1.15. Координаты векторов в пространстве.

1.15. Координаты векторов в пространстве. Мы уже говорили, что теория векторов по
существу многомерна и отмечали аналогию в построении этой теории на плоскости и в
трехмерном пространстве. Проследим дальше эту аналогию в вопросах, связанных с
координатами векторов. Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Охуz и
r r
обозначим единичные векторы координатных осей i , j , к . Возьмем произвольный вектор
r
r
а и отложим его от начала координат: а = ОА . Сначала рассмотрим общий случай, когда точка
А не лежит на координатных плоскостях (рис.1.53). Опустим из точки А перпендикуляры АА1 на
ось х, АА2 на ось у и АА3 на ось z. Построим прямоугольный параллелепипед Р с ребрами ОА1,
ОА2, ОА3 и диагональю ОА. Тогда
ОА = ОА 1+ ОА 2+ ОА 3.
(30)
r
Мы разложили вектор а по координатным осям:
r
(31)
а = ОА 1+ ОА 2+ ОА 3.
r
Векторы ОА 1, ОА 2 и ОА 3 называются составляющими вектора а по осям Ох, Оу и Оz
соответственно.
Рис.1.54
Каждая из этих составляющих имеет свою координату на соответствующей оси. Эти
r
r
координаты обозначаем ах, ау и аz. Поскольку ОА 1=ах i , ОА 2=ау j и ОА 3=аz к , то, подставляя
r
эти равенства в формулу (31), получаем представление вектора а :
r
r
r
а = ах i +ау j + аz к .
(32)
В пункте 1.11 показано, что число ах – это координата точки А1 на оси х. Аналогично,
число ау - координата точки А2 на оси у, число аz – координата точки А3 на оси z. Следовательно,
тройка чисел (ах, ау, аz) – это координаты точки А.
Если точка А лежит на координатной плоскости хОу, то в этом случае аz=0 и равенстве
(32) останутся лишь первые два слагаемые. Аналогичное верно и для двух других
координатных плоскостей. Равенство (32) установлено для всех случаев.
r
Полученная тройка чисел (ах, ау, аz) называется координатами вектора а в заданной
r
системе координат. Она же является координатами точки А – конца вектора ОА = а .
Последнее утверждение позволяет по каждой упорядоченной тройке чисел (ах, ау, аz)
r
построить вектор а , координатами которого в заданной системе прямоугольных координат
будут числа ах, ау, аz. Для этого достаточно в этой системе координат построить точку А с
координатами ах, ау, аz и взять вектор ОА . Его координатами и будут числа ах , ау, аz.
В заданной системе координаты вектора определяются единственным образом.
r
Если вектор а = АВ имеет начало в точке А(хА , уА , zА) и конец в точке В(хВ , уВ , zВ), то его
координаты находятся по формулам
ах = хВ - хА , ау= уВ – уА , аz= zВ – zА,
(33)
аналогичным формулам (17) пункта 1.12.
Как и на плоскости, при сложении векторов их соответствующие координаты
складываются; при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.
Признак коллинеарности векторов в пространстве, заданных своими координатами,
формулируется так же, как и для векторов на плоскости.
Далее, как и на плоскости, квадрат модуля вектора равен сумме квадратов его
координат и скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных
координат. Запишите эти утверждения формулами.
Повторите доказательства этих утверждений, проведенные в пп.1.12 -1.14 для векторов
на плоскости, и убедитесь, что для векторов в пространстве они почти такие же: различие лишь
в том, что добавляется еще одна координата.
1.
2.
3.
4.
Вопросы для самоконтроля
Как разложить в пространстве вектор по осям координат?
Как выражаются координаты вектора через координаты его начала и конца?
Как найти модуль вектора, зная координаты вектора?
Как найти расстояние между точками, координаты которых известны?
Задачи
Вычисляем. 15.1. Дан единичный куб ABCDA1B1C1D1. Найдите координаты векторов
AD , AB 1, АС 1, B1 D в системе координат, если : а) начало координат находится в точке А, а
оси координат идут по лучам АВ, АD, АА1; б) начало координат – в точке В, а оси ВА, ВС, ВВ1;
в) Начало координат в точке О –центре грани ABCD, а оси – ОА, ОD и ОО1 – где О1- центр
грани A1B1C1D1. Найдите длины этих векторов и углы между ними.