Один процент от числа – это сотая часть этого

Один процент от числа – это сотая часть этого числа. Например, 1% от числа 200 есть 2, а 1%
30
от числа 30 есть
= 0, 3 . Поэтому, например, 12% от 18 составляет двенадцать сотых числа
100
12
⋅ 18 = 0,12 ⋅ 18 = 2,16 .
18, то есть
100
Увеличим число 30 на 15%. Что это значит? На сколько мы должны увеличить 30? На
величину, равную 15% от 30, то есть на 0,15 ⋅ 30 = 4,5 . Теперь увеличиваем:
30 + 0,15 ⋅ 30 = 30 + 4, 5 = 34,5 .
Можно сделать и по-другому. Пусть 30 составляет 100%, тогда после увеличения на 15%
получим число, составляющее 115% от 30. Обозначим это новое число буквой x и запишем
30 − 100%
30 ⋅ 115 345
пропорцию
, из которой 100 x = 30 ⋅ 115 , x =
=
= 3, 45 .
x − 115%
100
10
Теперь, если мы хотим увеличить, например, число а на 15%, запишем a + 0,15a = 1,15a .
Если хотим увеличить а на 20%, запишем a + 0, 20a = 1, 2a , на 48% - a + 0, 48a = 1, 48a и так
далее. Аналогично, при уменьшении а на 15% получим a − 0,15a = 0,85a , при уменьшении а
на 27% получим a − 0, 27 a = 0, 73a .
Задача 1.
Цена товара была повышена на 10%, а затем снижена на 10%. Изменилась ли в итоге цена?
Решение.
Конечно, увеличив цену, скажем, на 12 рублей, а затем снизив на 12 рублей, мы получим
первоначальную цену без изменений: x + 12 − 12 = x . Но с процентами это будет не так.
Давайте смотреть. Пусть исходная цена равна t . Повышаем цену на 10%: t + 0,1t = 1,1t .
Прирост цены в рублях составил 0,1t . Теперь снижаем полученную цену 1,1t на 10%:
1,1t − 0,1 ⋅ 1,1t = 0,9 ⋅ 1,1t = 0, 99t . Снижение произошло на 0,1 ⋅ 1,1t = 0,11t рублей, что больше, чем
прирост 0,1t . Поэтому, в результате этих манипуляций цена изменилась по сравнению с
исходной: была t , а стала 0, 99t . Она уменьшилась на 1%.
Задача 2.
Волнистый попугай дешевле хохлатого на 37,5%. На сколько процентов хохлатый попугай
дороже волнистого?
Решение.
Пусть хохлатый попугай стоит x рублей. Волнистый стоит на 37,5% меньше, то есть
x − 0, 375 x = 0, 625 x рублей. В задаче требуется сравнить стоимость хохлатого попугая со
стоимостью волнистого, поэтому именно стоимость волнистого попугая мы должны принять
0, 625 x − 100%
за 100%. Составим пропорцию
, из которой 0, 625 x ⋅ ? = 100 x . Тогда
x − ?%
100 x
100000 1000 ⋅ 100
?=
=
=
= 40 ⋅ 4 = 160% , то есть стоимость хохлатого попугая составляет
0, 625 x
625
25 ⋅ 25
160%, что на 60% больше стоимости волнистого.
Задача 3.
Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и, наконец, после
перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили
первоначальную цену товара?
Решение.
Пусть первоначально товар стоил x рублей. Повышаем цену на 25%: 1, 25 x , повышаем ещё на
10%: 1,1 ⋅ 1, 25 x , и ещё на 12%: 1,12 ⋅ 1,1 ⋅ 1, 25 x = 1,54 x . Таким образом, общее повышение
составляет 54%.
Задача 4.
Три числа относятся как 2 : 3 : 7. Если первое число уменьшить на 20%, а второе – на 10%, то
на сколько процентов надо увеличить третье число, чтобы их сумма не изменилась?
Решение.
Отношение 2 : 3 : 7 означает, что числа имеют вид 2 x, 3 x, 7 x . Первое число, уменьшенное на
20%, превратится в 0,8 ⋅ 2 x = 1, 6 x , второе, уменьшенное на 10%, - в 0,9 ⋅ 3 x = 2, 7 x . По условию
задачи 1, 6 x + 2, 7 x + ? = 2 x + 3 x + 7 x , где за ? обозначен результат увеличения 7 x на некоторое
число процентов. Из этого уравнения ? = 7, 7 x . Остаётся понять, на сколько процентов 7, 7 x
7 x − 100%
7, 7 x ⋅ 100
больше, чем 7 x . Составим пропорцию
, из которой ? =
= 110% . Значит,
7, 7 x − ? %
7x
третье число нужно увеличить на 10%.
Задача 5.
Первый сплав содержит 5% меди, второй – 13% меди. Масса второго сплава больше массы
первого на 9кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди.
Найдите массу третьего сплава.
Решение.
В задачах на смеси и сплавы нужно следить за абсолютными единицами измерения, то есть в
данном случае за килограммами. Обозначим массу первого сплава за x кг, тогда масса
второго будет равна x + 9 кг, а масса третьего x + x + 9 = 2 x + 9 кг. Найдём массу меди в
каждом сплаве. В первом сплаве меди 0, 05 ⋅ x кг, во втором сплаве меди 0,13 ( x + 9 ) кг, и в
третьем - 0,11( 2 x + 9 ) кг. Поскольку при сплавлении медь одного сплава соединяется с медью
другого, то должно быть верно равенство 0, 05 x + 0,13 ( x + 9 ) = 0,11( 2 x + 9 ) , из которого x = 4,5 . В
ответ пишем массу третьего сплава 2 x + 9 = 18 кг.
Задача 6.
Смешав 43-процентный и 47-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды,
получили 41-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50процентного раствора той же кислоты, то получили бы 45-процентный раствор кислоты.
Сколько килограммов 43-процентного раствора использовали для получения смеси?
Решение.
Пусть первого раствора брали x кг, второго y кг. Тогда кислоты в первом растворе 0, 43 x кг,
во втором кислоты 0, 47 y кг. Новый раствор весит x + y + 10 кг, и кислоты в нём
0, 41( x + y + 10 ) кг. Складывая массы кислот, получим уравнение 0, 43x + 0, 47 y = 0, 41( x + y + 10 ) .
Во втором случае масса всего нового раствора будет такой же: x + y + 10 кг, поскольку
добавляется в любом случае 10 кг. Но кислота сложится уже из трёх растворов: в 43%
растворе 0, 43 x кг, в 47% - 0, 47 y кг и в 50% - 0,5 ⋅ 10 = 5 кг кислоты, поэтому суммарная масса
кислоты будет 0, 43 x + 0, 47 y + 5 кг. С другой стороны, её 45% в растворе массой x + y + 10 кг,
то есть 0, 45 ( x + y + 10 ) кг. Получаем ещё одно уравнение 0, 43x + 0, 47 y + 5 = 0, 45 ( x + y + 10 ) .
0, 43 x + 0, 47 y = 0, 41( x + y + 10 )
Решаем эти два уравнения совместно: 
0, 43 x + 0, 47 y + 5 = 0, 45 ( x + y + 10 )
43 x + 47 y = 41( x + y + 10 )
Домножим для удобства каждое уравнение на 100: 
43 x + 47 y + 500 = 45 ( x + y + 10 )
2 x + 6 y = 410  x + 3 y = 205
4 y = 180
 y = 45
Вычитаем уравнения: 



2 x − 2 y = 50
 x − y = 25
 x − y = 25  x = 70
В ответ запишем массу первого раствора, то есть 70 кг.