Пример 1 Пример 2 Задание 1. Вариант 1

1
Тема 1. Свободные колебания
Пример 1
1
Тело массой m = килограмма прикреплено к пружине. Пружина под действием силы
2
100 ньютонов растягивается на 2 метра. Тело начинает двигаться из начального положения x0 = 1 (м) с начальной скоростью v0 = −5 (м/с). Найдите уравнение движения
данного тела, а также амплитуду, частоту, период колебаний и запаздывание по времени колебаний. Нарисуйте фазовый портрет соответствующей нормальной системы,
графики зависимости координаты от времени и зависимости скорости от времени.
Пример 2
1
Пусть теперь, как и в примере 1, тело массой m = килограмма прикреплено к пру2
жине, но, кроме пружины, на нее действует амортизатор с силой сопротивления 1 ньютон на каждый метр в секунду скорости. Пружина под действием силы 100 ньютонов
растягивается на 2 метра. Тело приведено в движение из того же начального положения
x0 = 1 (м) с той же начальной скоростью v0 = −5 (м/с). Найдите уравнение движения данного тела, а также круговую частоту движения, условный период колебаний
и запаздывание по времени колебаний. Нарисуйте фазовый портрет соответствующей
нормальной системы, графики зависимости координаты от времени и зависимости скорости от времени.
Задание 1. Вариант 1
Тело массой m = 12 кг прикреплено к пружине, жесткость которой равна k = 4 и соединено с амортизатором, коэффициент затухания которого равен c = 3. Тело приведено
в движение из начального положения x0 = 2 (м) с начальной скоростью v0 = 0 (м/с).
Найдите уравнение движения данного тела и определите тип колебаний (затухающие,
сверхзатухающие или предельные на границе апериодичности). В случае затухающих
колебаний запишите уравнение движения в виде x(t) = C1 e−pt cos(ω1 t − α1 ). Найдите
также уравнение движения без затухания u(t) = C0 cos(ω0 t − α0 ), т.е. в случае, когда тело приведено из того же начального положения с той же начальной скоростью,
но амортизатор в системе отсутствует. Нарисуйте фазовые портреты соответствующих
нормальных систем в обоих случаях, определите тип особой точки, нарисуйте графики
зависимости координаты от времени и зависимости скорости от времени в двух случаях.
2
Задание 1. Вариант 2
Тело массой m = 3 кг прикреплено к пружине, жесткость которой равна k = 63 и соединено с амортизатором, коэффициент затухания которого равен c = 30. Тело приведено
в движение из начального положения x0 = 2 (м) с начальной скоростью v0 = 2 (м/с).
Найдите уравнение движения данного тела и определите тип колебаний (затухающие,
сверхзатухающие или предельные на границе апериодичности). В случае затухающих
колебаний запишите уравнение движения в виде x(t) = C1 e−pt cos(ω1 t − α1 ). Найдите
также уравнение движения без затухания u(t) = C0 cos(ω0 t − α0 ), т.е. в случае, когда тело приведено из того же начального положения с той же начальной скоростью,
но амортизатор в системе отсутствует. Нарисуйте фазовые портреты соответствующих
нормальных систем в обоих случаях, определите тип особой точки, нарисуйте графики
зависимости координаты от времени и зависимости скорости от времени в двух случаях.
Задание 1. Вариант 3
Тело массой m = 1 кг прикреплено к пружине, жесткость которой равна k = 16 и соединено с амортизатором, коэффициент затухания которого равен c = 8. Тело приведено в
движение из начального положения x0 = 5 (м) с начальной скоростью v0 = −10 (м/с).
Найдите уравнение движения данного тела и определите тип колебаний (затухающие,
сверхзатухающие или предельные на границе апериодичности). В случае затухающих
колебаний запишите уравнение движения в виде x(t) = C1 e−pt cos(ω1 t − α1 ). Найдите
также уравнение движения без затухания u(t) = C0 cos(ω0 t − α0 ), т.е. в случае, когда тело приведено из того же начального положения с той же начальной скоростью,
но амортизатор в системе отсутствует. Нарисуйте фазовые портреты соответствующих
нормальных систем в обоих случаях, определите тип особой точки, нарисуйте графики
зависимости координаты от времени и зависимости скорости от времени в двух случаях.
Задание 1. Вариант 4
Тело массой m = 2 кг прикреплено к пружине, жесткость которой равна k = 50 и соединено с амортизатором, коэффициент затухания которого равен c = 12. Тело приведено
в движение из начального положения x0 = 0 (м) с начальной скоростью v0 = −8 (м/с).
Найдите уравнение движения данного тела и определите тип колебаний (затухающие,
сверхзатухающие или предельные на границе апериодичности). В случае затухающих
колебаний запишите уравнение движения в виде x(t) = C1 e−pt cos(ω1 t − α1 ). Найдите
также уравнение движения без затухания u(t) = C0 cos(ω0 t − α0 ), т.е. в случае, когда тело приведено из того же начального положения с той же начальной скоростью,
но амортизатор в системе отсутствует. Нарисуйте фазовые портреты соответствующих
нормальных систем в обоих случаях, определите тип особой точки, нарисуйте графики
зависимости координаты от времени и зависимости скорости от времени в двух случаях.