем разрушение вдоль волокон. Это означает, что во всех
приведенных
выше
формулах
необходимо
принять
Ε 2 = µ12 = G12 = F2 = 0 . Тогда для случая (2.2) условие оптимальности (2.4) и напряжения (2.9) можно записать так:
(
)
∑ δ i E1i Nα sin 2ϕ i − N β cos 2ϕ i = 0 ;
σ 1i =
( Nα + N β ) E1i ;
n
∑ δ i E1i
i =1
31
σ 2i = 0 .
(2.71)
(2.72)
Если материал во всех слоях одинаковый, то
(
)
∑ δ i Nα sin 2ϕ i − N β cos 2ϕ i = 0 ;
σ 1i =
Nα + N β
δΣ
; σ 2i = 0 .
(2.73)
(2.74)
В этом случае критерии максимальных напряжений и Мизеса –
Хилла будут тождественны, тогда условие прочности принимает вид
σ 1i
Nα + N β ) E1i
(
=
≤F
1i
n
(2.75)
∑ δ i E1i
i =1
или согласно (2.74)
σ 1i =
Nα + N β
δΣ
≤ F1 .
(2.76)
Последнее неравенство подтверждает вывод о независимости
массы от структуры КМ, а из условия оптимальности (2.71) следует,
что усилия Nα и N β должны быть одного знака и ни одно из них не
равно нулю.
Рассмотрим решение задачи проектирования структуры КМ
стенки оболочки для некоторых типовых схем намотки.
1. Спиральная намотка [ ±ϕ ] . В этом случае n = 2 , Ε 1i = Ε 1 ,
F1 i = F1 , а проектными параметрами являются
ϕ 1 = −ϕ 2 = ϕ , δ 1 = δ 2 = δ .
С учетом этих обозначений условие (2.73) принимает вид
(
)
2δ Nα sin 2ϕ − N β cos 2ϕ = 0
(2.77)
или
tg 2ϕ =
Nβ
Nα
.
(2.78)
Из ограничения (2.76) найдем толщину стенки
δΣ ≥
Nα + N β
F1
32
.
(2.79)
Так как Nα и N β одного знака, то уравнение (2.78) всегда имеет решение.
2. Продольно-спиральная намотка [0 / ±ϕ ] . В этом случае
n = 3 , ϕ 1 = 0 , ϕ 2 = −ϕ 3 = ϕ , δ 1 = δ 1 , δ 2 = δ 3 = δ .
Полагая, что материал во всех слоях одинаковый, т.е.
Ε 1i = Ε 1 ,
F1 i = F1 , преобразуем условие оптимальности (2.73)
(
)
−δ 1 N β + 2δ Nα sin 2ϕ − N β cos 2ϕ = 0 ,
(2.80)
2
2
δ 1 Nα sin ϕ − N β cos ϕ
=
.
2δ
Nβ
(2.81)
откуда
Учитывая неотрицательность толщин слоев, из последнего неравенства получаем ограничения на соотношение усилий Nα и N β :
если N β > 0
⇒
Nα sin 2ϕ − N β cos 2ϕ > 0 ,
(2.82)
если N β < 0
⇒
Nα sin 2ϕ − N β cos 2ϕ < 0 .
(2.83)
Общее решение выражений (2.82) и (2.83)
Nβ
tg 2ϕ >
Nα
,
(2.84)
что позволяет установить интервал допустимых углов намотки
из условия прочности (2.76) следует
δ Σ = δ 1 + 2δ =
Nα + N β
F1
.
ϕ, а
(2.85)
Решая систему уравнений (2.81) и (2.85), найдем толщины слоев
δ1 =
Nα sin 2ϕ − N β cos 2ϕ
F1 sin 2ϕ
2δ =
Nβ
F1 sin 2ϕ
;
(2.86)
.
На рис. 2.6, а показаны графики этих двух зависимостей с учетом ограничения (2.84).
33
δ
δ
δΣ
δΣ
2δ
δ
Nα
F1
Nα
F1
Nβ
Nβ
F1
F1
δ1
ϕ0
2δ
δ
δ1
π 2 ϕ
ϕ0
π 2 ϕ
Рисунок 2.6 – Зависимость толщин слоев от угла намотки
а – структура [0 / ±ϕ ] ; б – структура [90 / ±ϕ ] ;
ϕ 0 – предельный угол намотки согласно (2.84)
ϕ:
3. Спирально-окружная намотка [90 / ±ϕ ] . Аналогично предыдущему случаю
n = 3 , ϕ 1 = π / 2 , ϕ 2 = −ϕ 3 = ϕ , δ 1 = δ 1 , δ 2 = δ 3 = δ ,
Ε 1i = Ε 1 , F1 i = F1 .
Условие оптимальности (2.73) принимает вид
(
)
δ 1 Nα + 2δ Nα sin 2ϕ − N β cos 2ϕ = 0
(2.87)
2
2
δ 1 N β cos ϕ − Nα sin ϕ
,
=
2δ
Nα
(2.88)
или
откуда следует ограничение на угол намотки
tg 2ϕ <
Nβ
Nα
.
Из системы уравнений (2.85) и (2.88)
34
(2.89)
δ1 =
N β cos 2ϕ − Nα sin 2ϕ
2
F1cos ϕ
(2.90)
Nα
2δ =
;
2
F1cos ϕ
.
Графики зависимостей (2.90) схематично изображены на
рис. 2.6, б.
Выше получены основные формулы для определения структурных параметров композитных оболочек со схемами намотки [ ±ϕ ] ,
[0 / ±ϕ ] , [90 / ±ϕ ] , наиболее распространенные при использовании
нитей, жгутов, ровингов.
Из анализа решений (2.78) и (2.79), (2.84) и (2.86), (2.89) и (2.90)
и рис. 2.6 видно, что указанные три схемы намотки взаимно дополняют друг друга, что обеспечивает работоспособность проектируемой
оболочки при любом соотношении действующих нагрузок.
4. Продольно-окружная намотка [0 / 90 ] . В этом случае условие
оптимальности принимает вид (2.3), а деформации ε α и ε β можно
найти путем соответствующих преобразований равенств (2.59) с учетом Ε 2 i = 0 и µ12 i = 0 :
εα =
Напряжения
Nα
δ 1Ε 1
εβ =
;
Nβ
δ 2Ε 2
.
(2.91)
σ 1( 1) и σ 1( 2 ) определяем согласно (2.61):
σ 1( 1) =
Nα
δ1
σ 1( 2 ) =
;
Nβ
δ2
.
(2.92)
Записав условия прочности
Nα
δ1
Nβ
≤ F1 ;
δ2
≤ F1 ,
(2.93)
можно найти требуемые значения толщин слоев.
Заметим, что суммарную толщину стенки оболочки из КМ со
структурой [0 / 90 ] , [ ±ϕ ] , [0 / ±ϕ ] или [90 / ±ϕ ] рассчитывают по одной и той же формуле (2.76), т.е. масса оболочки не зависит от схемы
намотки, если структура КМ удовлетворяет условию оптимальности.
35
3 ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ
3.1 Общая методика проектирования
Выше отмечалось, что область применения критерия отсутствия
касательных напряжений в слоях (или армирования по траекториям
главных напряжений) ограничена оболочками, подверженными действию осесимметричных нагрузок (т.е. усилия Nα и N β строго пропорциональны друг другу, отсутствуют крутящие и изгибающие моменты и перерезывающие силы). К агрегатам с общим характером
нагружения относятся корпуса ракет, отсеки фюзеляжа самолета,
нефте-, газо- и водопроводы и другие конструкции, которые целесообразно и эффективно изготавливать путем намотки.
Рассмотрим цилиндрическую конструктивно осесимметричную
оболочку. Будем считать, что в каждом сечении оболочки известны
обобщенные осевая N x и перерезывающие Q y , Qz силы, изгибающие
Μ y , Μ z и крутящий Μ x моменты, а также давление p (внут-
реннее или внешнее) (рис. 3.1).
y
R
My
Qy
N
Mx
Qz
Mz
z
q αβ
p
Nα
x
Nβ
Рисунок 3.1 – Расчетная схема оболочки
36
Компоненты усилий Nα , N β и qαβ от каждого из обобщенных
силовых факторов можно получить на основе расчетной схемы тонкостенного стержня (табл. 3.1).
Таблица 3.1 – Компоненты усилий в стенке оболочки
Обобщенный
силовой
фактор
Внутренние усилия в элементе оболочки
Nα
Nβ
qαβ
Nx
Nx
2π R
0
0
Qy
0
0
Qz
0
0
Μy
−
Μ y cosθ
πR
2
Μ z sinθ
Μz
πR
2
Q y cosθ
πR
−
Qz sinθ
πR
0
0
0
0
Mx
0
0
Μx
2π R 2
p
0
pR
0
Суммарные усилия определяют путем суммирования:
Nα =
1
2π R 2
N β = pR ;
qαβ =
1
2π R 2
( N x R − 2Μ y cosθ + 2Μ z sinθ ) ;
(3.1)
( Μ x + 2Q y Rcosθ − 2Qz Rsinθ ) .
В качестве целевой функции и критерия проектирования будем
рассматривать минимизацию погонной массы оболочки, которая
вследствие постоянной по контуру толщины равнозначна поверхностной массе
37
n
G = ∑ δ i ρ i → min .
(3.2)
i=1
В данном разделе вопросы устойчивости оболочки не рассматривают. На проектные переменные (структурные параметры КМ) накладывают только прочностные и конструктивно-технологические ограничения.
При послойной оценке прочности предполагается проверка следующих условий:
- для критерия максимальных напряжений
σ 1i (θ ) ≤ F1i ;
σ 2 i (θ ) ≤ F2 i ;
τ 12 i (θ ) ≤ F12 i ;
(3.3)
- для критерия Мизеса – Хилла
2
σ 12i (θ ) σ 1i (θ ) σ 2 i (θ ) σ 22i (θ ) τ 12
i (θ )
2
1i
F
−
+
F1 i F2 i
2
2i
F
+
2
12 i
F
≤ 1.
(3.4)
Если на прочность рассчитывают пакет слоев в целом, то проверяют выполнение таких неравенств:
- для критерия максимальных напряжений
σ α (θ ) ≤ Fα ;
σ β (θ ) ≤ Fβ ;
τ αβ (θ ) ≤ Fαβ ;
(3.5)
- для критерия Мизеса – Хилла
2
2
σ α2 (θ ) σ α (θ ) σ β (θ ) σ β (θ ) τ αβ (θ )
2
Fα
−
+
Fα Fβ
2
Fβ
+
2
Fαβ
≤ 1.
(3.6)
Методика определения компонент напряженного состояния
подробно рассмотрена в предыдущих разделах; ниже без пояснений
даны необходимые формулы:
σ 1 i = Ε 1i ( ε 1 i + µ 21i ε 2 i ) ;
σ 2 i = Ε 2 i ( ε 2 i + µ12 i ε 1i ) ;
(3.7)
τ 12 i = G12 i γ 12 i ;
ε 1i = ε α cos 2ϕ i + ε β sin 2ϕ i + γ αβ sinϕ i cosϕ i ;
ε 2 i = ε α sin 2ϕ i + ε β cos 2ϕ i − γ αβ sinϕ i cosϕ i ;
(
)
γ 12 i = ε β − ε α sin2ϕ i + γ αβ cos2ϕ i ;
38
(3.8)
εα =
Nα B22 − N β B12
;
2
B11 B22 − B12
σα =
Nα
δΣ
;
εβ =
N β B11 − Nα B12
2
B11 B22 − B12
Nβ
σβ =
δΣ
;
τ αβ =
;
qαβ
δΣ
γ αβ =
.
qαβ
B33
; (3.9)
(3.10)
Пределы прочности F1 , F2 выбирают согласно правилу (2.69),
а Fα , Fβ – аналогично:
 Fβ p , если σ β > 0 ,
 Fα p , если σ α > 0 ,
Fα = 
Fβ = 
F
,
если
<
0
;
σ
 Fβ c , если σ β < 0 .
α
 αc
Величины F1 p , F1c , F2 p , F2c , F12 можно найти в справочной литературе, а пределы прочности пакета слоев Fα p , Fα c , Fβ p , Fβ c , Fαβ
вычисляют аналитически по зависимостям механики слоистых композиционных материалов.
Рассмотрим проектирование оболочки, изготавливаемой спиральной намоткой [ ±ϕ ] . Будем считать, что ϕ 1 = −ϕ 2 = ϕ ,
δ 1 = δ 2 = δ , Ε 1i = Ε 1 и т.д. Тогда жесткости и деформации пакета
согласно (1.2) и (1.6) определяются формулами
B11 = 2δ b11 ; B22 = 2δ b22 ; B33 = 2δ b33 ; B12 = 2δ b12 ; (3.11)
εα =
1 Nα b22 − N β b22
;
2
2δ b11b22 − b12
εβ =
1 N β b11 − Nα b12
;
2
2δ b11b22 − b12
γ αβ =
(3.12)
1 qαβ
,
2δ b33
а деформации и напряжения в слоях с армированием +ϕ и −ϕ соответственно
ε 1( 1, 2 ) = ε α cos 2ϕ + ε β sin 2ϕ ± γ αβ sinϕ cosϕ ;
ε 2 ( 1, 2 ) = ε α sin 2ϕ + ε β cos 2ϕ ∓ γ αβ sinϕ cosϕ ;
(
)
γ 12 ( 1, 2 ) = ± ε β − ε α sin2ϕ + γ αβ cos2ϕ ;
39
(3.13)
σ 1( 1, 2 ) = Ε 1 ε α cos 2ϕ + µ 21 sin 2ϕ + ε β sin 2ϕ + µ21cos 2ϕ ±

(
)
(
)
± γ αβ sinϕ cosϕ ( 1 − µ 21 )  ;
σ 2 ( 1, 2 ) = Ε 2 ε α sin 2ϕ + µ12 cos 2ϕ + ε β cos 2ϕ + µ12 sin 2ϕ ∓ (3.14)

τ 12 ( 1, 2 )
(
)
(
)
∓γ αβ sinϕ cosϕ ( 1 − µ12 )  ;

= G12  ± ε β − ε α sin2ϕ + γ αβ cos2ϕ  .


(
)
После подстановки уравнений (3.12) в (3.13) и (3.14) запишем
формулы для расчета напряжений в таком виде:
σ 1( 1) = Α1( 1) / 2δ ; σ 2 ( 1) = Α2 ( 1) / 2δ ; τ 12 ( 1) = Α12 ( 1) / 2δ ;
(3.15)
σ 1( 2 ) = Α1( 2 ) / 2δ ; σ 2 ( 2 ) = Α2 ( 2 ) / 2δ ; τ 12 ( 2 ) = Α12 ( 2 ) / 2δ .
Выражения для определения коэффициентов Α1i , Α2i и Α12i ,
входящих в (3.15), можно получить путем соответствующих преобразований (здесь они не приведены ввиду их громоздкости). Отметим,
что они являются функциями от угла намотки ϕ (через коэффициенты эффективной жесткости b11 , b22 , b33 , b12 ), угловой координаты θ
(через усилия Nα , N β , qαβ ) и не зависят от толщины пакета 2δ .
Это позволяет найти из критериев прочности (3.3) и (3.4) требуемую
толщину оболочки:
- по критерию максимальных напряжений

Α Α Α
2δ = min  max  1 i ; 2 i ; 12 i
ϕ  i ,θ  F1i F2i F12

 ;

(3.16)
- по критерию Мизеса – Хилла
2

Α1i2 Α1i Α2 i Α2i2 Α12i
2δ = min  max
−
+ 2 + 2
2
ϕ  i ,θ
F1i F1i F2 i F2i
F12


.


(3.17)
Таким образом, проектирование структуры КМ в данном случае
представляет собой минимаксную задачу: оптимальный угол намотки
соответствует минимальной толщине, при вычислении которой учитывается самый нагруженный слой (индекс « i ») в наиболее опасной
точке поперечного сечения оболочки (координата θ ). На практике
обычно используют не непрерывную, а дискретную переменную θ ,
т.е. задают расчетные точки контура (их количество и координаты ус40
танавливает конструктор путем оценки градиентов усилий). Если ограничения по прочности накладывают на весь пакет в целом, то необходимо заранее определить зависимости пределов прочности
Fα p , Fα c , Fβ p , Fβ c , Fαβ от угла ϕ , используя соотношения механики слоистых сред.
Рассмотрим проектирование оболочки, изготавливаемой продольно-спиральной намоткой [ 0 / ±ϕ ] . Будем считать, что
ϕ 1 = 0 , ϕ 2 = −ϕ 3 = ϕ , δ 1 = δ 1 , δ 2 = δ 3 = δ ,
материал во всех слоях одинаковый, т.е. Ε 1i = Ε 1 , Ε 2 i = Ε 2 и т.д.
Для упрощения дальнейших расчетов обозначим через параметр ψ относительную толщину продольных слоев. Тогда
δ1 =ψ δΣ ;
(3.18)
2δ = ( 1 − ψ ) δ Σ .
Коэффициенты эффективной жесткости
Β 11 = δ Σ ψ Ε 1 + ( 1 − ψ ) b11 (ϕ )  ;
Β 22 = δ Σ ψ Ε 2 + ( 1 − ψ ) b22 (ϕ )  ;
Β 33 = δ Σ ψ G12 + ( 1 − ψ ) b33 (ϕ )  ;
(3.19)
Β 12 = δ Σ ψ Ε 1 µ 21 + ( 1 − ψ ) b12 (ϕ )  ,
а деформации и напряжения в слоях пакета можно вычислить по
следующим формулам:
ε 1( 1) = ε α ; ε 2 ( 1) = ε β ; γ 12(1) = γ αβ ;
ε 1( 2 , 3 ) = ε α cos 2ϕ + ε β sin 2ϕ ± γ αβ sinϕ cosϕ ;
2
2
ε 2 ( 2 , 3 ) = ε α sin ϕ + ε β cos ϕ ∓ γ αβ sinϕ cosϕ ;
(
εβ ); σ
(3.20)
)
γ 12 ( 2 , 3 ) = ± ε β − ε α sin2ϕ + γ αβ cos2ϕ ;
(
σ 1( 1) = Ε 1 ε α + µ 21
2(1)
(
)
= Ε 2 ε β + µ12ε α ; τ 12(1) = G12γ αβ ;
σ 1( 2 , 3 ) = Ε 1 ε α cos 2ϕ + µ21 sin 2ϕ +
(
+ε β
(
)

sin 2ϕ + µ 21cos 2ϕ ± γ αβ sinϕ cosϕ ( 1 − µ 21 )  ;
)
41
(3.21а)
σ 2 ( 2 , 3 ) = Ε 2 ε α sin 2ϕ + µ12 cos 2ϕ +
(
)
sin ϕ ) ∓ γ αβ sinϕ cosϕ ( 1 − µ

(
+ε β cos 2ϕ + µ12
2
12
)  ;
(3.21б)
τ 12 ( 2 , 3 ) = G12  ± ε β − ε α sin2ϕ + γ αβ cos2ϕ  .
(
)
Используя обозначения
σ 1i = Α1 i / δ Σ ;
σ 2i = Α2 i / δ Σ ;
τ 12i = Α12 i / δ Σ ,
(3.22)
выведем следующие соотношения для определения минимальной
толщины оболочки, требуемой по условиям прочности:

 Α1 i Α2 i Α12 i
;
;
F
F
F12
2i
 1i
δ Σ = min  max 
ψ ,ϕ

 ;

(3.23)


2
2 
 Α2 Α Α
Α
Α
1
1
2
2
12
i
i
i
i
−
(3.24)
δ Σ = min  max 
+ 2 + 2i   .
2

ψ ,ϕ  i , j  F1i
F1i F2i F2i

F
12  


Здесь индекс « j » определяет расчетную точку контура поперечного
i, j
сечения.
Формулы (3.23) и (3.24) можно использовать и для проектирования оболочки, изготовленной спирально-окружной намоткой из одного КМ. При этом нужно учесть, что ϕ 1 = π / 2 , ϕ 2 = −ϕ 3 = ϕ , δ 1 = δ 1 ,
δ 2 = δ 3 = δ , ψ = δ 1 / δ Σ , Ε 1i = Ε 1 и т.д. Тогда
Β 11 = δ Σ ψ Ε 2 + ( 1 − ψ ) b11 (ϕ )  ;
Β 22 = δ Σ ψ Ε 1 + ( 1 − ψ ) b22 (ϕ )  ;
Β 33 = δ Σ ψ G12 + ( 1 − ψ ) b33 (ϕ )  ;
(3.25)
Β 12 = δ Σ ψ Ε 1 µ 21 + ( 1 − ψ ) b12 (ϕ )  ;
ε 1( 1) = ε β ; ε 2 ( 1) = ε α ; γ 12 ( 1) = γ αβ ;
(
)
(
)
σ 1( 1) = Ε 1 ε β + µ 21ε α ; σ 2 ( 1) = Ε 2 ε α + µ12ε β ;
(3.26)
τ 12(1) = G12γ αβ .
Для структур [0 / ±ϕ ] и [90 / ±ϕ ] пределы прочности пакета
слоев зависят от угла спиральной намотки ϕ и параметра ψ , т.е. от
относительной толщины продольных или поперечных (окружных)
42
слоев. Следовательно, если ограничения по прочности заданы в виде
выражений (3.5) или (3.6), то, определив функциональные зависимости Fα p (ϕ ,ψ ) , Fα c (ϕ ,ψ ) , Fβ p (ϕ ,ψ ) , Fβ c (ϕ ,ψ ) , Fαβ (ϕ ,ψ ) и приняв
во внимание (3.10), можно вычислить требуемую толщину оболочки

 Nα N β qαβ
;
;
δ Σ = min  max 
ψ ,ϕ  j  Fα Fβ Fαβ



  ;
 

2
2

2
N
N
N
q
N
α
β
β
αβ
α
δ Σ = min  max 
−
+ 2 + 2
Fα Fβ
ψ ,ϕ  j  Fα2
Fβ Fαβ



 .


(3.27)
Аналогичным путем решают задачи оптимального армирования
и для других схем намотки. Например, для описания структуры
[0 / 90 / ±ϕ ] вводят коэффициенты ψ 1 и ψ 2 как доли продольных и
окружных слоев. Допустим δ 1 , δ 2 , 2δ – толщины слоев с армирова
нием 0 , 90 и ±ϕ , тогда
δ 1 = ψ 1δ Σ ;
δ 2 = ψ 2δ Σ ;
2δ = ( 1 − ψ 1 − ψ 2 ) δ Σ ,
(3.28)
причем обязательно должно соблюдаться условие
(3.29)
ψ 1 +ψ 2 ≤ 1.
Это позволяет представить все расчетные зависимости с общим
множителем δ Σ и получить при послойной оценке прочности

 A1i A2i A12i  
;
;
 ;
F
F
F
2i
12  
 1i
δ Σ = min  max 
ψ 1 ,ψ 2 ,ϕ  i , j

2
2
 A2 A A
A
A
1
1
2
12
i
i
i
2i
i
δ Σ = min  max 
−
+
+
ψ 1 ,ψ 2 ,ϕ  i , j  F1i2
F1i F2i F1i2
F122



 ,


(3.30а)
а при расчете на прочность всего пакета слоев

 Nα N β qαβ
;
;
δ Σ = min  max 
ψ 1 ,ψ 2 ,ϕ  j  Fα Fβ Fαβ



2

2
N
N
N
N
α
β
β
α
−
+ 2
δ Σ = min  max 
Fα Fβ
ψ 1 ,ψ 2 ,ϕ  j  Fα2
Fβ


43

  ;
 
2
+
qαβ
2
Fαβ

 .


(3.30б)
Поиск оптимальных параметров ϕ , ψ 1 , ψ 2 и δ ∑ можно проводить с помощью каких-либо численных методов или стандартных
процедур минимизации и максимизации функционалов, реализованных в программных продуктах для математических расчетов (Maple,
Matematica, MathCad и др.).
После определения оптимальных значений структурных параметров КМ необходимо рассмотреть конструктивно-технологические
ограничения, т.е. привести толщины к целому числу монослоев, а углы армирования задать с учетом параметров намоточного станка.
При этом может увеличиться проектная масса оболочки.
3.2. Численные эксперименты и анализ результатов
Для определения оптимальных схем намотки в зависимости от
характера нагружения, критерия прочности и алгоритма проверки несущей способности были проведены расчеты оболочки длиной 5 м и
радиусом 0 , 5 м при обобщенных силовых факторах М хо = 500 кНм,
М zо = 1000 кНм, Q yo = −200 кН, p = 0 , 5 МПа (рис. 3.2). В качестве
материала стенки выбран однонаправленный КМ со следующими
физико-механическими характеристиками:
- плотность, кг/м3, ρ = 1450 ;
- модули упругости и коэффициент Пуассона
Е1 = 100 ГПа ; Е 2 = 10 ГПа ; G12 = 6 ГПа ; µ12 = 0 , 35 ;
- пределы прочности, МПа,
F1 р = 900 ; F1с = 700 ; F2 р = 50 ; F2 с = 120 ; F12 = 75 ;
- толщина монослоя, мм,
δ 0 = 0 , 08 .
При оформлении результатов приняты обозначения:
δ1 , δ2 –
толщины слоев с армированием 0 и 90 соответственно; 2δ – суммарная толщина слоев с армированием ±ϕ ; δ Σ – толщина пакета
(стенки оболочки).
В табл. 3.2 приведены данные, позволяющие качественно и количественно оценить влияние на тип и параметры оптимальной
структуры используемого критерия прочности и его формулировки
(для каждого слоя или для пакета в целом). Кроме того, в табл. 3.2
указаны результаты оптимизации структуры КМ по заданному углу
спиральной намотки (ϕ = 45 ).
44
y
x
z
R
Qy
Mz
Mx
p
Рисунок 3.2 – Схема нагружения оболочки
и выбор расчетных точек
Как показывают расчеты, выбор условий прочности может существенно влиять на проектную массу оболочки (например, разница
в толщинах оболочки, рассчитанных согласно (3.3) – (3.6) может достигать 20…60%). Это еще раз подтверждает то, что к выбору критерия прочности на этапе проектирования деталей и агрегатов из КМ
следует подходить очень серьезно, особенно учитывая большое многообразие существующих в настоящее время теорий (критериев)
прочности.
При отсутствии достаточного опыта проектирования и эксплуатации композитных конструкций наиболее адекватная оценка критерия – его экспериментальная верификация.
Необходимо отметить, что методика послойной проверки прочности основана на результатах испытаний, поэтому такой подход (использование соотношений (3.3) или (3.4)) более естественный и достоверный, несмотря на то, что полноту реализации упругих и прочностных свойств монослоя в составе пакета теоретически установить
невозможно.
Из табл. 3.2 следует, что замена оптимального угла намотки на
угол 45 не приводит к ощутимому увеличению массы, но может влиять на тип оптимальной структуры для некоторых случаев нагружения.
45
Таблица 3.2 – Влияние формулировки критериев прочности на
оптимальные параметры оболочки из КМ при нагружении усилиями
М х = 500 кНм, М z = 1000 кНм, Q y = −200 кН, p = 0 , 5 МПа
Условия
прочности
Послойно,
ϕ = var
Послойно,
ϕ = const
Для пакета,
ϕ = var
Для пакета,
ϕ = const
Параметры
структуры
δ 1 , мм
δ 2 , мм
2δ , мм
Критерий прочности
максимальных
Мизеса – Хилла
напряжений
0,96
0
ϕ opt , град
δ Σ , мм
δ 1 , мм
δ 2 , мм
2δ , мм
ϕ , град
δ Σ , мм
δ 1 , мм
δ 2 , мм
2δ , мм
ϕ opt , град
δ Σ , мм
δ 1 , мм
δ 2 , мм
2δ , мм
ϕ , град
δ Σ , мм
0,56
0,48
2,24
2,56
38…41
25…27
3,76
3,04
1,36
0,96
0,32
0
2,24
2,24
45
45
3,92
3,2
0
0,88
0,64
0
3,04
1,28
23…26
46…54
3,68
2,16
1,52
0,96
0,4
0
2,08
1,28
45
45
4,0
2,24
Тип структуры КМ (т.е. схема намотки) незначительно влияет на
массу оболочки (табл. 3.3 – 3.5) и во многом зависит от характера на
гружения. Например, окружные слои с армированием 90 в воспри46
ятии изгибающего момента
Μ z и поперечной силы Q y практически
не участвуют, а при действии внутреннего (или внешнего) давления
являются наиболее нагруженными.
Таблица 3.3 – Рациональные параметры структуры КМ стенки
оболочки при нагружении внутренним давлением p = 0 , 5 МПа
Условия прочности
и параметры
структуры КМ
δ 1 , мм
Послойно,
ϕ = var
Послойно,
ϕ = const
Для
пакета,
ϕ = var
Для
пакета,
ϕ = const
Тип реализуемой структуры
[0 / 90 / ±ϕ ] [0 / ±ϕ ] [90 / ±ϕ ]
[±ϕ ]
[0 / 90 ]
0
0
–
–
0,24
δ 2 , мм
0,08
–
0,08
–
0,56
2δ , мм
0,64
0,8
0,64
0,8
–
ϕ opt , град
49…54
50…58
49…54
50…58
–
δ Σ , мм
0,72
0,8
0,72
0,8
0,8
δ 1 , мм
0
0
–
–
0,24
δ 2 , мм
0,24
–
0,24
–
0,56
2δ , мм
0,48
1,28
0,48
1,28
–
ϕ , град
45
45
45
45
–
δ Σ , мм
0,72
1,28
0,72
1,28
0,8
δ 1 , мм
0
0,24
–
–
0,24
δ 2 , мм
0,24
–
0,4
–
0,56
2δ , мм
0,48
0,48
0,32
1,28
–
ϕ opt , град
0…90
76…90
3…28
51…55
–
δ Σ , мм
0,72
0,72
0,72
1,28
0,8
δ 1 , мм
0,24
0,48
–
–
0,24
δ 2 , мм
0,48
–
0,4
–
0,48
2δ , мм
0
1,6
0,64
1,6
–
ϕ , град
45
45
45
45
–
δ Σ , мм
0,72
2,08
1,04
1,6
0,72
47
Таблица 3.4 – Рациональные параметры структуры КМ стенки
оболочки при нагружении усилиями М z = 1000 кНм, Q y = −200 кН
Условия прочности
и параметры
структуры КМ
δ 1 , мм
Послойно,
ϕ = var
Послойно,
ϕ = const
Для
пакета,
ϕ = var
Для
пакета,
ϕ = const
Тип реализуемой структуры
[0 / 90 / ±ϕ ] [0 / ±ϕ ] [90 / ±ϕ ]
[ ±ϕ ]
[0 / 90 ]
0,24
0,24
–
–
1,84
δ 2 , мм
0
–
0
–
0
2δ , мм
1,6
1,6
1,92
1,92
–
ϕ opt , град
0…2
0…2
0…4
0…4
–
δ Σ , мм
1,84
1,84
1,92
1,92
1,84
δ 1 , мм
1,84
2,0
–
–
1,84
δ 2 , мм
0
–
2,8
–
0
2δ , мм
0
0,16
8,8
8,96
–
ϕ , град
45
45
45
45
–
δ Σ , мм
1,84
2,16
11,6
8,96
1,84
δ 1 , мм
0,24
0,24
–
–
1,84
δ 2 , мм
0
–
0
–
0
2δ , мм
1,6
1,6
1,92
1,92
–
ϕ opt , град
0…2
0…2
0…5
0…5
–
δ Σ , мм
1,84
1,84
1,92
1,92
1,84
δ 1 , мм
1,84
1,92
–
–
1,84
δ 2 , мм
0
–
2,8
–
0
2δ , мм
0
0,16
8,8
8,96
–
ϕ , град
45
45
45
45
–
δ Σ , мм
1,84
2,08
11,6
8,96
1,84
48
Таблица 3.5 – Влияние характера нагружения на параметры
структуры КМ
Условия Параметры
прочности структуры
Послойно,
ϕ = var
Послойно,
ϕ = const
Для
пакета,
ϕ = var
Для
пакета,
ϕ = const
Расчетные случаи
Qy +
p + Qy + Qy + Mz +
p
Qy
δ 1 , мм
0
δ 2 , мм
+ Mz
+ Mz
+Mx
0
0,24
2,8
2,24
0,08
0
0
0,4
0
2δ , мм
0,64
0,64
1,6
0,16
1,6
ϕ opt , град
49…54
32…58
0…2
0…8
40
δ Σ , мм
0,72
0,64
1,84
3,36
3,84
δ 1 , мм
0
0
1,84
2,96
2,1
δ 2 , мм
0,24
0
0
0,4
0
2δ , мм
0,48
0,64
0
0
1,92
ϕ , град
45
45
45
45
45
δ Σ , мм
0,72
0,64
1,84
3,36
4,08
δ 1 , мм
0,24
0
0,24
0,2
0
δ 2 , мм
0,48
0
0
0,72
0
2δ , мм
0
0,64
1,6
0
4
ϕ opt , град
0…90
32…58
0…2
0…90
15…17
δ Σ , мм
0,72
0,64
1,84
3,12
4,0
δ 1 , мм
0,24
0
1,84
2,4
2,64
δ 2 , мм
0,48
0
0
0,72
0
2δ , мм
0
0,64
0
0
1,6
ϕ , град
45
45
45
45
45
δ Σ , мм
0,72
0,64
1,84
3,12
4,24
Аналитические методики представляют больший интерес в силу
их инвариантности по отношению к выбираемому материалу и характеру внешней нагрузки. Однако инженер, как правило, оперирует чис49
лами, поэтому ниже приведены результаты проектирования оболочки
с разными схемами намотки, тем более, что эти результаты во многом показательны (табл. 3.6 – 3.10).
0
1
2
3
4
5
Оболочка
в целом
Таблица 3.6 – Рациональные параметры структуры [0 / 90 ]
δ 1 , мм
2,4
3,04
3,76
4,56
5,04
5,68
5,68
δ 2 , мм
3,6
3,04
2,32
1,6
1,2
0,8
0,8
δ Σ , мм
6,0
6,08
6,08
6,16
6,24
6,48
6,48
δ 1 , мм
2,16
2,72
3,36
3,92
4,48
5,04
5,04
δ 2 , мм
3,84
3,28
2,72
2,16
1,68
1,28
1,28
δ Σ , мм
6,0
6,0
6,08
6,08
6,16
6,32
6,32
Для
пакета
Для
каждого
слоя
Условия
прочности
и параметры
структуры
Координата сечения x , м
Условия
прочности
и параметры
структуры
Послойно,
ϕ = var
Послойно,
ϕ = const
Для
пакета,
4
5
Оболочка
в целом
Таблица 3.7 – Рациональные параметры структуры [ ±ϕ ]
0
0
0
Координата сечения x , м
0
1
2
3
ϕ opt , град 44…47 40…45 35…42 0…1
δ Σ , мм
4,48
6,08
7,52
8,0
8,0
8,16
8,16
ϕ , град
45
45
45
45
45
45
45
δ Σ , мм
4,48
6,08
7,84
9,6
11,36
12,96 12,96
ϕ opt , град 38…45 31…42 17…33 13…21 13…15 8…16 8…16
ϕ = var
δ Σ , мм
4,16
5,44
6,4
6,88
7,2
7,68
7,68
Для
пакета,
ϕ , град
45
45
45
45
45
45
45
δ Σ , мм
4,16
5,76
7,52
9,12
10,88
ϕ = const
50
12,64 12,64
При составлении табл. 3.6 – 3.10 рассматривалась оболочка,
нагруженная внутренним давлением p = 0 , 5 МПа, поперечной силой
Q y = −200 кН, сосредоточенным изгибающим М z = 1000 кНм и крутящим М х = 500 кНм моментами. В столбце «Оболочка в целом»
указаны параметры структуры, удовлетворяющие условиям прочности по всей длине оболочки. В качестве критерия прочности выбран
критерий Мизеса – Хилла.
0
1
2
3
4
5
Оболочка
в целом
Таблица 3.8 – Рациональные параметры структуры [0 / ±ϕ ]
δ 1 , мм
1,04
1,76
2,24
2,88
3,36
4,0
4,0
2δ , мм
2,4
2,24
2,24
2,08
2,08
1,92
1,92
Условия
прочности
и параметры
структуры
Послойно,
ϕ = var
Координата сечения x , м
ϕ opt , град 50…51 49…51 49…51
50
50…51 50…51 50…51
δ Σ , мм
3,44
4,0
4,0
4,96
5,44
5,92
5,92
δ 1 , мм
1,52
2,32
3,04
3,6
4,08
4,72
4,72
Послойно,
2δ , мм
2,24
2,08
1,92
1,92
1,92
1,76
1,76
ϕ = const
ϕ , град
45
45
45
45
45
45
45
δ Σ , мм
3,76
4,4
4,96
5,52
6,0
6,48
6,48
δ 1 , мм
1,04
1,36
2,0
2,48
2,88
3,52
3,52
2δ , мм
2,24
2,4
2,24
2,24
2,24
2,08
2,08
Для
пакета,
ϕ = var
Для
пакета,
ϕ = const
ϕ opt , град 56…60 58…60 58…63 58…64 60…64 59…66 59…66
δ Σ , мм
3,28
3,76
4,24
4,72
5,12
5,6
5,6
δ 1 , мм
1,36
2,08
2,48
3,12
3,52
4,08
4,08
2δ , мм
2,56
2,4
2,56
2,4
2,56
2,4
2,4
ϕ , град
45
45
45
45
45
45
45
δ Σ , мм
3,92
4,48
5,04
5,52
6,08
6,48
6,48
51
0
1
2
3
4
5
Оболочка
в целом
Таблица 3.9 – Рациональные параметры структуры [90 / ±ϕ ]
δ 2 , мм
0,72
0,88
1,04
1,12
1,04
1,04
1,04
2δ , мм
2,56
3,04
3,36
3,68
4,32
4,64
4,64
Условия
прочности
и параметры
структуры
Послойно,
ϕ = var
Координата сечения x , м
ϕ opt , град 35…36 28…31 23…26 20…21 15…21 14…16 14…16
δ Σ , мм
3,28
3,92
4,4
4,8
5,36
5,68
5,68
δ 2 , мм
0
0,88
1,6
2,16
2,88
3,44
3,44
Послойно,
2δ , мм
4,48
6,24
7,84
9,6
11,2
12,96
12,96
ϕ = const
ϕ , град
45
45
45
45
45
45
45
δ Σ , мм
4,48
7,12
9,44
11,76
14,08
16,4
16,4
δ 2 , мм
0,48
0,64
0,72
0,72
0,8
0,72
0,72
2δ , мм
2,72
3,04
3,36
3,84
4,16
4,64
4,64
Для
пакета,
ϕ = var
Для
пакета,
ϕ = const
ϕ opt , град 29…30 23…26 20…22 17…21 15…18 15…17 15…17
δ Σ , мм
3,2
3,68
4,08
4,56
4,96
5,36
5,36
δ 2 , мм
0,88
1,6
2,16
2,8
2,8
3,84
3,84
2δ , мм
4,8
6,24
8,0
8,0
9,6
13,2
13,2
ϕ , град
45
45
45
45
45
45
45
δ Σ , мм
5,68
7,84
10,16
10,16
12,4
16,96
16,96
52
Условия
прочности
и параметры
структуры
Послойно,
ϕ = var
Послойно,
ϕ = const
Для
пакета,
ϕ = var
Для
пакета,
ϕ = const
0
1
2
3
4
5
Оболочка
в целом
Таблица 3.10 – Рациональные параметры структуры [0 / 90 / ±ϕ ]
Координата сечения x , м
δ 1 , мм
δ 2 , мм
0,08
0,96
1,6
2,0
2,56
3,12
3,12
0,08
0,56
0,56
0,72
0,64
0,64
0,64
2δ , мм
2,4
2,24
2,08
1,92
1,92
1,76
1,76
35
35
ϕ opt , град 35…36
δ Σ , мм 3,28
δ 1 , мм
0,88
δ 2 , мм 0,24
38…41 37…41 35…36 35…37
3,76
4,24
6,64
5,12
5,52
5,52
1,36
1,68
2,32
3,04
3,36
3,36
0,32
0,4
0,4
0,32
0,4
0,4
2δ , мм
2,24
2,24
2,24
2,08
1,92
1,92
1,92
ϕ , град
δ Σ , мм
δ 1 , мм
δ 2 , мм
45
45
45
45
45
45
45
3,36
3,92
4,32
4,8
5,28
5,68
5,68
0
0
0
0
0
0
0
0,48
0,64
0,72
0,8
0,8
0,72
0,72
2δ , мм
2,72
3,04
3,36
4,16
4,16
4,64
4,64
ϕ opt , град 29...30 23…26 20…22
δ Σ , мм
3,2
3,68
4,08
δ 1 , мм
0,96
1,52
2,08
δ 2 , мм
0,4
0,4
0,48
15…18 15…18 15…17 15…17
4,96
4,96
5,36
5,36
2,72
3,28
3,6
3,6
0,48
0,56
0,48
0,48
2δ , мм
2,08
2,08
1,92
1,76
1,6
1,76
1,76
ϕ , град
δ Σ , мм
45
45
45
45
45
45
45
3,44
4,0
4,48
4,96
5,44
5,84
5,84
Учет конструктивно-технологических ограничений обычно предполагает округление толщины слоя в большую сторону до ближайшего целого числа монослоев, что может привести к увеличению массы
оболочки (толщины пакета). Как следует из табл. 3.11, увеличение
массы при таком округлении существенно зависит от толщины элементарного слоя КМ.
53
Таблица 3.11 – Влияние толщины монослоя на параметры
структуры КМ [0 / 90 / ±ϕ ]
Условия Параметры
прочности структуры
Послойно,
ϕ = var
Послойно,
ϕ = const
Для
пакета,
ϕ = var
Для
пакета,
ϕ = const
Толщина монослоя КМ δ 0 , мм
0,04
0,08
0,12
0,16
0,2
δ 1 , мм
0,64
0,96
0,6
0,32
0,6
δ 2 , мм
0,76
0,56
0,56
0,96
0,8
2δ , мм
2,32
2,24
2,24
2,56
2,4
ϕ opt , град
35
38…41
35
30…32
33…35
δ Σ , мм
3,72
3,76
3,72
3,84
3,8
δ 1 , мм
1,28
1,36
1,08
1,44
1,2
δ 2 , мм
0,36
0,32
0,48
0,32
0,4
2δ , мм
2,24
2,24
2,4
2,24
2,4
ϕ , град
45
45
45
45
45
δ Σ , мм
3,88
3,92
3,96
4,0
4,0
δ 1 , мм
0
0
0
0,48
1,4
δ 2 , мм
0,6
0,64
0,6
0,8
0
2δ , мм
3,04
3,04
3,12
2,56
2,4
ϕ opt , град
24…26
23…26
23…27
26…30
56…61
δ Σ , мм
3,64
3,68
3,72
3,84
3,8
δ 1 , мм
1,48
1,52
1,56
1,6
1,6
δ 2 , мм
0,48
0,4
0,48
0,48
0,4
2δ , мм
2,0
2,08
1,92
1,92
2,0
ϕ , град
45
45
45
45
45
δ Σ , мм
3,96
4,0
3,96
4,0
4,0
Переход к очередной расчетной точке контура (см. рис. 3.2) означает изменение усилий Nα , N β , qαβ и, как следствие, оптимальной структуры КМ. Сравним результаты проектирования структуры КМ «в точке» и для всего поперечного сечения оболочки в целом
(табл. 3.12 и 3.13).
54
Расчетный
случай
Таблица 3.12 – Оптимизация
структуры
[0 / 90 / ±ϕ ]
при послойном удовлетворении критерия Мизеса – Хилла
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Параметры структуры КМ
Погонные
усилия, Н/мм
ϕ = 45 ϕ = var
N β = 250
δ1 ,
δ2 ,
2δ ,
ϕ opt ,
δΣ ,
δ1 ,
δ2 ,
2δ ,
δΣ ,
qαβ
мм
мм
мм
град
мм
мм
мм
мм
мм
125
446
586
441
1016 429
1385 408
1669 382
1847 351
1908 318
1847 285
1669 255
1385 228
1016 208
586
195
125
191
-336 195
776
208
-1135 228
-1419 255
-1597 285
-1658 318
-1597 351
-1419 382
-1135 408
-766 429
-336 441
Для всех
расчетных
случаев
0
0
0
0
0,08
0,48
0
0
0,24
0
0,16
0,08
0,08
0,88
1,36
2,32
2,72
2,96
3,2
3,2
2,72
2,24
1,6
0,8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,48
0,48
0
0,48
0,32
0,24
0,8
0,72
0,32
0,48
2,4
2,88
3,2
3,36
3,52
3,2
3,52
3,36
2,88
2,72
2,24
1,92
1,28
1,28
1,12
0,8
1,44
1,12
1,28
1,44
1,28
1,44
1,92
1,76
49...53
35...37
28...31
25...26
22...25
23...25
20...23
20...23
22...25
23...26
28...31
35...36
51...56
64...72
60...69
61...68
67...74
61...69
64...67
63...66
44...63
51...58
58...61
54...57
2,4
2,88
3,2
3,36
3,6
3,68
3,52
3,36
3,12
2,72
2,4
2,0
1,36
2,16
2,96
3,6
4,16
4,56
4,8
4,88
4,8
4,4
3,84
3,04
0
0,72
1,36
2,08
2,4
2,8
2,96
2,8
2,4
2,08
1,44
0,56
0
0,64
1,28
2,0
2,56
2,96
3,04
2,96
2,72
2,0
1,44
0,4
0,24
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,24
0,72
0,88
0,96
0,90
0,96
0,96
0,96
0,96
0,96
0,72
0,72
2,4
2,72
2,88
2,72
2,72
2,4
2,24
2,08
2,08
1,76
1,76
1,76
1,28
0,8
0,8
0,64
0,64
0,64
0,8
0,96
1,12
1,44
1,76
2,08
2,64
3,44
4,24
4,8
5,12
5,2
5,2
4,88
4,48
3,84
3,2
2,32
1,52
2,16
2,96
3,6
4,16
4,56
4,8
4,88
4,8
4,4
3,92
3,2
5,52 3,36
0,4
1,92 5,68
Nα
3,12 0,64 1,76
35
55
Расчетный
случай
Таблица 3.13 – Оптимизация
структуры
КМ
[0 / 90 / ±ϕ ]
при удовлетворении критерия Мизеса – Хилла для пакета в целом
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Параметры структуры КМ
Погонные
усилия, Н/мм
ϕ = 45 ϕ = var
N β = 250
δ1 ,
δ2 ,
2δ ,
ϕ opt ,
δΣ ,
δ1 ,
δ2 ,
2δ ,
δΣ ,
qαβ
мм
мм
мм
град
мм
мм
мм
мм
мм
125
446
586
441
1016 429
1385 408
1669 382
1847 351
1908 318
1847 285
1669 255
1385 228
1016 208
586
195
125
191
-336 195
-776 208
-1135 228
-1419 255
-1597 285
-1658 318
-1597 351
-1419 382
-1135 408
-766 429
-336 441
Для всех
расчетных
случаев
0
0,88
1,36
2,08
2,32
2,48
2,56
2,48
2,16
1,92
1,36
0,96
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,32
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,32
0,8
0,88
0,96
0,8
0,88
0,96
1,04
1,04
1,12
1,04
0,88
2,24
2,4
2,4
2,08
2,08
1,92
1,76
1,6
1,6
1,44
1,44
1,28
1,12
1,44
2,24
2,88
3,68
4,0
4,16
4,16
4,0
3,52
3,04
2,4
40...48
46...52
44...47
44...47
40...47
42...45
41...46
43...46
42...48
43...52
47...52
50...59
38...43
25...36
18...25
16...20
15...18
15...18
15...19
15...22
17...24
22...26
26...31
34...41
2,55
3,28
3,76
4,16
4,4
4,4
4,32
4,08
3,76
3,36
2,8
2,24
1,44
2,24
3,12
3,84
4,48
4,88
5,12
5,2
,044
4,64
4,08
3,28
0
0,72
1,36
2,08
2,32
2,48
2,56
2,48
2,16
1,76
1,12
0,8
0
0,64
1,52
2,16
3,68
3,04
3,2
3,04
2,8
2,32
1,3
0
0,16
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,24
0,72
0,8
0,8
1,2
0,88
0,88
0,8
0,88
0,8
0,8
0,8
2,4
2,56
2,4
2,08
2,08
1,92
1,75
1,6
1,6
1,6
1,76
1,6
1,28
1,12
1,12
1,28
0
1,44
1,6
1,92
1,92
2,08
2,4
2,56
2,56
3,28
3,76
4,16
4,4
4,4
4,32
4,08
3,76
3,36
2,88
2,4
1,52
2,48
3,44
4,24
4,88
5,36
5,68
5,76
5,6
5,2
4,56
3,36
0,72 4,64 15...17 5,36
3,6
0,48 1,76 5,84
Nα
0
56
3.3 Методика проектирования намотанных нитями или жгутами
оболочек при произвольном нагружении
В целях повышения надежности конструкций при намотке нитями или жгутами в расчетах пренебрегают несущей способностью КМ
поперек волокон, т.е. полагают, что Ε 2 = µ12 = G12 = F2 = F12 = 0
(такая модель КМ называется нитяной). Тогда формулы (1.2) для вычисления коэффициентов эффективной жесткости пакета существенно упрощаются:
n
Β 11 = ∑ δ i E1i cos 4ϕ i ;
i=1
n
Β 22 = ∑ δ i E1i sin4ϕ i ;
(3.31)
i =1
n
Β 33 = Β 12 = ∑ δ i E1i sin 2ϕ i cos 2ϕ i .
i=1
Напряжение в слоях с учетом принятых допущений
(3.32)
σ 1i = E1i ε 1i ; σ 2i = τ 12i = 0 .
Таким образом, критерии максимальных напряжений и Мизеса –
Хилла тождественны, поэтому ограничения по прочности можно записать таким образом:
(3.33)
σ 1i ≤ F1i .
Рассмотрим наиболее часто реализуемые схемы намотки нитями или жгутами (рис. 3.3):
[0 / ±ϕ]
[±ϕ]
[0 / 90 / ±ϕ]
[90 / ±ϕ]
Рисунок 3.3 – Схемы намотки нитями
57
[0 / 90]
1. Спиральная намотка [ ±ϕ ] (см. рис. 3.3, а).
В этом случае
Β 11 = 2δ E1cos 4ϕ ;
Β 22 = 2δ E1 sin4ϕ i ;
(3.34)
Β 33 = Β 12 = 2δ E1 sin 2ϕ cos 2ϕ .
тогда
Ε α = Ε β = 0 ; Gαβ = Ε 1 sin 2ϕ cos 2ϕ .
Следовательно, данная структура не может воспринимать нормальные усилия, что вполне закономерно, так как волокна образуют
механизм (см. рис. 3.3, а).
2. Продольно-спиральная намотка (см. рис. 3.3, б).
Обозначим ϕ 1 = 0 , δ 1 = δ 1 и ϕ 2 = −ϕ 3 = ϕ , δ 2 = δ 3 = δ . Тогда
с учетом выражений (3.31) и (1.6)
(
)
Β 11 = Ε 1 δ 1 + 2δ cos 4ϕ ; Β 22 = 2δΕ 1 sin4ϕ ;
2
εβ =
Β 33 = Β 12 = 2δΕ 1 sin ϕ cos ϕ ;
Nα sin 2ϕ − N β cos 2ϕ
;
εα =
2
δ 1Ε 1 sin ϕ
N β δ 1 − 2δ cos 2ϕ Nα sin 2ϕ − N β cos 2ϕ
(
γ αβ =
2δδ 1Ε 1 sin4ϕ
qαβ
2δΕ 1 sin 2ϕ cos 2ϕ
(3.35)
2
);
(3.36)
.
Согласно принятой модели КМ для определения напряжений в
слоях необходимо знать только деформации ε 1i , которые можно вычислить по формулам (3.8):
ε 1 ( 1) =
ε 1( 2 , 3 )
Nα sin 2ϕ − N β cos 2ϕ
2
δ 1Ε 1 sin ϕ
;
qαβ 
 Nβ
1
=
±

.
2δΕ 1 sinϕ  sinϕ cosϕ 
Тогда для напряжений
(3.37)
σ 1 i находим следующие зависимости:
58
σ 1( 1) =
σ 1( 2 , 3 ) =
Nα sin 2ϕ − N β cos 2ϕ
2
δ 1 sin ϕ
;
(3.38)
qαβ 
1  Nβ
±

.
2δ sinϕ  sinϕ cosϕ 
После подстановки выражений (3.38) в условие прочности (3.33)
получим формулы для определения требуемых толщин слоев
 N sin 2ϕ − N cos 2ϕ 
α
β
;
δ 1 = max 
(3.39)
2

j 
F
sin
ϕ
1( 1)


 1
Nβ
2qαβ
Nβ
2qαβ 
1
2δ = max 
+
;
−
(3.40)
.
2
j  F1( 2 ) sin 2ϕ
ϕ
ϕ
sin2
F
sin2
sin
ϕ
1( 3 )


Здесь индекс « j » соответствует номеру расчетной точки контура сечения, так как пределы прочности могут изменяться по контуру
 F при N sin 2ϕ − N cos 2ϕ > 0 ;
α
β
j
 1p
F1( 1) = 
(3.41)
2
2
 F1c при Nα sin ϕ − N β cos ϕ < 0 ;
j


qα β 
 Nβ
F
при
±
 1p

 >0;
sin
ϕ
cos
ϕ

j

(3.42)
F1( 2 , 3 ) = 
N
q


β
αβ

F
при
±

 <0.
1
c

ϕ
ϕ
sin
cos

j

Определяя минимум величины δ 1 + 2δ по ϕ , находим опти-
(
(
)
)
мальный угол намотки и соответствующие ему толщины слоев.
3. Спирально-окружная намотка (см. рис. 3.3, в).
Обозначим ϕ 1 = π / 2 , δ 1 = δ 1 и ϕ 2 = −ϕ 3 = ϕ , δ 2 = δ 3 = δ .
Аналогично рассмотренной выше задаче
Β 11 = 2δΕ 1cos 4ϕ ;
(
)
Β 22 = Ε 1 δ 1 + 2δ sin4ϕ ;
Β 33 = Β 12 = 2δΕ 1 sin 2ϕ cos 2ϕ ;
59
(3.43)
εα =
(
Nα δ 1 − 2δ sin 2ϕ N β cos 2ϕ − Nα sin 2ϕ
2δδ 1Ε 1cos 4ϕ
2
εβ =
2
δ 1Ε 1cos ϕ
ε 1( 1 ) =
σ 1( 1)
(3.44)
2
N β cos ϕ − Nα sin ϕ
; γ αβ =
qαβ
δ 1Ε 1cos ϕ
2
2
2δΕ 1 sin ϕ cos ϕ
N β cos 2ϕ − Nα sin 2ϕ
2
);
;
;
(3.45)
qαβ 
 Nα
1
ε 1( 2 , 3 ) =
±

;
2δΕ 1cosϕ  cosϕ sinϕ 
N β cos 2ϕ − Nα sin 2ϕ
qαβ 
1  Nα
; σ 1( 2 , 3 ) =
=
±

 . (3.46)
2δ cosϕ  cosϕ sinϕ 
δ 1cos 2ϕ
Толщины слоев для этого варианта намотки можно получить из
условия прочности (3.33) с учетом выражений (3.46):
 N cos 2ϕ − N sin 2ϕ 
β
α
;
δ 1 = max 
2


j
F1( 1) cos ϕ


 1
2qαβ
2qαβ 
Nα
Nα
1
+
;
−
2δ = max 
,
2
j  F1 ( 2 ) cos 2ϕ
sin2
ϕ
F
sin2
ϕ

1( 3 ) cos ϕ

причем пределы прочности F1i определяют так:
 F при N cos 2ϕ − N sin 2ϕ > 0 ,
β
α
j
 1p
F1( 1) = 
 F1c при N β cos 2ϕ − Nα sin 2ϕ < 0 ;
j


qα β 
 Nα
±
 F1 p при 
 >0,
cos
ϕ
sin
ϕ

j

F1( 2 , 3 ) = 
qα β 
 Nα

F
при
±

 <0.
 1c
ϕ
ϕ
cos
sin

j

(
(
)
)
(3.47)
(3.48а)
(3.48б)
Оптимальный угол намотки соответствует минимальному значению суммарной толщины δ 1 + 2δ .
60
4. Сложная намотка [0 / 90 / ±ϕ ] (см. рис. 3.3, г).
Обозначим ϕ 1 = 0 , δ 1 = δ 1 , ϕ 2 = π / 2 , δ 2 = δ 2 и
ϕ 3 = −ϕ 4 = ϕ ,
δ 3 = δ 4 = δ . Из уравнений (3.31) и (1.6) определяем жесткости и деформации пакета:
(
= Ε (δ
)
+ 2δ sin ϕ ) ;
Β 11 = Ε 1 δ 1 + 2δ cos 4ϕ ;
Β 22
1
4
2
(3.49)
Β 33 = Β 12 = 2δΕ 1 sin 2ϕ cos 2ϕ ;
(
);
Ε δ δ + 2δ ( δ sin ϕ + δ cos ϕ ) 


N β δ − 2δ cos ϕ ( Nα sin ϕ − N β cos ϕ )
;
εβ =


Ε δ δ + 2δ ( δ sin ϕ + δ cos ϕ )


εα =
Nα δ 2 + 2δ sin 2ϕ Nα sin 2ϕ − N β cos 2ϕ
4
1
1 2
4
1
2
2
2
2
1
4
1
1 2
γ αβ =
(3.50)
4
1
2
qαβ
2
2
2δΕ 1 sin ϕ cos ϕ
,
а из соотношений (1.5) и (3.32) – деформации и напряжения в слоях
пакета:
σ 1( 1 ) =
σ 1( 2 ) =
σ 1( 3 , 4 ) =
(
Ν α δ 2 + 2δ sin 2ϕ Ν α sin 2ϕ − Ν β cos 2ϕ
(
δ 1δ 2 + 2δ δ 1 sin4ϕ + δ 2 cos 4ϕ
)
(
Ν β δ 1 − 2δ cos 2ϕ Ν α sin 2ϕ − Ν β cos 2ϕ
(
4
4
δ 1δ 2 + 2δ δ 1 sin ϕ + δ 2 cos ϕ
Ν α δ 2 cos 2ϕ + Ν β δ 1 sin 2ϕ
(
4
4
δ 1δ 2 + 2δ δ 1 sin ϕ + δ 2 cos ϕ
)
±
)
);
);
qαβ
2δ sinϕ cosϕ
(3.51)
.
Введем обозначения
δ 1 = ψ 1δ Σ ;
причем ψ 1 + ψ 2 ≤ 1 .
δ 2 = ψ 2δ Σ ;
61
2δ = ( 1 − ψ 1 − ψ 2 ) δ Σ ,
(3.52)
Преобразуем формулы (3.51) с учетом (3.52):
σ 1i =
Ai
δΣ
,
(3.53)
где
A1 =
A2 =
(
)
Ν αψ 2 + ( 1 − ψ 1 − ψ 2 ) Ν α sin 2ϕ − Ν β cos 2ϕ sin 2ϕ
(
4
4
ψ 1ψ 2 + ( 1 − ψ 1 − ψ 2 ) ψ 1 sin ϕ + ψ 2 cos ϕ
(
)
)
Ν βψ 1 − ( 1 − ψ 1 − ψ 2 ) Ν α sin 2ϕ − Ν β cos 2ϕ cos 2ϕ
(
4
4
ψ 1ψ 2 + ( 1 − ψ 1 − ψ 2 ) ψ 1 sin ϕ + ψ 2 cos ϕ
A3,4 =
)
Ν αψ 2 cos 2ϕ + Ν βψ 1 sin 2ϕ
(
4
4
ψ 1ψ 2 + ( 1 − ψ 1 − ψ 2 ) ψ 1 sin ϕ + ψ 2 cos ϕ
±
qαβ
( 1 − ψ 1 − ψ 2 ) sinϕ cosϕ
)
;
;
±
.
Оптимальные толщины слоев и угол намотки соответствуют условию

 Α1
Α
Α
Α 
; 2 ; 3 ; 4  .

 F1( 1) F1( 2 ) F1( 3 ) F1( 4 )  
δ Σ = min  max 

ψ 1 ,ψ 2 ,ϕ 

j
(3.54)
Пределы прочности в выражении (3.54) выбирают по правилу
 F1 p при Ai > 0 ;
F1i = 
 F1c при Ai < 0 .
Следует помнить, что усилия
Ν α , Ν β , qαβ (а также коэффи-
циенты Ai и пределы прочности F1i ) зависят от выбора расчетной
точки, т.е. от индекса « j ».
5. Продольно-окружная намотка [0 / 90 ] (см. рис. 3.3, д).
При использовании нитяной модели КМ эта схема намотки будет работоспособной только при отсутствии касательных усилий, так
как Β 33 = 0 , следовательно, γ αβ → ∞ .
62
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Карпов Я.С. Механика композиционных материалов: учеб. пособие / Я.С. Карпов. – Х.: Нац. аэрокосм. ун-т «Харьк. авиац. ин-т»,
2001. – 122 с.
Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов / В.В. Васильев. – М.: Машиностроение, 1988. – 272 с.
Пластинки и оболочки из стеклопластиков / В.Л. Бажанов,
И.И. Гольденблат, В.А. Копнов и др.; под ред. И.И. Гольденблата. –
М.: Высш. шк., 1970. – 408 с.
Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки / С.Г. Лехницкий. – М.:
Гостехиздат, 1957. – 464 с.
Елпатьевский А.Н. Прочность цилиндрических оболочек из армированных материалов / А.Н. Елпатьевский, В.В. Васильев. – М.:
Машиностроение, 1972. – 168 с.
Образцов И.Ф. Оптимальное армирование оболочек вращения
из композиционных материалов / И.Ф. Образцов, В.В. Васильев,
В.А. Бунаков. – М.: Машиностроение, 1977. – 144 с.
Композиционные материалы: справ. / В.В. Васильев, В.Д. Протасов, В.В. Болотин и др.; под общ. ред. В.В. Васильева,
Ю.М. Тарнопольского. – М.: Машиностроение, 1990. – 512 с.
Тетерс Г.А. Оптимизация оболочек из слоистых композитов /
Г.А. Тетерс, Р.Б. Рикардс, В.Л. Нарусберг. – Рига: Зинатне, 1978. –
238 с.
63
Карпов Яков Семенович
Гагауз Павел Миронович
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Редактор В.И. Филатова
Св. план, 2010
Подписано в печать 24.06.2010
Формат 60×84 1/16. Бум. офс. №2. Офс. печ.
Усл. печ. л. 3,5. Уч.-изд. л. 4. Т. 100 экз. Заказ 196. Цена свободная
___________________________________________________________
Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского
«Х а р ь к о в с к и й а в и а ц и о н н ы й и н с т и т у т»
61070, Харьков-70, ул. Чкалова, 17
http://www.khai.edu
Издательский центр «ХАИ»
61070, Харьков-70, ул. Чкалова, 17
izdat@khai.edu