CH-2

Глава 2. Повторные независимые испытания по схеме Бернулли.
2.1. Формула Бернулли.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может
произойти некоторое событие A с одной и той же вероятностью P ( A)  p или
произойти противоположное событие A с вероятностью P( A)  1  p  q . Тогда
вероятность того, что событие A наступит ровно k раз находится по формуле
Бернулли
Pn (k )  Cnk p k q n k
, k  0, n (2.1.1).
Пример 2.1.1.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка
равна 0,8 и не зависит от номера выстрела. Найдите вероятность того, что при 5
выстрелах произойдёт ровно 2 попадания в мишень.
Решение: В этом примере n  5 , p  0,8 , q  1  p  0, 2 , k  2 . По формуле
Бернулли находим P5 (2)  C52  (0,8) 2  (0, 2) 3  0,0512 .
На практике часто требуется знать наивероятнейшее число наступлений
события в схеме Бернулли, т.е. при каком значении k и фиксированном n
вероятность Pn ( k ) принимает наибольшее значение. Это число k0 находится по
формуле
np  q  k0  np  p
(2.1.2).
Если число np  p не целое, то k0 равно целой части этого числа, т.е.
k0   np  p  .
Пример 2.1.2.
Вероятность получения удачного результата при производстве сложного
3
химического опыта равна
. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если
4
общее их количество равно 10.
3
 0,75 , q  0, 25 . Тогда np  q  k0  np  p
4
, т.е. 10  0,75  0,25  k0  10  0,75  0,75 или 7,25  k0  8,25 . Существует только одно
Решение: В этой задаче n  10 , p 
целое решение этого неравенства, а именно k0  8 .
1
2.2. Формула Пуассона.
Использование формулы Бернулли (2.1.1) при больших значениях n и k
вызывает значительные трудности, так как это связано с громоздкими вычислениями.
Рассмотрим асимптотические формулы в схеме Бернулли.
Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность p достаточно мала
(npq  10, p  0,1) , то вероятность Pn ( k ) можно приближённо найти по формуле
Пуассона
Pn (k ) 
k
k!
 e
, где   np (2.2.1).
Пример 2.2.1.
Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность отказа одного
из них в течение года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов.
Найти вероятность отказа трёх элементов.
Решение: Вероятность отказа трёх элементов при p  0,001 вычислим по
формуле Пуассона для редких явлений.
  np  1000  0,001  1
P1000 (3) 
1 1
1
e 
 0,0613
3!
6e
.
2.3. Асимптотические формулы Муавра-Лапласа.
Локальная формула Муавра-Лапласа:
Если в схеме независимых испытаний Бернулли число испытаний n велико
( npq  10) , а вероятность p отлична от 0 и 1, то вероятность Pn ( k ) может быть
вычислена приближенно по формуле
Pn (k ) 
 ( x)
npq , где  ( x ) 
1
e
2
x2

2
x
,
k  np
npk (2.3.1).
Формула применяется при npk  10 .
Для функции  ( x ) составлена таблица её значений.
Свойства функции  ( x ) :
Функция  ( x ) - чётная , т.е.  (  x )   ( x ) .
Функция  ( x ) монотонно убывает при положительных значениях x .
2
Таблица значений функции  ( x ) составлена для 0  x  4 , так как при x  4
 ( x)  0 .
Пример 2.3.1.
Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна p  0,75 .
Найдите вероятность того, что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень 80 раз.
Решение:
По
условию
n  100 ,
p  0,75 ,
k  80 ,
q  0, 25 .
Так
как
npq  100  0,75  0, 25  18,75  10 , то применим локальную формулу Муавра-Лапласа.
P100 (80) 
1
1
 ( x) 
 ( x)
80  100  0,75
4.330
100  0,75  0, 25
 1,16 .
, x
4  330
По таблице найдём  (1,16)  0, 2059 . Тогда искомая вероятность равна 0,048.
Интегральная формула Муавра-Лапласа:
Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и
отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn (k1  k  k2 ) может быть найдена по
приближённой формуле
Pn (k1  k  k2 )  ( x2 )  ( x1 )
1
, где  ( x ) 
2
x
e

t2
2
dt , x2 

k2  np
k  np
, x1  1
npq
npq
.
Функция  ( x ) - функция Лапласа (интеграл Лапласа).
Свойства функции  ( x ) :
Функция  ( x ) - нечётная функция,  (  x )   ( x ) .
Функция  ( x ) возрастает на всей числовой оси.
При x  4  ( x ) 
1
, поэтому функция представлена в виде таблицы для
2
0  x  4.
Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности
в независимых испытаниях не более чем на некоторое число   0 равна

m

Pn   p     2   
 n


n 

pq 
.
Пример 2.3.2.
В каждом из 700 испытаний на брак появление стандартной лампочки
происходит с постоянной вероятностью 0,65. Найдите вероятность того, что при таких
3
условиях появление бракованной лампочки произойдёт чаще, чем в 230 испытаниях, но
реже, чем в 280 испытаниях.
Решение: Событие A - появление бракованной лампочки.
По
условию
задачи
n  700 ;
p  1  0,65  0,35 ;
q  0,65 .
Найдём
P700 (230  k  280) , применяя интегральную формулу Муавра-Лапласа.
npq  700  0,35  0,65  12,6 ;
x2 
x1 
230  700  0,35
 1,19 ;
12,6
280  700  0,35
 2,78 .
12,6
P700 (230  k  280)  (2,78)  (1,19)  (2,78)  (1,19)  0,4973  0,3830  0,880
.
2.4. Задачи для самостоятельного решения.
2.4.1. Вероятность попадания в мишень при выстреле для данного стрелка равна
0,7 и не зависит от номера выстрела. Найдите вероятность того, что при 5 выстрелах
пройдёт ровно 2 попадания в мишень.
2.4.2. Вероятность изготовления доброкачественного изделия равна 0,9. Найдите
вероятность того, что среди взятых наудачу 300 изделий 95% окажется
доброкачественных.
2.4.3. Вероятность получения отличной оценки на экзамене равна 0,2. Найдите
наивероятнейшее число отличных оценок и вероятность этого числа, если сдают
экзамен 50 студентов.
2.4.4. Каждый из 100 компьютеров в интернет-кафе занят клиентом в среднем в
течение 80% рабочего времени. Найдите вероятность того, что в момент проверки
клиентами будет занято не менее 80 компьютеров.
2.4.5. В каждом из 10000 независимых испытаниях вероятность успеха равна
p  0,75 . Найти вероятность того, что относительная частота появления события
отклонится от постоянной вероятности по абсолютной вероятности по абсолютной
величине не более чем на 0,001.
Ответы:
2.4.1. 0,132.
2.4.2. 0,001.
2.4.3. 15; 0,115.
2.4.4. 0,5.
2.4.5. 0,182.
4