Кожевников Е.Н. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЕКТОРНОМУ АНАЛИЗУ

Самарский государственный университет
Кожевников Е.Н.
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ВЕКТОРНОМУ АНАЛИЗУ
Самара
2000
Министерство общего и профессионального
образования Российской федерации
Самарский государственный университет
Кафедра механики сплошной среды
Кожевников Е.Н.
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ВЕКТОРНОМУ АНАЛИЗУ
Издательство "Самарский университет"
2000
Печатается по решению Редакционно-издательского совета Самарского
государственного университета
Предлагаемый сборник содержит задачи по всем разделам курса векторного анализа, начиная с векторной функции скалярного аргумента и заканчивая дифференциальными операциями в криволинейных координатах. В сборник включены задачи, встречающиеся при работе с полями в электродинамике и механике сплошных сред, а также большое количество оригинальных
задач на применение оператора Гамильтона, дифференцирование полей второго порядка, операции векторного анализа в криволинейных координатах.
В начале каждого параграфа приводятся основные теоретические сведения
и решения наиболее типичных задач.
Рекомендуется студентам физических, и механико-математических специальностей университета, а также студентам инженерно-физических специальностей технических вузов.
Составитель: д-р физ.-мат. наук, проф. Е.Н. Кожевников
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. В.П. Радченко
д-р техн. наук, проф. Ю.Э. Сеницкий
c
°Кожевников
Е.Н.,
составление, 2000.
Содержание
1 Вектор. Векторная функция скалярного аргумента. Годограф.
4
2 Скалярное поле. Поверхности уровня.
13
3 Градиент и производная по направлению скалярного поля.
15
4 Векторное поле. Векторные линии.
21
5 Дивергенция поля, ротор и производная по направлению векторного поля. Теоремы Остроградского - Гаусса и Стокса.
23
6 Оператор Гамильтона ∇
32
7 Лапласиан скалярного и векторного полей.
37
8 Криволинейные координаты
40
9 Дифференцирование полей в криволинейных координатах
51
Ответы
64
Рекомендуемая литература
76
3
1
Вектор. Векторная функция скалярного аргумента. Годограф.
~ размерности n называется упорядоченный набор величин
Вектором A
(A1 , A2 , ...., An ) – компонент вектора, для которого определены операции умножения на число, сложения и скалярное произведение; последние две операции
определены для векторов одинаковой размерности.
В трехмерном пространстве вектор можно представить линейной комбинацией трех некомпланарных векторов (разложением по базису), либо, при
заданном базисе, – перечислением его компонент. В декартовом базисе ~i, ~j, ~k
~ = ~iAx + ~jAy + ~kAz и
(~i ⊥ ~j ⊥ ~k ⊥ ~i; |~i| = |~j| = |~k| = 1) записи A
~ = (Ax , Ay , Az ) определяют один и тот же вектор A.
~ Геометрической инA
терпретацией вектора служит направленный отрезок.
Операции умножения вектора на число и сложения векторов переносятся
~иB
~ заданы в трехмерном пространна их компоненты. Если два вектора A
~=
стве декартовыми компонентами A
~ = (Bx , By , Bz ) и α, β - числа, то линейная комбинация
= (Ax , Ay , Az ), B
~ + βB
~ представляет собой вектор
αA
~ + βB
~ = (αAx + βBx , αAy + βBy , αAz + βBz ) .
αA
(1.1)
Скалярное произведение в декартовых координатах определяется как сумма произведений одноименных компонент сомножителей
~·B
~ = A x Bx + A y By + A z Bz .
A
~ называется величина
Длиной вектора A
p
q
~
~
~
|A| = A · A = A2x + A2y + A2z .
(1.2)
(1.3)
Скалярное произведение векторов выражается через их длины и косинус
угла α между ними
~·B
~ = |A||
~ B|
~ cos α.
A
(1.4)
Из формул (1.2),(1.4) вытекает следующее выражение для косинуса угла
4
~ и B:
~
между векторами A
cos α =
~·B
~
A
Ax Bx + Ay By + Az Bz
=
.
~ |B|
~
~ |B|
~
|A|
|A|
(1.5)
В трехмерном пространстве определено векторное произведение векто~ × B;
~ в декартовых координатах компоненты векторного произведения
ров A
получают, раскрывая определитель
¯
¯
¯ ~i ~j ~k ¯
¯
¯
~×B
~ = ¯ Ax Ay Az ¯ .
(1.6)
A
¯
¯
¯ Bx By Bz ¯
~ B,
~ C
~ могут образовывать смешанное произведение
Три вектора A,
~ B
~ × C),
~
A(
которое не меняется при циклической перестановке векторов и меняет знак
при перестановке местами любых двух векторов
~ B
~ × C)
~ = B(
~ C
~ × A)
~ = C(
~ A
~ × B)
~ = −B(
~ A
~ × C),
~
A(
(1.7)
а также двойное векторное произведение
~ × (B
~ × C),
~
A
которое раскрывается через скалярные произведения по формуле
~ × (B
~ × C)
~ = B(
~ A
~ C)
~ − C(
~ A
~ B).
~
A
(1.8)
~ являются функциями скалярного аргуменЕсли компоненты вектора A
~ = A(t)
~
та t и имеют одну и ту же область определения, то вектор A
=
(Ax (t), Ay (t), Az (t)) называется векторной функцией скалярного аргумента
~
t. Если начало вектора A(t)
поместить в постоянную точку О, то конец век~ при изменении параметра t опишет пространственную кривую, котора A(t)
~
торую называют годографом векторной функции A(t).
~
Производная векторной функции A(t)
по скалярному аргументу t определяется дифференцированием ее компонент
5
µ
¶
~
dA(t)
dAx (t) dAy (t) dAz (t)
=
,
,
=
dt
dt
dt
dt
dAx (t) ~ dAy (t) ~ dAz (t)
= ~i
+j
+k
.
dt
dt
dt
(1.9)
~
dA
~
Вектор
направлен по касательной к годографу вектора A(t).
Единичdt
ный вектор ~τ
¯ ¯
~ Á¯ dA
~¯
dA
¯ ¯
(1.10)
~τ =
dt ¯ dt ¯
называется единичным вектором касательной; вектор ~τ задает направление
~
~ 1 (t) и A
~ 2 (t) в точках пересегодографа в точке A(t).
Угол между кривыми A
чения определяется как угол α между единичными векторами касательных :
cos α = ~τ1 · ~τ2 .
Пусть кривая задана параметрически в виде

 x = x(t),
y = y(t),
~r(t) =

z = z(t),
где t - параметр.
Уравнение касательной прямой к кривой в точке ~r0: x0 =
= x(t0 ), y0 = y(t0 ), z0 = z(t0 ) определяется параметрически уравнениями
¡ ± ¢

X
=
X(s)
=
x
+
s

0
¡ dx± dt¢ 0
¡ ± ¢
~ = ~r0 + s d~r dt :
Y = Y (s) = y0 + s ¡ dy± dt¢ 0
R
(1.11)
0

Z = Z(s) = x0 + s dz dt 0 ,
где s ∈ (−∞, ∞) – переменный параметр, X = X(s), Y = Y (s), Z =
= Z(s) – координаты точек касательной прямой.
Уравнение нормальной плоскости к кривой ~r = ~r(t) в точке ~r0 = ~r(t0 ) =
(x0 , y0 , z0 ) определяется уравнением
¡ ± ¢
~ − ~r0 ) · d~r dt =
(
R
0 ¡ ± ¢
¡ ± ¢
¡ ± ¢
(1.12)
=£¡ dx± dt¢ 0 X + ¡dy ±dt¢0 Y + ¡dz ±dt ¢0 Z−¤
− dx dt 0 x0 + dy dt 0 y0 ) + dz dt 0 z0 = 0,
~ = (X, Y, Z) - координаты точек плоскости
где R
6
~
Неопределенный интеграл от векторной функции A(t)
находится интегрированием ее компонент
Z
~
~
~ =
R(t)
= A(t)dt
+C
µZ
¶
Z
Z
Ax (t)dt + Cx , Ay (t)dt + Cy , Az (t)dt + Cz =
µZ
¶
µZ
¶
(1.13)
~
~
=i
Ax (t)dt + Cx + j
Ay (t)dt + Cy +
µZ
¶
+~k
Az (t)dt + Cz
~ = (Cx , Cy , Cz ).
и определен с точностью до постоянного вектора C
Упражнение 1.1. Найти направление кривой ~r(t) = (t cos t, t sin t, t) в точке, соответствующей значению t = 0.
Решение. Направление кривой определяется единичным вектором касательной ~τ по формуле (1.10).
± Дифференцируя компоненты вектора ~r(t) по t,
найдем производную d~r(t) dt = (cos t − t sin± t,
sin t + t cos t, 1); в точке
¯ t =±0 получим
¯ √ d~r(t) dt = (1, 0, 1). Деля производную
±
d~r(t) dt на ее длину ¯d~r(t) dt¯ = 2, найдем вектор ~τ
³ √
√ ´
¯
¯
~τ t=0 = 1/ 2, 0, 1/ 2 .
√
Упражнение 1.2. Определить угол между плоскими кривыми y1 = x, y2 =
x2 в точках пересечения.
Решение. Приведем кривые к параметрическому виду, выбирая в качестве
параметра координату x
½
½
x=√
t
x=t
~r2 =
~r1 =
y = t2 ,
y = t,
и определим единичные вектора касательных
¶
Á¯ ¯ µ √
d~r1 ¯¯ d~r1 ¯¯
1
2 t
~τ1 =
¯ dt ¯ = √1 + 4t , √1 + 4t ,
dt
¶
Á¯ ¯ µ
d~r2 ¯¯ d~r2 ¯¯
2t
1
~τ2 =
¯ dt ¯ = √1 + 4t , √1 + 4t .
dt
7
√
Приравнивая координаты y1 и y2 : t = t2 , найдем значения t, которые
определяют точки пересечения кривых: t1 = 0 =⇒ O1 (0, 0); t2 = 1 =⇒
O2 (1, 1). Определяя единичные вектора ¡касательных
пересечения
√
√ ¢ в точках
√ ¢
¡ √
O1 {~τ1 = (0, 1), τ~2 = (1, 0)} и O2 {~τ1 = 2/ 5, 1/ 5 , τ~2 = 1/ 5, 2/ 5 },
найдем по формуле (1.5) угол между кривыми. В точке O1 получим
¯
¯
¯
¯
cos α¯¯ = ~τ1 · ~τ2 ¯¯ = 0 =⇒ α = π/2.
O1
В точке O2 –
¯
¯
cos α¯¯
O2
O1
¯
¯
= ~τ1 · ~τ2 ¯¯
√
√
= 4/ 5 =⇒ α = arccos(4/ 5).
O2
Упражнение 1.3. Задана кривая ~r(t): x(t) = αt2 + βa, y(t) = t, z(t) =
βt2 − αc, где t - параметр, c, α, β - постоянные, причем имеет место соотношение α2 + β 2 = 1. Напиcать уравнение касательной прямой в точке
(x(t), y(t), z(t)). Какая линия получается в пересечении касательных с плоскостью xy?
Решение. Дифференцируя векторную функцию ~r(t) по параметру t
d~r(t)
= (2αt, 1, 2βt),
dt
~ = R(s)
~
построим по формуле (1.11) уравнение касательной прямой R
в произвольной точке ~r(t)

 X(s) = αt2 + βc + 2αts,
d~
r
(t)
~
Y (s) = t + s,
R(s)
= ~r(t) +
s=

dt
Z(s) = βs2 − αc + 2βts.
Плоскости xy cоответствует нулевое значение координаты Z. Приравнивая Z(s) = βt2 − αc + 2βts = 0, найдем значения параметра s, определяющие
точку пересечения касательных прямых с плоскостью:
αc − βt2
.
s=
2βt
Подставляя это выражение для s в компоненты X(s), Y (s), найдем геометрическое место точек пересечения касательных с плоскостью xy для различных значений t
αc + βt2
c
,
X(t) = , Y (t) =
β
2βt
8
откуда следует, что линией пересечения касательных с плоскостью xy будет
прямая X = c/β.
Упражнение 1.4. Составить уравнение нормальной плоскости к кривой
~r(t): x(t) = αt3 + a, y(t) = βt2 + b, z(t) = γt + c, где t - параметр, a, b, c, α, β, γ
– постоянные, в точке (x(t), y(t), z(t)).
Решение. Определяя производную функции ~r(t)
d~r(t)
= (3αt2 , 2βt, γ),
dt
построим по формуле (1.12) уравнение нормальной плоскости
³
´ d~r(t)
~
=
R − ~r(t) ·
dt
= (X − αt3 − a)3αt2 + (Y − βt2 − b)2βt + (Z − γt − c) = 0.
Это уравнение приводится к каноническому виду
(3αt2 ) X + (2βt) Y + γ Z − H = 0,
где H равнo
H = 3αt2 (αt3 + a) + 2βt(βt2 + b) + (γt + c) = 0.
Задачи
1.1 Построить годографы векторов:
a) ~r = ~i 2 + ~j t2 − ~k t2 ;
b) ~r = ~i t + ~j t + ~k t2 ;
c) ~r = ~i a cos t + ~j b sin t;
d) ~r = ~i sin2 t + ~j cos2 t;
e) ~r = ~i a cos t + ~j a sin t + ~k ct;
t2 + 1
2t
~
f ) ~r = i
+ ~j
;
2
(t + 1)
(t + 1)2
9
g) ~r = ~i a cos t(1 + cos t) + ~j a sin t(1 + cos t);
h) ~r = ~i a cos3 t + ~j a sin3 t;
3at
3at2
~
~
i) ~r = i 3
+j 3
;
t +1
t +1
~i 2t + ~j 2t + ~k (t2 − 2)
;
j) ~r =
t2 + 1
1
1
k) ~r = ~i t + ~j t2 + ~k t3 ;
3
9
2
~
l) ~r = i (t − t + 1) + ~j (t2 + t + 1).
1.2 Доказать, что, если векторы ~r1 и ~r2 не коллинеарны, годографом векторной функции
~r = ~r1 cos t + ~r2 sin t,
t ∈ [0, 2π]
будет эллипс. Каким будет годограф в случае коллинеарности векторов ~r1 и
~r2 ?
1.3 Доказать, что, если векторы ~r1 и ~r2 не коллинеарны, годографом векторной функции
~r = ~r1 ch t + ~r2 sht,
t ∈ (−∞, ∞)
будет гипербола. Каким будет годограф в случае коллинеарности векторов
~r1 и ~r2 ?
d~r
1.4 Найти производную , если
dt
a) ~r(t) = ~i a cos t + ~j b sin t;
b) ~r(t) = ~i a sin t + ~j a cos t + ~k b t2 ;
c) ~r(t) = ~a eωt + ~b e−ωt ,
~a, ~b - постоянные векторы.
1.5 Пусть
~v = ~i v1 (x, y, z, t) + ~j v2 (x, y, z, t) + ~k v3 (x, y, z, t),
10
где vi - непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов, x,y,z непрерывно дифференцируемые функции от t. Показать, что
d~v
∂~v ∂~v dx ∂~v dy ∂~v dz
=
+
+
+
.
dt
∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt
1.6 Найти производные
µ
¶
d
d~r
b)
~r ·
,
dt
dt
µ
¶
d
d
d~r
c) (~a × ~r) , d)
~r ×
,
dt
dt
dt
d
a) (~r · ~r) ,
dt
где ~r = ~r(t), ~a - постоянный вектор.
1.7 Доказать, что
´´ dA
´
~ ³
d ³~ ³~
~
~
~
a)
A· B×C
=
· B×C +
dt
dt
!
Ã
!
Ã
~
~
~ · dB × C
~ +A
~· B
~ × dC ;
+ A
dt
dt
à Ã
!!
Ã
!
2~
3~
~
~
dA d A
d ~
~ · dA × d A ;
A·
=A
b)
× 2
dt
dt
dt
dt
dt3
Z
c)
2~
~
~ × d A dt = A
~ × dA + C;
~
A
2
dt
dt
d~r
~
d) ~r ×
= C,
dt
d2~r
= ~rf (r).
dt2
1.8 Составьте уравнения касательных к следующих кривым в указанных
точках:
a) x = 1/ cos t,
y = tg t,
11
z=t
t = π/4;
b) x = et ,
y = e−t ,
c) x = et cos t,
z = t2
t = 1;
y = et sin t,
z = et
t = 0.
1.9 Cоставьте уравнения касательной к кривой
x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), z = 4a sin (t/2)
t = π/2.
Какой угол образует эта касательная с осью z?
1.10 В каких точках касательная к кривой x = cos t, y = t sin t, z =
= t + 3 параллельна оси z?
1.11 Составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости
винтовой линии x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 4t в точке, соответствующей
значению t = 0.
1.12 Задана кривая x = t, y = t2 , z = t3 . Напишите уравнения касательной прямой и нормальной плоскости в точке, соответствующей значению
t = 1. Какая линия получается в пересечении касательных с плоскостью xy?
√
√
√
1.13 Доказать, что линия x = et/ 2 cos t, y = et/ 2 sin t, z = et/ 2 лежит
на конусе x2 + y 2 = z 2 и пересекает его образующие под углом 45◦ .
1.14 Написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости
линии x2 = 2az, y 2 = 2bz (ab ≥ 0) в произвольной точке.
1.15 Найти точки пересечения и углы, под которыми пересекаются следующие линии
a) x2 + y 2 = 9,
b) y = sin x,
x2 + y 2 − 6x = 9;
y = cos x.
1.16 Доказать, что следующие линии пересекаются под прямым углом
a) y = x − x2 ,
y = x2 − x,
b) x2 − y 2 = a,
xy = b.
1.17 Найти интегралы от следующих векторных функций:
a) ~r(t) = ~i cos t + ~j e−t + ~k,
12
b) ~r(t) = ~i t sin t + ~j + ~k tet ,
c) ~r(t) = ~i cos t − ~j sin2 t,
±
c) ~r(t) = ~i t et − ~j ln t t + ~k ln t.
2
Скалярное поле. Поверхности уровня.
Если каждой точке пространства или его части однозначно сопоставлена некоторая величина , то говорят, что задано поле этой величины. Поле
называется скалярным, если рассматриваемая величина скалярная. Геометрической характеристикой скалярного поля ϕ = ϕ(~r) = ϕ(x, y, z, ) являются поверхности уровня, на которых поле ϕ принимает постоянное значение
c : ϕ(x, y, z) = c. В двухмерном случае постоянному значению поля соответствует кривая уровня.
Если функция ϕ описывает потенциальное поле, поверхности уровня называют эквипотенциальными поверхностями.
Упражнение 2.1. Определить линии уровня двумерного поля
p
p
ϕ = x2 + (y − 1)2 + x2 + (y + 1)2 .
Решение. Фиксируем значение поля
p
p
x2 + (y − 1)2 + x2 + (y + 1)2 = c − const
и выделим более простое соотношение между координатами x и y. Для этого
перенесем один из корней в правую часть равенства
p
p
x2 + (y − 1)2 = − x2 + (y + 1)2
и возведем обе части полученного равенства в квадрат. После преобразований
получим
p
2
4y − c = 2c x2 + (y + 1)2 .
13
Снова возводим обе части равенства в квадрат. Преобразуя, находим уравнение линии уровня
c2 − 4 2 c2 − 4
x2 +
y =
.
c2
4
Из условия задачи следует оценка для значения поля c ≥ 2. Поэтому
в уравнении для линии уровня коэффициент при y 2 и правая часть положительны
и линии уровня представляют собой эллипсы с полуосями Ox =
√
c2 − 4/2 и Oy = c/2.
Упражнение 2.2. Определить поверхности уровня поля
p
ϕ = αx2 + βy 2 + γz 2 ,
где постоянные α, β, γ > 0.
Решение. Фиксируем значение поля
p
αx2 + βy 2 + γz 2 = c − const
и возводим обе части равенства в квадрат
αx2 + βy 2 + γz 2 = c2 .
Поверхности уровня при положительнных
значениях α, β, γ представляют
√
√
√
эллипсы с полуосями c/ α, c/ β, c/ γ.
Задачи
2.1 Найти линии уровня скалярных полей на плоскости (x, y):
a) u = 2x − y;
b) u = x2 − y 2 ;
r
y
2x − y + 1
c) u = ln
;
d) u =
,
2x
x2
p
p
e) u = y 2 − x + y 2 + x.
2.2 Найти поверхности уровня:
b) ϕ = e~a·~r ;
a) ϕ = x + 2y + 3z;
c) ϕ =
p
x2 + y 2 + z 2 ;
e) ϕ = arcsin p
z
x2 + y 2
14
d) ϕ = ln |~r|;
.
2.3 Найти поверхность уровня скалярного поля
ϕ=
p
x2 + y 2 + (z + 8)2 +
p
x2 + y 2 + (z − 8)2 ,
проходящую через точку (9, 12, 28).
2.4 Каковы поверхности уровня скалярного поля, определяемого потен±
циалом Юкавы ϕ = e−αr r, где r = |~r|, α − const?
2.5 Найти поверхность уровня скалярного поля
ϕ=
x2
z
,
+ y2 + z2
проходящую через точку (1, 1, 1).
3
Градиент и производная по направлению скалярного поля.
Если ϕ = ϕ(x, y, z), где ~r = ~i x + ~j y + ~k z - радиус-вектор, есть дифференцируемое скалярное поле, то градиентом поля называется вектор
µ
¶
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
grad ϕ = ~i
+ ~j
+ ~k
=
,
,
.
(3.1)
∂x
∂y
∂z
∂x ∂y ∂z
Вектор grad ϕ для каждой точки поля дает величину |grad ϕ| и направление ~n наибольшей пространственной скорости изменения функции ϕ:
grad ϕ
.
(3.2)
|grad ϕ|
Скорость изменение поля ϕ в направлении, задаваемом единичным вектором ~l, называется производной по направлению и определяется скалярным
произведением
dϕ ~
= l · gradϕ.
(3.3)
dl
~n =
15
Точка, в которой градиент скалярного поля равен нулю, называется стационарной точкой этого поля.
Градиент поля ϕ в каждой точке пространства направлен по нормали
к поверхности уровня. Единичный вектор нормали ~n к поверхности уровня
ϕ = ϕ(x, y, z) в нестационарной точке определяется формулой (3.2).
Угол между поверхностями ϕ1 (x, y, z) = const и ϕ2 (x, y, z) = const
определяется как угол α между нормалями ~n1 , ~n2 к поверхностям в точке их
пересечения
gradϕ1 · gradϕ2
cos α = ~n1 · ~n2 =
.
(3.4)
|gradϕ1 ||gradϕ2 |
Упражнение
3.1. Определить величину и направление изменения поля
±p
ϕ=z
x2 + y 2 в точке M (1, −1, 1).
Решение. Вычислим градиент поля в произвольной точке
µ
¶ µ
¶
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
xz
yz
1
gradϕ =
,
,
= − 2
,−
,
.
∂x ∂y ∂z
(x + y 2 )3/2 (x2 + y 2 )3/2 (x2 + y 2 )1/2
В точке M (1, −1, 1) градиент равен
µ
¶
−1
1
1
√ , √ ,√ .
gradϕ =
2 2 2 2 2
Величина изменения поля определяется модулем градиента и в указанной
точке равна
√
3
|gradϕ| =
.
2
±
Направление изменения поля определяется единичным вектором ~n = gradϕ |grad
для указанной точки получим
µ
¶
gradϕ
−1 1 2
~n =
= √ ,√ ,√ .
|gradϕ|
6 6 6
Упражнение 3.2. Найти производную поля ϕ = x3 − y + z 3 в точке
M (2, −1, 2) в направлении градиента этого поля в той же точке.
16
Решение.
Направление градиента определяется единичным вектором
¯ ~n =
±
gradϕ |gradϕ|. Вычисляя градиент поля¯ для указанной точки gradϕ¯M =
(12, 1, 12) и определяя его модуль |gradϕ¯ = 17, найдем вектор ~n :
µ
¶
12 1 12
, ,
.
~n =
17 17 17
Производная поля по направлению градиента определяется формулой
dϕ
= ~n · gradϕ = 17.
dn
Упражнение 3.3. Найти стационарные точки поля ϕ = x2 + y 3 + z 4 − 1.
Решение. В стационарных точках поля градиент обращается в ноль. Определяя градиент указанного поля gradϕ = (2x, 3y 2 , 4z 3 ) и приравнивая его
компоненты нулю, найдем единственную стацонарную точку O(0, 0, 0). ±
Упражнение 3.4. Определить угол между градиентами поля ϕ = x yz в
точках O1 (1, 1, 1) и O2 (1, −1, −1).
Решение. Вычислим градиент поля для произвольной точки
µ
¶ µ
¶
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
1
x
x
gradϕ =
=
,
,
,−
,−
, .
∂x ∂y ∂z
yz y 2 z yz 2
В точках O1 (1, 1, 1) и O2 (1, −1, −1) градиенты определяются векторами
¯
¯
gradϕ¯O1 = (1, −1, −1),
gradϕ¯O2 = (1, 1, 1).
Скалярное произведение градиентов определяет косинус угла α между
этими векторами
¯
¯
gradϕ¯O1 · gradϕ¯O2
−1
cos α = ¯¯
¯ ¯¯ ¯¯
¯ ¯¯ = 3 .
¯gradϕ¯O1 ¯ ¯gradϕ¯O2 ¯
Упражнение 3.5. Вычислить единичный вектор нормали ~n к поверхности
ϕ = x3 + y + z 3 − 17 = 0 в точке M (2, −1, 2).
Решение. Определяя градиент поля в указанной точке
¡
¢¯
gradϕ = 3x2 , 1, 3z 2 ¯M = (12, −1, 12)
17
и деля его на модуль градиента, найденный в той же точке, |gradϕ| =
= 17, получим
µ
¶
gradϕ
12 1 12
~n =
=
, ,
.
|gradϕ|
17 17 17
Задачи
3.1 Найти градиенты скалярных полей
a) ϕ = x − 2y + 3z,
b) ϕ = xy + yz + xz,
2
c) ϕ = xex
+y 2 +z 2
,
x
d) ϕ = arctg ,
y
e) ϕ = ln(x2 + y 2 + z 2 )
f ) ϕ = x2 + 2y 2 + 3z 2 − xz + yz − xy,
g) ϕ = xyz ex+y+z ,
h) ϕ = arctg
x + y + z − xyz
.
1 − xy − xz − yz
3.2 Найти величину и направление градиента поля ϕ = x2 +
+ 2y 2 + 5z 2 + xy + 2x − 7z в точках: а) А(0,0,0); б) В(1,2,1); в) С(2,0,1). В
какой точке поля градиент равен нулю?
3.3 Пусть ϕ = xy − z 2 . Найти величину и направление grad ϕ в точке
∂ϕ
O(-9,12,10). Чему равна производная
в направлении биссектрисы коорди∂l
натного угла xy.
3.4 В каких точках пространства градиент поля
ϕ = x3 + y 3 + z 3 − 3xyz
а) перпендикулярен к оси z; b) параллелен оси z; c) равен нулю?
3.5 Дано скалярное поле
1
ϕ = ln ,
r
18
p
где r = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 . В каких точках пространства имеет
место равенство |grad ϕ| = 1?
3.6 Найти точки, в которых модуль градиента скалярного поля ϕ =
p
ln x2 + y 2 + z 2 равен единице.
3.7 Найти угол α между градиентами скалярного поля ϕ = ln(y/x) в
точках A(1/2, 1/4) и B(1, 1).
3.8 Найти угол β между градиентами поля
ϕ=
x
x2 + y 2 + z 2
в точках A(1,2,2) и B(-3,1,0).
p
3.9 Найти угол β между градиентами полей ϕ = x2 + y 2 + z 2 и ψ =
ln(x2 + y 2 + z 2 ) в точке O(0,0,1).
3.10 Найти угол α между градиентами полей ϕ = x2 + y 2 − z 2 и ψ =
√
x
arcsin
в точке O(1, 1, 7).
x+y
3.11 Найти точки, в которых градиент скалярного поля ϕ = sin(x + y)
равен ~i + ~j.
3.12 Найти градиенты следующих скалярных полей
a) ϕ = r;
b) ϕ = ln r;
d) ϕ = ~a · ~r;
e) ϕ = ~r · ~r;
где
r = |~r| =
p
e
c) ϕ = ;
r
f ) ϕ = |~a × ~r|2 ,
x2 + y 2 + z 2 ,
~a и ~b - постоянные векторы, е - константа.
~r
3.13 Показать, что grad ϕ(r) = ϕ0 (r) .
r
3.14 Найти grad ϕ(r) · ~r.
3.15 Найти grad ϕ(r) × ~r.
3.16 Найти единичный вектор нормали к поверхности уровня скалярного
поля ϕ = x2 + y 2 + z 2 .
19
3.17 Написать уравнения нормали к следующим поверхностям в указанных точках:
a)z = x3 + y 3
M (1, 2, 9);
b)x2 + y 2 + z 2 = 169
M (3, 4, 12);
c)x2 − 2y 2 − 3z 2 − 4 = 0
M (3, 1, −1).
3.18 Найти угол пересечения поверхностей x2 +y 2 +z 2 = c1 и x+y+z = c2 .
x2 y 2 z 2
3.19 Найти производную функции ϕ = 2 + 2 + 2 в произвольной точке
a
b
c
(, , z) в направлении радиуса - вектора ~r этой точки.
1
3.20 Найти производную функции ϕ =
в направлении вектора ~l =
r
~i cos α + ~j cos β + ~k cos γ. При каком условии эта производная равна нулю?
1
3.21 Найти производную функции ϕ = в направлении ее градиента.
r
3.22 Найти производную функции ϕ = yzex в точке М(0,0,1) по направлению ее градиента.
3.23 Найти производную скалярного поля ϕ = ϕ(x, y, z) по направлению
градиента скалярного поля ψ = ψ(x, y, z). При каком условии она равна
нулю?
3.24 Для следующих скалярных полей найти направление и величину
наибольшего изменения в данных точках:
a) ϕ = x2 y + y 2 z + z 2 x,
b) ϕ = xyz,
c) ϕ = xy ,
A(1, 0, 0);
A(2, 1, −1);
A(1, 1, 1).
3.25 Найти стационарные точки скалярных полей:
a) ϕ = x3 + y 3 − 3xy,
b) ϕ = 2y 2 + z 2 − xy − yz + 2x.
20
4
Векторное поле. Векторные линии.
Если каждой точке пространства или его части однозначно сопоставлен
~ = A(~
~ r) = A(x,
~ y, z), то говорят, что задано поле этого
некоторый вектор A
вектора или векторное поле.
Геометрической характеристикой векторного поля служат векторные ли~ r) называются кривые, в каждой точке
нии. Векторными линиями поля A(~
~ в этой точке. Если задакоторых касательная имеет направление вектора A
~ = A(~
~ r), то элемент векторной линии d~r, направленный
но векторное поле A
~ в данной точке, то есть
по касательной к ней, коллинеарен с вектором A
~ dt, где dt коэффициент пропорциональности – дифференциал параd~r = A
метра t. Дифференциальные уравнения векторных линий принимают вид
dx
dy
dz
=
=
= dt.
Ax (x, y, z) Ay (x, y, z) Az (x, y, z)
(4.1)
Проинтегрировав систему уравнений (4.1), найдем заданное параметри~: x =
чески семейство векторных линий поля A
= x(t, 1 , 2 , 3 ), y = y(t, 1 , 2 , 3 ), z = z(t, 1 , 2 , 3 ). Постоянные интегрирования
1 , 2 , 3 определяют точку пространства
~r0 (x0 , y0 , z0 ), через которую проходит векторная линия при значении параметра t = t0 : x0 = x(t0 , 1 , 2 , 3 ), y0 = y(t0 , 1 , 2 , 3 ),
z0 = z(t0 , 1 , 2 , 3 ).
Альтернативная форма дифференциальных уравнений векторной линии
содержит два уравнения
dx
dy
=
,
Ax (x, y, z) Ay (x, y, z)
dy
dz
=
.
Ay (x, y, z) Az (x, y, z)
(4.2)
Интегрируя систему (4.2), получим уравнения поверхностей
F1 (x, y, z) = c1 и F2 (x, y, z) = c2 , в которых постоянные c1 , c2 определяются
точкой пространства ~r0 (x0 , y0 , z0 ), через которую должна пройти векторная
21
линия: c1 = F1 (x0 , y0 , z0 ), c2 = F2 (x0 , y0 , z0 ). Соответствующей векторной линией в этом случае будет линия пересечения поверхностей F1 (x, y, z) = c1 и
F2 (x, y, z) = c2 .
~ y, z) определяет поле сил, векторные линии
Если векторная функция A(x,
называют силовыми линиями.
Упражнение 4.1. Построить векторные линии поля ~r = ~i2ax−
−~j2ay, где a - постоянная.
Решение. Воспользуемся системой уравнений (4.1)
dx
dy
dz
= dt;
= dt;
= dt.
2ax
2ay
0
Непосредственным интегрированием уравнений получим параметрическое
представление векторных линий

 x = c1 e2at ,
y = c2 e−2at ,
(4.3)

z = c3 ,
где c1 , c2 , c3 - постоянные интегрирования. Из (4.3) вытекает, что векторные
линии лежат в плоскости z = c3 − const, а координаты x, y связаны соотношением xy = c1 c2 = c − const. Таким образом, векторными линиями рассматриваемого поля будут параболы y = c/x в плоскостях z = const.
Упражнение 4.2. В упражнении 4.1 определить векторную линию, проходящую через точку O(1, 3, −1).
Решение. Воспользуемся параметрическим представлением векторных линий (4.3). Считая, что точка O(1, 3, −1) на линии соответствует значению параметра t = 0, определим постоянные c1 , c2 , c3 : x(t = 0) = c1 = 1, y(t = 0) = c2 =
3, z(t = 0) = c3 = −1. Искомая векторная линия определяется параметрически
уравнениями x = e2at , y = 3e−2at , z = −1.
Упражнение 4.3. Определить векторные линии, поля ~r = ~iby+
+~jbx, где b -постояннная.
Решение. Воспользуемся уравнениями векторных линий в форме (4.2)
dx dy
= ,
by
bx
dy
dz
= .
bx
0
22
Приводя первое уравнения к виду x dx − y dy = 0 и интегрируя его, получим уравнение поверхности x2 −y 2 = c2 −const. Второе уравнение дает dz = 0
или z = c1 − const. Векторными линиями являются линии пересечения этих
поверхностей. Они лежат в плоскостях, соответсвующих постоянному значению координаты z, и имеют вид гипербол.
Задачи
4.1 Найти векторные линии следующих векторных полей:
a) ~r = ~i x + ~j y + ~k z,
~ = ~i m1 + ~j m2 + ~k m3 ,
b) A
m1 , m 2 , m 3 −
,
~ = ~i (z − y) + ~j (x − z) + ~k (y − x),
c) A
~ = ~i x2 + ~j y 2 ,
d) A
~ = ~c × ~r,
e) A
~c −
.
4.2 Найти векторную линию векторного поля ~r = ~i ex + ~j e−y +
+~k z, проходящую через точку O(−1, 0, 1).
4.3 Найти векторную линию векторного поля ~r = ~i y + ~j x + ~k x, проходящую через точку O(2, 1, 0).
5
Дивергенция поля, ротор и производная по
направлению векторного поля. Теоремы Остроградского - Гаусса и Стокса.
~ = A(~
~ r) = ~i Ax (x, y, z) + ~j Ay (x, y, z) + ~k Az (x, y, z) - дифференциПусть A
руемое векторное поле.
23
Скаляр
~ = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az
div A
∂x
∂y
∂z
называется дивергенцией этого поля.
Вектор
¯
¯
¯ ~i ~j ~k ¯
¯
¯
¯ ∂ ∂ ∂ ¯
~=¯
¯
rot A
¯ ∂x ∂y ∂z ¯ .
¯
¯
¯ Ax Ay Az ¯
(5.1)
(5.2)
~
называется ротором поля A.
~ r) в направлении, задаваемом
Скорость изменения векторной функции A(~
~
dA
~
единичным вектором l, называется производной по направлению
и опреdl
деляется соотношением
~
dA
dAx ~ dAy ~ dAz
= ~i
+j
+k
,
dl
dl
dl
dl
(5.3)
±
в котором производные по направлению от компонент поля dAα dl (α =
x, y, z) определяются формулой (3.3).
~ r) через поверхность S называется поверхПотоком векторного поля A(~
ностный интеграл
Z
Z
~ · ~n dS =
A
S
An dS.
(5.4)
S
~ ·~n. Интегрировагде ~n - единичный вектор нормали к поверхности S, An = A
ние может проводиться как по замкнутой, так и по незамкнутой поверхности
S.
~ r) по некоторой замкнутой кривой L называется
Циркуляцией вектора A(~
интеграл
I
~ · ~τ dl,
A
(5.5)
L
где ~τ - единичный вектор касательной к кривой L, определяющий направление обхода кривой.
24
Для дифференцируемых векторных полей выполняются следующие теоремы:
Теорема Остроградского – Гаусса : Поток векторного поля через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции поля по объему, ограниченному этой поверхностью
Z
Z
~ · ~n dS = div A
~ dV.
A
(5.6)
S
V
Здесь S - поверхность, ограничивающая объем V , ~n - единичный вектор внешней нормали к поверхности S.
Теорема Стокса: Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру
равна потоку ротора поля через поверхность, ограниченную этим контуром
I
Z
~ · ~τ dL = ~n · rot A
~ dS.
A
(5.7)
L
S
Контур L, если смотреть с конца вектора ~n, обходится против часовой
стрелки; направление обхода контура определяет направление единичного
вектора касательной ~τ в циркуляции.
Векторное поле называется потенциальным в области V , если в каждой
точке этой области
~ r) = 0.
rot A(~
(5.8)
~ является потенциальным тогда и только тогда, когда A
~ есть граПоле A
диент некоторой скалярной функции −u :
~ = −grad u,
A
(5.9)
~ Если векторная функкоторая называется скалярным потенциалом поля A.
~ y, z) определяет силовое поле, ее потенциал u называется потенциция A(x,
альной энергией. Потенциал векторного поля определяется с точностью до
константы.
25
~ называется вихревым (соленоидальным) в области V ,
Векторное поле A
если в каждой точке этой области
~ = 0.
div A
(5.10)
~ есть
Векторное поле является вихревым тогда и только тогда, когда A
~
ротор некоторой векторной функции Ψ
~ = rot Ψ,
~
A
(5.11)
~ Векторный потенциал
которая называется векторным потенциалом поля A.
~ определен с точностью до градиента скалярной функции.
Ψ
~=
дивергенцию векторного поля A
µУпражнение 5.1. Найти ¶
x
y
z
=
, 2
, 2
в точке O(1, −1, 2).
2
2
2
x + y x + y x + y2
~ получим
Решение. Дифференцируя компоненты вектора A,
~ = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az =
div A
∂x
∂y
∂z
x
y
z
∂
∂
∂
+
+
=
=
∂x x2 + y 2 ∂y x2 + y 2 ∂z x2 + y 2
1
2x2
1
2y 2
1
= 2
−
+
−
+
=
x + y 2 (x2 + y 2 )2 x2 + y 2 (x2 + y 2 )2 x2 + y 2
1
= 2
.
x + y2
¯
¯
~¯ =
Подставляя в полученное выражение координаты точки O, находим div A
¯
O
1/2.
Упражнение
5.2. Найти точки ¢пространства, в которых ротор векторного
¡ 2
~ = z − y 2 , x2 − y 2 , y 2 − x2 обращается в ноль.
поля A
Решение. Вычислим по формуле (5.2) ротор поля
¯
¯
~k
~i
~j
¯
¯
∂
∂
∂
~ = ¯¯
rot A
¯ ∂x
∂y
∂z
¯ 2
¯ z − y 2 x2 − y 2 y 2 − x2
26
¯
¯
¯
¯
¯
¯=
¯
¯
¯
µ
¶
µ
¶
∂
∂
∂
∂
= ~i
(y 2 − x2 ) − (z 2 − x2 ) + ~j
(z 2 − y 2 ) −
(y 2 − x2 ) +
∂y
∂z
∂z
∂x
µ
¶
∂
∂
2
2
2
2
+~k
(x − z ) − (z − y ) =
∂x
∂y
= ~i2(x + y) + ~j2(y + z) + ~k2(x + z).
~
Приравнивая нулю компоненты rotA

 x + y = 0,
y + z = 0,

x + z = 0,
~
находим единственную точку O(0, 0, 0), в которой обращается в ноль rotA.
Упражнение 5.3. Найти производную векторного
поля √
√
√
~ = (xy, yz, zx) в направлении вектора ~l = (1/ 6, 1/ 6, 2/ 6).
A
Решение. Воспользуемся формулами (5.3) и (3.3)
~
dA
dAx ~ dAy ~ dAz
= ~i
+j
+k
=
dl
dl
dl
dl
´
´
³
´
³
³
~
~
~
~
= ~i l · grad(xy) + ~j l · grad(yz) + k l · grad(zx) =
µ
¶
x + y z + 2y z + 2x
√ , √ , √ , .
=
6
6
6
~ = ~a × gradϕ, где ~a постоянный
Упражнение 5.4. Доказать, что поле A
вектор, вихревое.
~ = 0. Найдем компоненты вектоРешение. Необходимо доказать, что divA
~
ра A
¯
¯
¯ ~i
~
~
j
k ¯¯
¯
¯
¯ a
¯ x ay az ¯
~
A=¯
¯=
¯ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ¯
¯
¯
¯ ∂x ∂y ∂z ¯
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
− az
− ax
− ay
= ~i ay
+ ~j az
+ ~k ax
∂z
∂y
∂x
∂z
∂y
∂y
27
и вычислим по формуле (5.1) дивергенцию
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∂
∂
∂
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
divA =
ay
− az
+
az
− ax
+
ax
− ay
=
∂x
∂z
∂y
∂y
∂x
∂z
∂z
∂y
∂y
µ 2
¶
µ 2
¶
µ 2
¶
∂ ϕ
∂ 2ϕ
∂ ϕ
∂ 2ϕ
∂ ϕ
∂ 2ϕ
= ax
−
+ ay
−
+ az
−
= 0,
∂y∂z ∂z∂y
∂x∂z ∂z∂x
∂y∂x ∂x∂y
ч.т.д.
Упражнение 5.5. Определить, имеет ли данное поле
~ = (y + z)~i + (x + z)~j + (x + y)~k,
A
потенциал u и найти его, если он существует.
~ = 0, следовательно, поле потенциРешение. Вычислим ротор поля rot A
альное. Для потенциала u получим систему уравнений

∂u


= −Ax = −y − z,


∂x


∂u
= −Ay = −x − z,

∂y




 ∂u = −Az = −x − y.
∂z
Из первого уравнения следует, что u = −(y + z)x + v(y, z). Подставляя u
во второе уравнение, получим уравнение для v : ∂v/∂y = −z + w(z), откуда
следует v = −xz + w(z). Подставляя u = −xy − xz − yz + w(z) в третье
уравнение, получим w0 (z) = 0, откуда следует w = c = const. Таким образом
u = −xy − xz − yz + c.
Задачи
5.1 Найти дивергенцию следующих векторных полей
~ = xyz~i + (2x + 3y + z)~j + (x2 + z 2 )~k,
a) A
~ = (6x2 y 2 − z 3 + yz − 5)~i + (4x3 y + +xz + 2)~j +
b) A
+(xy − 3xz 2 − 3)~k.
28
5.2 Найти дивергенцию поля ~a =
5.3 Найти
−~i x + ~j y + ~k z
p
в точке M (3, 4, 5).
x2 + y 2
x+y+z
~r.
xyz
5.4 Вычислить a) div rot ~a, b) rot gradϕ.
5.5 Показать, что div (ϕ~a) = ϕdiv ~a + ~agrad ϕ, (ϕ - скалярная функция, ~a
- переменный вектор).
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
5.6 Доказать, что div (grad ϕ) =
+ 2 + 2.
2
∂x
∂y
∂z
p
5.7 Найти div grad f (r), где r = x2 + y 2 + z 2 .
5.8 Вычислить:
~r
a) div ~r;
b) div ;
c) div (r~c);
r
d) div [f (r)~c];
e) div [f (r)~r].
div
5.9 Доказать, что ротор поля скоростей твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси ~v = ω
~ × ~r равен 2~ω .
5.10 Среда, заполняющая пространство, вращается вокруг оси z с постоянной угловой скоростью ω
~ . Найти дивергенцию вектора скорости ~v = ω
~ ×~r и
вектора ускорения w
~ =ω
~ × (~ω × ~r) в точке M (x, y, z) пространства в данный
момент времени.
5.11 Среда, заполняющая пространство, вращается вокруг оси ~l = ~i cos α+
~j cos β + ~k cos γ (cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1) с постоянной угловой скоростью
ω. Найти ротор вектора линейной скорости ~v в точке пространства M (x, y, z)
в данный момент времени.
5.12 Найти величину и направление rot ~a в точке M (1, 2, −2), если ~a =
y~ z ~ x ~
i + j + k.
z
x
y
5.13 Найти ротор векторных полей:
a) rot ~r;
b) rot(r~c);
d) rot [f (r)~r];
c) rot ~cf (r),
e) rot(~r · ~a)~c,
где ~c, ~a - постоянные векторы.
29
5.14 Доказать, что rot(ϕ~a) = ϕrot ~a + grad ϕ × ~a.
5.15 Найти производную радиуса - вектора в направлении вектора ~a.
5.16 Найти производную вектора ~b = ~i x2 + ~j y 2 + ~k z 2 в направлении
вектора ~a.
5.17 Доказать, что
d~a
dax ~ day ~ daz
= ~i
+j
+k
=
dl
dl
dl
dl
∂~a
∂~a
∂~a
+ cos β
+ cos γ ,
= cos α
∂x
∂y
∂z
где cos α, cos β, cos γ - направляющие косинусы вектора ~l :
~l = (cos α, cos β, cos γ).
5.18 Доказать, что производная от вектора ~b × ~r по направлению вектора
~a равна ~b × ~a.
5.19 Показать, что поток радиуса-вектора ~r через любую замкнутую поверхность, ограничивающую объем V, равен 3V .
5.20 Доказать, что, если S - замкнутая поверхность, ограничивающая
объем V , а ~a и ~b - постоянные векторы, то
Z
(~a · ~r)bn ds = (~a · ~b)V.
S
5.21 Найти поток векторного поля (~a · ~r)~c через замкнутую поверхность
S.
~ = (x3 , y 3 , z 3 ) через поверх5.22 Вычислить поток Π векторного поля A
ность сферы x2 + y 2 + z 2 = R2 .
5.23 Вычислить поток поля напряженности
~ = q~r
E
r3
точечного заряда q через сферу радиуса a с центром в точке заряда.
5.24 Вычислить поток поля напряженности
~ = q~r
E
r3
30
точечного заряда q через замкнутую поверхность S, не содержащую внутри
себя заряд.
5.25 Вычислить циркуляцию вектора ~a = −~i y + ~j x + ~k c, где c – постоянная: a) вдоль окружности x2 + y 2 = 1, z = 0; b) вдоль окружности
(x − 2)2 + y 2 = 1, z = 0.
5.26 Вычислить циркуляцию векторного поля ~a × ~r по окружности z = 0,
(x − 1)2 + (y − 1)2 = 1.
5.27 Показать, что поле ~a = yz(2x+y+z)~i+xz(x+2y+z)~j+xy(x+y+2z)~k
- потенциальное и найти потенциал u этого поля.
5.28 Показать, что поля
~a = (6xy + z 3 )~i + (3x2 − z)~j + (3xz 2 − y)~k,
~b = ϕ grad ϕ,
где ϕ - скалярная функция, являются потенциальными.
~ потенциал u и найти его,
5.29 Определить, имеют ли векторные поля A
если он существует:
~ = (5x2 y − 4xy)~i + (3x2 − 2y)~j,
a) A
~ = yz(2x + y + z)~i + xz(x + 2y + z)~j + xy(x + y + 2z)~k.
b) A
5.30 Показать, что поля
a) ~a = 3y 4 z 2~i + 4x3 z 2~j − 3x2 y 2~k,
b) ~b = grad ϕ × grad ψ,
где ϕ и ψ - скалярные функции, являются вихревыми.
5.31 Докажите, что векторное поле ~a = ϕ(r)~r будет вихревым только при
ϕ = k/r3 , где k = const.
~ и B
~ - потенциальные, то поле A
~×B
~
5.32 Показать, что если поля A
является вихревым.
31
6
Оператор Гамильтона ∇
Все операции дифференцирования полей удобно представить с помощью
единого векторного дифференцирующего оператора Гамильтона ∇(набла),
который в декартовых координатах определяется формулой
∂
∂
∂
∇ = ~i
+ ~j
+ ~k .
∂x
∂y
∂z
(6.1)
Градиент записывается как произведение ∇ на скалярную функцию u,
~
дивергенция – как скалярное произведение вектора ∇ на векторное поле A,
~ производная поля по
ротор – как векторное произведение вектора ∇ на A,
направлению ~l – как действие на поле оператора ~l · ∇:
gradu = ∇u = ~i
∂u ~ ∂u ~ ∂u
+j
+k ,
∂x
∂y
∂z
~ = ∇·A
~ = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az ,
divA
∂x
∂y
∂z
¯
¯
¯
¯
~ = ∇×A
~ = ¯
rotA
¯
¯
¯
~
dA
~
= (~l · ∇)A
dl
¯
~i ~j ~k ¯¯
∂ ∂ ∂ ¯¯
,
∂x ∂y ∂y ¯¯
Ax Ay Az ¯
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
С помощью оператора ∇ можно избежать сложных аналитических преобразований при дифференцировании произведений скалярных и векторных
полей и быстро получить окончательный результат. Использование оператора
∇ в расчетах и последовательность действий поясняют следующие упражнения.
32
Упражнение 6.1. Вычислить градиент произведения ϕ(~r) =
= (~a · ~r)f (r), в котором ~a - постоянный вектор.
Решение. 1) Выразим градиент через оператор Гамильтона:
gradϕ(~r) = grad[(~a · ~r)f (r)] = ∇[(~a · ~r)f (r)]°
=
2) Дифференцирование произведения полей аналогично дифференцированию произведения функций в математическом анализе. Поэтому в следующем действии необходимо записать производную произведения как сумму
производных исходного выражения, дифференцируя в каждом из слагаемых
лишь один сомножитель. В рассматриваемом примере с учетом постоянства
вектора ~a искомый градиент запишется как сумма двух производных
↓
↓
°
= ∇(~a· ~r)f (r) + ∇(~a · ~r) f (r) °
=
В первом слагаемом оператор ∇ действует только на вектор ~r а функция f (r)
зафиксирована. Во втором слагаемом вектор ~r считается постоянным и оператор Гамильтона применяется к функции f (r). Дифференцируемые величины
обозначаются стрелкой сверху. Данную операцию назовем разметкой.
3) Размеченную производную необходимо преобразовать так, чтобы в каждом из слагаемых дифференцируемая функция стояла непосредственно после
∇ и действие оператора Гамильтона на дифференцируюмую величину сводилось к одной из четырех возможностей (6.2)–(6.5). Поскольку в первом
слагаемом зафиксирована скалярная функция f (r), то ее можно вынести за
знак оператора набла. Во втором слагаемом вектор ~r а, следовательно, и произведение (~a ·~r) считаются постоянными, поэтому скаляр (~a ·~r) также можно
вынести за знак набла.
↓
↓
°
= f (r)∇(~a· ~r) + (~a · ~r)∇ f (r) °
=
В первом слагаемом получен градиент функции (~a · ~r) : ∇(~a · ~r) =
~r
= grad (~a · ~r) = ~a, во втором - ∇f (r) = grad f (r) = f 0 (r) . Окончательный
r
результат имеет вид:
~r
°
= f (r)~a + (~a · ~r)f 0 (r) .
r
Замечание. При преобразовании размеченной производной оператор ∇
нужно формально рассматривать как вектор. Полезно помнить следующие
33
приемы преобразования: а) скалярную функцию как и скалярное произведение (~l · ∇) можно переместить в формуле на любое место, б) в скалярном
произведении сомножители можно менять местами в) в смешаном произведении векторов можно провести круговую перестановку векторов, сохранив
знак произведения, либо переставить местами любые два вектора, изменив
знак произведения на противоположный,
~ B
~ × C)
~ = B(
~ C
~ × A)
~ = −B(
~ A
~ × C),
~
A(
г) двойное векторное произведение раскрывается по формуле
~ × (B
~ × C)
~ = B(
~ A
~ · C)
~ − C(
~ A
~ · B).
~
A
~ = [~c × f (r)~r], где ~c - постоянный
Упражнение 6.2. Найти ротор поля A
вектор.
Решение. Запишем ротор в виде векторного произведения оператора Гамильтона и поля
~ = ∇ × [~c × f (r)~r] °
rotA
=
Проведем разметку дифференцирования в формуле
·
¸
·
¸
↓
↓
°
= ∇ × ~c× f (r)~r + ∇ × ~c × f (r) ~r °
=
Преобразуем формулу, поместив дифференцируемую скалярную функцию
↓
f (r) в первом слагаемом после набла; во втором слагаемом фиксированную
функцию f (r) вынесем перед набла и раскроем двойное векторное произведение
µ
¶
↓
↓
°
= ∇ f (r) ×(~c × ~r) + f (r)∇ × ~c× ~r =
·
¸
↓
↓
↓
= ∇ f (r) × (~c × ~r) + f (r) ~c(∇· ~r)− ~r (∇ · ~c) =
·
¸
↓
↓
↓
= ∇ f (r) ×(~c × ~r) + ~c(∇· ~r) − (~c · ∇) ~r °
=
В первом слагаемом действие оператора Гамильтона сводится к вычислению
↓
f 0 (r)
градиента: ∇ f (r) = gradf (r) =
~r. В фигурных скобках в первом слаr
↓
гаемом оператор Гамильтона определяет дивергенцию ∇· ~r= 3, во втором –
34
↓
производную по направлению (~c · ∇) ~r= ~c. Учитывая результаты дифференцирования в каждом из слагаемых, получим
f 0 (r)
°
=
[~c(~r · ~r) − ~r(~r · ~c)] + 2~cf (r).
r
Задачи
6.1 Доказать соотношения:
~ = u rot A
~−A
~ × grad u;
) rot (uA)
~ × B)
~ = Brot
~
~ − Arot
~ B.
~
) div (A
A
6.2 Доказать соотношения:
a) ∇ · (~arn ) = nrn−2 (~r · ~a),
b) ∇ × (~arn ) = nrn−2 (~r × ~a),
c) ∇ · r2~a = 2(~r · ~a),
d) ∇ × (~rrn ) = 0,
e) ∇ · ~rrn = (n + 3)rn ,
g) ∇ · (~a × ~r) = 0,
~r · ~a
k) ∇ · ~a ln r = 2 ,
r
m) ∇ × (~a × ~r) = 2~a,
~r × ~a
f ) ∇ × (~a ln r) =
,
r2
h) (~l · ∇)(~a × ~r) = ~a × ~l,
l (~l · ∇)(~arn ) = nrn−2 (~r · ~l)~a,
(~l · ~r)~a
~
n) (l · ∇)(~a ln r) =
.
r2
Здесь ~a, ~l - постоянные векторы.
6.3 Вычислить следующие производные:
a) ∇ [~r(~a~r)] ,
b) ∇ [~a(~c · ~r)] ,
c) ∇ [(~r × ~a) × ~c] ,
d) ∇ [(~r × ~a) × ~r] ,
e) ∇ × [~r(~c · ~r)] ,
f ) ∇ × [~c(~a · ~r)] ,
g) ∇ × [(~c × ~r) × ~a],
h) ∇ × [(~c × ~r) × ~r],
где ~a, ~b, ~c - постоянные векторы.
~ · B),
~ где A,
~ B
~ - переменные векторы.
6.4 Найти ∇(A
35
~ электрического поля E
~ = −grad ϕ, потенциал
6.5 Найти напряженность E
ϕ которого равен:
a) ϕ = ~a · (~b × ~r),
b) ϕ = (~a × ~r) · (~b × ~r),
c) ϕ = (~a · ~r) cos ~b · ~r,
d) ϕ =
e) ϕ = F (f (~a · ~r)).
~a · ~r
,
r3
Вектора ~a, ~b не зависят от координат.
6.6 Найти дивергенцию и ротор следующих векторных полей:
~ = (~a · ~r)(~b × ~r), b) A
~ = ~r × f~(r),
a) A
~ = ~r · e(~r×~a)·b ,
c) A
~ = f~(r)(·a × ~r),
e) A
~ = ~a × ~r ,
d) A
r3
~ = ~a(~b · ~r) cos(~c · ~r),
f) A
~ = ~a e−αr ,
g) A
~ = ~r (1 + αr) e−αr .
h) A
r
~
Здесь ~a, ~b, ~c - постоянные векторы, α − const.
В задачах 6.7- 6.10 m
~ - постоянный вектор.
6.7 Найти
~r
a) grad div n ;
r
m
~ × ~r
b) grad div
;
r3
1
c) div grad ,
~r 6= 0.
r
m
~ × ~r
6.8 Вычислить rot rot
.
r3
m
~ × ~r
.
6.9 Найти rot rot
rn
6.10 Найти дивергенцию и ротор следующего векторного поля
3(m
~ · ~r)~r − mr
~ 2
~
.
A=
r5
6.11 Вычислить rot
f~(r) × ~r
.
r
36
7
Лапласиан скалярного и векторного полей.
Оператор Лапласа (лапласиан) ∆
∆=
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
определяет дифференцирование второго порядка скалярных и векторных полей; формально оператор Лапласа можно представить как квадрат оператора
Гамильтона ∆ = ∇ · ∇ = ∇2 .
Действие оператора ∆ на скалярное поле выражается в декартовых координатах формулой
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
∆ϕ =
+ 2 + 2.
(7.1)
∂x2
∂y
∂z
Если скалярное поле ϕ строится на радиус – векторе ~r и функциях его
модуля r = |~r|, лапласиан поля удобно вычислять по формуле
∆ϕ = div grad ϕ = ∇(∇ϕ)
(7.2)
с использованием оператора Гамильтона.
Действие оператора Лапласа на векторное поле в декартовых координатах
переносится на компоненты поля
¡
¢
~ = ∆Ax , ∆Ay , ∆Az .
∆A
(7.3)
~ строится на радиус – векторе ~r и функциях его
Если векторное поле A
модуля r = |~r|, лапласиан поля удобно вычислять по формуле
~ = grad div A
~ − rot rot A,
~
∆A
(7.4)
которая вытекает из формулы (1.8) для двойного векторного произведения
~ = ∇ × (∇ × A)
~ = ∇(∇A)
~ − (∇∇)A
~ = grad divA
~ − ∆A,
~
rot rotA
и также проводить дифференцирование с помощью оператора Гамильтона.
37
x
.
x2 + y 2 + z 2
Решение. Вычисляя вторые производные поля по координатам
Упражнение 7.1. Вычислить ∆ϕ, где ϕ =
∂2
x
x(x2 − 3y 2 − 3z 2 )
=2
,
∂x2 x2 + y 2 + z 2
(x2 + y 2 + z 2 )3
x
x(x2 + z 2 − 3y 2 )
∂2
= −2 2
,
∂y 2 x2 + y 2 + z 2
(x + y 2 + z 2 )3
∂2
x
x(x2 + y 2 − 3z 2 )
= −2 2
∂y 2 x2 + y 2 + z 2
(x + y 2 + z 2 )3
и складывая их, получим
∆ϕ =
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
2x
+
+
=
−
.
∂x2
∂y 2
∂z 2
(x2 + y 2 + z 2 )2
Упражнение 7.2. Вычислить лапласиан векторного поля
µ
¶
x
y
z
~=
A
.
,
,
(x2 + y 2 + z 2 )3/2 (x2 + y 2 + z 2 )3/2 (x2 + y 2 + z 2 )3/2
Решение. Подействовав оператором Лапласа на компоненты поля
x
= 0,
(x2 + y 2 + z 2 )3/2
y
∆Ay = ∆ 2
= 0,
(x + y 2 + z 2 )3/2
z
∆Az = ∆ 2
= 0,
(x + y 2 + z 2 )3/2
¡
¢
~ = ∆Ax , ∆Ay , ∆Az = (0, 0, 0) = ~0 - нулевой вектор.
получим ∆A
∆Ax = ∆
Задачи
7.1 Непосредственным дифференцированием вычислить лапласиан скалярного поля ∆ϕ для следующих полей:
1
a)ϕ = p
,
x2 + y 2 + z 2
38
z
,
(x2 + y 2 + z 2 )3/2
2z 2 − x2 − y 2
c)ϕ = 2
,
(x + y 2 + z 2 )5/2
d)ϕ = ln(xyz),
b)ϕ =
e)ϕ = ln(x2 + y 2 ).
7.2 Найти: a) div (ϕ grad ϕ), b) div (ϕ grad ψ).
7.3 Непосредственным дифференцированием вычислить лапласиан век~ для следующих полей:
торного поля ∆A
¡
¢
~ = x3 y, y 3 z, z 3 x ,
a)A
µ
¶
x
y
z
~=
b)A
, ,
,
y z x
¡
¢
~ = ln(y 2 + z 2 ), ln(z 2 + x2 ), ln(x2 + y 2 ) .
c)A
7.4 Используя оператор Гамильтона, вычислить по формуле (7.2) лапласиан следующих скалярных полей:
1
a)ϕ = n ,
r
~r
d~
b)ϕ = n ,
r
c)ϕ = f (r),
r
r2
d)ϕ = 3 + 2 −
.
R 2R2
Здесь d~ - постоянный вектор, R -константа.
7.5 Используя оператор Гамильтона, вычислить по формуле (7.4) лапласиан следующих векторных полей:
m
~ × ~r
~ × ~r
~=m
,
b)
A
,
r3
rn
~ = f~(r),
~ = ~r ,
d)A
c)A
rn
~ = f (r)(m
e)A
~ × ~r).
~=
a)A
Здесь m
~ - постоянный вектор.
39
8
Криволинейные координаты
Криволинейными координатами называются функции декартовых координат x1 = x1 (x, y, z), x2 = x2 (x, y, z), x3 = x3 (x, y, z), имеющие конечный
якобиан I :
¯
¯
¯ ∂x1 ∂x1 ∂x1 ¯
¯
¯
¯ ∂x ∂y ∂z ¯
¯
¯
¯ ∂x2 ∂x2 ∂x2 ¯
¯ 6= 0, ∞ .
(8.1)
I = ¯¯
¯
∂x
∂y
∂z
¯
¯
¯ ∂x3 ∂x3 ∂x3 ¯
¯
¯
¯ ∂x ∂y ∂z ¯
Замечание: Определение сохраняется, если неравенство
I 6= 0, ∞ нарушается на множестве точек меры 0.
Выбор координат в описании физических явлений чаще всего диктуется
симметрией задачи. Наиболее употребимы сферические координаты r, θ, ψ
(соответственно – расстояние до начала координат, полярный и азимутальный углы) и цилиндрические координаты r, ψ, z (соответственно – расстояние до оси z, полярный угол и z-координата). Сферические координаты определяются через декартовы и декартовы через сферические соотношениями:

p

1
2 + y2 + z 2,

x
=
r
=
x
x = r sin θ cos ψ,




z
 2

x = θ = arccos p
,
y = r sin θ sin ψ,
(8.2)
2 + y2 + z2 ;
x






 x3 = ψ = arctg y ,
z = r cos θ.
x
Цилиндрические координаты определяются через декартовы и декартовы через цилиндрические соотношениями:


p
1
 x = r cos ψ,
2
2

 x = r = x +y y , 

2
; y = r sin ψ,
x = ψ = arctg ,


x
 3


x = z,
z = z.
(8.3)
Поверхности xα = const(α = 1, 2, 3) называются координатными поверхностями, линии пересечения координатных поверхностей – координатными
40
кривыми. Номер координатной линии совпадает с номером пересекаемой ею
координатной поверхности.
В криволинейных
координатах вектор может быть представлен
разложением по ковариантному, контравариантному или физическому ба∂~r
,
зисам. Ковариантным базисом называется тройка векторов ~e α =
α
∂x
контравариантным базисом – тройка векторов ~e α = grad xα , (α = 1, 2, 3).
Вектора ~e α ортогональны координатным поверхностям xα , вектора ~e α направлены вдоль соответствующих координатных кривых. Ковариантные и
контравариантные базисы удовлетворяют условию взаимности: ~eα ~e β = δαβ
(δαβ - символ Кронеккера). Криволинейные координаты для которых базисные
вектора ~e α взаимно ортогональны называются ортогональными. Нормиро~eα
ванный ковариантный базис ~iα = √
(α = 1, 2, 3) называется физиче~eα~eα
ским.
В отличие от декартовых координат, в которых базисные вектора ~i, ~j, ~k
имеют постоянную единичную длину и направление во всех точках пространства, ковариантные и контравариантные базисные вектора меняют свою длину и направление при переходе от одной точки пространства к другой.
Матрица ĝ с компонентами gαβ = (~eα ~e β ) называется метрическим тен¡
¢
зором, матрица ĝ 0 с компонентами g αβ = ~e α ~e β – фундаментальным тензором. Матрицы ĝ и ĝ 0 обратные:
3
X
gαβ g βγ = δαγ .
β=1
По виду тензоров ĝ и ĝ 0 можно судить о соответствующих им координатах. Если компонентами матриц ĝ и ĝ 0 являются функции, кординатными
линиями будут кривые, в этом случае речь идет именно о криволинейных
координатах. Если матрицы ĝ и ĝ 0 диагональны, а их компоненты – числа,
координатными линиями будут прямые; в этом случае речь идет о неортогональных координатах. В ортогональных координатах матрицы ĝ и обратная
ей ĝ 0 одновременно диагональны; отсюда, в частности, следует, что контра41
вариантные базисные вектора в ортогональных координатах также взаимно
ортогональны.
Тензора ĝ и ĝ 0 позволяют определить контравариантный базис по ковариантному и наоборот:
~e α = g αβ ~eβ ,
~eα = gαβ ~e β .
(8.4)
Здесь и везде далее использовано правило суммирования: если в некотором выражении индекс встречается дважды, один раз как ковариантный и
один раз как контравариантный, то по этому индексу проводится суммирование. Например
g αβ ~eβ = g α1 ~e1 + g α2 ~e2 + g α3~e3 ,
Ak B k = A1 B 1 + A2 B 2 + A3 B 3 .
~ представлен в ковариантном базисе контравариантными комВектор A
понентами Aα , в контравариантном базисе – ковариантными компонентами Aα и в физическом базисе – физическими компонентами Ãα =
√
Aα ~eα~eα :
3
X
α
α
~ = A ~eα = Aα ~e =
A
Ãα ~iα
(8.5)
α=1
Переход от контравариантных к ковариантным компонентам вектора называется операцией опускания индекса, переход от ковариантных к контравариантным – операцией подъема индекса; первая осуществляется с помощью
метрического тензора, вторая – с помощью фундаментального тензора:
Aα = gαβ Aβ ,
Aα = g αβ Aβ .
(8.6)
Переход от декартовых компонет вектора к ковариантным и контравариантным и обратный определяется формулами
´
³
∂x
∂y
∂z
~
Aα = Ax α + Ay α + Az α = A · ~eα ,
∂x
∂x
∂x
³
´
α
α
∂x
∂x
∂xα
α
α
~
A = Ax
+ Ay
+ Az
= A · ~e ,
(8.7)
∂x
∂y
∂z
42
∂xα
∂ξ
Aξ = Aα
= Aα α
∂ξ
∂x
ξ = x, y, z.
~ и B
~ в криволинейных координатах
Скалярное произведение векторов A
выражается через их компоненты следующим образом:
~B
~ = Aα B α = Aα Bα = gαβ Aα B β = g αβ Aα Bβ .
A
(8.8)
~ и B
~ в криволинейных координатах
Векторное произведение векторов A
дается определителями:
¯
¯
¯
¯ 1
¯ ~e1 ~e2 ~e3 ¯
¯ ~e ~e 2 ~e 3 ¯
¯
¯
¯
¯
~×B
~ = √1 ¯ A1 A2 A3 ¯ = √g ¯ A1 A2 A3 ¯ ,
(8.9)
A
¯ 1
¯
g ¯¯ B B B ¯¯
2
3
¯B B B ¯
1
2
3
где g = det ĝ – определитель метрического тензора. В первом случае при
~ в ковариантном
раскрытии определителя получится представление rotA
базисе, во втором случае - в контравариантном базисе. Формула (8.9) для
векторного произведения справедлива также в любом неортонормированном
базисе.
Замечание: Для нумерации базисных векторов, компонент векторов и тензоров в конкретных координатах удобнее использовать не числовые индексы,
а буквенные, совпадающие с соответствующими координатами: ~er , ~e θ , Aψ , g ψz , grψ
и т.д.
Упражнение 8.1. Можно ли выбрать в качестве криволинейных координат функции σ, τ, ψ :

√
σ
=


√ r + z,
p
τ = r − z,
r
=
x2 + y 2 + z 2 .
y

 ψ = arctg ,
x
Решение. Определим частные производные функций σ, τ, ψ по x, y, z
43
∂σ
1
= √
∂x
2 r+z
1
∂τ
= √
∂x 2 r − z
∂ψ
−y
= 2
,
∂x
x + y2
x
,
r
x
,
r
∂σ
1
= √
∂y
2 r+z
∂τ
1
= √
∂y
2 r−z
∂ψ
x
= 2
,
∂y
x + y2
y
,
r
y
,
r
³z
´
∂σ
1
= √
+1 ,
∂z
2 r+z r
³z
´
∂τ
1
= √
−1 ,
∂z
2 r−z r
∂ψ
=0
∂z
и вычислим якобиан I
¯
¯
¯
¯
¯
¯
I = ¯¯
¯
¯
¯
¯
1
√
2 r+z
1
√
2 r−z
−y
,
x2 + y 2
x
,
r
x
,
r
=
1
√
2 r+z
1
√
2 r−z
x
,
x2 + y 2
y
,
r
y
,
r
³z
´ ¯¯
1
√
+ 1 ¯¯
2 r+z r
³z
´ ¯¯
1
√
− 1 ¯¯ =
2 r−z r
¯
¯
¯
0
¯
1
1
.
= p
2r r2 − z 2
2r x2 + y 2
√
Якобиан I обращается в бесконечность I = ∞ лишь на оси z, поэтому
функции σ, τ, ψ можно выбрать в качестве криволинейных координат.
Декартовы и криволинейные координаты x, y, z и σ, τ, ψ взаимно однозначно определяют друг друга всюду за исключением оси z. Выразим декартовы координаты через криволинейные


x = στ cos ψ,



y = στ sin ψ,


1

 z = (σ 2 − τ 2 ).
2
Упражнение 8.2. Для криволинейных координат σ, τ, ψ, рассмотренных
в упражнении 8.1, определить координатные поверхности и координатные
кривые.
Решение. Фиксируя значения криволинейных координат σ = c1 , τ = c2 , ψ =
c3 , (ck - константы), выразим координату z через x, y, ck из первых двух ра44
венств
c41 − x2 − y 2
;
2c21
x2 + y 2 − c42
τ = c2 ,
=⇒ z =
2c22
и найдем связь x и y из последнего равенства.
σ = c1 ,
ψ = c3
=⇒ z =
=⇒ y = tgc3 x.
Поверхности σ = c1 , τ = c2 , представляют параболоиды, имеющие осью
вращения ось z, первый параболоид обращен выпуклостью вверх, второй вниз. Поверхность ψ = c3 представляет полуплоскость, имеющую краем ось
z, и составляющую угол ψ с осью x. Координатная кривая σ получается в
пересечении параболоида τ = c2 и полуплоскости ψ = c3 и представляет
половину параболы, обращенную вверх; координатная кривая τ получается
в пересечении параболоида σ = c2 и полуплоскости ψ = c3 и представляет
половину параболы, обращенную вниз; координатная кривая ψ получается в
пересечении параболоидов и представляет собой окружность.
Упражнение 8.3. Для криволинейных координат, рассмотренных в упражнении 8.1, построить ковариантный и контравариантный базисы, метрический и фундаментальный тензора.
Решение. Воспользуемся выражением для декартовых координат через
криволинейные (см. упражнение 8.1):


 x = στ cos ψ,
y = στ sin ψ,

 z = 1 (σ 2 − τ 2 ).
2
и найдем вектора ковариантного базиса, которые определяются производными декартовых координат по криволинейным:

µ
¶
∂x
∂y
∂z


~eσ =
, ,
= (τ cos ψ, τ sin ψ, σ) ,



∂σ ∂σ ∂σ¶

µ

∂x ∂y ∂z
, ,
~eτ =
= (σ cos ψ, σ sin ψ, −τ ) ,

∂τ
∂τ
∂τ

µ
¶


∂y
∂z
∂x


,
,
= (−στ sin ψ, στ cos ψ, 0) .
 ~eψ =
∂ψ ∂ψ ∂ψ
45
Скалярные произведения векторов ковариантного базиса определяют компоненты метрического тензора ĝ:
 2



σ + τ2
0
0
(~eσ~eσ ) (~eσ~eτ ) (~eσ~eψ )




0
σ2 + τ 2
0 .
ĝ =  (~eτ ~eσ ) (~eτ ~eτ ) (~eτ ~eψ )  = 
(~eψ~eσ ) (~eψ~eτ ) (~eψ~eψ )
0
0
σ2τ 2.
Фундаментальный тензор ĝ 0 находится как матрица, обратная ĝ :


1
0
0
 σ2 + τ 2





1
0
−1
.
ĝ = ĝ = 
0
0


2
2
σ +τ



1 
0
0
σ2τ 2
Контравариантные базисные вектора построим по формулам перехода
~e = g 0 ik~ek . Учитывая диагональность фундаментального тензора, получим
i

¶
µ
τ
σ
τ


cos ψ, 2
sin ψ, 2
,
~e σ = g 0 σσ ~eσ =


2 + τ2
2
2

σ
σ
+
τ
σ
+
τ

¶
µ

σ
τ
σ
τ
0 ττ
cos ψ, 2
sin ψ, − 2
−τ ,
~e = g ~eτ =

σ2 + τ 2
σ + τ2 ¶
σ + τ2

µ


1
1


sin ψ,
cos ψ, 0 .
 ~e ψ = g 0 ψψ ~eψ = −
στ
στ
~ в декартовых
Упражнение 8.4. Рассматривая представление вектора A
координатах и криволинейных координатах σ, τ, ψ (см. упражнение 8.1), выразить ковариантные и контравариантные компоненты вектора через декартовы компоненты и последние - через ковариантные и контравариантные.
Решение. Воспользуемся формулами (8.7) и выражениями для базисных
векторов, получеными в упражнении (8.3).
Согласно (8.7) ковариантные и контравариантные компоненты следующим образом выражаются через декартовы:
46
ковариантные –
³
´
~
Aσ = ~eσ · A = Ax τ cos ψ + Ay τ sin ψ + Az σ,
³
´
~
Aτ = ~eτ · A = Ax σ cos ψ + Ay σ sin ψ − Az τ σ,
³
´
~
Aψ = ~eψ · A = −Ax στ sin ψ + Ay στ cos ψ;
контравариантные –
³
´
1
σ ~
A = ~e · A = 2
A ,
2 σ
σ
+
τ
³
´
1
τ
τ ~
A ,
A = ~e · A = 2
2 τ
σ
+
τ
³
´
1
ψ
ψ ~
A = ~e · A = 2 2 Aψ .
σ τ
σ
Декартовы компоненты в свою очередь выражаются через ковариантные
и контраваривантные следующим образом:
через ковариантные –
∂xi
τ
τ
1
Ax = Ai
= Aσ 2
cos
ψ
+
A
cos
ψ
−
A
sin ψ,
τ
ψ
∂x
σ + τ2
σ2 + τ 2
στ
∂xi
τ
τ
1
Ay = Ai
= Aσ 2
sin
ψ
+
A
sin
ψ
+
A
cos ψ,
τ
ψ
∂y
σ + τ2
σ2 + τ 2
στ
∂xi
σ
τ
Az = Ai
= Aσ 2
−
A
;
τ
∂z
σ + τ2
σ2 + τ 2
через контравариантные –
∂x
= Aσ τ cos ψ + Aτ σ cos ψ − Aψ στ,
i
∂x
∂y
Ay = Ai i = Aτ τ sin ψ + Aτ σ sin ψ + Aψ στ,
∂x
∂z
Az = Ai i = Aσ σ − Aτ τ.
∂x
Ax = Ai
Упражнение 8.5. Вывести в координатах σ, τ, ψ (упражнение 8.1) выражение для квадрата длины элементарного вектора d~r с ковариантными компонентами dσ, dτ, dψ.
47
Решение. Воспользуемся формулой (8.8) для скалярного произведения в
криволинейных координатах и видом фундаментального тензора, полученного в упражнении 8.3:
d~r 2 = d~r · d~r = g αβ drα drβ =
= g σσ (dσ)2 + g τ τ (dτ )2 + g ψψ (dψ)2 =
·
µ
¶
¸
1
1
1
= 2
(dσ)2 + (dτ )2 +
+ 2 (dψ)2 .
2
2
σ +τ
σ
τ
Задачи
8.1 Убедиться, что координаты x1 , x2 , x3 могут быть взяты в качестве
криволинейных, построить координатные поверхности и координатные линии, ковариантный и контравариантный базисы, метрический и фундаментальный тензора:
a)x1 = ax, x2 = by, x3 = cz,
a, b, c > 0;
b)x1 = x + y, x2 = x − y, x3 = 2z;
x
c)x1 = xy, x2 = , x3 = z 3 .
y
8.2 Каковы координатные линии и координатные поверхности "псевдоцилиндрической"системы координат r, ψ, z, связанной с декартовыми координатами соотношениями:
x = ar sin ψ,
y = br cos ψ, z = z, ( 0 ≤ r ≤ +∞, 0 ≤ ψ < 2π,
−∞ < z < +∞, a 6= b).
8.3 Каковы координатные линии и координатные поверхности "псевдосферической"системы координат r, θ, ψ, связанной с декартовыми координатами соотношениями: x = ar sin θ cos ψ, y =
= br sin θ sin ψ, z = cr cos θ, ( 0 ≤ r ≤ +∞, 0 ≤ θ ≤ 2π,
0 ≤ ψ < 2π, a 6= b 6= c 6= a).
8.4 Доказать, что из взаимности ковариантного и контравариантного
48
базисов в виде ~eα~e β = δαβ следуют формулы преобразования базисных векторов:
~e 2 × ~e 3
b) ~e1 = 1 2
,
~e [~e × ~e 3 ]
~e2 × ~e3
a) ~e =
,
~e1 [~e2 × ~e3 ]
1
циклическая перестановка индексов в которых дает вектора ~e 2 , ~e 3 , ( a ) и
~e2 , ~e3 ( b ).
8.5 Являются ли ортогональными "псевдоцилиндрическая"и "псевдосферическая "системы координат (см. зад. 8.2, 8.3)?
8.6 Построить контравариантный базис в криволинейных координатах
σ, τ, θ, если ковариантные базисные вектора в декартовых координатах имеют
вид:
~eσ = (τ cos θ, τ sin θ, −σ)
~eτ = (σ cos θ, σ sin θ, τ )
~eθ = (−τ σ sin θ, τ σ cos θ, 0).
8.7 Построить ковариантный базис в криволинейных координат u, v, z,
если контравариантные базисные вектора в декартовых координатах имеют
вид:
~e u = (a sh u cos v, a ch u sin v, 0)
~e v = (−a ch u sin v, a sh u cos v, 0)
~e z = (0, 0, 1),
a > 0.
8.8 В криволинейных координатах, данных в задачe 8.1, построить кова~ заданриантные, контравариантные и физические компоненты векторов A,
ных в декартовом базисе:
~ = (1, 4, −2);
a)A
~ = (−3, 0, 4);
c)A
~ = (1, 1, 1);
b)A
~ = (1, −2, −1).
d)A
49
8.9 Построить координатные поверхности и координатные линии, ковариантный и контравариантный базисы, метрический и фундаментальный
тензора для следующих координат:
a) цилиндрические координаты;
b) сферические координаты.
~ через декартовы в
8.10 Выразить физические компоненты вектора A
цилиндрических координатах.
~ через декартовы в
8.11 Выразить физические компоненты вектора A
сферических координатах.
8.12 Вывести выражение для квадрата длины элементарного вектора
d ~r :
a) в цилиндрических координатах;
b) в сферических координатах.
8.13 Доказать формулу (8.9) для векторного произведения в криволинейных координатах.
8.14 Записать вид метрического тензора в декартовом базисе.
8.15 Указать, для каких координат метрический тензор, записанный через (x, y, z), имеет вид :




1 2 0
1 −3 1
a) ĝ =  2 8 0  , b) ĝ =  −3 9 −1  ,
0 0 4
1 −1 4


1

 2
2
xy 0 
r 0 0
 r
4


c) ĝ =  0 x2 0  , d) ĝ =  1 xy x2 0 

 4
0 0 y2
2
0
0 y
50
9
Дифференцирование полей в криволинейных
координатах
При дифференцировании по криволинейным координатам xi индекс i
является нижним, ковариантным, поэтому такое дифференцирование называется ковариантным. Ковариантное дифференцирование скалярного поля
имеет место при вычислении градиента и векторного поля – при вычислении
дивергенции, ротора и производной по направлению; все эти производные
∂
могут быть записаны через оператор Гамильтона ∇ = ~e i i
∂x
Градиент скалярного поля в ковариантном и контравариантном криволинейном базисах определяeтся формулой
∂ϕ
ij ∂ϕ
=
~
e
g
.
(9.1)
i
∂xi
∂xj
~ = Ai ~ei = Ai ~e i диффеПри дифференцировании векторного поля A
ренцируются не только компоненты поля, но и базисные вектора ~ei или ~e i .
Производной ковариантного базисного вектора по криволинейной координате
будет также вектор, который может быть представлен как в ковариантном,
так и в контравариантном базисах:
grad ϕ = ∇ ϕ = ~e i
∂~ei
= Γij,k ~e k = Γkij ~ek .
(9.2)
j
∂x
Ковариантные компоненты производной Γij,k называются символами Кристоффеля первого рода, контравариантные компоненты Γkij – символами Кристоффеля второго рода. Символы Кристоффеля первого рода выражаются
через производные от компонент метрического тензора
µ
¶
∂gjk
∂gij
1 ∂gik
+
−
Γij,k =
.
(9.3)
2 ∂xj
∂xi
∂xk
Символы Кристоффеля первого и второго рода связаны формулами перехода от ковариантных к контравариантным компонентам вектора:
Γkij = g kl Γij,l ,
Γij,k = gkl Γlij .
51
(9.4)
~ в ковариантном базисе
Ковариантная производная векторного поля A
приводится к виду
¶
µ i
~
∂A
∂A
i
k
=
+ Γjk A ~e i .
(9.5)
∂xj
∂xj
Дивергенция векторного поля определяется скалярным произведением
оператора Гамильтона и поля и приводится к виду
¡√ i ¢
~ = ∇A
~ = √1 ∂
div A
gA .
g ∂xi
(9.6)
~ определяется векторным произведением операРотор векторного поля A
тора Гамильтона и поля
¯
¯
¯ ~e1
¯
~
e
~
e
2
3
¯
¯
¯
∂
∂ ¯¯
1 ¯ ∂
~
~
rotA = ∇ × A = √ ¯
(9.7)
¯.
g ¯ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ¯
¯
¯
¯ A1 A2 A3 ¯
Данные определения дивергенции и ротора векторного поля оставляют в
силе теоремы Остроградского – Гаусса и Стокса, сформулированные в криволинейных координатах.
~ по направлению ~l определяется выражеПроизводная векторного поля A
нием
³ ´
~
~l∇ A
~ = li ∂ A ,
(9.8)
∂xi
~
∂A
в котором ковариантная производная
вычисляется по формуле (9.5).
∂xi
Действие оператора Лапласа на скалярное поле ϕ в криволинейных координатах определяется формулой
µ
¶
1 ∂
√ ik ∂ϕ
∆ ϕ = div grad ϕ = √
gg
.
(9.9)
g ∂xi
∂xk
52
В ортогональных координатах выражение для ∆ ϕ упрощается
½
µ
¶
H2 H3 ∂ϕ
1
∂
+
∆ϕ =
H1 H2 H3 ∂x1
H1 ∂x1
µ
¶
µ
¶¾
∂
H1 H3 ∂ϕ
∂
H1 H2 ∂ϕ
+ 2
+ 3
.
∂x
H2 ∂x2
∂x
H3 ∂x3
(9.10)
Здесь H1 , H2 , H3 - постоянные Ламе:
H1 =
√
g11 ,
H2 =
√
g22 ,
H3 =
√
g33 .
~ в криволинейных коДействие оператора Лапласа на векторное поле A
~
ординатах определяется из формулы для rot rot A
~ = grad div A
~ − rot rot A.
~
∆A
(9.11)
~ необходимо провести дифференцирование в операДля вычисления ∆ A
циях grad, div, rot указанными выше способами. При этом нужно помнить,
что первое вычисление ротора дает его представление в ковариантном базисе,
~ представлен контравариантными компонентами, и перед повторным
т.е. rotA
вычислением ротора необходимо перейти к ковариантным компонентам.
Упражнение 9.1. Для псевдоцилиндрических координат, r, ψ, z связанных
с декартовыми соотношениями

 x = ar sin ψ,
y = br cos ψ,

z = z,
где 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ ψ < 2π, −∞ < z < ∞, определить ненулевые компоненты
символов Кристоффеля первого и второго рода.
Решение. Построим для указанных координат ковариантный базис
∂~r
= (a sin ψ, b cos ψ, 0),
∂r
∂~r
~eψ =
= (ar cos ψ, −br sin ψ, 0),
∂ψ
∂~r
~ez =
= (0, 0, 1),
∂z
~er =
53
и, по нему, - метрический и фундаментальный тензора:


a2 + b2
(a2 − b2 )r sin ψ cos ψ 0


(a2 + b2 )r2
0 ,
ĝ =  (a2 − b2 )r sin ψ cos ψ
0
0
1

ĝ 0 = ĝ −1



= 



a2 + b2
(a2 − b2 ) sin ψ cos ψ
0
D
rD


2
2
2
2
(a − b ) sin ψ cos ψ
a +b
,
0
2

rD
r D
0
0
1
где D = g/r2 = (a2 + b2 )2 + (a2 − b2 )2 sin2 ψ cos2 ψ.
Метрический тензор диагонален, причем от координат зависит единственная компонента gψψ = (a2 + b2 )r2 . Поэтому ненулевыми компонентами символа Кристоффеля, определяемого формулой (9.3) будут те, которые содержат
∂gψψ
производные
:
∂r
1 ∂gψψ
= −r(a2 + b2 ),
2 ∂r
1 ∂gψψ
= Γrψ,ψ =
= r(a2 + b2 ).
2 ∂r
Γψψ,r = −
Γψr,ψ
Остальные 24 компоненты символа Кристоффеля равны нулю.
Символы Кристоффеля второго рода Γkij вычислим через символы первого
рода по формуле (9.4). С учетом диагональности фундаментального тензора
и вида Γij,k , получим следующие ненулевые компоненты
Γrψψ = g rr Γψψ,r = −r,
1
Γψψr = Γψrψ = g ψψ Γψr,ψ = .
r
Упражнение 9.2. Найти физические компоненты градиента скалярного
поля ϕ = r2 (1 − cos2 ψ) sin z в псевдоцилиндрической системе координат
r, ψ, z (см. упражнение 9.1.).
54
Решение. Ковариантные компоненты градиента определяются производными
∂ϕ
(gradϕ)r =
= 2r(1 − 3 cos2 ψ) sin z,
∂r
∂ϕ
(gradϕ)ψ =
= 6r2 cos ψ sin ψ sin z,
∂ψ
∂ϕ
(gradϕ)z =
= r2 (1 − 3 cos2 ψ) cos z.
∂z
g
Физические компоненты градиента вводятся через контравариантные: (gradϕ)
α =
√
(gradϕ)α gαα ; выражая контравариантные компоненты градиента через ковариантные с учетом диагональности метрического тензора и используя для
последних найденные выше выражения, получим следующее представление
физических компонент градиента
√
r√
g
(gradϕ)
grr = (gradϕ)r / grr =
r = (gradϕ)
2r
=√
(1 − 3 cos2 ψ) sin z,
2
2
a +b
√
√
ψ
g
(gradϕ)
gψψ = (gradϕ)ψ / gψψ =
ψ = (gradϕ)
6r
=√
cos ψ sin ψ sin z,
a2 + b2
√
z√
g
(gradϕ)
=
(gradϕ)
g
=
(gradϕ)
/
gzz =
zz
z
z
2
= r (1 − 3 cos ψ) cos z.
~ заданУпражнение 9.3. Найти дивергенцию и ротор векторного поля A,
ного в псевдоцилиндрических
координатах (см. упражнение
9.1.) физически√
√
er = r2 a2 + b2 sin ψ, A
eψ = −r2 a2 + b2 cos ψ, A
ez = r2 .
ми компонентами A
Решение. Дивергенция векторного поля определяется дифференцированием контравариантных компонент поля Aα , выразим их через физические
компоненты. Учитывая ортогональность псевдоцилиндрических координат,
получим:
er /√grr = r2 sin ψ,
Ar = A
eψ /√gψψ = −r2 cos ψ,
Aψ = A
ez /√gzz = r2 .
Az = A
55
Вычисляя также
поля
√
g = r(a2 + b2 ), найдем по формуле (9.6) дивергенцию
¢
¡
~ = √1 ∂ (√gAr ) + √1 ∂ √gAψ + √1 ∂ (√gAz ) =
divA
g ∂r
g ∂ψ
g ∂z
=
∂ ¡ ψ¢ ∂
1 ∂
(rAr ) +
A +
(Az ) =
r ∂r
∂ψ
∂z
= 4r sin ψ.
Ротор поля определяется дифференцированием ковариантных компонент
поля. Вычисляя их по формулам перехода через полученные выше контравариантные компоненты с учетом диагональности метрического тензора
Ar = Ar grr = r2 (a2 + b2 ) sin ψ,
Aψ = Aψ gψψ = −r3 (a2 + b2 ) cos ψ,
Az = Az gzz = r2 ,
найдем ротор поля по формуле (9.7)
¯
¯
~er
~eψ
¯
¯
1
¯
∂
∂
~ =
rot A
¯
2
2
r(a + b ) ¯
∂r
∂ψ
¯
¯ r2 (a2 + b2 ) sin ψ −r3 (a2 + b2 ) cos ψ
=−
¯
~ez ¯¯
¯
∂ ¯
¯=
∂z ¯¯
r2 ¯
2
~eψ − 4r cos ψ ~ez .
a2 + b2
В полученном выражении ротор представлен контравариантными компонентами
~ r = 0,
(rotA)
~ ψ=−
(rotA)
a2
2
,
+ b2
~ z = − 4r cos ψ.
(rotA)
Физические компоненты ротора находятся через контравариантные
g~
~ r √grr = 0,
(rotA)
r = (rotA)
56
g~
~ ψ √gψψ = − √ 2r ,
(rotA)
ψ = (rotA)
a2 + b2
g~
~ z √gzz = −3r cos ψ.
(rotA)
z = (rotA)
Упражнение 9.4. Записать выражение для лапласиана скалярного поля
в псевдоцилиндрических координатах (см. упражнение 9.1.).
Решение. Так как псевдоцилиндрические координаты ортогональны, лапласиан скалярного поля определяется по формуле (9.10). Определяя коэффициенты Ламе
p
p
√
√
√
Hr = grr = a2 + b2 , Hψ = gψψ = r a2 + b2 , Hz = gzz = 1,
получим следующее представление лапласиана
½ µ
¶
µ
¶
µ
¶
∂ϕ
∂
1 ∂ϕ
∂
∂ϕ
1
∂
∆ϕ = 2
r
+
+
r
+
a + b2 ∂r
∂r
∂ψ r ∂ψ
∂r
∂r
·
¸¾
∂
∂ϕ
+
(a2 + b2 )r
=
∂z
∂z
· 2
¸
1
∂ ϕ 1 ∂ϕ
1 ∂ 2ϕ
∂ 2ϕ
= 2
+
+
+
.
a + b2 ∂r2
r ∂r r2 ∂ψ 2
∂z 2
Упражнение 9.5. Вычислить физические компоненты лапласиана вектор~ заданного в псевдоцилиндрических координатах (см. упражненого поля A,
√
ние 9.1.)
физическими
компонентами:
Ã
=
a2 + b2 rn sin ψ,
r
√
Ãψ = a2 + b2 rn cos ψ, Ãz = 0.
Решение. Выполним последовательно все дифференцирования в формуле
~ учитывая ортогональность псевдоцилиндрических координат.
(9.11) для ∆A,
а) Перейдем к контравариантным компонентам поля
±√
grr = rn sin ψ,
Ar = Ãr
±√
Aψ = Ãψ
gψψ = rn−1 cos ψ,
±√
Az = Ãz
gzz = 0
и вычислим дивергенцию
1 ∂
∂Aψ ∂Az
r
~
divA =
(rA ) +
+
=
r ∂∂r
∂ψ
∂z
= (n + 1)rn−1 sin ψ − rn−1 sin ψ = nrn−1 sin ψ.
57
~
б) Вычислим grad divA
³
´
∂
~
~ = n(n − 1) rn−2 sin ψ,
grad divA = divA
r
∂r
³
´
~ = n rn−1 cos ψ,
~ = ∂ divA
grad divA
ψ
∂ψ
´
³
~ = ∂ divA
~=0
grad divA
z
∂z
и перейдем к физические компонентам градиента:
³ g ´
³
´ Á√
n(n − 1) n−2
~ = grad divA
~
grad divA
grr = √
r
sin ψ,
2 + b2
r
r
a
³ g ´ ³
´ Á√
n
~
~
grad divA
grad divA
gψψ = √
rn−2 cos ψ,
ψ
ψ
a2 + b2
Á
³ g ´
³
´ √
~
~
gzz = 0.
grad divA = grad divA
z
в) Для вычисления ротора поля перейдем к ковариантным компонентам
√
Ar = Ãr grr = (a2 + b2 ) rn sin ψ,
√
Aψ = Ãψ grr = (a2 + b2 ) rn+1 cos ψ,
√
Az = Ãz gzz = 0.
Вычислим ротор поля. Учитывая, что Az = 0 а компененты Ar и Aψ не
зависят от z, получим
¯
¯
¯
¯
¯ ~er
¯
¯
~
e
~
e
~
e
~
e
~
e
ψ
z ¯
ψ
z ¯¯
¯
¯ r
¯
∂
∂ ¯¯
∂
1 ¯¯ ∂
1 ¯¯ ∂
¯
~
0 ¯=
rotA = √ ¯
¯=√ ¯
¯
g ¯ ∂r ∂ψ ∂z ¯
g ¯ ∂r ∂ψ
¯
¯
¯
¯
¯ Ar Aψ Az ¯
¯ Ar Aψ 0 ¯
µ
¶
1
∂Aψ ∂Ar
−
=
~ez = n rn−1 cos ψ ~ez .
2
2
r(a + b ) ∂r
∂ψ
Ротор
³ поля
´zпредставлен в ковариантном базисе контравариантной компо~ :
нентой rotA
³
´z
~
rotA = n rn−1 cos ψ,
³
´r
~
rotA = 0,
58
³
~
rotA
´ψ
= 0.
г) Для повторного вычисления ротора необходимо перейти к ковариант~
ным компонентам rotA
³
´
³
´
³
´z
³
´
~
~
~
~
rotA = 0,
rotA = 0,
rotA = rotA gzz = n rn−1 cos ψ.
r
ψ
z
~
Вычислим rot rotA
¯
¯
¯ ~er
¯
~
e
~
e
ψ
z
¯
¯
¯
¯
∂
∂
∂
1
¯
¯
~ =
rot rotA
¯
¯=
2
2
∂z
¯
r(a + b ) ¯ ∂r ∂ψ
¯
¯
¯ 0
0 n rn−1 cos ψ ¯
£
¤
1
n−1
n−2
=
−~
e
n
r
sin
ψ
−
~
e
n(n
−
1)
r
cos
ψ
=
r
ψ
r(a2 + b2 )
n
n(n − 1) n−2
n−1
= −~er
r
sin
ψ
−
~
e
r
cos ψ.
ψ
r(a2 + b2 )
r(a2 + b2 )
и перейдем к физическим компонентам
³ g ´r ³
´r √
n
~
~
rot rotA = rot rotA
grr = − √
rn−2 sin ψ,
a2 + b2
³ g ´
³
´ψ √
n(n − 1) n−2
~ = rot rotA
~
gψψ = − √
r
cos ψ,
rot rotA
ψ
a2 + b2
³ g ´z ³
´z √
~
~
rot rotA = rot rotA
gzz = 0.
g~
g ~
д) Вычитая покомпонентно rot rotA
из grad divA,
найдем физические ком~
поненты ∆A
³g´
2
~ =√ n
∆A
rn−2 sin ψ,
2
2
z
a +b
³g´
n2
~
∆A = √
rn−2 cos ψ,
ψ
a2 + b2
³g´
~ = 0.
∆A
z
Задачи
59
9.1 Доказать, что ковариантная производная ~e i имеет вид
∂~e i
= − Γijk ~e k .
j
∂x
√
∂
g
1
1 ∂g
9.2 Доказать соотношение Γααk = √
=
.
g ∂xk
2g ∂xk
9.3 Выписать ненулевые компоненты символов Кристоффеля первого и
второго рода для
a) цилиндрических координат;
b) сферических координат.
~ в кон9.4 Доказать, что ковариантная производная векторного поля A
травариантном базисе приводится к виду
µ
¶
~
∂A
∂Ai
=
− Γkij Ak ~e i .
j
j
∂x
∂x
9.5 Вычислить в цилиндрических координатах физические компоненты
градиента скалярного поля:
a) ϕ = r cos ψ;
b) ϕ = eαz rn cos(nψ).
9.6 Вычислить в сферических координатах физические компоненты
градиента скалярного поля:
a) ϕ =
cos (kr) cos θ
;
r
b) ϕ =
¢
1 ¡
2
3
cos
θ
−
1
sin(2ψ).
r2
В задачах 9.7 – 8.9 вычислить дивергенцию и физические компоненты
~ заданного своими компонентами в цилиндричеротора векторного поля A,
ских координатах:
µ
¶
2
r
9.7Ar = Az = 0, Aψ = ar2 R2 −
.
2
¡
¢
9.8Ar = 0, Aψ = a, Az = b R2 − r2 .
9.9Ãr = ρ (2r − R) cos ψ,
Ãψ = ρ (R − r) sin ψ,
Ãz = 0.
В задачах 9.10 – 9.12 вычислить дивергенцию и физические компоненты
~ заданного своими компонентами в сферических
ротора векторного поля A,
координатах:
60
9.10
µ
¶
R2 r 2
Ar = a
−
cos θ,
3
5
µ 2
¶
2r
R2
Aθ = ar
−
sin θ,
5
3
Aψ = 0.
R5
R5
θ
cos
θ,
A
=
b
sin θ, Aψ = 0.
3
4
r
r
9.12 Ãr = 2r + a cos θ, Ãθ = −a sin θ, Ãψ = r sin θ.
9.11 Ar = b
9.13 Убедиться в том, что векторное поле
~ = 2 cos θ ~ir + sin θ ~iθ
A
r3
r3
является потенциальным.
9.14 Записать в цилиндрических координатах дивергенцию и ротор век~ , заданного физическим компонентами.
торного поля A
9.15 Записать в сферических координатах дивергенцию и ротор вектор~ , заданного физическим компонентами.
ного поля A
9.16 Записать Лапласиан скалярного поля, заданного в цилиндрических
координатах.
9.17 Записать Лапласиан скалярного поля, заданного в сферических координатах.
9.18 Вычислить лапласиан скалярного поля, заданного в цилиндрических координатах:
a) ϕ = a(3R − 2r) r cos ψ;
c) ϕ = rn sin(nψ) cos(kz);
aR3
cos ψ;
b) ϕ =
r
d) ϕ = sinn ψ cos(kz).
9.19 Вычислить лапласиан скалярного поля, заданного в цилиндрических координатах:
·
³ r ´2 ¸ ³ r ´n
1
1
ϕ = R2
−
cos nψ.
n−1 n+1 R
R
61
9.20 Вычислить лапласиан скалярного поля, заданного в сферических
координатах:
¢
a ¡
2
3
cos
θ
−
1
;
b) ϕ = ar2 cos θ sin θ sin ψ;
3
r
1
1
c) ϕ = sin2 θ cos(2ψ);
d) ϕ = 4 sin2 θ cosθ sin(3ψ).
r
r
9.21 Вычислить физические компоненты лапласиана векторного поля
~ = ∆A,
~ заданного в цилиндрических кординатах:
B
a) ϕ =
a) Ãr = Ãz = 0,
b) Ãr = Ãz = 0,
a
Ãψ = ;
r µ
r2
Ãψ = ar R −
2
2
¶
.
9.22 Вычислить физические компоненты лапласиана векторного поля
~ = ∆A,
~ заданного в цилиндрических кординатах:
B
"
~ = ~ez R2
A
µ ¶2 # µ ¶n
1
R
R
1
cos nψ.
−
n−1 n+1 r
r
9.23 Вычислить физические компоненты лапласиана векторного поля
~ = ∆A,
~ заданного в сферических кординатах:
B
a) Ãr = Ãθ = 0,
b) Ãr = Ãθ = 0,
a
sin θ;
r2 µ
¶
R2 r 2
Ãψ = ar
−
.
3
5
Ãψ =
В задачах 9.24 – 9.25 построить метрический тензор и Лапласиан скалярной функции для криволинейных координат, определенных неявным образом
через декартовы координаты.
9.24 Координаты σ, τ, ψ вытянутого эллипсоида вращения:
p
x = a (σ 2 − 1) (1 − τ 2 ) cos ψ,
y=a
p
(σ 2 − 1) (1 − τ 2 ) sin ψ,
62
z = aστ
(−1 ≤ τ ≤ 1 ≤ σ ≤ ∞, 0 ≤ ψ < 2π).
9.25 Параболические координаты σ, τ, ψ :
1
x = στ cos ψ, y = στ sin ψ, z = (σ 2 − τ 2 )
2
(0 ≤ σ, τ ≤ ∞, 0 ≤ ψ < 2π).
63
Ответы
1.1 a) полупрямая: x = 2, y = −z (y > 0, z, 0);
b) Парабола, получаемая пересечения поверхностей:
1
y = x, z = (x2 + y 2 );
2
x2 y 2
c) эллипс:
+
= 1, z = 0;
a2 b2
d) отрезок: x + y = 1, z = 0 (0 ≤ x, y ≥ 1);
e) винтовая линия: x = a cos t, y = a sin t, z = ct;
f) полупрямая: x + y = 1, x ≥ 1/2;
g) кардиоида: (x2 + y 2 − ax)2 = a2 (x2 + y 2 ),
h) астроида: x2/3 + y 2/3 = a2/3 , z = 0 (0 ≤ |x|, |y| ≤ a);
i) декартов лист: x3 + y 3 = 3axy, z = 0;
j) окружность, получаемая пересечением сферы
x2 + y 2 + z 2 = 1, и плоскости x = y;
k) линия пересечения поверхностей: y = x2 /3, z = x3 /9;
l) парабола (x − y)2 − 2(x + y) + 4 = 0.
1.2 Отрезок прямой.
1.3 Луч, если ~r1 6= 0, и прямая , если ~r1 = 0.
±
1.4
a) d~r(t) dt = (−a sin t, a cos t, 0);
±
b) d~r(t) dt = (a cos t, −a sin t, 2bt);
±
c) d~r(t) dt = ω~a eωt + ω~b e−ωt .
d~r
1.6 a) 2~r · ;
dt
1.8
¯ ¯2
¯ d~r ¯
d2~r
d~r
d2~r
¯
¯
b) ¯ ¯ + ~r · 2 ; c) ~a × ; d) ~r × 2 .
dt
dt
dt
dt
√
a) x = 2 (1 + s), y = 1 + 2s, z = π/4 + s;
b) x = e(1 + s), y = e−1 (1 − s), z = 1 + 2s;
c) x = 1 + s, y = s, z = 1 + s.
√
1.9 x = a(π/2 − 1 + s), y = a(1 + s), z = a 2(2 + s);
1.10 O(1, 0, 3).
64
ϕ=
π
.
4
1.11 Касательная прямая: x = 2, y = 2s, z = 4s;
нормальная плоскость: y + 2z = 0.
1.12 Касательная прямая: x = 1 + s, y = 1 + 2s, z = 1 + 3s;
нормальная плоскость: x + 2y + 3z − 6 = 0;
В пересечении касательных с плоскостью xy
получается парабола: y = 3/4x2 .
1.14 Касательные кривые в точках на уровне z = z0 :
³
´
p
p
¡
¢
√
√
x = ± 2az0 1 + s/ 2az0 , y = ± 2bz0 1 + s/ 2bz0 , z = z0 + s;
нормальные плоскости в тех же точках:
√
√
√
√
√
a(x ∓ 2az0 ) + b(y ∓ 2bz0 ) ± z0 (z − z0 ) = 0.
1.15 a)M1Ã
(0, 3), M2 (0, −3), α!1 = α2 = π/4.
√
2
, αk = arccos 1/3, где k - целое число.
b)Mk π/4 + kπ, (−1)k
2
Z
1.17
a)
~r(t)dt = ~i sin t − ~j e−t + ~k t + ~c;
Z
¡
¢
b) ~r(t)dt = ~i(−t cos t + sin t) + ~j t + ~k tet − et + ~c;
µ
¶
Z
t
sin
2t
c) ~r(t)dt = ~i sin t − ~j
−
+ ~c,
2
4
Z
1
d) ~r(t)dt = ~i (t − 1)et − ~j ln2 t + ~k t(ln t − 1). + ~c
2
2.1 a) прямые 2x − y = c; b) гиперболы x2 − y 2 = c;
c) прямые , y = 2ec x;
d) параболы с осями, параллельными оси y, проходящими через
точку (0,1) и касающиеся в этой точке прямой 2x − y + 1 = 0,
и сама эта прямая,
4
4
e) гипербола 4 x2 − 2 y 2 = 1.
c
c
2.2 Семейство параллельных плоскостей (a, b) :
a) x + 2y + 3z = c; b) a1 x + a2 y + a3 z = ln c;
семейство концентрических сфер (c, d) :
c) x2 + y 2 + z 2 = c2 ; , d) x2 + y 2 + z 2 = ec ;
e) семейство круговых конусов
z 2 = (x2 + y 2 ) sin2 c.
65
2.3 Эллипсоиды вращения с осью z:
x2 + y 2 +
c2 − 256 2 c2 − 256
z =
c2
4
(c ≥ 16).
2.4 Сферы с центромµв начале
¶2 координат.
3
9
= .
2.5 Сфера x2 + y 2 + z −
2
4
3.1
a) grad ϕ = (1 − 2, 3);
b) grad ϕ = ~i (y + z) + ~j (x + z) + ~k (y + x);
3.2
2
2
2
2
2
2
c) grad ϕ = ~i (2x2 + 1)ex +y +z + ~j 2yxex +y +z +
2
2
2
+~k2xzex +y +z ;
µ
¶
y
x
d) grad ϕ =
,− 2
,0 ;
x2 + y 2
x + y2
2~r
e) grad ϕ = 2 ;
r
f ) grad ϕ = (2x − y − z, 4y + z − x, 6z − x + y);
g) grad ϕ = ex+y+z [yz(x + 1)~i + xz(y + 1)~j + xy(z + 1)~k];
µ
¶
1
1
1
h) grad ϕ =
,
,
.
1 + x2 1 + y 2 1 + z 2
√
a) (grad ϕ)A = 2~i − 7~k,
|gradϕ| = 53;
√
b) (grad ϕ)B = 6~i + 9~j + 3~k,
|gradϕ| = 126;
c) (grad ϕ)C = (6, 2, 3),
|gradϕ| = 7;
O(−8/7, 2/7, 7/10).
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
grad ϕ = (12, −9, −20),
|grad ϕ| = 25;
12
9
4
cos α = , cos β = − , cos γ = − ;
25
25
5
3
∂ϕ
=√ .
∂l
2
a) xy = z 2 , b) не существуют c) x = y = z.
Сфера с центром в т. O(a, b, c) и радиусом r = 1.
Сфера с центром в начале координат и радиусом r = 1.
√
cos α = 3/ 10. 3.8 cos β = −8/9.
66
3.9 β = 0. 3.10 α = π/2.
3.11 Плоскость x + y = 2πn, n = 0, ±1, ±2, ....
~r
~r
e~r
3.12 a) ; b) 2 ; c) − 3 , d) ~a; e) 2~r; f ) 2~r(~a · ~a) − 2~a(~a · ~r).
r
r
r
3.14 grad ϕ(r) · ~r = ϕ0 (r)r.
3.15 0. 3.16 ~r/r.
µ
¶
1
12
−1
3
3.17
a) ~n = √
(3~i + 12~j − ~k) = √
, √
, √
;
154
154
154
154
µ
¶
1 ~
3
4
12
b) ~n = (3i + 4~j + 12~k) =
, ,
;
13
13 13 13
µ
¶
1 ~
3
−2
3
c) ~n = √ (3i − 2~j + 3~k) = √ , √ , √
.
22
22
22
22
c2
∂ϕ 2ϕ
3.18 cos β = √ . 3.19
=
.
∂l
r
3c1
∂ϕ
cos(~l, ~r) ∂ϕ
=−
;
= 0,
∂l
r2
∂l
∂ϕ
1
∂ϕ
3.21
= 2 . 3.22
= 1.
∂l
r
∂l
3.20
~l ⊥ ~r.
67
3.23
∂ϕ
grad ϕ · grad ψ
=
.
∂l
|grad ψ|
∂ϕ
= 0,
grad ϕ ⊥ grad ψ.
∂l
3.24 a) |gradϕ| = 1, в направлении оси y;
b) |gradϕ| = 3, в направлении вектора ~a = (−1, −2, 2);
c) |gradϕ| = 1, в направлении оси x.
3.25 a) (0, 0), (1, 1); b) (7, 2, 1).
dz
dx dy
=
=
= dt; интегрируя эти уравнения, получим
4.1 a)
x
y
z
параметрическое представление векторных линий в виде прямых,
проходящих через начало координат:
x = c1 t, y = c2 t, z = c3 t;
b) прямые, имеющие направление вектора (m1 , m2 , m3 );
c) окружности при пересечении сферы x2 + y 2 + z 2 = c21 ,
и плоскости x + y + z = c2 ;
d) параметрическое уравнение линии, проходящие через точку
(x0 , y0 , z0 ) имеет вид:
x0
y0
z0
x(t) =
, y(t) =
, z(t) =
;
1 − x0 t
1 − y0 t
1 − z0 t
e) Векторные линии являются окружностями пересечения плоскостей
~c · ~r = const со сферами r2 = const.
4.2 x = − ln(e + t), y = l(1 + t), z = et .
4.3 Линия пересечения поверхностей x2 − y 2 = 3 и y − z = 1.
~ = yz + 3 + 2z, b)div A
~ = 12xy 2 + 4x3 + −6xz.
5.1 a)div A
18
x+y+z
5.2 (div ~a)M =
. 5.3
. 5.4 a)0; b)0.
125
xyz
2
5.7 div grad f (r) = f 00 (r) + f 0 (r).
r 0
2
1
f (r)
5.8 a) 3; b) ; c) (~c · ~r); d)
(~c · ~r); e) 3f (r) + rf 0 (r).
r
r
r
5.10 div ~v = 0, div w
~ = −2ω 2 . 5.11 rot ~v = 2ω~l.
√ ±
5.12 (rot ~a)M = (−5/4, −1, 5/2); |(rot ~a)M | = 141 4.
68
1
f 0 (r)
5.13 a) 0, b) (~r × ~c), c)
[~r × ~c], d) 0, e) ~a × ~c.
r
r
±
5.15 ~a |~a|.
±
±
5.16 (2xax , 2yay , 2zaz ) |~a| = 2~r · ~a |~a|.
5.21 (~a · ~c)V , где V - объем, ограниченный поверхностью S.
~ = 3(x2 + y 2 + z 2 , по формуле Остроградского- Гаусса
5.22 div A
ZZ
ZZZ
ZZZ
~ n dS =
~ dV = 3
Π=
A~
div A
(x2 + y 2 + z 2 ) dV.
S
V
V
Перейдем к сферическим координатам
x = r sin θ cos ψ,
y = r sin θ sin ψ,
r ∈ [0, ∞),
θ ∈ [0, π],
z = r cos θ;
ψ ∈ [0, 2π).
Записывая в объемном интеграле дифференциал объема в сферических
координатах
dV = r2 sin θ dr dθ dψ
и интегрируя по указанным пределам изменения сферических координат, получим следующее значение потока
ZR
Zπ
r4 dr
Π=3
0
Z2π
sin θ dθ
0
dψ =
0
12
πR5 .
5
5.23 4πq. 5.24 0. 5.25 a) 2π; b) 2π. 5.26 2πaz .
5.27 u = −xyz(x + y + z) + const.
5.29 a) Не имеет, c) поле потенциальное - u = −xyz(x + y + z) + c.
6.3 a) 4(~a · ~r); b) ~a · ~c; c) − 2(~a · ~c); d − 2(~a · ~r), e) ~c × ~r; f ) ~a × ~c;
g) − ~a × ~c, h) 3~c × ~r.
~ · ∇)B
~ + (B
~ · ∇)A
~+A
~ × (∇ × B)
~ +B
~ × (∇ × A).
~
6.4 (A
69
6.5
~ = ~a × ~b;
a) E
~ = (~a · ~r)~b − 2(~a · ~b)~r + (~b · ~r)~a;
b) E
~ = (~a · ~r)~b sin ~b · ~r − ~a cos ~b · ~r;
c) E
3~r(~a · ~r) − ~a r2
~
d) E =
;
r5
~ = − dF df ~a.
e) E
df d(~a · ~r)
6.6
a) div A = ~a(~b × ~r),
~ = 3(~a · ~r)~b − (~a · ~b)~r;
rotA
~r × (~r × f~0 )
~
~
~
b) div A = 0, rotA = −2f +
;
r
~ = e(~r×~a)·~b (3 + (~a × ~b)~r),
c) div A
~ = e(~r×~a)·~b [(~a × ~b) × ~r];
rotA
3~r(~a~r) − ~ar2
~
rotA =
;
r5
~0
~0
~ = ~a × f~ + ~r × f (~a~r) ;
~ = ~af~ + ~rf (~a~r) , rot A
e) div A
r
r
~
~
~
f ) div A = ~a · b cos (~c · ~r) − (b · ~r)(~a · ~c) sin(~c · ~r),
~ = ~b × ~a cos(~c · ~r) − ~c × ~a(~b · ~r) sin(~c · ~r).
rot A
~ = 0,
d) divA
~ = −α~a · ~r e−αr ,
~ = α~a × ·~r e−αr ,
g) div A
rot A
r
r
2 2
2
+
2αr
−
α
r
~=
~ = 0.
h) div A
e−αr
rot A
r
~r
6.7 a) n(3 − n) n+2 ; b) 0; c) 0. 6.8 0.
r
m
~ × ~r
6.9 −n(n − 3) n+2 .
r
~ = 0; rotA
~ = 0.
6.10 divA
~r)~r
f~ (f~
(f~0~r)~r
0
~
6.11 − 3 + f −
.
r
r
r2
~r
~r × m
~
d~
6.12. c) − (n − 3)(n − 2) n+2 ; d)n(n − 3) n+2 .
r
r
70
µ
7.1. a) 0, b) 0, c) 0, d) −
1
1
1
+
+
x2 y 2 z 2
¶
, e) 0.
7.2 a) ϕ∆ϕ + (gradϕ)2 ; b) ϕ∆ψ + gradϕ · gradψ.
µ
¶
x y
z
7.3. a) (6xy, 6yz, 6zx), b) 2 3 , 2 3 , 2 3 , , c) 0.
y
z
x
~r
1
d~
7.4. a) n(n − 1) n+2 , b) n(n − 3) n+2 ,
r
r
2
4
3
c) f 00 (r) + f 0 (r), d)
− 2.
r
Rr R
m
~ × ~r
~r
7.5. a) 0, b) n(n − 3) n+2 , c) n(n − 3) n+2 ,
r
r
f~0 (r)
00
~
d) f (r) + 2
, e) [f 00 (r) + 4f 0 (r)] (m
~ × ~r).
r
8.1 a)~e 1 = (a, 0, 0),
~e 2 = (0, b, 0),
~e 3 = (0, 0, c);
~e1 = (1/a, 0, 0),
b)~e 1 = (1, 1, 0),
~e1 = (1/2, 1/2, 0),
c)~e 1 = (y, x, 0),
~e2 = (0, 1/b, 0),
~e3 = (0, 0, 1/c);
~e 2 = (1, −1, 0),
~e 3 = (0, 0, 2),
~e2 = (1/2, −1/2, 0),
~e3 = (0, 0, 1/2)
~e 2 = (1/y, −x/y 2 , 0),
~e 3 = (0, 0, 3z 2 );
~e1 = (1/2y, 1/2x, 0), ~e2 = (1/2y, −y 2 /2x, 0), ~e3 = (0, 0, 1/3z 2 ).
8.5 нет, нет.
µ
¶
τ
τ
σ
σ
8.6
~e =
cos θ, 2
sin θ, − 2
,
σ2 + τ 2
σ + τ2
σ + τ2
µ
¶
σ
σ
τ
~e τ =
cos θ, 2
sin θ, 2
,
σ2 + τ 2
σ + τ2
σ + τ2
¶
µ
1
1
θ
sin θ,
cos θ, 0 .
~e = −
στ
στ
71
8.7
Ã
sh u cos v
ch u sin v
¢
¡
¢, 0 ,
,
a sh2 − sin2 v a sh2 − sin2 v
¡
~eu =
Ã
~ev =
!
!
ch u sin v
sh u cos v
¢
¡
¢, 0 ,
− ¡ 2
,
a sh u − sin2 v a sh2 u − sin2 v
~ez = (0, 0, 1) .
8.9
a) ~er = (cos ψ, sin ψ, 0), ~eψ = (−r sin ψ, r cos ψ, 0),
~ez = (0, 0, 1);
~e r = (cos ψ, sin ψ, 0), ~e ψ = (− sin ψ/r, cos ψ/r, 0) ,
~e z = (0, 0, 1);


1 0 0
ĝ =  0 r2 0  ,
0 0 1


1 0 0
ĝ 0 =  0 1/r2 0  ;
0 0 1
b) ~er (sin θ cos ψ, sin θ sin ψ, cos θ),
~eθ (r cos θ cos ψ, r cos θ sin ψ, −r sin θ) ,
~eψ (−r sin θ sin, ψ, r sin θ cos ψ, 0) ;
~e r (sin θ cos ψ, sin θ sin ψ, cos θ),
¶
µ
1
1
θ 1
~e
cos θ cos ψ, cos θ sin ψ, − sin θ ,
r
r
µr
¶
1 sin ψ 1 cos ψ
~e ψ −
,
,0 ;
r sin θ r sin θ


1 0
0
,
0
ĝ =  0 r2
0 0 r2 sin2 θ


1 0
0
.
0
ĝ 0 =  0 1/r2
0 0 1/r2 sin2 θ
8.10 Âr = Ax cos ψ + Ay sin ψ,
Âψ = −Ax sin ψ + Ay cos ψ, Âz = Az .
72
8.11 Âr = Ax sin θ cos ψ + Ay sin θ sin ψ + Az cos θ,
Âθ = Ax cos θ cos ψ + Ay cos θ sin ψ − Az sin θ,
Âψ = −Ax sin ψ + Ay cos ψ.
8.12 a) (d~r)2 = dr2 + r2 dψ 2 + dz 2 ,
b) (d~r)2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin θ2 dψ 2 .
9.3 a) Γψψ,r = −r,
b) Γθθ,r = −r,
Γrψ,ψ = Γψr,ψ = r;
Γrθ,θ = Γθr,θ = r,
Γrψ,ψ = Γψr,ψ = r sin2 θ,
Γψψ,r = −r sin2 θ;
Γψψ,θ = −r2 sin θ cos θ,
Γψθ,ψ = Γθψ,ψ = r2 sin θ cos θ.
9.5 a) (cos ψ, − sin ψ, 0);
b) (neaz rn−1 cos(nψ), −neaz rn−1 sin(nψ),
az n
ae
r cos(nψ)).
µ µ
¶
¶
cos kr k sin kr
cos kr
9.6 a) −
cos θ, − 2 sin θ, 0 ;
+
2
r
r
r
µ
3
2
b) − (3 cos2 θ − 1) sin 2ψ, − 3 sin 2θ sin 2ψ,
r
¶ r
2
(3 cos2 θ cos 2ψ) .
3
r sin θ
¡
¢
~ = 0, rotA
~ = 2a R2 − r2 ~iz .
9.7
divA
~ = 0, rotA
~ = −2ar2 ~iψ − 2br ~iz .
9.8
divA
~ = 3ρ cos ψ, rotA
~ = 0.
9.9
divA
~ = 0 rotA
~ = ar sin θ ~iψ .
9.10
divA
bR5
~
~
9.11
divA = 0, rotA = − 4 sin θ ~iψ .
r
~ = 6 rotA
~ = 2~ir cos θ − 2 sin θ θ ~iψ .
9.12
divA
9.14
1 ∂ Âψ
∂ Âz
1 ∂(rÂr )
+
+
;
r ∂r
r ∂ψ
∂z
Ã
!
Ã
!
~ = 1 ∂ Âz − ∂ Âψ ~ir + ∂ Âr − ∂ Âz ~iψ +
rotA
r ∂ψ
∂z
∂z
∂r
"
#
1 ∂(rÂψ ) ∂ Âr ~
+
−
iz .
r
∂r
∂ψ
~ =
divA
73
1 ∂(r2 Âr )
1 ∂ Âθ
1 ∂ Âψ
~
9.15 divA = 2
+
+
;
r
∂r"
r sin θ ∂θ
r #sin θ ∂ψ
³
´ ∂ Â
∂
1
θ ~
~ =
Âψ sin θ −
rotA
ir +
r sin θ ∂θ
∂ψ
"
#
"
#
1
1 ∂ Âr ∂(rÂψ ) ~
1 ∂(rÂθ ) ∂ Âr ~
−
iθ +
−
iψ .
r sin θ ∂ψ
∂r
r
∂r
∂θ
µ
¶
1 ∂
∂ϕ
1 ∂ 2ϕ
∂ 2ϕ
9.16 ∆ϕ =
r
+ 2 2 +
.
r ∂r
∂r
r ∂ψ
∂z 2
9.17
9.18
1 ∂
∆ϕ = 2
r ∂r
µ
r
2 ∂ϕ
∂r
a)∆ϕ = −6a cos ψ,
¶
1
∂
+ 2
r sin θ ∂θ
µ
∂ϕ
sin θ
∂θ
¶
+
1
∂ 2ϕ
+ 2
.
r sin2 θ ∂ψ 2
b) ∆ϕ = 0,
c)∆ϕ = −rn k 2 sin(nψ) cos(kz),
£
¤
sinn ψ cos(kz) n2 cos2 ψ − n − k 2 r2 (1 − cos2 ψ)
d)∆ϕ =
.
r2 sin2 ψ(1 − cos2 ψ)
³ r ´n
cos nψ.
9.19 ∆ϕ = −4
R
9.20 a) ∆ϕ = 0,
b) ∆ϕ = 0,
c) ∆ϕ = −
6
cos 2ψ sin2 θ,
3
r
d) ∆ϕ = −5
cos θ sin 3ψ
.
r6
9.21 a)B̃r = B̃z =
0, b)B̃r = B̃z = 0, B̃ψ = −4ar.
µ B̃ψ¶=
n
~ = −4 ~ez R
9.22 A
cos nψ.
r
9.23 a)B̃r = B̃θ = B̃ψ = 0, b)B̃r = B̃θ = 0, B̃ψ = −2r sin θ.
9.24
gσσ
gψψ
2
2
σ2 − τ 2
2 σ −τ
, gτ τ = a
,
= gτ τ = a 2
2
σ
−
1
1
−
τ
¡
¢¡
¢
= a2 σ 2 − 1 1 − τ 2 ;
2
74
· µ
¶
¢ ∂ϕ
1
∂ ¡ 2
∆ϕ = 2 2
σ −1
+
a (σ − τ 2 ) ∂σ
∂σ
µ
¶
¸
2
2
2
¢
∂ ¡
∂ϕ
σ
−
τ
∂
ϕ
+
1 − τ2
+ 2
.
∂τ
∂τ
(σ − 1) (1 − τ 2 ) ∂ψ 2
9.25
gσσ = gτ τ = σ 2 + τ 2 , gψψ = σ 2 τ 2 ;
µ
¶
µ
¶
·
1
∂ϕ
1∂
∂ϕ
1∂
∆ϕ = 2
σ
+
τ
+
σ + τ 2 σ ∂σ
∂σ
τ ∂τ
∂τ
µ
¶
¸
1
1 ∂ 2ϕ
+ 2+ 2
.
σ
τ ∂ψ 2
75
Рекомендуемая литература
1. Гольдфайн И.А. Векторный анализ и теория поля.М.:"Наука 1968, 128с.
2. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.
М.:ОНТИ ГТТИ, 1954,456с.
3. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного
исчисления. М.:"Высшая школа 1963, 262с.
4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.:"Наука 1974г., 831с.
76