Основные формулы теории вероятностей и математической

Глубокоуважаемые господа студенты!!!
ОПИСАНИЕ:
Данный курс по теории вероятностей и математической статистике представляет собой список
основных формул, необходимых для решения задач. Информация представлена для печати и
не нуждается в форматировании. Распечатать можно как крупный вариант (вторая страница),
так и уменьшенный (третья страница).
ВНИМАНИЕ!!!:
УМЕНЬШЕННЫЙ ВАРИАНТ ПРЕДСТАВЛЕН СУГУБО ДЛЯ УДОБСТВА ПОЛЬЗОВАНИЯ ДАННЫМ
МАТЕРИАЛОМ И НИ В КОЕЙ МЕРЕ НЕ ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ В КАЧЕСТВЕ ШПАРГАЛОК.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ШПАРГАЛОК ПРЕСЛЕДУЕТСЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМИ.
ОБ АВТРАХ:
Данный материал был написан студентами Одесского государственного экономического
университета (24 группы ФЭУП) в 2002 году при подготовке к зимней сессии.
ИСТОЧНИКИ:
 Конспекты лекций по теории вероятностей и математической статистике студентов ОГЭУ (24
группы ФЭУП), за 2001/2002 год.
 Б.М.Чердак, В.А.Шапталова. Методические указания и учебные задания к практическим
занятиям по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» - выпуск 1, Одесса1984.
 С.Л.Журженко, Б.М.Чердак. Методические указания и учебные задания к практическим
занятиям по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» - выпуск 2, Одесса1985.
ГДЕ ВЗЯТЬ?:
Где взять еще аналогичный материал? К сожалению мы не гарантируем постоянное
пополнение информации подобного рода, однако не поленитесь лишний раз зайти на:
http://www.oseu.odessa.ua
http://www.referat.svitonline.com
Это единственные интернет-проекты, с которыми мы работаем.
Размещение данной информации на других сайтах без ведома авторов ЗАПРЕЩЕНО!!!
КАК СВЯЗАТЬСЯ:
Интернет-сайт ОГЭУ: http://www.oseu.odessa.ua
Сайт украинских рефератов: http://www.referat.svitonline.com
Для получения какой-либо дополнительной информации
mailto:webmaster@web-line.com.ua
пишите
авторам по
адресу:
Сложение вероятностей:
Для совместных
событий: P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
Для несовместных событий:
P( A  B)  P( A)  P( B)
Умножение вероятностей:
P( A  B)  P( A)  PA ( B)  P( B)  PB ( A)
Для независимых событий:
P( A  B)  P( A)  P( B)
Формула полной вероятности:
n
P( A)   P( H i )  PHi ( A)
i 1
Формула Байеса:
P( Ai )  PAi ( B)
P( B)
PB ( Ai ) 
Формула Бернулли:
Pm,n  сnm  p m  q nm , где сnm 
n!
m!(n  m)!
Формула локальной теоремы Лапласа:
1
  (t )
npq
Pm,n 
t2

m  np
1
t
; (t ) 
e 2
npq
2
a
 ea ; a  np; D(m)  npq;
m!
pq
M  mn   p; D mn  
n
Наивероятнейшая частота: np  q  m0  np  p
Числовые характеристики непрерывных
случайных величин:
M ( x) 

 x ( x)dx . D( x)   ( x  a)  ( x)dx
2


b
P(a  x  b)    ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Если интегралы сходятся, - M(x) и D(x)
существуют, в противном случае – нет.
Нормальное распределение случайной
величины:
 ( x) 
1
e
 2
( x a ) 2

2 2
, где
a и  – некоторые
постоянные.
F ( x)  12 1   xa 
 x a  - функция Лапласа
x2 a

P x  a  t   (t ) , где t 
Правило трех сигм:
  np
npq
npq
P m  np     

 

npq
P mn  p      
n
pq

Равномерное распределение случайной
величины:
 0, x  a
 0, x  a
 1

 ( x)   ba , a  x  b ; F ( x)   bxaa , a  x  b
 0, x  b
 1, x  b


ab
x2  x1
P( x1  x  x2 ) 
; M ( x) 
;
ba
2
2

b  a
D( x) 
12
Показательное распределение:
 0, x  0
 0, x  0
; F ( x)  
kx
 kx
k  e , x  0
1  e , x  0
1
1
P( x1  x  x2 )  e kx1  e kx2 ; M ( x)  D ( x )  2
k
k
 ( x)  
M ( x)

Неравенство Чебышева:
P (| x  x |  )  1 
D( x)
2
и его частные случаи:
P (| m  np |  )  1 
P (| mn  p |  )  1 
npq
2
pq
-теорема Бернулли
n 2
Теорема Чебышева:
P(| x  M ( x) |  )  1 
c
n 2
; D( xi )  c
Выборочный метод:
P(| x  ~
x | )   (t ) - теорема Чебышева для
выборочного метода
P(| p  mn | )  (t ) , где   t  
P( mn    p  mn  )  (t )





 повторная
pq
n
pq
n
1  Nn   бесп.
или
    или:
P( x1  x  x2 )  12 
  np
и ее частные случаи:
P( x   )  1 
m

P(  m   )  12 
Неравенство Маркова:
Формула Пуассона:
Pm,n 
    
Интегральная теорема Муавра-Лапласа:
x1 a

xa

P(a  3  x  a  3 )  (3)  1



D
n
D
n
 повторная
1  Nn   бесп.
Типы задач:
1)n, ; (t )  ?
2)n, (t )  t;   ?, mn    p  mn  
3)(t )  t , ; n  ?
Сложение вероятностей:
P( A  B)  P( A)  P(B)  P( A B)
Для совместных событий:
P( A  B)  P( A)  P(B)
Для несовместных событий:
Умножение вероятностей:
P( A B)  P( A)  PA (B)  P(B)  PB ( A)
P( A  B)  P( A)  P(B)
Для независимых событий:
Формула полной вероятности:
n
P ( A)   P ( H i )  PHi ( A)
i 1
Формула Байеса:
P( Ai )  PAi ( B)
P( B)
PB ( Ai ) 
Формула Бернулли:
n!
m!(n  m)!
Pm,n  сnm  p m  q nm , где сnm 
Формула локальной теоремы Лапласа:
1
Pm,n 
m  np
  (t ) ; t 
1
;  (t ) 
2
npq
npq
e

t2
2
Формула Пуассона:
Pm,n 
pq
a m a
 e ; a  np; D(m)  npq; M  mn   p; D mn  
m!
n
Наивероятнейшая частота:
np  q  m0  np  p
Числовые характеристики непрерывных случайных
величин:


M ( x)   x ( x)dx ; D ( x)   ( x  a ) 2  ( x)dx Если интегралы


сходятся, - M(x) и D(x) существуют, в противном случае – нет.
b
P(a  x  b)    ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Нормальное распределение случайной величины:
1
 ( x) 
e
 2

F ( x)  1   
xa
1
2
P( x1  x  x2 ) 

( xa )2
2 2
, где
a и  – некоторые постоянные.
 ,   - функция Лапласа
xa

    или:
x2  a
1
2
x1  a



P x  a  t  (t ) , где t 
xa

Правило трех сигм:
P(a  3  x  a  3 )  (3)  1
Интегральная теорема Муавра-Лапласа:
P(  m   ) 
1
2
 


  np
npq
     np 

 npq 



и ее частные случаи:


P m  np    


npq
; P



m
n

 p     

n
pq



Равномерное распределение случайной величины:


0, x  a


0, x  b


0, x  a


1, x  b
 ( x)   b 1 a , a  x  b ; F ( x )   bx aa , a  x  b
x  x1
b  a 
ab
P( x1  x  x2 )  2
; M ( x) 
; D( x) 
12
ba
2
2
Показательное распределение:


 0, x  0
 0, x  0
; F ( x)  
 kx
k  e kx , x  0


1  e , x  0
 ( x)  
P( x1  x  x2 )  e  kx1  e  kx2 ; M ( x) 
1
1
D( x)  2
k
k
Неравенство Маркова:
P( x   )  1 
M ( x)

Неравенство Чебышева:
P(| x  x |  )  1 
D( x )
2
и его частные случаи:
P(| m  np |  )  1 
P(|
m
n
npq
2
pq
 p |  )  1  2 -теорема Бернулли
n
Теорема Чебышева:
P(| x  M ( x) |  )  1 
c
; D( xi )  c
n 2
Выборочный метод:
~
P(| x  x | )  (t ) - теорема Чебышева для выборочного
метода.
P(| p 
m
n
| )  (t ) , где   t  
P(    p 
m
n


 


pq
n
pq
n
m
n
 )  (t )
 повторная
1    бесп.
или





n
N
Типы задач:
1)n, ; (t )  ?
2)n, (t )  t;   ?,
3)(t )  t , ; n  ?
m
n
  p 
m
n

D
n
D
n
 повторная
1    бесп.
n
N