Получение случайных процессов с заданными

Получение случайных процессов с заданными характеристиками.
Рассмотрим систему получения класса нормальных случайных процессов с экспоненциальной автокорреляционной функцией, называемых Марковскими. Блок-схема системы, обеспечивающей генерирование Марковских случайных процессов с заданными характеристиками, приведена на рисунке 1. Система
включает 3 блока:
- генератор случайного процесса с равномерным распределением 1.
- генератор нормального стандартного случайного процесса 2.
- генератор цветного нормального Марковского случайного процесса
с заданными характеристиками 3.
1. Получение равномерной случайной величины.
Практически во всех языках программирования имеются генераторы
случайной величины RND с равномерным распределением от 0 до 1. Случайные
величины с данным распределением имеют следующие характеристики:
1
Мат. ожидание: m0
1
x f x dx
x2 1
2 0
x dx
0
0
Дисперсия : D( x ) m0 x
2
M x
0,5 ;
1
2
2
x f x dx M x
0
Выход генератора обозначен R x ,
2
x3 1
3 0
1
4
1
.
12
R 0,5; 1 ,
12
2
2
где x - мат. ожидание
- дисперсия.
Временной график и функция распределения данного и других сигналов приведены на рисунке 2.
2. Получение стандартной нормальной случайной величины.
Стандартная случайная величина- это нормальный случайный процесс с нулевым средним и единичной дисперсией N(0,1). В блоке 2 производится
суммирование 12 последовательно следующих от генератора N(0,5;1/12) величин
для получения одной случайной величины с нормальным законом распределения.
По закону больших чисел случайная величина, на которую влияет
большое количество случайных величин с равномерными вкладами и различными
законами распределения имеет нормальное (Гауссовое) распределение. Практически уже при 5 - 6 факторах выходная случайная величина имеет нормальный закон распределения. Поэтому полученная сумма 12 случайных чисел имеет нормальное распределение с параметрами:
1. Мат. ожидание: M
12
12
r
1
2. Дисперсия: D
12
1
12
r
1
Dr
1
12
M (r )
0,5
6;
1
12 1
12
1.
Для получения нулевого среднего из суммы вычитается число 6. У
полученного сигнала N(0,1) последующие друг за другом значения не коррелированы. Его корреляционная функция не равна нулю только при
0 , т.е.
при
при
2
R
0
0
.
0
Спектральная плоскость данного сигнала имеет постоянное значение
S
C
s( )d
2
во всем диапазоне частот
. Это означает при-
сутствие в сигнале всех гармоник с частотами
. Сумма цветов видимого
спектра света дает белый свет. Отсюда данный сигнал получил название белый
шум.
3. Получение нормального случайного процесса с заданными характеристиками производится в блоке 3 путем пропускания стандартного нормального случайного процесса через фильтр первого порядка и смещения случайной величины на величину среднего а.
Передаточная функция фильтра:
хд
Wф (n) =
k
Tp 1
;
На выходе блока 3 будет нормальный случайный
2
N a, 2 , , где a, - среднее и дисперсия полученного сигнала
1 - характеризует спектр сигнала.
T
процесс
Данный случайный сигнал имеет экспоненциальную корреляционную
функцию: k
.
l
Спектральная плотность сигнала равна: S
2
2
2
.
Параметры k и Т фильтра определяются из условия получения задан2 .
ной дисперсии и корреляционной функцией сигнала: T 1 ; k
Выходной сигнал фильтра в разностном виде:
t
x3, k 1 a x3, k b x2 , k
, где a l
; b k (1 l
Начальное значение х3 принимается равным 0, тогда:
x3 , 0
0
x3,1
a x3 , 0
b x2 , 0
x3 , 2
a x3,1
b x2 ,1
t
)
... и т.д.
Из полученного сигнала отфильтрованы некоторые спектральные
компоненты, поэтому он не является белым шумом и называется цветным шумом.