ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Министерство образования Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Кафедра дискретного анализа
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Задачи
Ярославль 2001
1
Составитель канд. физ.-мат. наук, доцент В.Б. Калинин
ББК В 151
К 17
УДК 517.1
Плоскость и прямая в пространстве: Задачи / Сост. В.Б. Калинин; Яросл.
гос. ун-т. Ярославль, 2001. 8 с.
Настоящий практикум содержит набор задач по теме «Плоскость и прямая в
пространстве». Типовые задачи приведены с решениями. Это позволит более
эффективно использовать различные формы самостоятельной работы и
поможет студентам хорошо подготовиться к зачету и экзамену.
Практикум рассчитан на студентов-первокурсников, изучающих курс
«Геометрия и алгебра».
Рецензент: кафедра дискретного анализа Ярославского государственного
университета им. П.Г. Демидова
© Ярославский государственный университет, 2001
© Калинин В.Б., 2001
2
1. Дана точка А(3,5,7).
1) Составить уравнения плоскостей, проходящих через точку А и
параллельных координатным плоскостям.
2) Составить уравнения прямых, проходящих через точку
А и
параллельных осям координат.
3) Составить уравнения плоскостей, проходящих через точку А и через
оси координат.
4) Составить уравнение прямой, проходящей через точку А и начало
координат.
Система координат аффинная.
2. В пространстве дана прямая х/2 = y/3 = 5. Найти направляющий вектор
этой прямой. Система координат аффинная.
3. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях Ох и Оу отрезки,
соответственно равные 2 и 3. Написать уравнение плоскости, проходящей через
эту прямую и параллельной оси Оz. Система кординат аффинная.
4. Даны точки пересечения прямой с двумя координатными плоскостями
(0, y1 , z1), (0, y2 , z2). Вычислить координаты точки пересечения этой же прямой с
третьей координатной плоскостью.
Система координат аффинная.
5. Найти ортогональные проекции прямой
x − x0
a
=
y−
y
b
0
=
z − z0
c
на
координатные плоскости 0ху, 0хz, 0xy. Система координат прямоугольная.
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (1,2,3),
параллельной прямой х=у=z и отсекающей на осях 0х и 0у равные отрезки.
Система координат аффинная.
Решение. Поскольку плоскость параллельна прямой х=у=z, один
направляющий вектор уже есть. Это вектор (1,1,1). А так как плоскости
принадлежит вектор, отсекающий на 0х и 0у равные отрезки, вторым
направляющим вектором будет очевидно (-t,t,0). Сократив на t, получим (1,1,0). Параметрическое уравнение плоскости будет иметь вид:
X=1+u–v
Y= 2+u+v
Z = 3 + u.
Исключив t и u, получим искомый ответ: x + y - 2z + 3 = 0.
7. Составить уравнение плоскости,
равноудаленной от точек (2,7,3) и (-1,1,0).
Система координат аффинная.
3
проходящей
через
ось
0у
и
8. Даны вершины тетраэдра: А = (2,1,0), В = (1,3,5), С = (6,3,4), D = (0,-7,8).
Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую АВ и
равноудаленной от вершин С и D.
9. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую х = 2 + 3t,
y = -1 + 6t, z = 4t и коллинеарной прямой х = -1 + 2t, y = 3t, z = -t.
Система координат аффинная.
10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (-2,3,0) и через
прямую х = 1 , y = 2 + t , z = 2 - t.
11. Показать, что прямые х = 1 +2t , y = 2t, z = t и х = 11 + 8t, y = 6 + 4t,
z = 2 + t пересекаются и написать уравнение биссектрисы тупого угла между
ними. Система координат прямоугольная.
12. Составить уравнение проекции прямой
x− 2 y −1 z
=
=
3
−2
1
из точки (1,2,1) на плоскость y - 2z + 4 = 0.
Система координат аффинная.
13. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы плоскость
Ax + By + Cz + D = 0: 1) пересекала ось Oz; 2) была параллельна ей; 3)
проходила через ось Oz.
Система координат аффинная.
14. Установить в каждом из следующих случаев, лежит ли данная прямая в
данной плоскости, параллельна плоскости или пересекает ее; в последнем
случае найти точку пересечения прямой и плоскости
прямая
плоскость
1)
x − 12 y − 9 z − 1
=
=
4
3
1
3x + 5y – z – 2 = 0;
2)
x+1 y − 3 z
=
=
2
4
3
3x – 3y + 2z – 5 = 0;
3)
x − 13 y − 1 z − 4
=
=
8
2
3
x + 2y – 4z + 1 = 0;
4)
x− 7 y − 4 z − 5
=
=
5
1
4
3x – y + 2z – 5 = 0.
4
15. Установить в каждом из следующих случаев, лежит ли данная прямая в
данной плоскости, параллельна плоскости или пересекает ее; в последнем
случае найти точку пересечения прямой и плоскости.
прямая
3x + 5 y − 7 z + 16 = 0

2 x − y + z − 6 = 0
2 x + 3 y + 6 z − 10 = 0

x + y + z + 5 = 0
плоскость
5x – z – 4 = 0;
y +4z +17 =0;
Решение. Меняя местами первое и второе уравнение, приводим матрицу к
специальному ступенчатому виду:
111 | −5 
111 | −5 
10 − 3 | −25 

 ⇒ 
 ⇒ 

 236 | 10 
 014 | 20 
 014 | 20 
Получаем параметрическое уравнение прямой:
X = -25 + 3 t;
Y = 20 - 4t;
Z = t.
Подставляя его в уравнение плоскости, получаем:
(20 - 4t) + 4t + 17 ≠ 0, т.е. прямая параллельна плоскости.
 x + 2 y + 3z + 8 = 0

5 x + 3 y + z − 16 = 0
2x – y – 4z –24 =0.
16. Установить, какие из следующих пар прямых скрещиваются,
параллельны, пересекаются или совпадают; если прямые параллельны, то
написать уравнение плоскости, через них проходящей; если прямые
пересекаются, то написать уравнение содержащей их плоскости и найти их
общую точку.
1)
2)
3)
4)
x = 1 + 2t , y = 7 + t , z = 3 + 4t ; 

x = 6 + 3t , y = −1 − 2t , z = −2 + t ;
x = 1 + 2t , y = 2 − 2t , z = −t ;

x = −2t , y = −5 + 3t , z = 4; 
x = 2 + 4t , y = −6t , z = −1 − 8t ;

x = 7 − 6t , y = 2 + 9t , z = 12t ; 
x = 1 + 9t , y = 2 + 6t , z = 3 + 3t ; 

x = 7 + 6t , y = 6 + 4t , z = 5 + 2t.
5
17. Установить, какие из следующих пар прямых скрещиваются,
параллельны, пересекаются или совпадают; если прямые параллельны, то
написать уравнение плоскости, через них проходящей; если прямые
пересекаются, то написать уравнение содержащей их плоскости и найти их
общую точку.
1) x = 9t, y = 5t, z = -3 + t;
2 x − 3 y − 3 z − 9 = 0,

x − 2 y + z + 3 = 0; 
2) x = t, y = -8 – 4t, z = -3 –3t;
x + y − z = 0, 

2 x − y + 2 z = 0;
3) x = 3 + t, y = -1 +2t, z = 4
x − 3 y + z = 0, 

x + y − z + 4 = 0;
4) 4) x = -2 + 3t, y = -1, z = 4 – t;
2 y − z + 2 = 0,


x − 7 y + 3z − 17 = 0.
18. Даны две точки: А = (3,-2,1), В = (6,0,5). Составить уравнение плоскости,
проходящей через точку В и перпендикулярной к прямой АВ.
19. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости
x + 3y + 5z – 10 = 0 и проходящей через линию пересечения данной плоскости
с плоскостью 0ху.
20. Написать параметрические уравнения перпендикуляра, опущенного из
точки ( x0 , y 0 , z 0 ) на плоскость Ах + Ву + Сz + D = 0.
21. Написать уравнения и найти длину d перпендикуляра, опущенного из
точки (-3,13,7) на прямую
x −1 y − 2 z − 3
=
=
.
3
−4
1
6
22. Найти ортогональную проекцию точки (1,3,5) на прямую
2x + y + z –1 = 0, 3x + y + 2z – 3 = 0.
23. Найти основания перпендикуляра, опущенного из точки (9,6,4) на прямую
x −1 y − 2 z − 3
=
=
.
4
0
3
24. Найти точку, симметричную точке (1,2,3) относительно прямой
x − 8 y − 11 z − 4
=
=
.
1
3
−1
25. Составить уравнение проекции прямой x = 3 + 5t, y = -1 + t, z = 4 + t на
плоскость 2x – 2y + 3z – 5 = 0.
26. Через точку (1, 2, 3) провести плоскость, перпендикулярную к плоскости
π
.
4
5x – 2y + 5z – 10 = 0 и образующую с плоскостью x – 4y – 8z +12 = 0 угол
27. Найти угол между прямой х+у-z=0, 2х-3у+z=0 и плоскостью 3х+5у-4z=0.
28. Даны вершины тетраэдра А(0,0,2), В(3,0,5), С(1,1,0), D(4,1,2). Найти
длину высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.
29. Найти расстояние d между двумя плоскостями Ах + Ву + Сz +
и Ах + Ву + Сz + D 2 = 0.
D
1
=0
30. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости Ах + Ву +
+ Сz + D = 0 и отстоящих от нее на расстоянии d.
31. Найти центр и радиус шара, вписанного в тетраэдр с вершинами (1,2,3),
(-2,8,9), (5,0,7), (3,4,2).
32. Найти расстояние от точки (1,2,3) до прямой 2x + y + z-1 = 0,
3x + y + 2z - 3 = 0.
33. Найти расстояние от точки (1,2,5) до прямой x = t, y = 1-2t, z = 3+t.
7
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Задачи
Составитель Калинин Владимир Борисович
Редактор, корректор А.А. Антонова
Компьютерная верстка И.Н. Ивановой
Лицензия ЛР № 020319 от 30.12.96.
Подписано в печать 21.05.2001 г. Формат 60х84/16. Бумага тип.
Усл. печ. л. 0,5. Уч.-изд. л. 0,3. Тираж 100 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе ЯрГУ
Отпечатано на ризографе
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
150000 Ярославль, ул. Советская, 14.
8