Сложное движение точки k (1) (2) (3)

Сложное движение точки
Формула Бура.
Введем понятия относительной и абсолютной производных вектора
Пусть:x,y,z – неподвижная система координат (сокращенно - СК).
x1 , y1 , z1 - подвижная
система координат
i, j,k единичные
вектора подвижной
системы координат.
В подвижной системе координат задан
радиус вектор a в
проекциях на оси
x1 , y1 , z1
a = ax1i + a y1 j + az1k
(1)
Продифференцируем
равенство 1 по времени так как система
координат x1 , y1 , z1
Рис. 1.1 подвижная и неподвижная системы координат
двигается с течением
времени, то вектора i, j,k также меняются с течением времени. Применив
формулу производной произведения, получим:
da
da
da dax1
di
dj
dk
=
i + y1 j + z1 k + ax1 + a y1 + az1
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
(2)
Назовем сумму первых трех слагаемых относительной или локальной производной и обозначим ее:
da
da
da dax1
=
i + y1 j + z 1 k .
dt
dt
dt
dt
Сумма вторых трех компонент производной может быть представлена в виде
векторного произведения:
di
dj
dk
+ a y1 + a z 1
= ω×a
dt
dt
dt
Где ω - угловая скорость подвижной системы координат относительно неподвижной, a - исходный заданный вектор.
ax1
В результате получим формулу Бура:
da da
=
+ ω× a
dt dt
(3)
Таким образом: абсолютная производная вектора равна сумме относительной производной этого вектора и векторного произведения угловой
скорости подвижной системы координат на этот вектор.
Пусть точка М совершает
произвольное движение.
Произвольная система координат x1 , y1 , z1 также совершает
произвольное движение.
Определение: Будем называть сложным или “абсолютным” движением точки
М ее движение по отношению к неподвижной системе
координат.
Движение точки М по отношению к подвижной системе координат будем называть относительным.
Движение подвижной системы координат относительно неподвижной СК на-
Рис. 1.2 Движение точки М в различных
системах координат.
зывается переносным.
Относительной скоростью и ускорением точки называется скорость и
ускорение точки относительно подвижной системы координат.
Переносными скоростью и ускорением точки М называется скорость и
ускорение точки М подвижной системы координат, по отношению к неподвижной.
Абсолютными скоростью и ускорением точки называется скорость и ускорение относительно неподвижной СК.
Теорема о скорости точки в сложном движении
Скорость точки в сложном движении равна векторной сумме 2х скоростей:
относительной и переносной.
r = r0 + ρ = r0 + x1i + y1 j + z1k
dr0 dx1
di dy
dj dz
dk
+
i + x1 + 1 j + y1 + 1 k + z1
dt
dt
dt dt
dt dt
dt
dr dx
dy
dz
di
dj
dk
Vabs = 0 + 1 i + 1 j + 1 k + x1 + y1 + z1
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dρ
dx
dy
dz
Votn =
= 1 i + 1 j+ 1 k
dt i , j,k =const dt
dt
dt
Vabs =
По определению переносной скорости.
Vnep =
dr0 dρ
dr
di
dj
dk
+
= 0 + x1 + y1 + z1
dt dt x1 , y1 , z1 =const dt
dt
dt
dt
(6)
Подставив (5),(6) в (4), получим:
Vабс = Vпер + Vотн чтд.
(4)
(5)
Теорема об ускорении точки в сложном движении (теорема Кориолиса).
Ускорение точки в сложном движении равно векторной сумме 3x ускорений:
относительного, переносного и добавочного (Кориолисова).
Доказательство:
dVabs d 2r0 d 2 x1
dx di d 2 y
dy dj d 2 z
dz dk
= 2 + 2 i + 1 + 2 1 j + 1 + 21 k + 1
+
dt
dt
dt
dt dt dt
dt dt dt
dt dt
dx di
d 2 i dy dj
d 2 j dz dk
d 2k
+ 1 + x1 2 + 1 + y1 2 + 1
+ z1 2
dt dt
dt
dt dt
dt
dt dt
dt
Wabs =
(7)
Собрав подобные члены в формуле (7), получим:
dVabs d 2 x1
d2y
d 2z
d 2r
d 2i
d 2j
d 2k
= 2 i + 2 1 j + 21 k + 20 + x1 2 + y1 2 + z1 2 +
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
⎛ dx di dy dj dz dk ⎞
+2 ⎜ 1 + 1 + 1
⎟
⎝ dt dt dt dt dt dt ⎠
Wabs =
(8)
По определению относительного ускорения имеем:
d 2ρ
d 2 x1
d 2 y1
d 2 z1
=
Wom = 2
i + 2 j+ 2 k
dt i , j,k =const dt 2
dt
dt
(9)
По определению переносного ускорения.
Wnep =
d 2r0
d 2i
d 2j
d 2k
+
x
+
y
+
z
1
1
1
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2
(10)
Подставив 9,10 в 8, получим:
dVабс
= Wотн + Wпер + Wдоб чтд.
dt
dx di dy dj dz dk
Здесь Wдоб = 2 ⎛⎜ 1 + 1 + 1 ⎞⎟ . Используя формулу Бура, добавочное ус⎝ dt dt dt dt dt dt ⎠
корение можно записать следующим образом: Wдоб = 2ω × Vотн
Wабс =