Плотность частот свободных колебаний судовых

XXVII сессия Российского акустического общества,
посвященная памяти ученых-акустиков
ФГУП «Крыловский государственный научный центр»
А. В. Смольякова и В. И. Попкова
Санкт-Петербург,16-18 апреля 2014 г.
И. В. Грушецкий, А. В. Смольников
Крыловский государственный научный центр
Россия, 196158, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44, e-mail: krylov6@krylov.spb.ru
Плотность частот свободных колебаний судовых
конструкций и помещений
Плотности частот свободных колебаний плоской пластины и пластины с
точечной массой, с отверстием, с рёбрами жёсткости, а также изогнутой
пластины рассчитаны с использованием МКЭ. Обнаружено, что плотности
частот всех исследованных моделей примерно одинаковы в полосах частот,
содержащих хотя бы несколько частот свободных колебаний. Сделан вывод о
возможности применения для расчёта плотности частот судовых конструкций
простых формул, полученных для плоской однородной пластины.
Аналогичные результаты получены для частично заполненного помещения:
плотность частот может быть рассчитана по простой формуле, но входящие в
формулу объём и площадь ограждений помещения следует рассчитывать с
учётом объёма и площади поверхности установленного в помещении
оборудования.
Ключевые слова: частоты свободных колебаний, плотность частот
свободных колебаний, метод конечных элементов, судовые конструкции,
пластины, помещения
ВВЕДЕНИЕ
Наиболее распространенным методом расчета колебаний сложных инженерных
конструкций (судов, автомобилей, самолётов, зданий и проч.) в звуковом диапазоне
частот является статистический энергетический метод (СЭМ). Основы метода
изложены в многочисленных монографиях и статьях, в том числе, российских учёных
А. С. Никифорова, С. В. Будрина, (ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова) [1, 2],
В. М. Спиридонова, Л. С. Бородицкого (ЦНИИТС) [3], Б. Д. Тартаковского (АКИН им.
акад. Н. Н. Андреева) [4] и других [5]. Метод внедрён в зарубежную практику в виде
коммерческих программ: AutoSEA, SEAM, SEADS и др. Первым значимым примером
применения СЭМ в отечественной инженерной практике была методика расчёта
уровней шума в судовых помещениях с программой для ЭВМ «Минск-22» [6].
Наряду с другими исходными данными в СЭМ используются плотности частот
свободных колебаний подсистем. Известны выражения для плотности частот балки,
плоской пластины, замкнутого объёма элементарной формы (прямоугольный
параллелепипед, сфера, цилиндр) и некоторых других простых элементов,
применяемых зачастую для аппроксимации более сложных конструкций. Реальные
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
2
_________________________________________________________________________________________
судовые конструкции и помещения в значительной степени отличаются от их
«идеальных»
представлений
или
аппроксимаций.
Например,
наиболее
распространённые судовые корпусные и внутрикорпусные конструкции представляют
собой пластины, подкреплённые рёбрами жёсткости. На конструкции может быть
установлено разнообразное оборудование, трубопроводы, кабели и прочее насыщение,
а также они могут иметь вырезы. Очевидно, что частоты свободных колебаний таких
реальных конструкций отличаются от частот плоской пластины без рёбер, которые
рассчитываются по простым формулам.
В статье представлены оценки частот и плотности частот свободных колебаний
пластин с особенностями, приближающими их к реальным конструкциям,
выполненные как методом конечных элементов (МКЭ), так и по известным простым
формулам. На этих примерах показано, что плотность частот в диапазоне применения
СЭМ можно приближённо оценить по простым формулам.
1. МОДЕЛИ ДЛЯ РАСЧЁТА И СПОСОБЫ РАСЧЁТА
В качестве элементарной, основной модели элемента корпуса судна принята
свободно опёртая плоская прямоугольная стальная пластина толщиной 1 см и
размерами 1.6×0.8 м, находящаяся в вакууме (воздухе). Модели, приближающие
пластину к реальным конструкциям, представляли собой ту же пластину, но с точечной
массой, с отверстием, с рёбрами жёсткости и изогнутую пластину. Размеры помещения
в форме прямоугольного параллелепипеда приняты 6×5×4 м (длина×ширина×высота).
Оборудование в помещении моделируется кубом с жёсткими стеками — макетом
оборудования, объём которого составляет 10, 20 или 30% от объёма помещения. При
этом длина стороны куба составляет 2.29, 2.88 и 3.30 м соответственно.
Частоты свободных изгибных колебаний элементарной модели (плоской пластины)
рассчитывались по известной формуле
fij 

2
B  i   j 
    
m   a   b 
2
2

 ,

(1)
где B — изгибная жёсткость пластины, определяемая по формуле B  Eh3 12 1   2  );
E ,  — модуль продольной упругости и коэффициент Пуассона материала; h —
толщина пластины; m — поверхностная масса пластины ( m   h );  — плотность
материала; a , b — габаритные размеры пластины; i, j =1, 2, 3…
Плотность частот свободных колебаний определялась двумя способами: путём
подсчёта числа частот, рассчитанных по формуле (1), в границах третьоктавных полос с
последующим делением на ширину полосы и по приближённой формуле:
n
S
2
m
,
B
(2)
где S  ab — площадь пластины.
_________________________________________________________________________________________
И. В. Грушецкий, А. В. Смольников
Плотность частот свободных колебаний судовых конструкций и помещений
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
3
_________________________________________________________________________________________
Частоты свободных колебаний пустого помещения рассчитывались по известной
формуле
2
2
2
c0   i   j   k  
fijk            ,
2   a   b   c  
(3)
где c0 — скорость звука в среде (в воздухе), a , b , c — габаритные размеры
помещения; i, j , k =0, 1, 2….
Частоты свободных колебаний частично заполненного (а также пустого) помещения,
рассчитывались по стандартной процедуре МКЭ. Отметим, что значения частот
пустого помещения, рассчитанные с использованием формулы (3) и МКЭ совпадали.
Плотность частот свободных колебаний определялась двумя способами:
1. Путём подсчёта числа частот, рассчитанных с использованием МКЭ, в границах
третьоктавных полос с последующим делением на ширину полосы
2. По приближённой формуле
n
4 f 2V  fS
L
 2 
,
3
c0
2c0 8c0
(4)
где V  abc — объём помещения; S  2  ab  bc  ca  — площадь ограждений;
L  4  a  b  c  — длина рёбер помещения.
Целью расчётов являлась оценка применимости формулы (4) для частично
заполненного помещения путём сопоставления значений плотности частот свободных
колебаний, полученных по приближённой формуле и с использованием МКЭ. Расчёты
МКЭ выполнялись в диапазоне частот до 400 Гц включительно, ограниченном
производительностью используемого компьютера.
При расчёте по формуле (4) оборудование учитывалось следующим образом:
1. Объём помещения V уменьшался на объём оборудования (куба),
2. Площадь ограждений S увеличивалась на площадь поверхности оборудования,
3. Длина рёбер L увеличивалась на длину рёбер оборудования.
Плотность частот свободных колебаний определялась также с использованием МКЭ:
сначала по стандартной процедуре находились значения собственных частот, затем
число частот в границах полос подсчитывалось и делилось на ширину полос. Отметим,
что значения частот для элементарной плоской пластины, рассчитанные с
использованием формулы (1) и МКЭ совпадали. Значения частот для усложнённых
моделей (пластины с массой, рёбрами и т. д.) получены только МКЭ.
Целью расчётов является сопоставление значений плотности частот свободных
колебаний полученных тремя способами: по простой формуле (2), с использованием
формулы (1) и МКЭ.
В результате расчётов МКЭ автоматически определяются частоты всех типов
свободных колебаний, которые могут возникнуть в конструкции при заданных
граничных условиях: изгибных, продольных и сдвиговых (в плоскости пластины).
_________________________________________________________________________________________
И. В. Грушецкий, А. В. Смольников
Плотность частот свободных колебаний судовых конструкций и помещений
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
4
_________________________________________________________________________________________
Оценки показывают, что влияние продольных и сдвиговых колебаний на суммарную
плотность частот может проявляться на высоких частотах исследованного диапазона.
Но и на высоких частотах плотность продольных и сдвиговых частот, намного меньше,
чем изгибных, поэтому их влияние на суммарную плотность незначительно, хотя,
возможно, обнаруживается в представленных ниже результатах расчётов.
2. ПЛАСТИНА С ТОЧЕЧНОЙ МАССОЙ
Величина точечной массы составляет 1/4, 1/2, 3/4 и 4/4 от массы пластины. Масса
расположена на расстоянии 1/3 длины и ширины пластины от одного из её углов и
симметрично относительно нейтральной плоскости пластины.
Масса, естественно, приводит к снижению значений частот свободных колебаний,
но значительно снижается только низшая частота (табл. 1). Следующие частоты
попадают в одни и те же третьоктавные полосы. Например, полосы 80, 125, 160 Гц
содержат по одной частоте свободных колебаний пластины без массы и с массой.
Влияние массы на плотность частот также в целом снижается с повышением частоты
практически до нуля. Для примера на рис. 1 представлено отличие плотности частот
пластины без массы и с массой в процентах 1 . Можно сделать вывод, что
дополнительная масса не влияет существенно на плотность частот свободных
колебаний пластины, если в полосах частот содержится несколько частот свободных
колебаний.
В соответствии со снижением влияния массы с повышением частоты увеличивается
достоверность расчётов по формулам (1) и (2), которые не учитывают дополнительную
массу. Для примера на рис. 2 представлена относительная погрешность расчёта по
формуле (2) по сравнению с расчётом МКЭ 2 плотности частот свободных колебаний
пластины с массой. Видно, что на частоте 400 Гц и выше погрешность формулы (2)
составляет менее 50%. Сопоставление результатов расчёта по формулам (1) и (2)
представлено на рис. 3, из которого видно, что с повышением частоты точность расчёта
по простой формуле (2) также повышается.
Следует отметить, что стабильно более низкие значения плотности частот получаются
по формулам (1) и (2) по сравнению с точным расчётом МКЭ на самых высоких частотах
исследуемого диапазона (5…8 кГц). Причина может заключаться в том, что эти формулы
получены только для изгибных колебаний (частоты других типов колебаний могут быть
рассчитаны для включения в общее число частот отдельно, но здесь не учитываются
совсем), а также не учитывают вращение поперечных сечений и деформацию сдвига при
изгибных колебаниях пластины, влияние которых возрастает с частотой.
1
Относительное (в процентах) отличие плотностей частот свободных колебаний пластины без массы и с
массой определяется по формуле   100 n  n( m) n( m) , где n и n(m) — плотности частот свободных
колебаний пластины без массы и с массой соответственно, рассчитанные с использованием МКЭ
2
Относительная погрешность расчёта по формуле (2) по сравнению с расчётом МКЭ определяется по
формуле   100 n  n(2) n , где n и n(2) — плотности частот свободных колебаний пластины,
рассчитанные соответственно МКЭ и по формуле (2) без учёта дополнительной массы
_________________________________________________________________________________________
И. В. Грушецкий, А. В. Смольников
Плотность частот свободных колебаний судовых конструкций и помещений
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
5
_________________________________________________________________________________________
Таблица 1. Число частот свободных колебаний пластины без массы и с массами в
третьоктавных полосах частот (расчёт МКЭ)
1/4
1/2
3/4
4/4
0
0
0
0
1
расчёт с
исп. форм.
(1)
0
25
0
0
1
1
0
0
31.5
0
1
0
0
0
0
40
0
0
0
0
0
0
50
1
0
0
0
0
1
63
0
0
0
0
0
0
80
1
1
1
1
1
1
100
0
0
0
0
0
0
125
1
1
1
1
1
1
160
1
1
1
1
1
1
200
2
2
3
3
3
2
250
2
2
1
1
1
2
315
1
2
2
2
2
2
400
5
4
4
4
4
4
500
3
4
4
5
6
3
630
7
6
8
7
6
7
800
5
6
6
6
6
5
1000
11
12
10
10
10
11
1250
11
11
11
11
11
11
1600
13
14
14
14
14
13
2000
18
18
18
18
18
18
2500
25
24
24
24
24
24
3150
30
30
30
30
30
29
4000
41
41
41
41
41
35
5000
53
54
54
54
54
50
6300
72
71
71
71
71
56
8000
94
95
95
95
95
77
1/3-окт.
полосы
без массы
20
с дополнительной массой
_________________________________________________________________________________________
И. В. Грушецкий, А. В. Смольников
Плотность частот свободных колебаний судовых конструкций и помещений
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
6
_________________________________________________________________________________________

100
,%
90
Рис. 1.
80
Отличие плотности частот (%)
свободных колебаний пластины
без массы и с массой:
— 1/4, — 1/2,
— 3/4, — 4/4
(расчёт МКЭ)
70
60
50
40
30
20
10
0
200
315
500
800
1250
2000
3150
5000
8000
среднегеометрические частоты третьоктавных полос, Гц

150
,%
Рис. 2.
Относительная погрешность
расчёта по формуле (2) по
сравнению с расчётом МКЭ
плотности частот свободных
колебаний пластины с массой:
100
50
— 1/4,
— 3/4,
0
200
315
500
800
1250
2000
3150
5000
— 1/2,
— 4/4
8000
среднегеометрические частоты третьоктавных полос, Гц
n(1), n(2)
0.1
0.09
Рис. 3.
0.08
Плотность частот свободных
колебаний пластины (без
дополнительной массы),
рассчитанная по формулам
(1) — и (2) —
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
31.5
63
125
250
500
1000
2000
4000
8000
среднегеометрические частоты третьоктавных полос, Гц
_________________________________________________________________________________________
И. В. Грушецкий, А. В. Смольников
Плотность частот свободных колебаний судовых конструкций и помещений
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
7
_________________________________________________________________________________________
3. ПЛАСТИНА С ОТВЕРСТИЕМ (ВЫРЕЗОМ)
Диаметр круглого отверстия в пластине — 10, 20 и 40 см. Центр отверстия сдвинут
относительно геометрического центра пластины на 5 и 2.5 см по длинной и короткой
сторонам соответственно.
Согласно расчётам МКЭ отверстие в пластине практически не влияет на низшую
частоту свободных колебаний пластины (табл. 2). Видимо, влияние одновременного
снижения жёсткости и массы пластины взаимно компенсируется, и низшая частота
меняется незначительно. Плотность частот свободных колебаний (табл. 3) также почти
не меняется. Только на самых высоких частотах (5…8 кГц) намечается тенденция к
уменьшению плотности при увеличении диаметра отверстия, что, видимо, вызвано в
первую очередь уменьшением площади пластины за счёт отверстия. На рис. 4, кроме
результатов расчёта плотности частот с использованием МКЭ, представлены также
расчёты по формулам (1) и (2). Очевидно, что плотности частот пластины без отверстия
и с отверстием достаточно близки, чтобы не учитывать дополнительно влияние
отверстия при применении СЭМ.
Таблица 2. Низшая частота свободных колебаний пластины с
отверстием (расчёт МКЭ)
0 (нет отверстия)
47.9
диаметр отверстия, см
10
20
частота, Гц
47.4
46.7
40
47.5
Таблица 3. Число частот свободных колебаний пластины с
отверстием (вырезом) в третьоктавных полосах частот (расчёт МКЭ)
частота, Гц
50
63
80
100
125
160
200
250
315
400
500
630
800
0 нет отверстия
1
0
1
0
1
1
2
2
1
5
3
7
5
диаметр отверстия, см
10
20
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
4
4
3
3
7
7
5
5
40
1
0
1
0
1
1
2
2
1
4
4
5
6
_________________________________________________________________________________________
И. В. Грушецкий, А. В. Смольников
Плотность частот свободных колебаний судовых конструкций и помещений
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
8
_________________________________________________________________________________________
Таблица 3. Число частот свободных колебаний пластины с
отверстием (вырезом) в третьоктавных полосах частот (расчёт МКЭ)
частота, Гц
1000
1250
1600
2000
2500
3150
4000
5000
6300
8000
диаметр отверстия, см
10
20
11
10
10
11
14
14
18
18
25
24
30
30
41
40
53
54
72
69
93
94
0 нет отверстия
11
11
13
18
25
30
41
53
72
94
40
10
9
13
18
21
29
39
49
65
87
плотность частот свободных колебаний
0.07
Рис. 4.
0.06
Плотность частот свободных
колебаний пластины без
отверстия ( ) и с отверстием:
— 10 см, — 20 см,
— 40 см (расчёт МКЭ),
а также расчёт для пластины без
отверстия: — по формуле (1),
— по формуле (2)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
125
250
500
1000
2000
4000
среднегеометрические частоты третьоктавных полос, Гц
4. ПЛАСТИНА С РЁБРАМИ ЖЁСТКОСТИ
Пластина подкреплена одним, двумя и тремя рёбрами прямоугольного сечения вдоль
короткой стороны. Рёбра свободно опёрты по трём сторонам, одна длинная сторона —
свободная. Рассматривается как строго периодическая (идеализированная) конструкция
с одинаковыми рёбрами высотой 10 см и толщиной 1 см и с одинаковыми
расстояниями между рёбрами, равными 1/2, 1/3 и 1/4 длины длиной стороны пластины,
так и конструкция, в которой расстояния между рёбрами и их высота отличаются на 1–
2 см (рандомизированная конструкция). Последняя модель приближённо учитывает
факт отсутствия абсолютно одинаковых элементов в реальных конструкциях. Хотя,
фактические различия механического состояния таких конструкций, вызваны, видимо,
в основном не геометрическими отклонениями, которые малы, а остаточными
сварочными напряжениями и деформациями.
_________________________________________________________________________________________
И. В. Грушецкий, А. В. Смольников
Плотность частот свободных колебаний судовых конструкций и помещений
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
9
_________________________________________________________________________________________
В таблице 4 представлено число частот свободных колебаний пластины без рёбер и с
рёбрами, расположенными периодически и с отклонением от строгой периодичности, в
третьоктавных полосах частот. Видно, что низшая собственная частота повышается при
увеличении числа рёбер, попадая в полосу 50 Гц при отсутствии рёбер и в полосу
200 Гц при подкреплении пластины 3-мя рёбрами. Важно отметить, что число частот
периодической и рандомизированной конструкций практически одинаково.
На сравнительно низких частотах (при числе частот в третьоктавной полосе до
примерно 10…12) отсутствует определённая зависимость числа частот в полосах от
числа рёбер (рис. 5): в одних полосах число частот увеличивается, в других —
уменьшается. Но с повышением частоты (при числе частот в третьоктавной полосе
больше 13…15 или, в данном случае, на частоте 1600 Гц и выше) вполне устойчивой
становится тенденция увеличения числа частот при увеличении числа рёбер.
Увеличение числа частот оказалось примерно пропорциональным увеличению
площади поверхности конструкции за счёт площади рёбер (площадь ребра есть
произведение его длины на высоту). Это видно из таблицы 5, где представлено среднее
по диапазону частот 1600…8000 Гц увеличение числа частот свободных колебаний
пластины с рёбрами по сравнению с пластиной без рёбер, а также увеличение площади
поверхности конструкции из-за наличия рёбер (в разах). Следует отметить, что даже по
более широкому диапазону частот 200…8000 Гц среднее увеличение числа частот в
полосах примерно соответствует увеличению площади конструкции за счёт площади
рёбер.
В качестве ещё одного примера увеличения плотности частот при увеличении
площади конструкции на рис. 6 представлены плотности частот свободных колебаний
пластины без рёбер с тремя рёбрами жёсткости высотой 10, 20 и 30 см, определённые с
использованием МКЭ. Видно, что плотность частот возрастает при увеличении высоты
(площади) рёбер. На рис. 7 те же данные представлены вместе с расчётами по простой
формуле (2) без учёта влияния рёбер на массу и изгибную жёсткость конструкции ( m и
B остаются как для пластины без рёбер), но с учётом увеличения площади ( S )
конструкции за счёт рёбер. Видно, что оценка простым способом правильно отражает
общую тенденцию и хорошо соответствует точным значениям плотности частот (в
основном наибольшим значениям) для всех моделей. Такой вывод важен, поскольку
рассчитать m и B для реальных подкреплённых конструкций весьма затруднительно.
_________________________________________________________________________________________
И. В. Грушецкий, А. В. Смольников
Плотность частот свободных колебаний судовых конструкций и помещений
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
10
_________________________________________________________________________________________
Таблица 4. Число частот свободных колебаний пластины без рёбер и с рёбрами в
третьоктавных полосах частот
(п — периодическая конструкция, р — рандомизированная)
0
-
1/3-окт. полосы
50
63
80
100
125
160
200
250
315
400
500
630
800
1000
1250
1600
2000
2500
3150
4000
5000
6300
8000
относитальное изменение числа частот
1
0
1
0
1
1
2
2
1
5
3
7
5
11
11
13
18
25
30
41
53
72
94
число рёбер жёсткости
1
2
п
р
п
р
0
0
1
1
0
0
4
0
2
4
4
6
7
10
12
15
18
28
28
46
56
75
102
0
0
1
1
0
0
3
1
2
4
4
6
7
11
11
14
19
26
31
44
58
73
102
0
0
0
0
1
1
1
2
1
5
3
7
6
13
9
16
23
27
31
43
61
81
105
0
0
0
0
1
1
1
2
1
5
3
5
8
12
11
17
21
25
33
44
59
81
107
3
п
р
0
0
0
0
0
0
2
1
3
2
5
5
9
12
10
19
23
25
35
49
61
89
114
0
0
0
0
0
0
2
1
3
2
6
3
11
9
11
19
21
28
34
46
61
88
112
3.5
3
2.5
1
2
2
1.5
3
1
0.5
0
2
200
2
1
5
3
7
5 11 11 13 18 25 30 41 53 72 94
400
800
1600
3150
6300
число частот в полосе для пластины без рёбер и частоты, Гц
Рис. 5. Изменение числа частот свободных колебаний при установке на пластине рёбер
жёсткости в количестве 1, 2 или 3 по сравнению с числом частот пластины без рёбер
(в зависимости от числа частот пластины без рёбер в третьоктавных полосах)
_________________________________________________________________________________________
И. В. Грушецкий, А. В. Смольников
Плотность частот свободных колебаний судовых конструкций и помещений
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
11
_________________________________________________________________________________________
Таблица 5. Среднее по диапазону частот увеличение числа частот свободных колебаний
пластины с рёбрами по сравнению с пластиной без рёбер и увеличение площади
поверхности конструкции из-за наличия рёбер (в разах)
число рёбер жёсткости
1
п
2
р
увеличение площади
поверхности
п
3
р
1.06
п
1.13
р
1.19
увеличение числа частот по
диапазону 1600…8000 Гц
1.06
1.06
1.13
1.13
1.21
1.20
увеличение числа частот по
диапазону 200…8000 Гц
1.08
1.08
1.11
1.16
1.23
1.24
плотность частот свободных колебаний
0.1
Рис. 6.
0.09
Плотность частот свободных
колебаний пластины
без рёбер ( )
и с рёбрами высотой
— 10 см,
— 20 см,
— 30 см
(расчёт МКЭ)
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
125
250
500
1000
2000
4000
среднегеометрические частоты третьоктавных полос, Гц
5. ИЗОГНУТАЯ ПЛАСТИНА
Изогнутая по длинной стороне пластина характеризуется радиусом кривизны: 10, 5 и
3 м. С увеличением радиуса кривизны пластины изгибная жёсткость возрастает, и
повышается низшая собственная частота свободных колебаний (табл. 6). Однако
плотность частот изогнутых пластин с повышением частоты приближается к плотности
частот плоской пластины и становится равной ей на достаточно высоких частотах. При
незначительном радиусе кривизны (R=10 м) плотности выравниваются, когда в полосе
содержится всего 2-3 частоты свободных колебаний (в третьоктавных полосах 200250 Гц). Это означает в том числе, что незначительные погиби реальных конструкций,
обусловленные, например, сваркой, не приводят к изменению плотности частот в
диапазоне применения СЭМ.
При бóльшем радиусе кривизны (R=3-5 м) практическое равенство плотностей
частот плоской и изогнутой пластин достигается на более высоких частотах (в
третьоктавных полосах 630-800 Гц) при числе частот в полосе не менее 5-6. В октавных
полосах такая плотность достигается в полосе примерно 250 Гц.
_________________________________________________________________________________________
И. В. Грушецкий, А. В. Смольников
Плотность частот свободных колебаний судовых конструкций и помещений
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
12
_________________________________________________________________________________________
а)
0.1
0.08
0.08
0.06
0.06
0.04
0.04
0.02
0.02
0
125
250
500
б)
0.1
1000
2000
4000
0
125
250
0.1
0.08
0.08
0.06
0.06
0.04
0.04
0.02
0.02
125
250
500
1000
2000
4000
1000
2000
4000
г)
в)
0.1
0
500
1000
2000
4000
0
125
250
500
Рис. 7. Плотность частот свободных колебаний пластины без рёбер (а) и с 3-мя
рёбрами жёсткости высотой 10 см (б), 20 см (в), 30 см (г):
точный расчёт МКЭ;
— расчёты по формуле (2) с учётом увеличения
площади конструкции за счёт рёбер при их наличии
Таблица 6. Число частот свободных колебаний плоской и изогнутых пластин
в третьоктавных полосах частот (расчёт МКЭ)
частота, Гц
50
63
80
100
125
160
200
250
315
400
500
радиус кривизны пластины, м
R=  (плоская)
R=10
R=5
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
2
1
1
2
1
0
1
2
3
1
2
2
3
1
1
2
5
5
4
3
3
4
R=3
0
0
0
0
0
1
1
2
5
2
6
_________________________________________________________________________________________
И. В. Грушецкий, А. В. Смольников
Плотность частот свободных колебаний судовых конструкций и помещений
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
13
_________________________________________________________________________________________
Таблица 6. Число частот свободных колебаний плоской и изогнутых пластин
в третьоктавных полосах частот (расчёт МКЭ)
частота, Гц
630
800
1000
1250
1600
2000
2500
3150
4000
5000
6300
8000
радиус кривизны пластины, м
R=  (плоская)
R=10
R=5
7
7
6
5
5
6
11
11
11
11
11
9
13
13
15
18
18
18
25
25
25
30
30
30
41
41
41
53
53
53
72
72
72
94
94
94
R=3
6
6
10
10
15
18
25
30
41
53
72
94
6. ПОМЕЩЕНИЕ, ЗАПОЛНЕННОЕ ОБОРУДОВАНИЕМ
Число частот свободных колебаний частично заполненного помещения,
рассчитанных с использованием МКЭ, представлено в таблице 7. Видно, что при
увеличении размеров макета оборудования (уменьшении свободного объёма)
снижаются и первая частота свободных колебаний и число частот в полосах на высоких
частотах исследованного диапазона. Т.е. заполнение приводит к тем же изменениям,
что и удлинение помещения с одновременным уменьшением его объёма.
Число частот в полосах и плотность частот быстро увеличиваются с повышением
частоты. Поэтому для улучшения графического восприятия результатов расчёта на
рисунках представлена плотность частот, делённая на частоту.
На рис. 8 представлена плотность частот свободных колебаний помещения с
макетом оборудования, рассчитанная МКЭ и по приближённой формуле (4), в которой,
как указывалось, объём помещения уменьшен на объём оборудования, площадь
ограждений увеличена на площадь поверхности оборудования, а длина рёбер увеличена
на длину рёбер оборудования. Видно, что приближённая формула учитывает
фактические тенденции.
На рис. 9 представлены расчёты плотности частот с использованием МКЭ и по
приближённой формуле (4) для разного заполнения помещения. Приближённая
формула для плотности частот (4) даёт удовлетворительные результаты, начиная с
самых низких частот — с частотных полос, в которых содержится хотя бы две частоты
свободных колебаний (в данном случае 40 Гц).
Из рис. 9а также видно, что результаты расчётов МКЭ и по точной формуле (3) для
пустого помещения практически одинаковы. Малое различие заметно на частоте
_________________________________________________________________________________________
И. В. Грушецкий, А. В. Смольников
Плотность частот свободных колебаний судовых конструкций и помещений
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
14
_________________________________________________________________________________________
400 Гц. Оно связано с увеличением погрешности МКЭ из-за размеров элементов,
ограниченных производительностью используемого компьютера. Поэтому на более
высоких частотах расчёты не выполнялись.
Таблица 7. Число частот свободных колебаний помещения в
третьоктавных полосах частот (расчёт МКЭ)
частота, Гц
16
20
25
31
40
50
63
80
100
125
160
200
250
315
400
500
0
0
0
1
1
2
3
4
9
14
29
53
98
182
357
682
1250
объём макета оборудования
10%
20%
0
0
0
1
1
1
1
0
2
2
3
3
4
5
9
9
14
15
29
26
52
50
95
89
172
161
330
311
632
578
1150
1065
0.02
0.02
0.018
0.018
0.016
0.016
0.014
0.014
0.012
0.012
0.01
0.01
0.008
0.008
0.006
0.006
0.004
0.004
0.002
0.002
0
16 20 25 31.5 40 50 63 80 100 125 160 200 250 315 400
а)
0
30%
0
1
1
0
2
3
5
10
15
24
44
84
149
286
535
952
16 20 25 31.5 40 50 63 80 100 125 160 200 250 315 400
б)
Рис. 8. Плотность частот свободных колебаний помещения (делённая на частоту):
а) точный расчёт МКЭ; б) приближенный расчёт по формуле (4):
— пустое помещение, , , — помещение с макетом оборудования, заполняющего
помещение на 10, 20 и 30% соответственно
_________________________________________________________________________________________
И. В. Грушецкий, А. В. Смольников
Плотность частот свободных колебаний судовых конструкций и помещений
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
15
_________________________________________________________________________________________
0.02
0.02
0.018
0.018
0.016
0.016
0.014
0.014
0.012
0.012
0.01
0.01
0.008
0.008
0.006
0.006
0.004
0.004
0.002
0.002
0
16 20 25 31.5 40 50 63 80 100 125 160 200 250 315 400
0
а) пустое помещение
б) 10%
0.02
0.02
0.018
0.018
0.016
0.016
0.014
0.014
0.012
0.012
0.01
0.01
0.008
0.008
0.006
0.006
0.004
0.004
0.002
0.002
0
16 20 25 31.5 40 50 63 80 100 125 160 200 250 315 400
в) 20%
16 20 25 31.5 40 50 63 80 100 125 160 200 250 315 400
0
16 20 25 31.5 40 50 63 80 100 125 160 200 250 315 400
г) 30%
Рис. 9. Плотность частот свободных колебаний помещения (делённая на частоту),
а…г — расчётные модели: , , , — точный расчёт МКЭ; пунктир —
приближенный расчёт по формуле (4); на рис. (а) — расчёт по формуле (3)
На рис. 10 для помещения, заполненного на 30%, дополнительно представлены
расчёты по часто используемой «усечённой» формуле (4):
n
4 f 2V
,
c03
(5)
которая не учитывает форму помещения. Видно, что неучёт площади ограждений
помещения и оборудования заметно снижает точность расчёта во всём исследованном
диапазоне, неучёт рёбер — только на низких частотах и к тому же незначительно. Т.е.
«плотно» заполненное помещение является фактически сильно несоразмерным, и для
расчёта плотности частот не следует использовать приближённую формулу (5). Однако
последнее слагаемое в формуле (4), как показывают расчёты, можно, всё же, не
учитывать: Такое упрощение практически важно, поскольку насыщение зачастую
имеет сложную форму, в которой невозможно выделить какие-либо рёбра. При этом
объём и площадь могут быть определены, хотя бы приближённо, всегда.
_________________________________________________________________________________________
И. В. Грушецкий, А. В. Смольников
Плотность частот свободных колебаний судовых конструкций и помещений
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
16
_________________________________________________________________________________________
0.02
0.018
Рис. 10.
0.016
0.014
Плотность частот свободных колебаний
помещения, заполненного макетом
оборудования на 30%:
0.012
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0
16 20 25 31.5 40 50 63 80 100 125 160 200 250 315 400
— точный расчёт МКЭ;
приближенный расчёт по формуле (4),
— без последнего слагаемого в форм. (4),
— только 1-е слагаемое в форм. (4) или
форм. (5)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Реальные судовые конструкции отличаются от их упрощённых моделей, зачастую
используемых для расчётов, весьма многообразным насыщением в виде рёбер
жёсткости, закрепленного на конструкциях оборудования, трубопроводов и проч.
Судовые помещения отличаются от их упрощённых моделей — пустых помещений
простой геометрической формы — многообразным насыщением в виде оборудования,
мебели и проч. Наличие насыщения приводит, в том числе, к отличию значений частот
свободных колебаний реальных конструкций/помещений и упрощённых моделей.
Влияние насыщения (массы, отверстия, рёбер жёсткости и кривизны пластины;
оборудования в помещении) на частоты свободных колебаний и их плотность
исследовано с использованием численного моделирования МКЭ.
Обнаружено, что масса, рёбра жёсткости, кривизна существенно влияют на значения
только первых частот свободных колебаний плоской пластины. С повышением частоты
число собственных частот в третьоктавных полосах оказывается примерно одинаковым
вне зависимости от наличия и свойств насыщения, отверстий или кривизны пластины.
Т.е. плотности частот свободных колебаний однородной плоской пластины и той же
пластины, но с массой, отверстием и т. д., примерно одинаковы, если в полосе
содержится хотя бы несколько таких частот. Следствием этого является возможность
применения для расчёта плотности частот пластин с насыщением простой формулы (2),
которая получена для однородных плоских пластин и не учитывает насыщение.
Наличие нескольких частот свободных колебаний (обычно не менее 3–5) в полосе
частот является также одним из основных условий допустимости применения СЭМ для
расчёта вибрации и звука. Т.е. в частотном диапазоне применения СЭМ плотность
частот колебаний судовых конструкций, которые обычно аппроксимируются
пластинами, подкреплёнными рёбрами жёсткости (переборки, перекрытия, участки
борта и т. д.), можно рассчитывать по формуле (2). При этом для повышения точности
расчётов следует увеличить площадь пластины на площадь рёбер жесткости.
Плотности частот свободных колебаний частично заполненного помещения можно
оценить по простой формуле для пустого помещения, но входящие в формулу объём,
_________________________________________________________________________________________
И. В. Грушецкий, А. В. Смольников
Плотность частот свободных колебаний судовых конструкций и помещений
XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г.
17
_________________________________________________________________________________________
площадь ограждений и длину рёбер помещения следует рассчитывать с учётом объёма,
площади поверхности и длины рёбер установленного в помещении оборудования. При
этом можно пренебречь длиной рёбер, что упрощает расчёт, если оборудование имеет
сложную форму. Расчёт по приближённой формуле практически совпадает с точным
расчётом, использующим МКЭ, если в полосе частот содержится хотя бы несколько
частот свободных колебаний, т.е. в диапазоне применения СЭМ.
Выводы по результатам расчётов сделаны на основе рассмотрения нескольких
примеров, но нет оснований полагать, что более сложное насыщение окажет
принципиально иное влияние на плотность частот свободных колебаний судовых
конструкций и помещений в области применения СЭМ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никифоров А. С., Будрин С. В. Распространение и поглощение звуковой вибрации
на судах. Л.: Судостроение, 1968.
2. Никифоров А. С. Вибропоглощение на судах. Изд. «Судостроение», Л.: 1979.
3. Бородицкий Л. С., Спиридонов В. М. Снижение структурного шума в судовых
помещениях. Л., «Судостроение», 1974.
4. Тартаковский Б. Д., Дубнер А. Б. О возможности определения виброакустических
характеристик структуры по результатам натурных испытаний. В кн. Колебания,
излучение и демпфирование упругих структур. Под. ред. А. В. Римского-Корсакова.
М., «Наука», 1973.
5. Овсянников С. Н. Распространение звуковой вибрации в гражданских зданиях.
Издательство Томского государственного архитектурно-строительного
университета. Томск, 2000.
6. Расчет уровней шума в судовых помещениях. Методика. ОСТ 5.0173-75, 1975.
_________________________________________________________________________________________
И. В. Грушецкий, А. В. Смольников
Плотность частот свободных колебаний судовых конструкций и помещений